可测函数
正式定義编辑
重要範例编辑
實可測函數编辑
取本節定義中的 為实数系 ,然後取:
換句話說, 是由實數開區間所生成的博雷爾代數(注意到 本身是個拓扑基),那麼這樣的 - 可測函數 ,通常會簡稱為 - 實可測函數;甚至簡稱為實可測函數。概率论裡的随机变量就是實可測函數。
博雷爾函数编辑
換句話說, 是由 上开集所生成的博雷爾代數; 是由 上开集所生成的博雷爾代數,那這樣 - 可测函数 又称为 - 博雷爾函数(Borel function)。
可测函数的性质编辑
證明 |
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以下將逐條檢驗 是否符合σ代數的定義 (1) 因為: 所以 。 (2) ,則 若 ,因為: 所以 。 (3)可數個并集仍在 中 若 ,那因為: 所以 。 綜上所述, 的確是 的σ代數。 |
證明 |
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(1 2) 若對所有 都有: 換句話說: 那根據本節之定理(1)和最小σ代数 的定義有: 換句話說,只要 就有 ,故 是 - 可測函數。 (2 1) 若對所有 都有 ,換句話說: 這樣的話,的確可以從 推出 。 |
證明 |
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根據定理(2), 為 - 可測函數等價於:
但因為 為 - 连续函數,故:
但 又為 - 可測函數,故可以得到 ,所以本定理得証。 |
勒贝格可测函数编辑
勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R,使得对于每一个实数a,集合
都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。
不可测函数编辑
参见编辑
- 可测函数的向量空间: 空间
- 保测动态系统
参考文献编辑
- ^ Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.
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