艾森斯坦級數
在數學中,艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式,由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群,羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。
模群的艾森斯坦級數编辑
固定整數 。對上半平面上的複數 ,定義艾森斯坦級數 為
此級數是上半平面上的全純函數,此外它更是模群 的權 模形式。換言之,若 滿足 ,則
遞迴關係编辑
模形式理論中的一個基本事實是:模群 的模形式俱可表為 與 的多項式。作為特例,以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 的多項式。
置 ,遂有下述關係式:
在此 是二項式係數而 、 。
函數 可以表示魏爾斯特拉斯 函數:
傅立葉展開编辑
置 。由於艾森斯坦級數是模群的模形式,故有傅立葉展開式
其中的傅立葉係數 是
- 。
此處的 是伯努利數, 是黎曼ζ函數,而 是 的正因數的 次冪和。
當 ,對 之和亦可化成蘭伯特級數
- 。
有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數:
- 。
拉馬努金公式编辑
拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式:定義
則有
文獻编辑
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
- Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
- Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.
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