模糊数学 ,亦称弗晰数学 或模糊性数学 。1965年以后,在模糊集合 、模糊逻辑 的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别 、人工智能 等方面有广泛的应用。
模糊集 编辑
定义和表示 编辑 给定一个论域 U ,那么从 U 到单位区间 [0,1] 的一个映射 μ A : U ↦ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu _{A}:U\mapsto [0,1]} 称为 U 上的一个模糊集 或 U 的一个模糊子集 [a] ,记为 A 。映射(函数) μA (·) 或简记为 A (·) 叫做模糊集 A 的隶属函数 。对于每个 x ∈ U , μA (x ) 叫做元素 x 对模糊集 A 的隶属度 。
模糊集的常用表示法有下述几种:
解析法,也即给出隶属函数的具体表达式。 Zadeh 记法,例如 A = 1 x 1 + 0.5 x 2 + 0.72 x 3 + 0 x 4 {\displaystyle A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}} 。分母是论域中的元素,分子是该元素对应的隶属度。有时候,若隶属度为0,该项可以忽略不写。 序偶法,例如 A = { ( x 1 , 1 ) , ( x 2 , 0.5 ) , ( x 3 , 0.72 ) , ( x 4 , 0 ) } {\displaystyle A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}} ,序偶对的前者是论域中的元素,后者是该元素对应的隶属度。 向量法,在有限论域的场合,给论域中元素规定一个表达的顺序,那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式,如 A = (1,0.5,0.72,0) 。 一些相关概念 编辑 模糊集 A 的承集 或支集 记为 supp A = { x ∈ U ∣ A ( x ) ≠ 0 } {\displaystyle {\text{supp}}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}} 。 模糊集 A 的核 记为 ker A = { x ∈ U ∣ A ( x ) = 1 } {\displaystyle {\text{ker}}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}} 。 模糊集 A 的高度 记为 hgt A = sup { A ( x ) ∣ x ∈ U } {\displaystyle {\text{hgt}}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}} 。 模糊集 A 的深度 记为 dpn A = inf { A ( x ) ∣ x ∈ U } {\displaystyle {\text{dpn}}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}} 。 模糊度 编辑 一个模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一个直观的定义是这样的:
设映射 D : F (U ) → [0,1] 满足下述5条性质:
清晰性:D (A ) = 0 当且仅当 A ∈ P (U )。(经典集的模糊度恒为0。) 模糊性:D (A ) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A (u ) = 0.5。(隶属度都为0.5的模糊集最模糊。) 单调性:∀ u ∈ U ,若 A (u ) ≤ B (u ) ≤ 0.5,或者 A (u ) ≥ B (u ) ≥ 0.5,则 D (A ) ≤ D (B )。 对称性:∀ A ∈ F (U ),有 D (Ac ) = D (A )。(补集的模糊度相等。) 可加性:D (A ∪B ) + D (A ∩B )=D (A ) + D (B )。 则称 D 是定义在 F (U ) 上的模糊度函数 ,而 D (A ) 为模糊集 A 的模糊度 。
可以证明符合上述定义的模糊度是存在的[1] ,一个常用的公式(分别针对有限和无限论域)就是 D p ( A ) = 2 n 1 / p ( ∑ i = 1 n | A ( u i ) − A 0.5 ( u i ) | p ) 1 / p D ( A ) = ∫ − ∞ + ∞ | A ( u ) − A 0.5 ( u ) | d u {\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}} 其中 p > 0 是参数,称为 Minkowski 模糊度。特别地,当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标,当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。
模糊集的运算 编辑
各种算子 编辑 a ∨ b = max { a , b } a ∧ b = min { a , b } {\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}}
a + ∧ b = a + b − a b a ⋅ b = a b {\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}}
a ⊕ b = min { 1 , a + b } a ⊙ b = max { 0 , a + b − 1 } {\displaystyle {\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}}
a ϵ + b = a + b 1 + a b a ϵ ⋅ b = a b 1 + ( 1 − a ) ( 1 − b ) {\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}}
Hamacher 算子,其中ν ∈ [0,+∞) 是参数,等于1时转化为代数算子,等于2时转化为 Einstein 算子 a ν + b = a + b − a b − ( 1 − ν ) a b ν + ( 1 − ν ) ( 1 − a b ) a ν ⋅ b = a b ν + ( 1 − ν ) ( a + b − a b ) {\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}}
Yager 算子,其中 p 是参数,等于1时转化为有界算子,趋于无穷时转化为 Zadeh 算子 a Y p b = min { 1 , ( a p + b p ) 1 / p } a y p b = 1 − min { 1 , [ ( 1 − a ) p + ( 1 − b ) p ] 1 / p } {\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}}
λ -γ 算子,其中 λ ,γ ∈ [0,1] 是参数 a λ b = λ a b + ( 1 − λ ) ( a + b − a b ) a γ b = ( a b ) 1 − γ ( a − a b ) γ {\displaystyle {\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}}
Dobois-Prade 算子,其中 λ ∈ [0,1] 是参数 a ∨ d b = a + b − a b − min { ( 1 − λ ) , a , b } max { λ , 1 − a , 1 − b } a ∧ d b = a b max { λ , a , b } {\displaystyle {\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}}
算子的性质 编辑 参见集合代数 和布尔代数 。
主要算子的性质对比表如下(.
表示不满足,-
表示未验证):
算子 结合律 交换律 分配律 互补律 同一律 幂等律 支配律 吸收律 双重否定律 德·摩根律 Zedah √ √ √ . √ √ √ √ √ √ 代数 √ √ . . √ . √ . - √ 有界 √ √ . √ √ . √ √ - √
线性补偿是指: ( ∀ x , y , k ∈ [ 0 , 1 ] ) ( x + k ∧ y − k ⇒ U ( x + k , y − k ) = U ( x , y ) ) {\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))} [2]
算子的并运算 幂等律 排中律 分配律 结合律 线性补偿 Zadeh √ . √ √ . 代数 . . . √ . 有界 . √ . . √ Hamacher r = 0 . . . √ . Yager . . . √ . Hamacher . . . √ . Dobois-Prade . . . √ .
模糊集与经典集的关系 编辑
截集与截积 编辑 设 A ∈ F ( U ) {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}(U)} ,任取 λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} ,则
A λ = { u ∈ U ∣ A ( u ) ≥ λ } {\displaystyle A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}} ,称 Aλ 为 A 的 λ 截集 ,而 λ 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >,记为 ASλ ,称为强截集 。
截集和强截集都是经典集合。此外,显然 A 1 为 A 的核 ,即 kerA ;如果 kerA ≠ ø,则称 A 为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。
截积是数与模糊集的积: 设 λ ∈ [0,1],A ∈ F (U ),则 ∀ u ∈U ,λ 与 A 的截积 (或称为 λ 截集的数乘 ,记为 λA )定义为:
( λ A ) ( u ) = λ ∧ A ( u ) = { A ( u ) , λ ≥ A ( u ) , λ , λ < A ( u ) . {\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}} 根据定义,截积仍是 U 上的模糊集合。
分解定理与表现定理 编辑 分解定理 : 设 A ∈F (U ),则
A = ⋃ λ ∈ [ 0 , 1 ] λ A λ {\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }} 即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 {λAλ } 的并。也即,一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。
表现定理 : 设 H 为 U 上的任何一个集合套,则
A = ⋃ λ ∈ [ 0 , 1 ] λ H ( λ ) {\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )} 是 U 上的一个模糊集,且 ∀ λ ∈ [0,1],有 (1) ASλ = ∪α >λ H (α ) (2) Aλ = ∩α <λ H (α ) 即任一集合套都能拼成一个模糊集。
模糊集之间的距离 编辑
使用度量理论 编辑 可以使用一般的度量 理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上,我们需要在模糊幂集 F (U ) 上建立一个度量,此外,我们还可能需要将此度量标准化,也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离:
d ~ ( x , y ) = ( 1 n ∑ i = 1 n | x i − y i | p ) 1 p {\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}} 贴近度 编辑 主条目:贴近度
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - 距离 (这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。
除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。
σ ( A , B ) = ∑ i = 1 n ( A ( u i ) ∧ B ( u i ) ) ∑ i = 1 n ( A ( u i ) ∨ B ( u i ) ) {\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}} σ ( A , B ) = ∑ i = 1 n ( A ( u i ) ∧ B ( u i ) ) 1 2 ∑ i = 1 n ( A ( u i ) + B ( u i ) ) {\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}} σ ( A , B ) = ∑ i = 1 n ( A ( u i ) ∧ B ( u i ) ) ∑ i = 1 n A ( u i ) ⋅ B ( u i ) {\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}} σ ( A , B ) = 1 e ‖ A − B ‖ {\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}} 模糊关系 编辑
主条目:模糊聚类分析
模糊关系是建立在模糊集上的关系 ,此外,它也有一些特别的性质和应用。
定义 编辑 设 U 和 V 是论域,U × V = {(x , y ) | x ∈ U , y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积,则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系 。若 U = V ,则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R (x ,y ) = α,则称 x 与 y 具有关系 R 的程度 为 α。特别地:
若 ∀ (x ,y ) ∈ U × U ,当 x = y 时 R = 1,当 x ≠ y 时 R = 0,则称 R 为 U 上的恒等关系,记为 I 若 ∀ (x ,y ) ∈ U × V ,有 R (x ,y ) = 0,则称 R 为从 U 到 V 的零关系,记为 0 若 ∀ (x ,y ) ∈ U × V ,有 R (x ,y ) = 1,则称 R 为从 U 到 V 的全称关系,记为 E 模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算,实质上就是模糊集的相应运算(采用 Zadeh 算子)。但模糊关系还有一个特殊的运算转置 ,定义为
R T (x ,y ) = R (y ,x )易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。[3]
关系以及关系的合成的矩阵表达 编辑 关系的合成 : 对于从 U x-m 到 V y-p 的关系 R ,以及从 V y-p 到 W z-n 的关系 S ,那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R · S 为
( R ∘ S ) ( x i , z j ) = ⋁ k ≤ p [ R ( x i , y k ) ∧ S ( y k , z j ) ] {\displaystyle \displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]} 其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大(即 Zedah 算子)。由此可知,模糊复合关系的运算,就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算,只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧,而加法改为 ∨ 即可。
例子 :设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}:
从 U 到 V 的模糊关系 R (1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0(2,a)=1, (2,b)=0, (2,c)=0(3,a)=0, (3,b)=1, (3,c)=0(4,a)=0, (4,b)=0.4, (4,c)=0.3 从 V 到 W 的模糊关系 S (a,α)=0,6 (a,β)=0.8(b,α)=0 (b,β)=1(c,α)=0 (c,β)=0.9
那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达(注意行列位置):
R a b c 1 0.7 0.5 0 2 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0.4 0.3
R · S α β 1 0.6 0.7 2 0.6 0.8 3 0 1 4 0 0.4
模糊关系与分类 编辑 模糊等价关系 定义: 设 U 中的模糊关系 R 满足
1. 自反性 ∀ x ∈ U , R (x , x ) = 1 2. 对称性 ∀ x , y ∈ U , R (x , y ) = R (y , x ) 3. 传递性 ∀ x , y , z ∈ U , ∀ λ ∈ [0,1], 当 R (x , y ) ≥ λ 且 R (y , z ) ≥ λ 时,R (x , z ) ≥ λ 则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系。易知,对于一个固定的 λ ∈ [0,1] 来说,传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。
下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系:U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是,对于每个 λ ∈ [0,1],R 的 λ 截关系 R λ 是 U 中的普通等价关系。
只满足自反性和对称性,不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系 。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理:U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R 2 ⊆ R 。
分类 :
如果模糊关系是等价关系,取某一水平的 λ 截集,即可得到这个水平上的分类。 如果模糊关系是相似关系,计算 R * ≡ R 2^k = R 2^(k +1) ,则 R * 可被证明是等价关系。 模糊推理 编辑 注释 编辑 ^ 要注意:严格地说,模糊集或子集是映射所确定的序对集 ,但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定,因而我们不区分映射和映射所确定的序对集,而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。 參考文獻 编辑 ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第20页。 ^ Etienne E. Kerre 等,模糊集理论与近似推理,武汉大学出版社,2004年,第103页。 ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第62页。