格尔丰德-施奈德定理
定理
格尔丰德-施奈德定理(英語:Gelfond–Schneider theorem)是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明,它解決了希尔伯特第七问题。
表述编辑
评论编辑
- 和 不限于实数,也可以是虚部不为零的复数。因此, 可以是多值的,其中“log”表示复数对数,且该定理对每个值都是成立的。
- 该定理的一个等价的表述是:如果 和 是非零的代数数,那么 要么是有理数,要么是超越数。
- 使用反證法。
- 令
- 假設 不為超越數,也不為有理數,即為代數數
- 根據此定理, 為超越數
- 但 卻是代數數,矛盾。
- 故 要么是有理数,要么是超越数。
- 如果没有 , 是代数数的限制,这个定理未必成立。例如:
- 令 為超越數(由本定理可得知), 為代數數,則
- ,是代數數。
- 令 為代數數, 為超越數,則
- ,是代数数。
定理的应用编辑
利用这个定理,立刻就可以推出以下实数的超越性:
- (格尔丰德-施奈德常数)和它的平方根 。
- 格尔丰德常数
参见编辑
- 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
- Schanuel猜想,如果证明了这个猜想,就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。
参考文献编辑
- Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
- 埃里克·韦斯坦因. Gelfond-Schneider Theorem. MathWorld.
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