弱微分

命${\displaystyle u}$ 是一个在${\displaystyle L^{1}([q,p])\ }$ 中的勒贝格可积的函数，称${\displaystyle v\in L^{1}([q,p])}$ 是${\displaystyle u}$ 的一个弱微分，如果

${\displaystyle \int _{q}^{p}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{q}^{p}v(t)\varphi (t)dt}$

其中${\displaystyle \varphi }$ 是任意一个连续可微的函数，并且满足${\displaystyle \varphi (p)=\varphi (q)=0}$ 。

推广到${\displaystyle n}$ 维的情形，如果${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle v}$ 是${\displaystyle L_{loc}^{1}(U)}$ 中的函数（在某个开集${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ 中局部可积），并且${\displaystyle \alpha }$ 是一个多重指标，那么${\displaystyle v}$ 称为${\displaystyle u}$ 的${\displaystyle \alpha }$ 次弱微分，如果

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi }$

其中${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$ 是一个任意给定的函数，即给定的支撑集含于${\displaystyle U}$ 的无穷可微的函数。

如果${\displaystyle u}$ 的弱微分存在，一般被记为${\displaystyle D^{\alpha }u}$ 。可以证明，一个函数的弱微分在测度意义是唯一的，即如果有两个不同的弱微分，其仅可能在一个零测集上存在差异。

函數 ${\displaystyle u:[-1,1]\to [0,1]:t\mapsto u(t)=|t|}$ 在 ${\displaystyle t=0}$ 並不可微，但具有以下被稱為符號函數的弱微分：

${\displaystyle v:[-1,1]\to [-1,1]:t\mapsto v(t)={\begin{cases}1\quad &{\textrm {if}}\,t>0\\0\quad &{\textrm {if}}\,t=0\\-1\quad &{\textrm {if}}\,t<0\\\end{cases}}}$

如果两个函数是相同函数的弱导数，那么它们除了在一个勒贝格测度为零的集合上以外相等，也就是说，它们几乎处处相等。如果我们考虑函数的等价类，其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等，那么弱导数是唯一的。

此外，如果u是可微的，那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步，两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。

• 次导数

• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer. 2001: 149. ISBN 3-540-41160-7. 
• Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 1998: 242. ISBN 0-8218-0772-2. 
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. New York: Springer. 2003: 53. ISBN 0-387-95449-X.