動量算符

對於一個非相對論性的自由粒子，位勢 ${\displaystyle V(x)=0\,\!}$ ，不含時薛丁格方程式表達為

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \psi (x)=E\psi (x)\,\!}$ 。

其中，${\displaystyle \hbar \,\!}$ 是約化普朗克常數，${\displaystyle m\,\!}$ 是粒子的質量，${\displaystyle \psi (x)\,\!}$ 是粒子的波函數，${\displaystyle x\,\!}$ 是粒子的位置，${\displaystyle E\,\!}$ 是粒子的能量。

這薛丁格方程式的解答 ${\displaystyle \psi _{k}(x)\,\!}$ 是一個平面波：

${\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle k\,\!}$ 是波數，${\displaystyle k^{2}=2mE/\hbar ^{2}\,\!}$ 。

根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是

${\displaystyle p=\hbar k\,\!}$ 。

自由粒子具有明確的動量 ${\displaystyle p\,\!}$ ，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$ 。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 ${\displaystyle p\,\!}$ ，那麼，不確定性 ${\displaystyle \sigma _{p}=0\,\!}$ ，這自由粒子的量子態是確定態，是 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$ 的本徵態，在位置空間(position space)裏，本徵函數為 ${\displaystyle \psi _{k}\,\!}$ ，本徵值為 ${\displaystyle p\,\!}$ ：

${\displaystyle {\hat {p}}\psi _{k}(x)=p\psi _{k}(x)\,\!}$ 。

換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 ${\displaystyle \psi _{k}(x)\,\!}$ ^[1]。

為了要達到此目標，勢必要令

${\displaystyle {\hat {p}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi _{k}(x)\,\!}$ 。

所以，可以認定動量算符的形式為

${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!}$ 。

在古典力學裏，動量是質量乘以速度：

${\displaystyle p=mv=m{\frac {dx}{dt}}\,\!}$ 。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現^[2]：

${\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\!}$ 。

那麼，用積分方程式來表達，

${\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \Psi (x,\,t)\,\!}$ 是波函數。

取微分於積分號下，

${\displaystyle \langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial x}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!}$ 。

由於 ${\displaystyle x\,\!}$ 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關，

${\displaystyle \langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!}$ 。(1)

含時薛丁格方程式為

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi \,\!}$ ；

其中， ${\displaystyle V\,\!}$ 是位勢。

其共軛複數為

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}-V\Psi ^{*}\,\!}$ 。

將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle p\rangle &={\frac {m}{i\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -V\Psi ^{*}x\Psi -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+\Psi ^{*}xV\Psi \right)dx\\&={\frac {\hbar }{i2}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\right)dx\\\end{aligned}}\,\!}$ 。

使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数${\displaystyle \Psi \,\!}$ 趋于零的特性，有

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi \ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi \ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!}$ ，(2)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!}$ 。(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数${\displaystyle \Psi \,\!}$ 趋于零的特性）

${\displaystyle (2)-(3)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left(-{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right)dx=2\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!}$ 。

所以，

${\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi \ dx\,\!}$ 。

對於任意波函數 ${\displaystyle \Psi \,\!}$ ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$ 為 ${\displaystyle {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!}$ 。

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 ${\displaystyle O\,\!}$ 的期望值是實值的：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!}$ 。

對於任意量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ ，這關係都成立：

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!}$ 。

根據伴隨算符的定義，假設 ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ 是 ${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ 的伴隨算符，則 ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$ 。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 ${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ ，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ 的波函數為 ${\displaystyle \psi (x)\,\!}$ ，

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right)\psi \ dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \\\end{aligned}}}$ 。

對於任意量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ ，${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!}$ 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

假設，動量算符 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$ 的本徵值為 ${\displaystyle p\,\!}$ 的本徵函數是 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$ ：

${\displaystyle {\hat {p}}f_{p}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial f_{p}(x)}{\partial x}}=pf_{p}(x)\,\!}$ 。

這方程式的一般解為，

${\displaystyle f_{p}(x)=f_{0}e^{ipx/\hbar }\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle f_{0}\,\!}$ 是常數。

假設 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$ 的定義域是一個有限空間，從 ${\displaystyle x=-L\,\!}$ 到 ${\displaystyle x=L\,\!}$ ，那麼，可以將 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$ 歸一化：

${\displaystyle \int _{-L}^{L}\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-L}^{L}\ dx=|f_{0}|^{2}2L=1\,\!}$ 。

${\displaystyle f_{0}\,\!}$ 的值是 ${\displaystyle 1/{\sqrt {2L}}\,\!}$ 。動量算符的本徵函數歸一化為 ${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{\sqrt {2L}}}e^{ipx/\hbar }\,\!}$ 。

假設 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$ 的定義域是無窮大空間，則 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$ 不是一個平方可積函數：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ dx=\infty \,\!}$ 。

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分 ${\displaystyle |f_{p}(x)|^{2}\,\!}$ 於無窮大空間，來使 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$ 歸一化。

換另一種方法，設定 ${\displaystyle f_{0}=1/{\sqrt {2\pi \hbar }}\,\!}$ 。那麼，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p1}^{*}(x)f_{p2}(x)\ dx={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i(p1-p2)x/\hbar }\ dx=\delta (p1-p2)\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \delta (p1-p2)\,\!}$ 是狄拉克δ函數。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，動量算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數 ${\displaystyle \psi (x)\,\!}$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

${\displaystyle \psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }c(p)f_{p}(x)\ dp={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }c(p)e^{ipx/\hbar }\ dp\,\!}$ ；

其中，係數 ${\displaystyle c(p)\,\!}$ 是

${\displaystyle c(p)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{p}^{*}(x)\psi (x)\ dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{-ipx/\hbar }\ dx\,\!}$ 。

位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：

${\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi \,\!}$ 。

所以，${\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar \,\!}$ 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。${\displaystyle {\hat {x}}\,\!}$ 與 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，${\displaystyle {\hat {x}}\,\!}$ 的本徵態與 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

${\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|\,\!}$ 。

由於 ${\displaystyle x\,\!}$ 與 ${\displaystyle p\,\!}$ 是兩個不相容可觀察量，${\displaystyle \left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2\,\!}$ 。所以，${\displaystyle x\,\!}$ 的不確定性與 ${\displaystyle p\,\!}$ 的不確定性的乘積 ${\displaystyle \Delta x\ \Delta p\,\!}$ ，必定大於或等於 ${\displaystyle \hbar /2\,\!}$ 。