三角积分

有两种不同的正弦积分：

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)\,}$ 是${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}$ 的原函数，当${\displaystyle x=0\,}$ 时为零；${\displaystyle {\rm {si}}(x)\,}$ 是${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}$ 的原函数，当${\displaystyle x=\infty }$ 时为零。我们有：

${\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}$

注意到${\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}$ 是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。

有两种不同的余弦积分：

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

其中${\displaystyle \gamma }$ 是欧拉-马斯刻若尼常数.

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)\,}$ 是${\displaystyle {\frac {\cos x}{x}}}$ 的原函数，当${\displaystyle x\to \infty }$ 时为零。我们有：

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}$

${\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}$

有各种各样的展开式，可以用于计算三角积分。

渐近展开式编辑

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

这些级数是发散的，但可以用来估计，甚至是精确计算三角积分。

收敛级数编辑

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }$

这些级数对于任何复数的${\displaystyle ~x~}$ 都是收敛的，但当${\displaystyle |x|\gg 1}$ 时，计算非常缓慢，也不是很精确。

函数

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t~~,~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}$

称为指数积分，与正弦和余弦积分有以下的关系：

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}$

• 指数积分
• 对数积分

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See Chapter 5）（页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • 第5.2节，正弦和余弦积分（页面存档备份，存于互联网档案馆）