帕德近似
(重定向自帕德逼近)
帕德近似(英語:Padé approximant)是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒級數准确,而且当泰勒级数不收敛时,帕德近似往往仍可行,所以多用于在计算机数学中。
例如的泰勒级数
只有在时收敛,不如原函数广泛。
定义编辑
给定自然数m和正整数n, 函数 的[m,n]阶帕德近似为
并且
对于给定的 函数 的[m,n]阶帕德近似是唯一的。
函数 的帕德近似记为
例子编辑
正弦函數编辑
的6+6=12阶泰勒级数展开为
指数函数编辑
与exp(x)本身的泰勒级数展开的前10阶完全等同:
- 又如
雅可比橢圓函數 编辑
第一類 5 階貝塞爾函數 编辑
误差函数编辑
菲涅耳積分 编辑
Maple计算编辑
Maple中
pade(f(x),x,[m,n]);
其中 m,n 分别表示 分子、分母的级数;
参考文献编辑
- Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
- Baker, G. A., Jr. Padé approximant (页面存档备份,存于互联网档案馆), Scholarpedia (页面存档备份,存于互联网档案馆), 7(6):9756.
- Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991
- Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP, Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd, New York: Cambridge University Press, 2007 [2015-02-24], ISBN 978-0-521-88068-8, (原始内容存档于2016-03-03)
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- Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
- Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
- Wynn, P., Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table, Numerische Mathematik, 1966, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562
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