擴展實數線
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擴展實數線又稱廣義實數(英語:extended real number),由實數線加上和得到(注意和并不是实数),写作、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時,符號 +∞常簡寫成∞。扩展的實數線在研究数学分析,特别是积分时非常有用。
扩展编辑
对任意实数 ,定义 ,扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质,就是其所有子集都有上确界和下确界:这是一个完备格。全序关系在 上引入了拓扑。在这个拓扑中,集合 是 的邻域,当且仅当它包含集合 ,这里 是某个实数。 的邻域类似。 是个紧致的豪斯多夫空间,与单位区间 同胚。
上的算术运算可以部分地扩展到 ,如下:
通常不定义 , 。同时 也不定义为 (因為這樣忽視了 ),这些规则是根据无穷极限的性质确定的。
性质编辑
经过上述定义,扩展的实数轴仍有很多实数的性质:
- 和 相等或同时没有定义。
- 和 相等或同时没有定义。
- 和 相等或同时没有定义。
- 和 相等或同时没有定义。
- 和 若都有定义则相等。
- 若 且 和 都有定义,则 。
- 若 且 且 和 都有定义,则 。
通常只要表达式都有定义,所有算术性质在 上都成立。
使用极限,一些函数可以自然地扩展到 。例如可以定义 等。
参见编辑
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