艾伦伯格–麦克莱恩空间

• 单位圆${\displaystyle S^{1}}$ 是${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ 。
• 无穷维复射影空间${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ 是${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ 的模型。
• 无穷维实射影空间${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ 是${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$ 。
• k个单位圆的楔和${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}}$ 是${\displaystyle K(F_{k},1)}$ ，其中${\displaystyle F_{k}}$ 是k个生成子上的自由群。
• 3维球${\displaystyle S^{3}}$ 中任何连通结或图的补是${\displaystyle K(G,1)}$ 型，这种现象被称作“结的非球面性”，是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。^[1]
• 紧连通曲率非正流形M是${\displaystyle K(\Gamma ,1)}$ ，其中${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$ 是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。
• 无限透镜空间${\displaystyle L(\infty ,q)}$ 由${\displaystyle S^{\infty }}$ 对自由作用${\displaystyle (z\mapsto e^{2\pi im/q}z)}$ （${\displaystyle m\in \mathbb {Z} /q}$ ）的商给出，是${\displaystyle K(\mathbb {Z} /q,1)}$ 。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。^[2]注意这包括作为${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$ 的${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ 。
• 平面上n个点的构型空间是${\displaystyle K(P_{n},1)}$ ，其中${\displaystyle P_{n}}$ 是n股上的纯辫群。
• 相应地，${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 的第n无序构型空间是${\displaystyle K(B_{n},1)}$ ，其中${\displaystyle B_{n}}$ 表示n股辫群。^[3]
• n球的无穷对称积${\displaystyle SP(S^{n})}$ 是${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ 。更一般地，${\displaystyle SP(M(G,n))}$ 对所有摩尔空间${\displaystyle M(G,n)}$ 是${\displaystyle K(G,n)}$ 。

利用积${\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)}$ 是${\displaystyle K(G\times H,n)}$ 的事实，可构造出更多基本例子，例如n维环面${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ 是${\displaystyle K(\mathbb {Z} ^{n},1)}$ 。

对${\displaystyle n=1}$ 、任意群G，${\displaystyle K(G,1)}$ 的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。

构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群A构造摩尔空间${\displaystyle M(A,n)}$ ：取n个球的楔，每个球代表一个A的生成子，并通过上述楔和的${\displaystyle \pi _{n}(\bigvee S^{n})}$ 中相应映射附加(n+1)个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群${\displaystyle \pi _{i<n}(M(A,n))}$ 由构造是平凡的。现在通过附加大于${\displaystyle n+1}$ 维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群${\displaystyle \pi _{i>n}(M(A,n))}$ ，并定义${\displaystyle K(A,n)}$ 为包含此迭代的直极限。

另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。^[4]这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。

乔·彼得·梅的书^[5]从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。

由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价${\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}$ ，因此有纤维化序列

${\displaystyle K(G,n)\to *\to K(G,n+1)}$ .

注意这不是上纤维化序列：空间${\displaystyle K(G,n+1)}$ 不是${\displaystyle K(G,n)\to *}$ 的同伦上纤维。

这个纤维化序列可用于从${\displaystyle K(G,n)}$ 用勒雷谱序列研究${\displaystyle K(G,n+1)}$ 的上同调，让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

映射与上同调的同伦类间的双射编辑

${\displaystyle K(G,n)}$ 的一个重要性质是，对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X，X到${\displaystyle K(G,n)}$ 的基映射的基同伦类集${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ，同空间X的第n奇异上同调群${\displaystyle H^{n}(X,G)}$ 是自然双射。因此可以说${\displaystyle K(G,n)'s}$ 是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}}$

有一个区别元素${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$ ，对应幺元。上述双射由元素的拉回${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$ 给出，这与范畴论中的米田引理很相似。

此定理的构造性证明可见参考文献^[6]，另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献^[7]，主要思想也将在后面略述。

闭路空间/Omega谱编辑

艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间：${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$ 。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系：${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$ ，使${\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]}$ 有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射${\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}$ 是群同构。

这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过${\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]}$ 定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论${\displaystyle h^{*}}$ （${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$ ，${\displaystyle n\neq 0}$ ），有自然同构${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})}$ ，其中${\displaystyle {\tilde {H^{*}}}}$ 表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。

在更广义的语境中，布朗可表性定理指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

与同调的关系编辑

对给定阿贝尔群G，有稳定同伦群

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

上由映射${\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$ 导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}$

由于${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$ （${\displaystyle q\neq 0}$ ）为零，${\displaystyle h_{*}}$ 与CW复形上系数在G中的既约奇异同调${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$ 一致。

函子性编辑

从上同调的万有系数定理可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数n，若${\displaystyle a\colon G\to G'}$ 是阿贝尔群的任何同态，则有非空集

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

满足${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$

其中${\displaystyle [f]}$ 表示连续映射f、${\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}}$ 的同伦类。

与波斯尼科夫/怀特海塔的关系编辑

连通CW复形X都有波斯尼科夫塔，即空间的逆系：

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

使对每个n都有：

1. 有交换映射${\displaystyle X\to X_{n}}$ ，导出${\displaystyle \pi _{i}}$ （${\displaystyle i\leq n}$ ）上的同态；
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ （${\displaystyle i>n}$ ）；
3. 映射${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}}$ 是具有纤维${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ 的纤维化。

对偶地，还有怀特海塔，是CW复形的序列：

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$

使对每个n都有：

1. 映射${\displaystyle X_{n}\to X}$ 导出${\displaystyle \pi _{i}}$ （${\displaystyle i>n}$ ）上的同态；
2. ${\displaystyle X_{n}}$ 是n连通的；
3. 映射${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ 是具有纤维${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$ 的纤维化。

在塞尔谱序列的帮助下，可计算出球面的高阶同伦群。例如，${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$ 、${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$ 用${\displaystyle S^{3}}$ 的怀特海塔，可见参考文献^[8]；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的${\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3}$ 可见参考文献。 ^[9]

上同调运算编辑

对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ，存在所有上同调运算集${\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$ 与${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$ 之间的双射，定义为${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (\alpha )}$ （${\displaystyle \alpha \in H^{m}(K(G,m),G)}$ 是基本类）。

因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$ 。这源于上同调的万有系数定理与${\displaystyle K(G,m)}$ 的(n-1)连通性。

${\displaystyle G=H}$ 是有限循环群时，上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时，系数在${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ 中的${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)}$ 的上同调变得非常重要，^[10]有关这些组别的详细列表，请参此处。^[11]

群（上）同调编辑

可以定义群G的系数在群A中的（上）同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间${\displaystyle K(G,1)}$ 的奇异（上）同调，系数在A中。

进一步应用编辑

上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等，如由短正合列

${\displaystyle 0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}$

产生的怀特海塔，其中${\displaystyle {\text{String}}(n)}$ 是弦群，${\displaystyle {\text{Spin}}(n)}$ 是旋量群。${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ 的相关性在于存在分类空间${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ （且${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$ ）的同伦等价关系

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

注意，由于复旋量群是群扩张

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0}$ ,

弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ 就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群${\displaystyle U(1)}$ 的广群${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ 的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ 都可以用来启动一个短正合列，可在拓扑群中去除同伦群${\displaystyle \pi _{n+1}}$ 。

• 分类空间，${\displaystyle n=1}$ 情形
• 布朗可表性定理，关于表示空间
• 摩尔空间，同调中的类似物

基础文章编辑

• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders, Relations between homology and homotopy groups of spaces, Annals of Mathematics, (Second Series), 1945, 46 (3): 480–509, JSTOR 1969165, MR 0013312, doi:10.2307/1969165 
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders. Relations between homology and homotopy groups of spaces. II. Annals of Mathematics. (Second Series). 1950, 51 (3): 514–533. JSTOR 1969365. MR 0035435. doi:10.2307/1969365. 
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders. On the groups ${\displaystyle H(\Pi ,n)}$ . III. Operations and obstructions. Annals of Mathematics. 1954, 60 (3): 513–557. JSTOR 1969849. MR 0065163. doi:10.2307/1969849. 

嘉当研讨会与应用编辑

嘉当研讨会（Cartan seminar）包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果，包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）

计算整上同调环编辑

• Derived functors of the divided power functors
• Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

其他百科参考文献编辑

• Encyclopedia of Mathematics （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• nLab的Eilenberg-Mac Lane space條目