罗尔定理
以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理(英語:Rolle's theorem)是微分学中一条重要的定理,是三大微分中值定理之一,叙述如下:如果函数满足
中值定理 | |
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那么在内至少有一点,使得[1]。
证明编辑
首先,因为 在闭区间 上连续,根据极值定理, 在 上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点 或 处取得,由于 , 显然是一个常数函数。那么对于任一点 ,我们都有 。
现在假设 在 处取得最大值。我们只需证明 在该点导数为零。
取 ,由最大值定义 ,那么 。令 ,则 。因为 在 处可导,所以我们有 。
取 ,那么 。这时令 ,则有 ,所以 。
于是,結合兩者, 。
在 处取得最小值的情况同理。
例子编辑
第一个例子编辑
考虑函数
- 。
(其中r > 0。)它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续,在开区间(−r,r)内可导(但在终点−r和r处不可导)。由于f(−r) = f(r),因此根据罗尔定理,存在一个导数为零的点。
第二个例子编辑
如果函数在区间内的某个点不可导,则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0,考虑绝对值函数:
- 。
那么f(−a) = f(a),但−a和a之间不存在导数为零的点。这是因为,函数虽然是连续的,但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1,但不取得值0。
推广形式编辑
第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式:
考虑一个实数,f(x)是在闭区间[a,b]上的连续函数,并满足f(a) = f(b).如果对开区间(a,b)内的任意x,右极限
而左极限
在扩展的实数轴[−∞,∞]上存在,那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限
和
中其中一个≥ 0,另一个≤ 0(在扩展的实数轴上)。如果对任何x左极限和右极限都相同,那么它们对c也相等,于是在c处f的导函数存在且等于零。
参见编辑
参考文献编辑
- ^ 殷锡鸣. 高等数学(上). 北京: 高等教育出版社. 2009: 134. ISBN 978-7-04-027235-2.
外部链接编辑
- Hazewinkel, Michiel (编), Rolle theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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