史特芬十四面體
史特芬十四面體是一種彈性多面體,由克勞斯·史特芬於1978年發現[1][2]:244-247[3]。這種多面體基於布里卡爾八面體但沒有自相交的面[4]。這個多面體一共有14個三角形面,是最簡單的由非相交面組成的彈性多面體。[5]其遵循強風箱猜想(strong bellows conjecture),這意味著其登不變量在形變過程皆保持不變。[6]
可局部活動的史特芬十四面體 | ||
類別 | 彈性多面體 | |
---|---|---|
對偶多面體 | (未知) | |
性質 | ||
面 | 14 | |
邊 | 21 | |
頂點 | 9 | |
歐拉特徵數 | F=14, E=21, V=9 (χ=2) | |
組成與佈局 | ||
面的種類 | 14個三角形 | |
特性 | ||
彈性 | ||
圖像 | ||
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性質编辑
史特芬十四面體由14個面、21條邊和9個頂點組成。其6個面又可以分成2個子群:來自布里卡爾八面體的6個三角形組,以及將這些三角形組拼起來的另外兩個三角形。[7]
頂點座標编辑
、 亦是未知數,分別可由下列兩組方程組得出:[8]
構成史特芬十四面體的14個三角形分別為 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 。[8]
體積编辑
根據風箱定理[9],多面體的體積必為多項式的根,多項式的係數僅取決於多面體的邊長。由於邊長不會隨著多面體的變形過程改變,因此體積必須保持在多項式的有限個根之一,而不會連續變化[10],因此史特芬十四面體在不同的變化狀態下體積皆保持不變。以上述頂點座標描述的史特芬十四面體為例,雖然其有不少頂點是可變的值,其在所有變化狀態下的體積皆為定值,其值約為200.777立方單位。[8]:6
參見编辑
參考文獻编辑
- ^ Lijingjiao; et al. Optimizing the Steffen flexible polyhedron (PDF). 2015 [2021-09-09]. (原始内容存档 (PDF)于2020-02-15).
- ^ Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0521664059.
- ^ Mackenzie, Dana. Polyhedra can bend but not breathe. Science (American Association for the Advancement of Science). 1998, 279 (5357): 1637–1637.
- ^ Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A. (编), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10.
- ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172
- ^ Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1-2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989 , doi:10.1007/s00022-011-0061-7.
- ^ Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society: 354, 2007 [2021-09-09], ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979, doi:10.1090/mbk/046, (原始内容存档于2017-03-03).
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Mark McClure. Steffen's polyhedron (PDF). marksmath.org. [2021-09-09]. (原始内容存档 (PDF)于2021-10-06).
- ^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068
- ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172
外部連結编辑
- Steffen's Polyhedron (页面存档备份,存于互联网档案馆), Greg Egan
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