格拉姆矩阵
在线性代数中,内积空间中一族向量 的格拉姆矩阵(Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian)是内积的埃尔米特矩阵,其元素由 给出。
一个重要的应用是计算線性獨立:一組向量彼此線性獨立当且仅当格拉姆行列式(格拉姆矩阵的行列式)不等于零。
格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆命名。
例子编辑
最常见地,向量是欧几里得空间中元素,或 L2 空间中函数,比如闭区间 [a, b] 上的连续函数(是 L 2([a, b])的子集)。
给定区间 上的实数值函数 ,格拉姆矩阵 ,由函数的标准内积给出:
给定一个实矩阵 A,矩阵 ATA 是 A 的列向量的格拉姆矩阵,而矩阵 AAT 是 A 的行向量的格拉姆矩阵。
对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式 B,我们可对一组向量 定义一个格拉姆矩阵 G 为 。如果双线性形式 B对称则该格拉姆矩阵对称。
应用编辑
性质编辑
半正定编辑
格拉姆矩阵是半正定的,反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的:任何正交基的格拉姆矩阵是单位矩阵。
这个命题无穷维类比是Mercer定理)。
基变换编辑
在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下,格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 PTGP。
格拉姆行列式编辑
格拉姆行列式(Gram determinant 或 Gramian)是格拉姆矩阵的行列式:
在几何上,格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地,这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零(当且仅当格拉姆矩阵非奇异)。
外部链接编辑
- Jamshidian; Bentler, Applied Psychological Measurement 18: 79 – 94, 1993
- Barth, Nils. The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra. Journal of Young Investigators. 1999, 2. (原始内容存档于2008年11月22日).
- Volumes of parallelograms (页面存档备份,存于互联网档案馆) by Frank Jones
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