仿射密碼

於仿射加密中，大小為 ${\displaystyle m}$ 之字母系統首先對應至 ${\displaystyle 0..m-1}$ 範圍內之數值， 接著使用模算數來將原文件中之字母轉換為對應加密文件中的數字。單一字母的加密函數為

${\displaystyle {\mbox{E}}(x)=(ax+b)\mod {m},}$

取餘 ${\displaystyle m}$ 為字母系統大小且 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 為密碼關鍵值。 ${\displaystyle a}$ 之值必須使得 ${\displaystyle a}$ 與 ${\displaystyle m}$ 互質. 解密方程為

${\displaystyle {\mbox{D}}(x)=a^{-1}(x-b)\mod {m},}$

此處 ${\displaystyle a^{-1}}$ 為 ${\displaystyle a}$ 取模 ${\displaystyle m}$ 之模反元素 of I.e., 滿足等式

${\displaystyle 1=aa^{-1}\mod {m}.}$

${\displaystyle a}$ 之乘法逆元素僅存在於 ${\displaystyle a}$ 與 ${\displaystyle m}$ 互質條件下。 由此，沒有 ${\displaystyle a}$ 的限制，可能無法解密。易知解密方程逆於加密方程。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{D}}({\mbox{E}}(x))&=a^{-1}({\mbox{E}}(x)-b)\mod {m}\\&=a^{-1}(((ax+b)\mod {m})-b)\mod {m}\\&=a^{-1}(ax+b-b)\mod {m}\\&=a^{-1}ax\mod {m}\\&=x\mod {m}.\end{aligned}}}$

因爲仿射密碼仍爲單字母表密碼, 其依舊保留了該類別加密之弱處。當 ${\displaystyle a=1}$ ，仿射加密為 凱撒密碼 ，因該加密方程可簡化為線性移動。考慮加密英文。(即： ${\displaystyle m=26}$ )，不計26易凱薩密碼，總共有286非易仿射密碼。此數值是由於小於26之數中有12數與26互質。 (${\displaystyle a}$ 的可能值). ${\displaystyle a}$ 的每個值可有26互異之加法移動( ${\displaystyle b}$ 之值); 因此，共有 12*26 或 312 可能之關鍵值。 因为密码缺少复杂性，根据柯克霍夫原則，这套系统是不安全的。

此密碼之首要弱處為，如果密碼學家可發現(如 頻率分析, 暴力破解, 臆測或任何其他方法) 加密文件兩字元之原文，則關鍵值可透過解一方程組得到。 由於我們知道 ${\displaystyle a}$ 及 ${\displaystyle m}$ 互質，這個事實可被用於快速破解密碼。

仿射密碼中同種的轉換使用於線性同餘方法，為伪随机数生成器中的一種。此產生器不為密码学安全伪随机数生成器，因仿射加密不安全。

在以下一加密一解密的例子中，字母為從Ａ至Ｚ，且在表格中都有對應值。

加密编辑

在加密範例中，^[1] 使用前述表格中各字母對應之數值可知欲加密的原文件為 "AFFINE CIPHER" ，${\displaystyle a}$ 對應5, ${\displaystyle b}$ 對應 8, 而 ${\displaystyle m}$ 對應 26 （因共使用26字母）。其中${\displaystyle a}$ 之值必須與${\displaystyle m}$ 的值26互質，所以其所有可能值包含1、3、5、7、9、11、15、17、19、21、23、25。若${\displaystyle a\neq 1}$ ，則${\displaystyle b}$ 之值可隨機選定（因為b只讓密文值平移而已）。所以，此加密範例的函數為 ${\displaystyle y=E(x)=(5x+8){\pmod {26}}}$ . 加密訊息的首步即為寫出每個字母的數字值。

現在，取x各值並解等式的第一部份， ${\displaystyle (5x+8)}$ 。 得出各字母對應${\displaystyle (5x+8)}$ 的值後，取其對26的餘數。以下表格為加密的首四步驟。

原始文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R
x:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17
${\displaystyle 5x+8}$	8	33	33	48	73	28	18	48	83	43	28	93
${\displaystyle (5x+8){\pmod {26}}}$	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15

加密訊息的最後一部，為查表求得對應字母的數值。 在此範例中，加密文本應為 IHHWVCSWFRCP。 以下表格顯示仿射加密一訊息的完整表格。

原始文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R
x:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17
${\displaystyle 5x+8}$	8	33	33	48	73	28	18	48	83	43	28	93
${\displaystyle (5x+8){\pmod {26}}}$	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15
加密文件:	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P

解密编辑

於此解密範例中，欲解密之加密文件來自加密範例 。其解密方程為 ${\displaystyle {\mbox{D}}(y)=21(y-8){\mbox{ mod }}26}$ ，經過計算， ${\displaystyle a^{-1}}$ 為 21, ${\displaystyle b}$ 為8, ${\displaystyle m}$ 為 26。伊始之時，寫下加密文件中對應各字母之數值，如以下表格所示：

下一步，計算 ${\displaystyle 21(y-8)}$ ，再取結果除以26的餘數。以下表格顯示兩者計算後的結果。

解密的最後一部，藉由表格將數值轉回字母。解密的原始文件為 AFFINECIPHER。 以下為完成解密後的表格：

全數字母加密编辑

為求加解密更快速，可加密全數字母以將原文件之字母一對一對應至加密文件。此範例中，一對一映射如下：

程式實例编辑

用 Python 程式語言，以下代碼可用於加密羅馬字母Ａ至Ｚ。

# 列印仿射密碼的字母表。# a必須與m互質def affine(a, b):    for i in range(26):        print chr(i+65) + ": " + chr(((a*i+b)%26)+65)# 調用函數的例子affine(5, 8)

或者以Java作例:

public void Affine(int a, int b){    for (int num = 0; num < 26; num++)      System.out.println(((char)('A'+num)) + ":" + ((char)('A'+(a*num + b)% 26)) );}Affine(5,8)

或於 Pascal:

Procedure Affine(a,b : Integer);  begin    for num := 0 to 25 do      WriteLn(Chr(num+65) , ': ' , Chr(((a*num + b) mod 26) + 65);  end;begin  Affine(5,8)end.

在 PHP的實現:

function affineCipher($a, $b) {    for($i = 0; $i < 26; $i++) {        echo chr($i + 65) . ' ' . chr(65 + ($a * $i + $b) % 26) . '<br>';    }}affineCipher(5, 8);

• 仿射變換
• 凱撒密碼：${\displaystyle a=1}$ 的特殊情況
• Atbash code
• ROT13

• 在线仿射密码计算器^{[永久失效連結]} （英文）