梯形公式
公式
公式由来编辑
由积分中值定理可得
,
但由于ξ其值一般难于确定,故难以准确算出 的值。
如果用两端点 与 的算术平均值估算 ,有
,
这就是梯形公式。
类似地,如果用区间中点 其高度 取代 ,从而有中矩形公式
。
复合求积公式编辑
每一區間相同编辑
為了計算出更加準確的定積分,可以把積分的區間 分成 份,當中 趨向無限,分割出的每一個區間長度必定要是一樣的,然後就可以應用梯形公式:
亦可以寫成:
當中
其余项为
當區間的長度並不相同時,這一條公式便不能使用。
每一區間並不相同编辑
給予 以及 ,定積分就可以估算成
- ,
當中
- .
誤差分析编辑
應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異:
如果 中存在一個實數 ,那麼
对于中矩形公式,其误差类似的有:
如果被積函數是一個凸函數(亦即有一個正值二階導數),那麼誤差會是一個負數,也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達:梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地,如果被積函數是一個凹函數,梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有拐點。它的錯誤是比較難去估計。
一般而言有數種方法可以去分析誤差,例如是:傅利葉級數。
在 的情況下,趨向性的估計誤差是:
参考文献编辑
- 《数值分析》,清华大学出版社,李庆扬等编,书号ISBN 978-7-302-18565-9
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