捨入誤差

把一个浮点数在计算机中表示，可能会引起误差，这样的误差叫做表示误差。例如：

增加数字位数可以减少可能会产生的舍入误差，但是位数是有限的，在表示无限浮点数时仍然会产生误差。在用常规方法表示浮点数的情况下，这种误差是不可避免的，但是可以通过设置警戒位来减小。

多步舍入会增加舍入误差，例如数字9.945309在输入时被舍入到小数点后两位 (9.95)，显示时再舍入到小数点后一位 (10.0)，舍入误差是0.054691。如果原来的数只经过一步舍入到小数点后一位 (9.9)，舍入误差仅为0.045309。

IEEE二进制浮点数算术标准中定义了以下几种舍入规则:

• 朝0方向舍入: 即截尾，直接将需要精确的位数以后的数位舍去。

0.142857 ≈ 0.142 (将小数点后第3位以后的数位全部舍去)

• 舍入到最接近: 即四舍五入，结果可能会变大或变小。

0.142857 ≈ 0.143 (因小数点后第4位${\displaystyle 8\geq 5}$ ，所以小数点后第3位加1)

0.142857 ≈ 0.14 (因小数点后第3位${\displaystyle 2<5\!\ }$ ，所以直接舍去)

• 朝-∞方向舍入: 总是向数轴的左方向舍入。
• 朝+∞方向舍入: 总是向数轴的右方向舍入。

• 1990年2月25日，海湾战争期间，在沙特阿拉伯宰赫兰的爱国者导弹防御系统因浮点数舍入错误而失效，该系统的计算机精度仅有24位，存在0.0001%的计时误差，所以有效时间阙值是20个小时。当系统运行100个小时以后，已经积累了0.3422秒的误差。这个错误导致导弹系统不断地自我循环，而不能正确地瞄准目标。结果未能拦截一枚伊拉克飞毛腿导弹，飞毛腿导弹在军营中爆炸，造成28名美国陆军死亡。^{[1] [2]}

• 1996年6月4日，在亚利安五号运载火箭发射后37秒，偏离预定轨道而炸毁。原因是软件系统试图将64位浮点数转换为16位浮点数，造成溢出错误。^[1]

• 温哥华证券交易所曾开发了一项股票指数. 当其在1982年推出时，指数的值是1000.000。在后来的重新计算时多次运用舍入到小数点后三位的操作。22个月以后，指数的值是524.881，然而事实上应该是1009.811。^[1]

• （英文）MathWorld上关于舍入误差 （页面存档备份，存于互联网档案馆）的解释
• （英文）D. Goldberg. 计算机科学家必备的浮点运算知识 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）20个著名的软件灾难 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 浮点数
• 数值修约规则