商环
定義编辑
設 為一環, 為一雙邊理想。定義下述等價關係
令 為其等價類的集合,其中的元素記作 ,其中 是該元素在 上任一代表元。我們可以在 上定義環結構:
以上運算是明確定義的(在第二式中須用到 是雙邊理想)。集合 配合上述運算稱作 對 的商環。根據定義,商映射 是滿的環同態, 為此同態的核。
如果 含單位元 ,則 是 的單位元。
註:若條件弱化為 是左(或右)理想,上述兩式仍可賦予集合 左(或右) -模結構。
例子编辑
性質编辑
商環由下述泛性質唯一決定(至多差一個同構):
- 設 為商同態;對任何環同態 ,若 ,則存在唯一的同態 ,使得 。
事實上,若更設 ,則 是單射。準此, 的同態像無非是 的商環。
理想的性質常與其商環相關,例如當 是交換含幺環時, 是素理想(或極大理想)若且唯若 是整環(或域); 中包含 的理想一一對應於 中的所有理想,此對應由商映射的逆像給出。
文獻编辑
- Serge Lang, Algebra(2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X
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