向量空间的维数
数学中, 向量空间 V 的维数是 V 的基底的势,即基底中向量的个数。向量空间的维数有时也称作哈梅尔维数(Hamel basis)或代数维数以便与其他类型的维数相区别。 向量空间中的所有基底具有相等的势(参阅向量空间的维数定理)。所以向量空间的维数是唯一并确定的. 若F为域, F上的向量空间 V 的维数可记为 dimF(V) 或 [V : F], 读作 " V 在 F 上的维数"。 当上下文中给出明确的F 时, 通常记为 dim(V) .
例子编辑
向量空间 R3 的基底为
因此 dimR(R3) = 3。 广泛来讲, dimR(Rn) = n。更加广泛而言, 对任何的域 F,dimF(Fn) = n .
复数系 C 既是实向量空间又是复向量空间; dimR(C) = 2 以及 dimC(C) = 1. 所以向量空间的维数取决于构成向量空间的域.
只有一个零向量构成的向量空间 {0} 的维数是 0.
维数的性质编辑
如果 W 是 V 的线性子空间, 那么 dim(W) ≤ dim(V).
为证明两个有限维向量空间相等, 通常使用以下公理: 如果 V 是有限维向量空间, W 是 V 的线性子空间, 并且 dim(W) = dim(V), 那么 W = V.
Rn 的标准基底是 {e1, ..., en}, 其中 ei 是单位矩阵的第 i 列.
参阅编辑
参考资料编辑
- Gannon, Terry, Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, 2006, ISBN 0-521-83531-3
外部链接编辑
- MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension(页面存档备份,存于互联网档案馆) at Google Video, from MIT OpenCourseWare
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