合成列
在抽象代數中,合成列是藉著將代數對象(如群、模等等)拆解為簡單的成份,以萃取不變量的方式之一。以模為例,一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次,考慮一組過濾 ,使每個子商 皆為單模;這些單模稱為合成因子, 稱為合成長度,都是 的不變量。亦可考慮 的子模範疇 ,此時 可唯一表為合成因子之和;在此意義下,K-群提供了模的半單化。
合成列未必存在,即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言:若一對象有合成列,則子商的同構類是唯一確定的,至多差一個置換。因此,合成列給出有限群或阿廷模的不變量。
群的情形编辑
設 為群, 的合成列是對應於一族子群
模的情形编辑
固定環 及 -模 。 的合成列是一族子模
其中每個子商 皆為非平凡的單模 。易言之, 是 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 是阿廷環,根據 Hopkins-Levitzki 定理,任何有限生成的 -模皆有合成列。
例子编辑
例子. 考慮 12 階循環群 ,它具有三個相異的合成列
- ,
- ,
合成因子分別為
其間僅差個置換。
若尔当-赫尔德定理编辑
- 定理. 若群 〔或 -模 〕有合成列,則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關,其間至多差一個置換。
略證:以下僅處理模的情形,群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列
若 ,據歸納法假設, 且 與 ( )之間僅差置換。此外 ,故定理成立。
設 。此時必有 。置 ,於是
取 的合成列 ,依上式知
皆為合成列,其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設,若同刪去尾項 ,則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列 的合成因子,至多差個置換。是故定理得證。
參見编辑
- 正規列
- 長度 (模論)
站外連結编辑
- O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov, Composition sequence, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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