威尔逊定理
定理
威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的,尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理,1771年由拉格朗日首次证明[1]。
在初等数论中,威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为質數的充分必要条件。即:当且仅当为質數时:
证明编辑
充分性编辑
如果 不是質數,那么它的正因数必然包含在整数 中,因此 ,所以不可能得到 。
必要性编辑
若 是質數,取集合 ,则 构成模 乘法的缩系,即任意 ,存在 ,使得:
這幾乎說明 中的元素恰好两两配对。僅有滿足
的元素 是例外。
上式解得
或
其余两两配对,故而
若 不是質數且大于4,则易知有
故而
推論编辑
可以藉此推論 如下:
參考文獻编辑
- ^ Joseph Louis Lagrange. Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers [某條質數新定理的證明]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin). 1771, 2: 125–137 [2021-11-08]. (原始内容存档于2022-05-11) (法语).
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