牛顿法
牛顿法(英語:Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(英語:Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
起源编辑
牛顿法最初由艾萨克·牛頓在《流数法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿去世后於1736年公开发表)中提出。约瑟夫·鮑易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。
方法说明编辑
首先,选择一个接近函数 零点的 ,计算相应的 和切线斜率 (这里 表示函数 的导数)。然后我们计算穿过点 并且斜率为 的直线和 轴的交点的 坐标,也就是求如下方程的解:
我们将新求得的点的 坐标命名为 ,通常 会比 更接近方程 的解。因此我们现在可以利用 开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:
已有证明牛顿迭代法的二次收敛[1]必须满足以下条件:
; 对于所有 ,其中 为区间[α − r, α + r],且 在区间其中 内,即 的;
对于所有 , 是连续的;
足够接近根 α。
然而当 在 处有m重根时,这时牛顿法会降为线性收敛,虽然使用牛顿法也可以继续算下去,但收敛速度会减慢。[2]
其它例子编辑
第一个例子编辑
求方程 的根。令 ,两边求导,得 。由于 ,则 ,即 ,可知方程的根位于 和 之间。我们从 开始。
第二个例子编辑
牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。
求 的 次方根。
设 ,
而a的m次方根,亦是x的解,
以牛顿法来迭代:
(或 )
應用编辑
求解最值問題编辑
牛頓法也被用於求函數的極值。由於函數取極值的點處的導數值為零,故可用牛頓法求導函數的零點,其疊代式為
求拐点的公式以此类推
電腦程式编辑
可以用程式寫出牛頓法:
例題: 求x
用Python:
from math import powdef f(x): y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1 return ydef dx(x): y = (3*x*x)-(20*x)+1 return yx = 1for i in range(1000): x = x - (f(x)/dx(x))print(x)
用C語言:
#include <stdio.h>#include <math.h>double x = 1.0;double f(double x){ double y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1; return y;}double dx(double x){ double y = (3*x*x)-(20*x)+1; return y;}int main (){ for(int i=0;i<1000;i++){ x = x - (f(x)/dx(x));} printf(" %f",x); return 0;}
只要修改f(x)和dx(x)函數就可以解其他方程式
註解编辑
- ^ 存档副本 (PDF). [2018-06-26]. (原始内容存档 (PDF)于2021-04-24).
- ^ 张宏伟,金光日,施吉林,董波 (编). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 138. ISBN 9787040365955.
外部連結编辑
- JAVA:牛頓勘根法 (页面存档备份,存于互联网档案馆) (繁體中文)
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