雅可比Θ函數 编辑
雅可比Θ函數取二變量 z {\displaystyle z\,} 與 τ {\displaystyle \tau \,} ,其中 z {\displaystyle z\,} 為任何複數 ,而 τ {\displaystyle \tau \,} 為上半複平面 上一點;此函數之定義為:
ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e ( π i n 2 τ + 2 π i n z ) {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}} 。若固定 τ {\displaystyle \tau \,} ,則此成為一週期為 1 {\displaystyle 1\,} 的單變量 ( z ) {\displaystyle (z)\,} 整函數 的傅里葉級數 :
ϑ ( z + 1 ; τ ) = ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )} 。在以 τ {\displaystyle \tau \,} 位移時,此函數符合:
ϑ ( z + a + b τ ; τ ) = e ( − π i b 2 τ − 2 π i b z ) ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )} ;其中 a {\displaystyle a\,} 與 b {\displaystyle b\,} 為整數。
輔助函數 编辑
可定義輔助函數:
ϑ 01 ( z ; τ ) = ϑ ( z + 1 2 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )} ϑ 10 ( z ; τ ) = e π i τ 4 + π i z ϑ ( z + τ 2 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )} ϑ 11 ( z ; τ ) = e π i τ 4 + π i ( z + 1 2 ) ϑ ( z + τ + 1 2 ; τ ) . {\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).} 其中符號依黎曼 與芒福德 之習慣;雅可比 的原文用變量 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,} 替換了 τ {\displaystyle \tau \,} ,而稱本条目中的Θ為 θ 3 {\displaystyle \theta _{3}\,} , ϑ 01 {\displaystyle \vartheta _{01}} 為 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}\,} , ϑ 10 {\displaystyle \vartheta _{10}} 為 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,} , ϑ 11 {\displaystyle \vartheta _{11}} 為 − θ 1 {\displaystyle -\theta _{1}\,} 。
若設 z = 0 {\displaystyle z=0\,} ,則我们可從以上獲得四支單以 τ {\displaystyle \tau \,} 為變量之函數,其中 τ {\displaystyle \tau \,} 取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」(theta constant);我们可以用Θ函數定義一系列模形式 ,或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得:
ϑ ( 0 ; τ ) 4 = ϑ 01 ( 0 ; τ ) 4 + ϑ 10 ( 0 ; τ ) 4 {\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}} ,是為四次費馬曲線 。
雅可比恆等式 编辑 以nome q 表示Θ函數 编辑
我们可用變量 w {\displaystyle w\,} 與 q {\displaystyle q\,} ,代替 z {\displaystyle z\,} 與 τ {\displaystyle \tau \,} ,來表示ϑ。設 w = e π i z {\displaystyle w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,} 而 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,} 。則ϑ可表示為:
ϑ ( w ; q ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} 而輔助Θ函數可表示為:
ϑ 01 ( w ; q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n w 2 n q n 2 , {\displaystyle \vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},} ϑ 10 ( w ; q ) = q 1 4 ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n + 1 q n 2 + n , {\displaystyle \vartheta _{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},} ϑ 11 ( w ; q ) = i q 1 4 ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n w 2 n + 1 q n 2 + n . {\displaystyle \vartheta _{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.} 此表示式不需要指數函數 ,所以適用於指數函數無每一處定義域,如p進數 域。
乘積表示式 编辑 積分表示式 编辑 與黎曼ζ函數的關係 编辑 與基本椭圓函數之關係 编辑 與模形式之關係 编辑 設η為戴德金η函數 。則
ϑ ( 0 ; τ ) = η 2 ( τ + 1 2 ) η ( 2 τ + 1 ) {\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}} .解熱方程 编辑 雅可比Θ函數為一維熱方程 、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x 取實值,τ = it 而t 取正值。則有
ϑ ( x , i t ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ exp ( − π n 2 t ) cos ( 2 π n x ) {\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)} 此解此下方程:
∂ ∂ t ϑ ( x , i t ) = 1 4 π ∂ 2 ∂ x 2 ϑ ( x , i t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)} 。於t = 0時,Θ函數成為「狄拉克梳状函数」(Dirac comb)
lim t → 0 ϑ ( x , i t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n ) {\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)} ,其中δ為狄拉克δ函数 ,故可知此解是唯一的。因此,一般解可得自t = 0時的(週期)邊界條件與Θ函數的卷積。
與海森堡羣之關係 编辑 雅可比Θ函在海森堡羣 之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。
推廣 编辑 若F 為一n 元二次型 ,則有一關連的Θ函數
θ F ( z ) = ∑ m ∈ Z n exp ( 2 π i z F ( m ) ) {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))} 其中Z n 為整數格。此Θ函數是模羣(或某適當子羣)上的權n /2 模形式 。在其富理埃級數
θ F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ R F ( k ) exp ( 2 π i k z ) {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)} 中,R F (k ) 稱為此模形式之「表示數」(representation numbers)。
拉马努金Θ函數 编辑 黎曼Θ函數 编辑 設
H n = { F ∈ M ( n , C ) s . t . F = F T and Im F > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}} 為一集對稱方矩陣,其虚部為正定 ,一般稱H n 為“西格尔上半平面”(Siegel upper half-plane),它是上半複平面 的高維推廣。模羣之n 維推廣為辛羣 Sp(2n,Z ): 當n = 1 時, Sp(2,Z ) = SL(2,Z )。同余子群(congruence subgroup)的n 維推廣為態射核 Ker { Sp ( 2 n , Z ) → Sp ( 2 n , Z / k Z ) } {\displaystyle {\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}} 。
若設 τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}} ,則可定義黎曼Θ函數 :
θ ( z , τ ) = ∑ m ∈ Z n exp ( 2 π i ( 1 2 m T τ m + m T z ) ) {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)} ; θ ( z , τ ) = ∑ m ∈ Z n exp ( 2 π i ( 1 2 m T τ m + m T z ) ) {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)} ;其中 z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} 為一n 維複向量,上標T 為轉置 。然則雅可比Θ函數為其特例(設n = 1、 τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } ;其中 H {\displaystyle \mathbb {H} } 為上半平面)。
在 C n × H n . {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.} 的緊緻子集上,黎曼Θ函數絶對一致收歛。
函數方程為:
θ ( z + a + τ b , τ ) = exp 2 π i ( − b T z − 1 2 b T τ b ) θ ( z , τ ) {\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )} ;此方程成立於 a , b ∈ Z n {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}} , z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} , τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}} 。
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参考文献 编辑 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . (See section 16.27ff.) Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions , (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta) G. H. Hardy and E. M. Wright,An Introduction to the Theory of Numbers , fourth edition (1959) , Oxford University Press David Mumford,Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7 James Pierpont Functions of a Complex Variable , Dover Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces , (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3 . 本條目含有来自PlanetMath 《Integral representations of Jacobi theta functions 》的內容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享 协议 。