洛希極限

設洛希極限為${\displaystyle d}$ 。

對於一個完全剛體、圓球形的衛星，假設其物質都是因為重力才合在一起的，且所環繞的行星亦是圓球形，並忽略其他因素如潮汐變形及自轉。

${\displaystyle d=R\left(2\times \;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\approx 1.260R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

其中${\displaystyle R}$ 是衛星所環繞的星體的半徑，${\displaystyle \rho _{M}}$ 是該星體的密度，${\displaystyle \rho _{m}}$ 是衛星的密度。

對於是流體的衛星，潮汐力會拉長它，令它變得更易碎裂。

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

由於有黏度、摩擦力、化學键等影響，大部分衛星都不是完全流體或剛體，其洛希極限都在這兩個界限之間。

如果一個剛體衛星的密度是所環繞的星體的密度兩倍以上（例如一個巨大的氣體行星跟剛體衛星；對於流體衛星來說，則要約14.2倍以上)，${\displaystyle d<R}$ ，洛希極限會在所環繞的星體之內，即是說這個衛星永遠都不會因為所環繞的星體的引力而碎裂。

公式的導出编辑

假設除了引力之外沒有其他力，且衛星和所環繞的行星的形狀是圓球。

考慮衛星表面的最接近行星的細質量${\displaystyle u}$ ，有兩股力作用在${\displaystyle u}$ 上：衛星的引力和行星的引力。基於衛星在行星引力場內自由降落，潮汐力不過是行星引力同義詞。

設${\displaystyle F_{G}}$ 為衛星作用在${\displaystyle u}$ 上的引力，根據牛頓引力定律，${\displaystyle F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$ 。

設${\displaystyle d}$ 為衛星和行星中心的距離，${\displaystyle R}$ 為行星半徑，${\displaystyle F_{T}}$ 為行星作用在${\displaystyle u}$ 上的潮汐力，

${\displaystyle F_{T}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$ 。

若衛星剛好在洛希極限，${\displaystyle F_{G}=F_{T}}$ ，即

${\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$ 。

由此即可計出 ${\displaystyle d=r(2M/m)^{1/3}}$ 。

不想衛星半徑出現在公式中，便將其半徑以密度等變數寫出。

行星的質量可寫成：

${\displaystyle M=4\pi \rho _{M}R^{3}/3}$

衛星的質量可寫成：

${\displaystyle m=4\pi \rho _{m}r^{3}/3}$

代入上面的洛希極限的公式，得

${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$

簡化成：

${\displaystyle d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

流體的洛希極限公式编辑

洛希給出的基於流體洛希極限的公式是：

${\displaystyle d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

更精確的公式是：

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}$

${\displaystyle c/R}$ 是行星的扁度。

公式的推導過程較複雜，此處不予給出。

以太陽系內的星體為例：

彗星的平均密度是500公斤/m³

使用以上數據，計算流體及剛體洛希極限。R表示它們和被繞行星體赤道半徑之比。

太陽系的行星和其衛星之間的真實洛希極限和計算洛希極限如下表所示：

• 希尔球（Hill sphere）
• 洛希瓣（Roche lobe）
• 麵條化（Spaghettification，一個更為極端的潮汐力扭曲）

• 詳細的導出計算洛希極限的教學 （页面存档备份，存于互联网档案馆）