控制理論 中的可觀察性 (observability)是指系統 可以由其外部輸出推斷其其內部狀態 的程度。系統的可觀察性和可控制性 是數學上对偶 的概念。可觀察性最早是匈牙利裔工程師鲁道夫·卡尔曼 針對線性動態系統提出的概念[1] [2] 。若以信號流圖 來看,若所有的內部狀態都可以輸出到輸出信號,此系統即有可觀察性。
一系統的信號流圖 ,其狀態X1 , X2 都連到輸出Y,因此系統具有可觀察性 定義 编辑
若以正式的定義來看,一系統具有可觀察性若且唯若,針對所有的狀態向量 及控制向量[需要解释 ] ,都可以在有限時間內,只根據輸出信號來識別目前的狀態(此定義比較接近狀態空間的表示方式)。比較不正式的說法,就表示可以根據系統輸出來判斷整個系統的行為。若系統不可觀察,表示其中部份狀態的值無法透過輸出信號來判定。這也表示控制器無法知道這個狀態的值(此時就要透過其他的估測技術才能知道其狀態)。
在用狀態空間表示的线性时不变系统 中,有一個簡單的方式來確認系統是否可觀測。考慮一個有 n {\displaystyle n} 個狀態的單一輸入單一輸出系統 ,若以下可觀測性矩陣(observability matrix)中的行秩
O = [ C C A C A 2 ⋮ C A n − 1 ] {\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}} 等於 n {\displaystyle n} ,則此系統為可觀測系統。此一測試的原理是若 n {\displaystyle n} 個行是線性獨立的,則 n {\displaystyle n} 個狀態可以透過輸出變數 y ( k ) {\displaystyle y(k)} 的線性組合來得知。
有些系統會利用對輸出的量測來估計系統的狀態,這類功能的模組稱為狀態觀測器 (state observer)或簡稱為觀測器(observer)。
可觀測性指數 线性时不变系统的可觀測性指數(Observability index) v {\displaystyle v} 是滿足 rank ( O v ) = rank ( O v + 1 ) {\displaystyle {\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v+1})}} 的最小自然數,其中
O v = [ C C A C A 2 ⋮ C A v − 1 ] . {\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.} 不可觀測子空間 線性系統(A,,C)不可觀測子空間N是線性映射G的核 [3]
G : R n → C ( t 0 , t 1 ; R n ) {\displaystyle G:R^{n}\rightarrow {\mathcal {C}}(t_{0},t_{1};R^{n})} x 0 ↦ C Φ ( t 0 , t 1 ) x 0 {\displaystyle x_{0}\mapsto C\Phi (t_{0},t_{1})x_{0}} ,其中 C ( t 0 , t 1 ; R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(t_{0},t_{1};R^{n})} 是連續函數 f : [ t 0 , t 1 ] → R n {\displaystyle f:[t_{0},t_{1}]\to R^{n}} 的集合,且 Φ ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle \Phi (t_{0},t_{1})} 是和A相關的狀態傳遞矩陣。
若(A,,C)是自主系統(autonomous system),N可以改寫為[3]
N = ⋂ k = 0 n − 1 ker ( C A k ) = ker O {\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}} 例子:考慮以下的A和C:
A = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}} , C = [ 0 1 ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\\end{bmatrix}}} .若可觀測性矩陣定義為 O := ( C T | A T C T ) T {\displaystyle {\mathcal {O}}:=(C^{T}|A^{T}C^{T})^{T}} ,可以計算如下:
O = [ 0 1 0 1 ] {\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}} 因此可以計算可觀測性矩陣的核。
O v = 0 {\displaystyle {\mathcal {O}}v=0}
[ 0 1 0 1 ] [ v 1 v 2 ] = [ 0 0 ] → v = [ v 1 0 ] → v = v 1 [ 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v1\\v2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\to v={\begin{bmatrix}v1\\0\end{bmatrix}}\to v=v1{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} K e r ( O ) = N = s p a n { [ 1 0 ] } {\displaystyle Ker({\mathcal {O}})=N=span\{{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\}}
若Rank( O {\displaystyle {\mathcal {O}}} )=n,n為可觀測性矩陣中獨立行的個數,表示系統可觀測。在此例中det( O {\displaystyle {\mathcal {O}}} )=0,因此Rank( O {\displaystyle {\mathcal {O}}} )<n,此系統不可觀測。
因為不可觀測子空間為 R n {\displaystyle R^{n}} 的子空間,因此以下的性質成立:[3]
N ⊂ K e ( C ) {\displaystyle N\subset Ke(C)} A ( N ) ⊂ N {\displaystyle A(N)\subset N} N = ⋃ { S ⊂ R n ∣ S ⊂ K e ( C ) , A ( S ) ⊂ N } {\displaystyle N=\bigcup {\{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}} 可偵測性 可偵測性(detectability)是比可觀測性略弱一些的條件。若系統內所有不可偵測的狀態都是穩定的,此系統即具有可偵測性[4] 。
線性時變系統 编辑
考慮連續時間 下的線性 時變系統
x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) . {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,} 若 t ∈ [ t 0 , t 1 ] ; {\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];} 的時間內, A , B {\displaystyle A,B} 和 C {\displaystyle C} 矩陣都已知,而輸入及輸出 u {\displaystyle u} 和 y {\displaystyle y} 也都已知,可以透過一個額外在 M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 核 之內的向量來確認 x ( t 0 ) {\displaystyle x(t_{0})} , M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 定義如下
M ( t 0 , t 1 ) = ∫ t 0 t 1 ϕ ( t , t 0 ) T C ( t ) T C ( t ) ϕ ( t , t 0 ) d t {\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\phi (t,t_{0})dt} 其中 ϕ {\displaystyle \phi } 為狀態轉換矩陣 。
若 M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 為非奇异方阵 ,可以找到一個唯一的 x ( t 0 ) {\displaystyle x(t_{0})} 。而且若 x 1 − x 2 {\displaystyle x_{1}-x_{2}} 是在 M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 的核內,不可能由 x 2 {\displaystyle x_{2}} 找到對應的啟始狀態 x 1 {\displaystyle x_{1}} 。
上述定義的 M {\displaystyle M} 有以下的特性:
M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 為對稱矩陣 M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 在 t 1 ≥ t 0 {\displaystyle t_{1}\geq t_{0}} 時,為半正定矩阵 M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 滿足線性矩陣微分方程 d d t M ( t , t 1 ) = − A ( t ) T M ( t , t 1 ) − M ( t , t 1 ) A ( t ) − C ( t ) T C ( t ) , M ( t 1 , t 1 ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0} M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 滿足以下方程 M ( t 0 , t 1 ) = M ( t 0 , t ) + ϕ ( t , t 0 ) T M ( t , t 1 ) ϕ ( t , t 0 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\phi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\phi (t,t_{0})} [5] 可觀測性 编辑 系統在[ t 0 {\displaystyle t_{0}} , t 1 {\displaystyle t_{1}} ]可觀測,若且唯若在存在區間[ t 0 {\displaystyle t_{0}} , t 1 {\displaystyle t_{1}} ] \in R {\displaystyle \mathbb {R} } ,使得矩陣 M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} 為非奇异方阵。
若 A ( t ) , C ( t ) {\displaystyle A(t),C(t)} 可解析,則系統在[ t 0 {\displaystyle t_{0}} , t 1 {\displaystyle t_{1}} ]可觀測的條件是存在 t ¯ ∈ [ t 0 , t 1 ] {\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]} 以及正數k使得[6]
r a n k [ N 0 ( t ¯ ) N 1 ( t ¯ ) : N k ( t ¯ ) ] = n , {\displaystyle rank{\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&:&\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,} 其中 N 0 ( t ) := C ( t ) {\displaystyle N_{0}(t):=C(t)} ,而 N i ( t ) {\displaystyle N_{i}(t)} 可用以下方式遞迴定義
N i + 1 ( t ) := − N i ( t ) A ( t ) − d d t N i ( t ) , i = 0 , … , k − 1 {\displaystyle N_{i+1}(t):=-N_{i}(t)A(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1} 例子 编辑 考慮一個在 ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} 內解析的時變系統,矩陣為
A ( t ) = [ t 1 0 0 t 3 0 0 0 t 2 ] {\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}} , C ( t ) = [ 1 0 1 ] . {\displaystyle C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.} 則 [ N 0 ( 0 ) N 1 ( 0 ) N 2 ( 0 ) ] = [ 1 0 1 0 − 1 0 1 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}} ,因為矩陣的秩為3,因此在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 內所有非平凡區間內都是可控制的。
非線性系統 编辑
假設系統 x ˙ = f ( x ) + ∑ j = 1 m g j ( x ) u j {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}} , y i = h i ( x ) , i ∈ p {\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p} ,其中 x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} 為狀態向量, u ∈ R m {\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}} 為輸入向量,而 y ∈ R p {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}} 為輸出向量。 f , g , h {\displaystyle f,g,h} 都是光滑的向量場。
定義可觀測空間 O s {\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}} 為包括所有李导数 及多重李导数的空間。此空間在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 可觀測若且唯若 dim ( d O s ( x 0 ) ) = n {\displaystyle {\textrm {dim}}(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n} 。
註 d O s ( x 0 ) = s p a n ( d h 1 ( x 0 ) , … , d h p ( x 0 ) , d L v i L v i − 1 , … , L v 1 h j ( x 0 ) ) , j ∈ p , k = 1 , 2 , … . {\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\mathrm {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .} [7]
Griffith及Kumar,[8] 、Kou、Elliot及Tarn[9] 及Singh[10] 是早期發展非線性動態系統的可觀測性準則的先驅。
靜態系統及一般拓撲空間 编辑 相關條目 编辑 參考資料 编辑
^ Kalman R. E., "On the General Theory of Control Systems", Proc. 1st Int. Cong. of IFAC, Moscow 1960 1481, Butterworth, London 1961. ^ Kalman R. E., "Mathematical Description of Linear Dynamical Systems", SIAM J. Contr. 1963 1 152 ^ 3.0 3.1 3.2 Sontag, E.D., "Mathematical Control Theory", Texts in Applied Mathematics, 1998 ^ 存档副本 (PDF) . [2017-10-21 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2019-06-10). ^ Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems . John Wiley & Sons. 1970. ISBN 978-0-471-10585-5 . ^ Eduardo D. Sontag, Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. ^ Lecture notes for Nonlinear Systems Theory by prof. dr. D.Jeltsema, prof dr. J.M.A.Scherpen and prof dr. A.J.van der Schaft. ^ Griffith E. W. and Kumar K. S. P., "On the Observability of Nonlinear Systems I, J. Math. Anal. Appl. 197135 135 ^ Kou S. R., Elliott D. L. and Tarn T. J. Observability of nonlinear systems. Information and Control, 22:89–99, 1973 ^ Singh S.N., "Observability in Non-linear Systems with immeasurable Inputs, Int. J. Syst. Sci., 6 723, 1975 ^ Stanley G.M. and Mah, R.S.H., "Observability and Redundancy in Process Data Estimation, Chem. Engng. Sci. 36, 259 (1981) (PDF) . [2017-10-25 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2020-01-26). ^ Stanley G.M., and Mah R.S.H., "Observability and Redundancy Classification in Process Networks", Chem. Engng. Sci. 36, 1941 (1981) (PDF) . [2017-10-25 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2017-08-10). 外部連結 编辑