在流體動力學 中,歐拉方程 是一組支配無黏性 流體運動的方程,以萊昂哈德·歐拉 命名。方程組各方程分別代表質量守恆(連續性)、動量守恆及能量守恆,對應零黏性及無熱傳導 項的纳维-斯托克斯方程 。歷史上,只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而,流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”[1] 。
跟納維-斯托克斯方程一樣,歐拉方程一般有兩種寫法:“守恆 形式”及“非守恆形式”。守恆形式強調物理解釋,即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律;而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。
歐拉方程可被用於可壓縮性 流體,同時也可被用於非壓縮性 流體——這時應使用適當的狀態方程 ,或假設流速 的散度 為零。
本條目假設經典力學 適用;當可壓縮流的速度接近光速時,詳見相對論性歐拉方程。
歷史 编辑
第一份印有歐拉方程的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》(Principes généraux du mouvement des fluides),發表於1757年,刊載於《柏林科學院論文集》(Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin)。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程 。在歐拉發表他的研究之時,方程組只有動量方程及連續性方程 ,因此只能完整描述非壓縮性流體;在描述可壓縮性流體時,會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年,皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 添加了一條方程,第三條方程後來被稱為絕熱條件 。
在十九世紀的後半期,科學家們發現,與能量守恆相關的方程在任何時間都得被遵守,而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守,因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論 之後,能量密度、質量密度及應力這三個概念,被統一成應力-能量張量 這一個概念;而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量 [2] 。
守恆形式(分量) 编辑
以下是用微分形式 寫成的歐拉方程:
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 ∂ ρ u ∂ t + ∇ ⋅ ( u ⊗ ( ρ u ) ) + ∇ p = 0 ∂ E ∂ t + ∇ ⋅ ( u ( E + p ) ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}} 其中
ρ 為流體的質量密度 ;u 為流體速度 向量 ,分量為u 、v 及w ;E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 ) 為每一單位容量 所含的總能量 ,其中e 為流體每一單位容量所含的內能 ;p 為壓力; ⊗ {\displaystyle \otimes } 代表張量積 。第二條方程包含了一并矢積 的散度 ,用下標標記(每一個j代表從1至3)表示會較易明白:
∂ ( ρ u j ) ∂ t + ∑ i = 1 3 ∂ ( ρ u i u j ) ∂ x i + ∂ p ∂ x j = 0 , {\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0,} 其中i及j下標各代表直角座標系 的三個分量:( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z ) 及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w ) 。
注意以上方程是用守恆形式 的,而守恆形式強調的是方程的物理起因(因此在計算流體力學 中的電腦模擬上使用這種形式最方便)。而代表動量守恆的第二條方程可用非守恆形式表示:
ρ ( ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ ) u + ∇ p = 0 {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0} 但是在這個形式上,會比較看不出歐拉方程與牛頓第二運動定律 的直接關聯。
守恆形式(向量) 编辑
以下是用向量 及守恆形式寫成的歐拉方程:
∂ m ∂ t + ∂ f x ∂ x + ∂ f y ∂ y + ∂ f z ∂ z = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{z}}{\partial z}}=0,} 其中
m = ( ρ ρ u ρ v ρ w E ) ; {\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};} f x = ( ρ u p + ρ u 2 ρ u v ρ u w u ( E + p ) ) ; f y = ( ρ v ρ u v p + ρ v 2 ρ v w v ( E + p ) ) ; f z = ( ρ w ρ u w ρ v w p + ρ w 2 w ( E + p ) ) . {\displaystyle {\mathbf {f} _{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.} 在這個形式下,不難看出f x 、f y 及f z 是通量。
以上方程分別代表質量守恆 、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程,六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程 ;最常用的是理想氣體定律(即p = ρ (γ−1) e ,其中ρ 為密度,γ 為絕熱指數 ,e 為內能)。
注意能量方程的奇特形式;見藍金-雨果尼厄方程。附加含p 的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中,這些附加項的總和為零。
取流線上歐拉方程的積分,假設密度不變,及狀態方程具有足夠的剛性,可得有名的伯努利定律 。
非守恆形式(通量雅可比矩陣) 编辑
在構建數值解 ,例如求雷曼問題的近似 解的時候,展開通量 可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程,展開其通量可得非守恆形式如下:
∂ m ∂ t + A x ∂ m ∂ x + A y ∂ m ∂ y + A z ∂ m ∂ z = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.} 其中A x 、A y 及A z 為通量雅可比矩陣 ,各矩陣 為:
A x = ∂ f x ( s ) ∂ s , A y = ∂ f y ( s ) ∂ s , A z = ∂ f z ( s ) ∂ s . {\displaystyle \mathbf {A} _{x}={\frac {\partial \mathbf {f} _{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{y}={\frac {\partial \mathbf {f} _{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{z}={\frac {\partial \mathbf {f} _{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.} 上式中這些通量雅可比矩陣A x 、A y 及A z ,還是狀態向量m 的函數,因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣,都是非線性方程。在狀態向量m 平滑變動的區間內,這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。
理想氣體的通量雅可比矩陣 编辑 將理想氣體定律 用作狀態方程 ,可推導出完整的雅可比矩陣形式,矩陣如下[3] :
總焓 H 為:
H = E ρ + p ρ , {\displaystyle H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},} 及聲速 a 為:
a = γ p ρ = ( γ − 1 ) [ H − 1 2 ( u 2 + v 2 + w 2 ) ] . {\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.} 線性化形式 编辑 將含通量雅可比矩陣的非守恆形式,在狀態m = m 0 的周圍線性化後,可得線性化歐拉方程如下:
∂ m ∂ t + A x , 0 ∂ m ∂ x + A y , 0 ∂ m ∂ y + A z , 0 ∂ m ∂ z = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,} 其中A x,0 、A y,0 及A z,0 分別為A x 、A y 及A z 於某參考狀態m = m 0 的值。
線性化一維的非耦合波方程 编辑 如果棄用守恆變量而改用特徵變量 的話,歐拉方程可被變換成非耦合波 方程。舉例說,考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維(1-D)歐拉方程:
∂ m ∂ t + A x , 0 ∂ m ∂ x = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.} 矩陣A x,0 可被對角化 ,即可將其分解成:
A x , 0 = P Λ P − 1 , {\displaystyle \mathbf {A} _{x,0}=\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } \mathbf {P} ^{-1},} P = [ r 1 , r 2 , r 3 ] = [ 1 1 1 u − a u u + a H − u a 1 2 u 2 H + u a ] , {\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],} Λ = [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 ] = [ u − a 0 0 0 u 0 0 0 u + a ] . {\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.} 上式中,r 1 、r 2 及r 3 為矩陣A x,0 的右特徵向量 (若 A x R = λ R x R , {\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R},\ } ,則x_R 為右特徵向量),而λ1 、λ2 及λ3 則為對應的特徵值 。
設特徵變量為:
w = P − 1 m , {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {m} ,} 由於A x,0 不變,原來的一維通量雅可比矩陣方程,乘上P −1 後可得:
∂ w ∂ t + Λ ∂ w ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+\mathbf {\Lambda } {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial x}}=0} 經過這樣的處理後,方程實際上已經被非耦合 化,而且可被視作三條波方程,其中特徵值為波速。變量w i 為雷曼不變量,或在一般的雙曲系統中為特徵變量。
衝擊波 编辑
歐拉方程為非線性 雙曲方程,而它們的通解為波 。与海浪 一樣,由歐拉方程所描述的波碎掉後,所謂的衝擊波 就會形成;這是一種非線性效應,所以其解為多值函數 (即函數內的某自變量會產生多個因變量)。物理上這代表構建微分方程時所用的假設已經崩潰,如果要從方程上取得更多資訊,就必須回到更基礎的積分形式。然後,在構建弱解 時,需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件,在流動的物理量中避開不連續點“跳躍”,上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性;在現實的流動中,黏性會把這些不連續點平滑化。
許多領域都有研究衝擊波的傳播,尤其是出現流動處於足夠高速的領域,例如空氣動力學 及火箭推進 。
一維中的方程 编辑
在某些問題中,特別是分析導管中的可壓縮流,或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候,一維歐拉方程都是很有用的近似法。一般來說,解歐拉方程會用到黎曼 的特徵線法 。首先需要找出特徵線,這條曲線位於兩個獨立變量(即x 及t )所構成的平面上,在這條線上偏微分方程 (PDE)會退化成常微分方程 (ODE)。歐拉方程的數值解法 非常倚賴特徵線法。
注釋 编辑 資料來源及延伸閱讀 编辑 Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962 . Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055 . Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8 .