庫拉托夫斯基閉包公理
定义编辑
- 。
閉包算子需符合以下條件:
- (等冪性)
如果不要求第二个公理即幂等公理,则剩下的公理定义了预闭包算子。
等價的證明编辑
從由閉包算子定義的拓撲空間開始。A 稱為在 是閉合的,若 。亦即,X 的閉集是閉包算子的不動點。
若稱「開集」為其補集為閉集的集合,則所有開集會形成一個拓撲,證明如下:
- 由公理4.可知 為閉集;由公理1.及閉包算子的閉合性可知X 為閉集。因此,X 及 (分別為 及X 的補集)為開集。
- 令X 的子集 (其中 為任意集合)皆為開集,由公理1.及閉集的定義可知 為開集。
- 令X 的子集A 及B 為開集,由公理3.可知 為開集。
相反地,由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外,也可得出下列等價的定義:
兩個拓撲空間之間的函數
稱為連續的,若對所有X 的子集A',
一個點稱之為在 內是接近A 的,若 。
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