仿紧空间
仿紧空间,数学中,仿紧空间是指一类拓扑空间,他们的每个开覆盖都有局部有限的(开)加细(精细化)。这类空间的概念于1944年由Dieudonné引入 。每个紧致空间都是仿紧的。每个仿紧的豪斯多夫空间都是正规的。一个豪斯多夫空间是仿紧的当且仅当其任意开覆盖都可以单位分解。仿紧空间有时也被要求为豪斯多夫的。
仿紧空间的任意闭子空间是仿紧的。豪斯多夫空间的紧子集是闭的,但是对仿紧子集不成立。如果一个空间的任意子空间都是仿紧的,则其称为hereditarily paracompact,这等价于要求其每个开子空间是仿紧的。
仿紧性编辑
集合 的一个覆盖,是指 的一个子集族,并且 包含于这族集合的并集。设 是 的一族子集, 为子集的指标集, 若 ,则称 是 的覆盖;若每个 都是开的,则称 是 的一个开覆盖,即 的覆盖 中每个成员都是开的。
的一个开覆盖是局部有限的当且仅当X中的每一点存在一个邻域,其只与这覆盖中的有限个成员相交。用数学符号来说, 是局部有限的当且仅当任意 中的一点 ,存在一个邻域 ,使得 是有限的。
例子编辑
- 每个紧致空间都是仿紧的。
- 每个 CW 复形都是仿紧的[1]。
- “A. H. Stone 定理”: 每个度量空间都是仿紧的。[2] 早期的证明较为繁复,一个基础的证明可参见 M. E. Rudin.[3] 对不可分的情形,已有的证明依赖于选择公理。 此外无论 ZF theory 或 ZF 理论外加独立选择公理都是不充分的[4]。
一些非仿紧空间的例子:
- Prüfer 流形是非仿紧的曲面
参考文献编辑
- ^ Hatcher, Allen, Vector bundles and K-theory, preliminary version available on the author's homepage (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ Stone, A. H. Paracompactness and product spaces[永久失效連結]. Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 977-982
- ^ Rudin, Mary Ellen. A new proof that metric spaces are paracompact (页面存档备份,存于互联网档案馆). Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.
- ^ C. Good, I. J. Tree, and W. S. Watson. On Stone's Theorem and the Axiom of Choice (页面存档备份,存于互联网档案馆). Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 126, No. 4. (April, 1998), pp. 1211–1218.
- Dieudonné, Jean, Une généralisation des espaces compacts, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 1944, 23: 65–76, ISSN 0021-7824, MR 0013297
- Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology (2 ed), Springer Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7. P.23.
- Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6. (Dover edition).
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