廣義相對論中的數學
狹義相對論编辑
在狹義相對論中,微積分、矩陣為其所用到的主要數學工具,配合閔可夫斯基時空的轉換以及勞倫茲不變量的使用,粗略地描述了時、空的性質。當s'座標系在s座標系沿x軸作等速v運動時,其轉換以以下方程表示:
其具有以下不變形式:
或者寫成微分形式
在適當地選取座標系可使
對於牛頓力學中的動量、能量作了以下的修正:
其中
- ,: 為物質在靜止下的質量
能量和動量有以下關係:
廣義相對論编辑
狹義相對論僅限於等速、時空可近似平坦地情況下,然而在討論大尺度且有引力場的情況下,就必須使用廣義相對論。
愛因斯坦認為,慣性坐標系並沒有優於其他坐標系,一切的物理定律應在任何參考座標系下皆成立,所有的變換應都是協變的。因此,在其論文中,大量地使用稱之為張量(Tensor)的數學工具,其方程往往是非線性的,因此很難求解。
數學形式编辑
一小段弧長ds平方的不變式
為度規張量
和 為逆變張量
質點沿測地線運動,測地線方程可以用哈密頓原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推導,以下為測地線方程:
在非歐式空間中,描述空間曲率的張量為黎曼-克里斯多福張量
参考文献编辑
外部連結编辑
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