熱帶幾何
熱帶幾何是數學的一支,首先由巴西數學家兼計算機科學家伊姆雷·西蒙於1980年代發展;「熱帶」一詞源於部份法國數學家對巴西的刻板印象。大略言之,熱帶幾何可謂是分片線性化的代數幾何。它在計數代數幾何中有重要的應用。
基本定義编辑
定義熱帶半環(又稱極小-加法代數,見下述定義)為 ,其運算為:
此半環中的單項式不外就是線性映射;而多項式是對若干個線性映射取極小值,因此是個分片線性凹函數。稱之為熱帶多項式。一個熱帶多項式 的非光滑點集合稱為熱帶超曲面。可以證明:
上述兩種刻劃提供了組合學與代數學之間的對應。給定一個合適的代數問題,我們可將之轉化為較易處理的組合問題以求解。
一如代數幾何中的情形,熱帶超曲面的定義可以推廣到熱帶簇:取 中的理想 ,定義相應的熱帶簇 為 的變形體。可以證明 ,而且可取有限并集。
目前已有較深入研究的是平面上的熱帶幾何。許多代數幾何中的古典定理皆有相應的版本。
外部連結及相關影片编辑
- First Steps in Tropical Geometry
- Tropical geometry of statistical models (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- The Tropical Grassmanian
- Enumerative tropical algebraic geometry in R2
- Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry
- Tropical Mathematics
- Non-archimedean amoebas and tropical varieties
- Computing Tropical Varieties
- Tropical Geometry and its applications
- Tropical algebraic geometry
- Tropical Geometry, I
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