柯西-施瓦茨不等式

${\displaystyle V}$ 是個複内积空间，則對所有的 ${\displaystyle v,\,w\in V}$ 有：

(a) ${\displaystyle \|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w\rangle |}$

(b) ${\displaystyle \|v\|\|w\|=|\langle v,\,w\rangle |}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 存在 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ 使 ${\displaystyle v=\lambda \cdot w}$

證明請見内积空间#范数。

Rⁿ-n维欧几里得空间编辑

對歐幾里得空間Rⁿ，有

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}$ 。

等式成立時：

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$

也可以表示成

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

證明則須考慮一個關於${\displaystyle t}$ 的一個一元二次方程式${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式${\displaystyle D\leq 0}$

注意到

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0}$

⇒${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0}$

則

${\displaystyle D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0}$

即

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

而等號成立於判別式${\displaystyle D=0}$ 時

也就是此時方程式有重根，故

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$

• 對平方可積的複值函數，有

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}$ 。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恒等式

${\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}}$ 。

这是

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)}$

在n=3 时的特殊情况。

L²编辑

对于平方可积复值函数的内积空间，有如下不等式：

$${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$$

赫尔德不等式是该式的推广。

设${\displaystyle x,y}$ 为列向量，则${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y}$ ^[a]

${\displaystyle x=0}$ 時不等式成立，设${\displaystyle x}$ 非零，${\displaystyle z=y-{\cfrac {y^{*}x}{\|x\|^{2}}}x}$ ，则${\displaystyle x^{*}z=0}$

${\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}}$

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y}$ 与${\displaystyle x}$ 线性相关

设${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle n\times n}$ Hermite阵，且${\displaystyle A\geq 0}$ ，则${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$

存在${\displaystyle A^{1/2}}$ ，设${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y}$

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y}$

${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow y}$ 与${\displaystyle x}$ 线性相关

设${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle n\times n}$ Hermite阵，且${\displaystyle A>0}$ ，则${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$

存在${\displaystyle A^{1/2},A^{-1/2}}$ ，设${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y}$

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y}$

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow x}$ 与${\displaystyle A^{-1}y}$ 线性相关^[1]

若${\displaystyle \displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1}$ ，则${\displaystyle \displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}}$ ^[2]

设 ${\displaystyle f(z)}$ 在区域${\displaystyle D}$ 及其边界上解析，${\displaystyle a}$ 为${\displaystyle D}$ 内一点，以${\displaystyle a}$ 为圆心做圆周 ${\displaystyle C_{R}:|z-a|=R}$ ，只要${\displaystyle C_{R}}$ 及其内部${\displaystyle G}$ 均被${\displaystyle D}$ 包含，则有：

${\displaystyle \left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)}$

其中，M是${\displaystyle |f(z)|}$ 的最大值，${\displaystyle M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|}$ 。

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}$ ^[3]

${\displaystyle m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }}$ ^[4]

• 三角不等式
• 內積空間