常系数线性微分算子 编辑 设 u {\displaystyle u} 为一个定义在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的紧支撑 的光滑函数 ,考虑下面的常数 系数微分算子:
P ( D ) := ∑ α c α D α {\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\,D^{\alpha }} 利用傅立叶变换 ,可以将这个微分算子用另外一种等价的形式表达:
首先将这个算子的傅立叶变换写出,
P ( ξ ) = ∑ α c α ξ α {\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\,\xi ^{\alpha }} 注意这里已经将微分变换为频率域 中的乘法 ,所以整个算子的傅立叶变换成为一个频率域中的多项式 。我们一般称其为一个符号 (symbol )。
这个符号的傅立叶逆变换为
( 1 ) P ( D ) u ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ R n ∫ R n e i ( x − y ) ξ P ( ξ ) u ( y ) d y d ξ {\displaystyle (1)\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)dyd\xi } 注意,上面的 α = ( α 1 , … , α n ) ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}} 表示了一个多重指标 ,而 D α {\displaystyle D^{\alpha }} 则是利用这个多重指标定义的一个微分算子,具体可以写为 D α = ( − i ∂ 1 ) α 1 … ( − i ∂ n ) α n {\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\dots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}} ,其中 ∂ j {\displaystyle \partial _{j}} 表示对第 j {\displaystyle j} 个变量的微分。另外,各个系数 C α {\displaystyle C_{\alpha }} 都是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中的常数。
从 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 中不难发现,一个微分算子可以用它的傅立叶变换表示出来。类似地,一个伪微分算子 也可以这样定义:
( 2 ) P ( x , D ) u ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ R n ∫ R n e i ( x − y ) ξ P ( x , ξ ) u ( y ) d y d ξ {\displaystyle (2)\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi } ,与 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 的区别在于,这里的 P ( x , ξ ) {\displaystyle P(x,\xi )} 可以是一个更一般的函数。
式(1)是如何得到的 编辑 如上选取的 u {\displaystyle u} ,其傅立叶变换为
u ^ ( ξ ) := ∫ e − i y ξ u ( y ) d y {\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)dy} 而从傅立叶逆变换公式可以知道
u ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ e i x ξ u ^ ( ξ ) d ξ = 1 ( 2 π ) n ∫ ∫ e i ( x − y ) ξ u ( y ) d y d ξ {\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }u(y)dyd\xi } 将 P ( D ) {\displaystyle P(D)} 应用于这个 u {\displaystyle u} ,则有
P ( D x ) e i ( x − y ) ξ = e i ( x − y ) ξ P ( ξ ) {\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )} 由此就得到了 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 。
利用伪微分算子表示偏微分方程的解 编辑 为了求解方程
P ( D ) u = f {\displaystyle P(D)\,u=f} 我们可以形式地将傅立叶变换应用于方程两边,从而得到一个代数的 方程
P ( ξ ) u ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ ) {\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )} .如果符号 P ( ξ ) {\displaystyle P(\xi )} 对于任何 ξ ∈ R n {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}} 都不是 0 {\displaystyle 0} ,那么除以 P ( ξ ) {\displaystyle P(\xi )} 后则有
u ^ ( ξ ) = 1 P ( ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )} 由傅立叶逆变换公式,则可以得到一个解
u ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ e i x ξ 1 P ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ {\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )d\xi } .请注意我们的假设:
P ( D ) {\displaystyle P(D)} 是一个常 系数的微分算子。它的符号 P ( ξ ) {\displaystyle P(\xi )} 永远不为 0 {\displaystyle 0} 。 u {\displaystyle u} 和 f {\displaystyle f} 都有傅立叶变换。最后一个条件可以利用和分佈 相关的定理减弱(这里的分布不是统计中的分布,而是分析中的概念),而前面两个条件则可以利用如下的方法减弱:
将 f {\displaystyle f} 的傅立叶变换写出可以得到
u ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ ∫ e i ( x − y ) ξ 1 P ( ξ ) f ( y ) d y d ξ {\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)dyd\xi } .此式的形式与 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 非常相似,区别仅在 1 P ( ξ ) {\displaystyle {\frac {1}{P(\xi )}}} 不是一个多项式函数,而是一个更一般的函数,因此引出下面的主题:
符号类和伪微分算子 编辑 我们核心的目的是通过公式 ( 1 ) {\displaystyle (1)} ,在允许使用更一般的 P ( x , ξ ) {\displaystyle P(x,\xi )} 的条件下,定义算子 P ( x , D ) {\displaystyle P(x,D)} :
P ( x , D ) u ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ R n ∫ R n e i ( x − y ) ξ P ( x , ξ ) u ( y ) d y d ξ . {\displaystyle P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi .} 因此假设 P ( x , ξ ) {\displaystyle P(x,\xi )} 属于某个特定的符号类 。
例如,如果 P ( x , ξ ) {\displaystyle P(x,\xi )} 是一个 R n × R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}} 上无限可微的函数,并且对于所有 x , ξ {\displaystyle x,\xi } 和所有多重指标 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } ,以及某些给定的常数 C α , β {\displaystyle C_{\alpha ,\beta }} ,给定的实数 m {\displaystyle m} , P {\displaystyle P} 都满足
| ∂ ξ α ∂ x β P ( x , ξ ) | ≤ C α , β ( 1 + | ξ | ) m − | α | {\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}} 那么 P {\displaystyle P} 就属于一个Hörmander类 ,我们将它记为 S 1 , 0 m {\displaystyle S_{1,0}^{m}} 。
而对应的算子 P ( x , D ) {\displaystyle P(x,D)} 则被称为一个 m {\displaystyle m} 阶的伪微分算子 ,并且属于 Ψ 1 , 0 m {\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}} 类。