格林恆等式

設定向量場${\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \phi }$ ；其中，在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 的某區域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 內，${\displaystyle \phi }$ 是二次連續可微標量函數，${\displaystyle \psi }$ 是一次連續可微標量函數，則從散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$ ，

可以推導出格林第一恆等式^[1]：

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }(\psi \nabla ^{2}\phi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi )\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\psi {\partial \phi \over \partial n}\,\mathrm {d} S}$ ；

其中，${\displaystyle \partial \mathbb {U} }$ 是區域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 的邊界，${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}$ 是取於邊界面${\displaystyle \partial \mathbb {U} }$ 的法向導數，即${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial n}}=\nabla \phi \cdot \mathbf {n} }$ 。

假若在區域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 內，${\displaystyle \phi }$ 和${\displaystyle \psi }$ 都是二次連續可微，則可交換${\displaystyle \phi }$ 與${\displaystyle \psi }$ ，從${\displaystyle (\psi ,\phi )}$ 的格林第一恆等式得到${\displaystyle (\phi ,\psi )}$ 的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減，則可得到格林第二恆等式：

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }\left(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi \right)\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left(\psi {\partial \phi \over \partial n}-\phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,\mathrm {d} S}$ 。

假設函數${\displaystyle G}$ 是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$ ；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$ 是狄拉克δ函數。

例如，在R³，基本解的形式為

${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|}}$ 。

函數${\displaystyle G}$ 稱為格林函數。對於變數${\displaystyle \mathbf {x} }$ 與${\displaystyle \mathbf {x} '}$ 的交換，格林函數具有對稱性，即${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=G(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$ 。

設定${\displaystyle \phi =G}$ ，在區域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 內，${\displaystyle \psi }$ 是二次連續可微。假若${\displaystyle \mathbf {x} }$ 在積分區域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 內，則應用狄拉克δ函數的定義，

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )-\int _{\mathbb {U} }\left[G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')\right]\,\mathrm {d} V'=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'}$ ；

其中，${\displaystyle dV'}$ 、${\displaystyle dS'}$ 分別積分${\displaystyle \mathbf {x} '}$ 於${\displaystyle \mathbb {U} }$

這是格林第三恆等式。假若${\displaystyle \psi }$ 是調和函數，即拉普拉斯方程式的解：

${\displaystyle \nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')=0}$ ，

則這恆等式簡化為

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'}$ 。

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