简介与定义 编辑 例子 编辑
考虑两个装备了正则欧几里德范数的欧几里德空间: R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 和 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} ,其中 n , m {\displaystyle n,m} 都是正整数。从 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 映射到 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 的有界线性算子(线性映射)都可以用 n × m {\displaystyle n\times m} 的矩阵 来表示。所以这些算子构成的空间实际上是矩阵空间: M n , m ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )} ,而对应的算子范数也称为矩阵范数 。假设某个线性映射对应的矩阵是 A {\displaystyle A} ,那么它的矩阵范数是 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 的最大特征值 的平方根 ,或者说是 A {\displaystyle A} 的最大的奇异值 。
对于无限维的赋范空间,常见的例子有平方可加序列空间 ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 。其定义为:
ℓ 2 = { ( a n ) n ∈ N ; a n ∈ C , ∑ n | a n | 2 < ∞ } . {\displaystyle \ell ^{2}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} };\;\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \}.} 给定一个有界数列 s = ( s n ) n ∈ N ∈ ℓ ∞ {\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{\infty }} ,考虑从 ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 到自身的线性算子 T s {\displaystyle T_{s}} :
∀ a = ( a n ) n ∈ N ∈ ℓ 2 , T ( a ) = ( s n ⋅ a n ) n ∈ N . {\displaystyle \forall a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{2},\;\;T(a)=(s_{n}\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }.} 由于 s {\displaystyle s} 是有界序列,其范数 ‖ s ‖ ∞ = sup { | s n | ; n ∈ N } < + ∞ {\displaystyle \|s\|_{\infty }=\sup\{|s_{n}|;\;\;n\in \mathbb {N} \}<+\infty } ,所以 ‖ T s ( a ) ‖ 2 ⩽ ‖ s ‖ ∞ ‖ a ‖ 2 {\displaystyle \|T_{s}(a)\|_{2}\leqslant \|s\|_{\infty }\|a\|_{2}} 。 T {\displaystyle T} 是连续线性算子(有界算子)。而 T s {\displaystyle T_{s}} 的算子范数:
‖ T s ‖ o p = ‖ s ‖ ∞ . {\displaystyle \|T_{s}\|_{op}=\|s\|_{\infty }.} 类似的例子还有 L p {\displaystyle L^{p}} 空间 之间的映射。例如考虑平方可积函数的空间 L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} ,设有从 L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 映射到 L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 的线性算子 T f {\displaystyle T_{f}} :
∀ φ ∈ L 2 ( R ) , ( T f ( φ ) ) ( t ) = f ( t ) ϕ ( t ) . {\displaystyle \forall \varphi \in L^{2}(\mathbb {R} ),\;\;(T_{f}(\varphi ))(t)=f(t)\phi (t).} 其中f 为给定的有界函数。则 T f {\displaystyle T_{f}} 是连续线性算子,其算子范数为:
‖ T f ‖ o p = ‖ f ‖ ∞ . {\displaystyle \|T_{f}\|_{op}=\|f\|_{\infty }.} 等价定义 编辑
线性算子A 的算子范数除了定义为
‖ A ‖ o p = inf { c ; ‖ A ( u ) ‖ F ⩽ c ⋅ ‖ u ‖ E ∀ u ∈ E } . {\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}.} 以外,还可以用以下等价的方式定义[1] :97 :
A 的算子范数是A 在单位闭球上取值的上确界: ‖ A ‖ o p = sup { ‖ A ( u ) ‖ F ; u ∈ E , ‖ u ‖ E ≤ 1 } , {\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}\leq 1\},} A 的算子范数是A 在单位开球上取值的上确界: ‖ A ‖ o p = sup { ‖ A ( u ) ‖ F ; u ∈ E , ‖ u ‖ E < 1 } , {\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}<1\},} A 的算子范数是A 在单位球面上取值的上确界: ‖ A ‖ o p = sup { ‖ A ( u ) ‖ F ; u ∈ E , ‖ u ‖ E = 1 } , {\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}=1\},} A 的算子范数是A 在E 中非零元素上取值和元素范数之比的上确界: ‖ A ‖ o p = sup { ‖ A ( u ) ‖ F ‖ u ‖ E ; u ∈ E , u ≠ 0 } . {\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{{\frac {\|A(u)\|_{F}}{\|u\|_{E}}};\;\;u\in E,\;\;u\neq 0\}.} 性质 编辑 参见 编辑 参考来源 编辑
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin 著 Leo F. Boron 译. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume I: Metric and Normed Spaces. New York: Ghaylock Press. 1957 (英语) .