Usor:Tchougreeff/QUOMODO sive HOW TO/ELEMENTORUM PHYSICAE MATHEMATICAE VOLUMEN PRIMUM AUCTORE ANDREA CARAFFA E SOCIETATE JESU IN COLLEGIO ROMANO PHYSICAE MATHEMATICAE PROFESSORE

PRAEFATIOrecensere

Rerum naturalium ordinem considerare, Deumque in iis mirifice operantem intueri, proprium est verae sapientiae, quam Philosophia profitetur. Haec scientia, quae dicitur Physica , inter scientias homine dignissimas. atque inter praecipua Dei dona jure commendatur: ecquid enim potest esse praestantius aut utilius quam divinae sapientiae opera, Deumque ipsum suas in natura perfectiones ostentantem contemplari? An quod Deus omnipotentia sua non judicavit indignum in iis quae creavit , quod in iis quae regit et gubernat attentione sua dignatur Providentia Dei, hoc nos meditari supervacaneum atque otiosum iudicabimus? Otiosam illam dicerem Physicam, quae ita immoraretur in Operis consideratione, ut opificis non perpetue suspicere! industriam: caecus est, qui Deum non videt in natura ejusque providentiam ac sapientiam non admiratur. Similem illum dixerim homini, qui librum ob Oculos apertum tenens characterum elegantiam contemplatur, numerat verba; sensum non penetrat. ⋅Neque vero minus utilis Naturae cognitio ministris Ecclesiae quam caeteris hominibus existimanda est: imo et hanc ipsis maxime necessariam duxerim hoc praesertim tempore cum homines vano inflati doctrinae apparatu scientias pro viribus adversus Religionem convertant , et Phyicam praecipue revelationi satagant opponere , vereque Opponi non desinant clamare eoram ignaris. Cum igitur se linguae impiae in injuriam Religionis armant, pudeat hominem Religionis amantem, et eo charactere insignitum qui ipsum Religionis statuat defensorem, aut turpiter obmutescere, aut Religionem. male defensam hominibus impiis vanum jactantibus triumphum, et ministrorum ignorantiam in Religionis opprobrium vertentium, deridendam proponere. Quod si nihil a viro ecclesiastico quaereretur aliud in Physica quam honesta mentis recreatio, justaque serii laboris intermissio, quid potest esse homini laboribus sacris defuncto aut jucundius aut dignius quam otium inutile, ac saepae periculosum, otio erudito et physico commutare? Quam multa offeret naturae spectaculum , ipsiusque arcanorum inquisitio, quae laudabilem nutriant curiositatem ,utiles praebeant considerationes, suaves atque innoxias pariant delicias! Etenim nullam esse in Philosophia partem quae majori voluptate quam naturae contemplatio animum compleat, Tullii auctoritate facile possem confirmare. Haec nihilominus voluptas non sine studio ac labore comparari potest: sapientissimus enim rerum omnium creator et rector Deus, quamvis sensuum nostrorum perceptioni corpora haec sensibilia subjecerit, illorum tamen naturam et vim mira quadam sepsit caligine, ut quicumque ad eam penitus scrutandam accedunt, in media luce densis veluti tenebris repente se obrui sentiant; quas tenebras etiamsi non ita discutere possimus ut claram ac certam rerum omnium scientiam assequamur, attamen si nos studii, diligentiae ac laboris non piguerit, ita tenebras attenuari experiemur ut multarum rerum certam cognitionem , plurimarum admodum probabilem obtineamus . Ad occulta Naturae arcana inquirenda duae sunt viae, quas eximii ingenii vir Franciscus Baconus de Verulanio notavit in novo scientiarum organo lib . 1. aphor, 19. Prima, qua a sensu et particularibus incipientes advolamus ad axiomata maxime generalia; atque ex iis principiis, eorumque immota veritate judicamus et invenimus axiomata media . Altera a sensu et particularibus excitat axiomata ascendendo continenter et gradatim , ut ultimo loco perveniatur ad maxime generalia. Primam viam plures arripuerunt, qui conjecturas non admodum graves sequuti , atque experientianon satis accurata innixi generalia axiomata nimia festinatione constituerunt , iisque naturalium causarum et effectyum vim omnem contineri voluerunt; atque in iis tuen∼∣⋁in Physica quam honesta mentis recreatio, iustaque seriilaboris intermissio, quid potest esse homini laboribus sacris defuncto aut iucundius aut dignius quam Otium inutile,ac saepae periculosum, Otioterudito et physico commutare?Quam multa offeret naturae speCtaculum, ipsiusque arca-norum inquisitio, quae laudabilem nutriant curiositatem,utiles praebeant considerationes, suaves atque innoxias pariant delicias! Etenim nullam esse in Philosophia partemquae majoriivoluptate quam naturae contemplatio animumcompleat, Tullii auctoritate facile possem confirmare.Haec nihilominus voluptas non' sine studio. ac laboreComparari potest: sapientissimus enim rerum omnium creatoret rector Deus, quamvis sensuum nostrorum perceptionicorpora haec sensibilia subiecerit, illorum tamen naturamet vim miraaquadam sepsit caligine, ut quicumque ad eampenitus scrutantium accedunt, in media luce densis velutitenebris repente se obrui sentiant; quas tenebras etiamsinon ita discutere possimus ut claram ac certam rerum o-mnium scientiam assequamur, attamen si nos studii. dili-gentiae ac laboris non piguerit, ita tenebras attenuari ex-periemur ut multarum rerum certam-cognitionem , pluri-marum admodum probabileur Obtineamus. Ad Occulta Naturae arcana inquirenda duae sunt viae, quas eximii inge-nii vir Franciscus Baconus de,.Verulamio notavit" in novoscientiarum organo lib. ∎∙ aphor. 19. Prima, qua a sensu et particularibus incipientes advolamus.ad axiomata-; mas-xime generalia; atque ex iis principiis, eorumque-[immotaveritate iudicamus et invenimus axiomata 'media. :Altera'asensu et particularibus excitat axiomata ascendendo contionenter et gradatim, ut ultimo loco perveniatur adfusa-i-xime generalis. Primam viam plures arripueruut, qui' con-iecturas non admodum graves,,s'equuti , atque experientianon satis accurata innixi generalia axiomata nimia festina-tione constituerunt,, iisque naturalium causarum et eil'e-ctuum vim omnem contineri voluerunt; atque in iis tuen-dis totam ingenii aciem intendentes inciderunt in perversam philosophandi rationem , adeo ut rerum universitatemcommenti sint omnino aliam ac éa est. Altera aliis placuitvia, qui rerum naturam in rebus ipsis longa observationeatque accurata experientia quaerendam esse statuerunt; istieffectuum et causarum naturalium indolem singillatim inquirere coeperunt, corporum texturám intimam , configurationem, motum scrutati sunt; atque ex his; aliisque innumeris diligentissime observatis Naturae leges deduxerunt,verasque rerum causas deprehenderunt. ' Hoc pacto pluranostris temporibus certissima sunt , quae olim ignorabantur : alia probabili conjectura assecuti sumus : adhuc tamen non pauca restant ambigua et involuta ; sed non deerunt fortasse, qui aliquando novas in lucem eruant veritates.Notandum vero Naturam ubique mathematicam esse ,eamque velle absque Mathesi expiscari perinde fore, ait Gullielminus , ac sine cruribus ambulare. Porro tota Naturaecompago soliditate constal geometrica, resque physica rei geometricae unitur mystico quodam nexu, quem soli mathematicae Analysi datum est reserare: Analyseos ductu ex observationibus et experimentis ab iis quae in promptu suntad reconditiora deferimur, et ab exteriori venustate ad internos naturae sinus. Observationes quidem virium existentiam demonstrant, sed proprium est Analyseos patefacere virium leges, curvas a corporibus in gyrum actisdescriptas, circumvolutionum ac motuum inaequalitates etaberrationes; quae omnia aspectabilem hanc Mundi machinam maxime illustrant . Quid ab Analyseos indole magis abhorrere videbatur quam electricorum phoenomenorum congeries, cum et innumera prope sint, et innumeris obnoxia conditionibus? Ad electricas tamen vires expendendas accessit Analysis , earumque non paucos effectus legesque aequationibus definivit.Ut Tyronum , qui physicis praelectionibus in RomanoSoc. Jesu Collegio dant operam, commodo utilitatique ser'dis totam ingenii aciem intendentes inciderunt 'inrïperwe'r.»sam philosophandi rationem, adeo ut rerum.:nniversitatemcommenti sint omnino aliam-ac ea est. .Altera aliis placuitvia, qui rerum naturamin: rebus ipsis longa-ObservatiOneatque- accurata - experientia quaerendam, 'esse' statuerunt: :.i'sdeffectuum. ïet; causarum. naturalium 'indolem tsin'gillat'im in—quirere coeperunt, corporumf-textuttam--imimdmf, configu-rationem, motum scrutati sunt; atque ex his, aliisque-.in-numeris diligentissime observatis Naturae leges deduxerunt,verasque rerum causas deprehenderunt. 'Hoc pacto pluranostris tempOribus certissima sunt, quae Olim ignoraban-tur: alia probabili coniectura assecuti sumus : adhuc ta-men non pauca restant— ambigua et.-involuta; sed non de-erunt fortasse, qui aliquando novas in lucem eruant veritates.Notandum vero Naturam ubique mathematicam esse,eamque velle absque Mathesi expiscari perinde fore, ait Gul-lielminus, ac sine cruribus ambulare. Porro tota Naturaecompago soliditate constat geometrica, resque physica rei geo-metricae unitur mystico quodam nexu, quem soli mathe-maticae Analysi datum est reserare: Analyseos ductu ex Ob-servationibus et experimentis ab iis quae in promptu suntad reconditiora deferimur, et ab exteriori venustate ad in-ternqs naturae sinus. Observationes quidem virium exi-stentiam demonstrant, sed prOprium est Analyseos pate-facere virium leges, curvas a corporibus in gyrum actisdescriptas, circumvolutionum se motuum inaequalitates etaberrationes; quae omnia aspectabilem hanc Mundi mn-chinam maxime illustrant. Quid ab Analyseos indole ma-gis abhorrere videbatur quam electricorum phoenomenorumcongeries, cum et innumera prope sint, et innumeris Ob-noxia conditionibus? Ad electricas tamen vires eXpenden-das accessit Analysis, earumque non paucos eil'ectus' leges-que aequationibus definivit.Ut Tyronum, qui physicis praelectionibus in RomanoSoc. Iesu Collegio dant operam, commodo utilitatique ser-VIviam , in lucem edo illas Physicae partes , quae intimiorivinculo nectuntur mathesi, quarumque explicandarum cura mihi est demandata. A Mechanica exordior ; siquidemreliquarum est veluti basis et fundamentum : caeterum sicPhysicae mathematicae tractationem concinnavi, ut quae asterisco inveniuntur signata, possint ab iis Tyronibus omitti,qui primo duntaxat Philosophiae anno mathematicis institutionibus studuerunt.VIviam,in lucem edo illas Physicae partes, quae intimiorivinculo nectuntur mathesi, quarumque explicandarum cu-ra mihi est demandata. A Mechanica exordiar.; siquidemreliquarum est veluti basiset fundamentum: caeterum sicPhysicae mathematicae tractationem concinnavi, ut quae aste-risco inveniuntur signata, pOssint ab iis Tyron'ibus omitti,qui primo duntaxat Philosophiae anno mathematicis insti-tutionibus studuerunt.

MECHANICAE PRINCIPIArecensere

Notiones Praeambulaerecensere

1. Moto puncto materiali, si ratio inter numericos spatii percursi ac respondentis temporis valores ac permanet eadem, motus dicitur uniformis; quod si ratio illa jugiter mutetur, motus dicitur varius, acceleratus nempe velretardatus, prout crescentee crescit vel decrescit ipsa : porro motus rectilineus atque uniformis est simplicissimusomnium motuum, quorum exsistit capax punctum materiale. In motu uniformi ratio dicitur velocitas; qua designata per , erit

Quoad punctum materiale, cujus massa seu quantitas materiae (), et velocitas , factum appellatur quantitas motus.

2. Corpus de se est indifferens ad motam et ad quietem. Haec indifferentia sic probari potest ex natura loci: nequit corpus de se postulare at localiter moveatur nisi exigat natura sua non esse in loco ubi est, et locum in quo non est occupare; contra nequit corpus de se quietemexigere nisi exigat natura sua esse potius in loco ubi est quam in loco quem occuparet si moveretur. Neutrum vero ex natura sua exigit corpus; cum enim omnia loca sintejusdem rationis, jam nulla datur ratio cur corporea substantia exigat esse potius uno in loco quam in alio: propterea etc.

3. Quae causae motum gignunt, accelerant, retardant, detorquent, eae vocantur potentiae seu vires. Plures potentiae corpori aut corporum systemati applicitae sese ita possunt impedire, ut nullus inde oriatur motus; tunc vero potentiae dicuntur constitutae in aequilibrio. Fac ut duae vires punctum materiale sollicitent in partes contrarias; si eae sunt in aequilibrio, dicentur aequales: pone duas, tres etc. . . : . ex ejusmodi viribus aequalibus applicari puncto materiali ita , ut in unam eamdemque rectam conspirent; inde habebis vim duplam, triplam etc. . . . Poterunt nempe vires omnes exprimi per numeros ; et consequenter repraesentari per lineas rectas istis numeris proportionales, quarum directiones cum ipsarum virium directionibus congruant. Mechanica tota est in aequilibrii acmotus doctrina consideranda.

4. Finge tibi globum quiescentem e filo pendulum, in quem impingat globus cum certo quodam velocitatis gradu. Si nullam motui resistentiam afferret globus , eadem velocitate pergeret moveri , qua movebatur antea , secum pertrahendo globum : cur enim minueretur motus in , cum globus nihil obstaret illius motui , et ipse loco suo facile cederet? Iamvero si experientiam consulimus, multo aliter rem evenire comperiemus: cedit quidem loco suo globus , sed non sine detrimento motus in , eoque majori quo majorem globus opponit massam impellenti se globo . Resistere igitur motui , statusque mutationi obniti concipitur , acquisitumque motumresistentia sua destruere in . Motus habetur tamquam visactivae effectus; quod autem vis activae effectum destruit,potest et ipsum verae vis nomen accipere. In ipsis etiamcorporibus motis sese prodit ejusmodi vis: corpus certo quodam velocitatis gradu donatum, eumdem servabit nisi queminveniat obicem , nec ullum sui motus augmentum patietur nisi cum vis alienae in ipsum agentis detrimento; haudaliter ac restitit primo motui dum quiesceret; ipso in motu resistit majori motui.

Non ergo praefata indifferentia sita est in non renitentia ad motum ex quiete, vel in non renitentia ad quietem ex mota, sed in eo quod corpus de se non magis admotum quam ad quietem tendat, nec magis resistat quietisi fuerit in motu quam molui renitatur si fuerit in quiete.Quoniam igitur ab ipsa materia nequit oriri ulla determinatio ( huc pertinet materiae inertia ) ad novum statum sive quietis, sive motas; profecto deficiente causa quaemateriale punctum determinet ad hunc potius quam adillum novum statum, punctum ipsum si in quiete sit quiescet semper, si ad motum semel fuit excitatum perget moveri cum eadem perpetuo velocitate et directione: porromotus directio est recta linea, quam mobile aut describit,aut describere nititur; primum obtinet in motibus rectilineis, secundum in curvilineis.

5. Duo puncta materialia et ( fig 1. ) eamdemmassam habentia, eamdemque lineam communi vi incedentia, haud dubie conjunctim procedent: verum ubi puncto praeter applicetur et vis , disjungetur illico ab , et observator constitutus in deprehendet: motum puncti perinde ac deprehenderet si quiesceret et moveretur sola : sive nimirum ponatur moveri vi et viribus et , sive quiescere et moveri unica, idem in utroque casu, experientia teste , prodibit motus puncti quoad : huc spectat principium motusrelativi . Jamvero in secundo casu motus relativus soli estmanifeste, adscribendus; idipsum ergo dicendum et in primo. Effectus videlicet a nova vi genitus in puncto materiali idem est utcumque caeteroqui se habeat praecedens status ipsius : quod consequi videtur ex materieiinertia. Etenim si variato statu praecedente variaret effectus ille, non aeque se haberet materia ad status omnes ,punctumque materiale sibi commissum rediret tandem instatum illum , ad quem magis tendit; sicque ab ipsa materia oriretur determinatio ad novum statum.

6. Exhibeant et velocitates, quas gignunt vires et , sitque velocitas, quam generat vis assumpta pro communi mensura (3) ipsarum et ; erunt (5), unde:.Permanente videlicet massa, vires erunt ut simplices velocitates: et quoniam permanente velocitate et variata massa, vis est ut massa ipsa; inferimus vires esse ut motus quantitates.

7. Dixi (4) tantam motus quantitatem excitari in globo quantam ipse resistendo destruit in globo: atque huc spectat illud de actione et reactione principium,quod sic enunciari solet "actioni contraria semper et aequalis est reactio, sive duorum corporum actiones in se mutuo semper sunt aequales, et in contrarias partes diriguntur". Huic autem principio locus est in rerum natura sive corpora in contactu agant in se mutuo, sive dissitis e locis sese invicem ad status mutationem quocumque modo determinent.

Notetur illud: cum corpus omne obnitatur semper sui statos mutationi, inferimus ipsam status mutationem haud repente gigni a viribus extrinsecis, sed per gradus indefinitae attenuationis capaces: secus enim dicendum foret inesse materiei vim quamdam infinitam. Siquidem in hypothesi finitae mutationis instantaneae materies valeret opponere resistentiam finitam, labente tempusculo infinite quod nequit admitti. Verum quia vires quaedam tam cito gignunt mutationem status, ut eam in istanti videantur absolvere; inde fit ut vires dividi soleant in instantaneas, et continuas.

De virium compositione et resolutione, deque earum momentis et aequilibrio: aliquid quoque notatur de vecte, axe in peritrochio , trochlea etc. . . .recensere

8. Fac ut per communem vim puncta et (fig. 2.)determinentur ambo ad percurrendam motu uniformi rectam lineam intra tempus , per vero determinetur ad percurrendam motu pariter uniformi rectam lineam intra idem tempus  ; et comple parallelogrammum .Ex principio motus relativi punctum in fine temporis reperietur in  ; ac proinde intra tempus percurret motuuniformi diagonalem  : idem nimirum existet motus sive mobile feratur per diagonalem velocitate ex vi unica impressa , sive conjunctis viribus et impellatur per latera et velocitatibus et ; eritque (6)

Hinc pro duabus viribus et poterit, substitui vis; quae substitutio dicitur virium compositio : et viceversapro poterunt substitui duae et ; quae substitutio dicitur virium resolutio : et vocantur componentes, resultans, vel etiam composita.

9. Haec notentur. 1º. ex tribus , , unaquaevis potest repraesentari per sinum anguli, qui sub aliarumdirectionibus continetur ; nam

2°. Hinc et sunt reciproce ut perpendicula ,quae a puncto quolibet resultantis ducuntur ad ipsarum et directiones .

3º. Denotante angulum interceptum directionibusvirium et , triangulum praebebit

4°. Si punctum ( fig. 3. ) urgetur viribus etc. . . , ducantur autem parallela et , parallela et , parallela et , etc. vis cunctis aequivalens exhibebitur manifeste per lineam rectam , quae jungit punctum et extremitatem ultimae . Porro linearum rectarum aequalium et parallelarum projectiones sive in rectaquavis , sive in plano quovis , sunt aequales et parallelae: hinc virium , etc. . . projectiones in recta simul sumptae aequabuntur projectionibus rectarum etc. , in eadem simul pariter sumptis. Harum vero projectionum summa nihil est aliud nisi projectio resultantis  : igitur projectio resultantis aequabitur projectionibus componentium , etc. , in summam contractis , si modo habeatur ratio signorum, ut censeantur negativae, quae vergunt v. gr. ad , habitis pro positivis, quae versus se dirigunt.

5°. In hypothesi trium duntaxat virium , quisque videt aequipollentem vim repraesentatum iriper diagonalem parallelepipedi sub lateribis .

6°. Si punctum urgetur vi , constructo adlibitum polygono , ductaque parallela et , parallela et , parallela et etc.resolvetur in , etc ....

7°. Ad resolvendam in ternas sese dirigentesjuxta datas rectas , satis erit per duceretria plana parallela planis ; hoc pactoexsurget parallelepipedum , cujus latera apud exhibebunt( 5°) quaesitas vires componentes.

8°. Puncta , ponantur inter se rigidislineis connexa: manentibus virium directionibus, si ternaecomponentes intelliguntur applicitae punctis , adhuciis manifeste aequipollebit . Inferimus vim quamvis resolvi posse in ternas, quae et sint applicitae tribus punctis ad libitum sumptis ( si sumuntur ita , ut ineorum plano inveniatur etiam punctum , non debebit esse extra id planum ) et sese dirigant juxta rectas ab istiusmodi punctis ductas ad punctum , cui applicatur ipsa .

9º. Dato systemate punctorum materialium rigidislineis inter se firmiter connexorum ( huc spectat corpus solidum ) respondentibusque viribus sollicitatorum; quia possunt (8º. ) singulae vires resolvi in cernas applicitas tribuspunctis ad libitum sumptis, poterunt ( 4°) omnestraduci ad aequipollens trium virium systema.

10° . Per unam ex hisce tribus viribus duc planum , quod secet reliquas duas : vis , per quam ducitur planum , poterit resolvi ( 4° ) in binas , applicitas intersectionum punctis. Inde fit, ut vires omnes solidum corpus sollicitantestraduci etiam possint ad aequipollens duarum virium systema.

10. Facile est determinare quandonam plures potentiae eidem puncto applicitae in aequilibrio permaneant.Binas potentias pro lubito sumptas compone, et pro illisaequipollentem substitue , atque id iterato donec ad duasdevenias. Si hae directe contrariae et aequales inveniuntur, constabit omnes potentias in aequilibrio consistere .

Facile etiam intelliges quanam ratione inveniri possit potentia duabus ( fig. 4. ) in eodem plano jacentibus,rectaeque rigidae applicatis aequivalens, et aequilibriumobtineri; productis (?) enim directionibus donec concurrantin , transferantur potentiae in punctum . Sumptis in earum directionibus , et , istae componantur. Facto parallelogrammo , cujus diameter equivalentem vim repraesentabit, haec producatur donec concurrat in cum ; perspicuum est potentiam translatam in et rectae applicitam in D aequipollere duabus . Quare si in puncto sustentetur, potentiae in aequilibrio quiescent; et constabit quam potentiam exerceat punctum , nimirum aequalem et oppositam potentiae aequivalenti . Ad positionem puncti quod pertinet, concipiamus ex eo duci duo perpendicula et , alterum in , alterumin  ; sintque , longitudo , angulus , angulus  : erunt , ideoque Sed( 9.2º );igitur, unde

Quod spectat ad angulum interceptum resultante etdata recta , is dicatur  : erit ( 9. 1º ),unde

Quod vero spectat ad resultantem , habemus ( 9. 3º ).

Penultima formula traduci potest ad

Haec subjungimus. 1º. Recta rotetur circa , ut ejus extrema puncta et eodem tempusculo infinitesimodescribant circulares arcus infinitesimos ; ex et duc perpendicula in directiones virium  ; sintque : erunt ; et consequenter

Nihil sunt aliud et nisi spatiola tempusculo infinitesimo circa immobile punctum simul describenda ab et in hypothesi turbati aequilibrii; quibus punctis et applicantur vires et : exhibent illorum spatiolorum projectiones super ipsarum virium directionibus. Vires igitur sese mutuo librantes circa erunt reciproce ut eae projectiones.

2º. Etiam sic : triangula , itemque habent latera sibi respective perpendicularia ; igitur .

Denotet valorem rationum aequalium , projectio insuper computata in ipsa directione respondentis potentiae censeatur positiva; projectio vero computata in directione contraria illi , quam obtinet respondens potentia , censeatur negativa: erunt ;propterea

Huc spectat principium velocitatum virtualium.

3º. Ex quovis puncto ( ) sive intra , sive extraangulum , duc perpendicula ad  ; ducquoque ab ( ) ad rectam ( ), cui normaliterinsistat alia recta ( ) transiens per : singulis resolutis in duas , alteram juxta ( ) , alteram juxta( ), expriment componentes juxta ( ) . Quoad () situm extra angulum , primae duae erant conspirantes; quoad ()situm intra erunt contrariae : cum igitur resultet ex et , prodibit ( 9. 4° ) in primo casu et consequenter ,in secundo.

, ideoque sumptis signis vel superioribus , vel inferioribus , prout vel : rectangula dicuntur momenta virium quoad punctum (). Hinc stabiliturillud: momentum resultantis aequatur summae ex momentis componentium et si et in eamdem plagam circa () nituntur movere puncta , quibus applicitaesunt; aequatur differentiae si nituntur movere in plagascontrarias.

4° . Idipsum facile extenditur ad quemvis numerumvirium , ... in dato plano jacentium : facv. gr. ut ternae , in unam eamdemque plagam circa ( ) nitantur movere puncta, ad quae sunt applicitae; caeterae vero , ... in plagam contrariam ; sitque resultans ex et ; resultans ex et , ac proinde ex; resultans ex reliquis . . . Erurt ;et consequenter :simili modo obtinetur .Iam si exhibet resultantem ex et , ideoque ex , ... ; cum sit fist the,erit quoque

5º. Fac ut transeat per () ; erit : propterea ;viriumque systema consistet in aequilibrio circa immobilepunctum () . Vocatur () centrum momentorum.

6º. Habemus ( 2 )Traducetur igitur aequatio ( 5°) ad

7° Vires haud jacentes in eodem plano nequeunt ad unicam vim aequipollentem traduci. Si enim traduad aequipollentem , poterit etiam ex quodamistius puncto ad quoddam punctum componentis v . gr. duci recta linea haud occurrens alteri componenti :fac ut haec recta linea evadat immobilis ; elisa , emerget aequilibrium; sed elisa quoque , et salva , ex hac ultima emerget motus. In ea ergo qua sumus hypothesi detraductione virium ad unicam obtinebit simulaequilibrium et motus in eodem systemate: quod nequit esse; ideoque etc. ...

8°. Patet solidum liberumque corpus haud consisterein aequilibrio, nisi binae aequipollentes ( 8. 10° ) vires ,ad quas traducuntur vires omnes corpus ipsum sollicitantes , sint aequales, contrariae, jaceantque in directum .

9°. Patet quoque solidum corpus, mobile dumtaxatcirca punctum fixum , consistere in aequilibrio, si eae binaevires aequipollentes et jaceant in eodem plano ( 7º) , et suppeditent resultantem , quae transeat per punctum illud .

10°. Solidum corpus ponatur mobile dumtaxat circarectam fixam ( fig.5 ), sintque et binae aequipollentesvires, ad quas traducuntur ( 9. 10° ) vires omnes corpus ipsum sollicitantes. Duc planum et normaliter insistensrectae , et secans in punctis v. gr. directiones virium : poterit resolvi in duas , alteram perpendicularem plano Y , alteram jacentem in ipso ; similiter poterit resolvi in duas ,alteram perpendicularem eidem , alteram ineo jacentem . Binae , utpote parallelae ad rectam fixam , peribunt elisae : in ea igitur qua sumus hypothesihaud consistet solidum corpus in aequilibrio, nisi resultansex transeat per aliquod punctum rectae fixae ; et consequenter ( 9. 2° ) , ductis ex in istas viresperpendicalis , nisi valeat aequatio

:

producta ex in et ex in dicuntur momenta virium et quoad . Si v. gr. , applicita ad punctum, est parallela plano , applicabuntur ad duae quaelibet vires et aequales, contrariae et parallelae axi ; tum una ex iis v. gr. componetur cum  : vis inderesultans poterit transferri in punctum v. gr. plani ,ibique resolvi in binas, alteram parallelam rectae , alteram jacentem in ; eritque momentum vis quoad . Quisque autem videt , si per ducitur planum parallelum plano ,et ex pancto, ubi istud novum planum secat rectam , demittitur perpendiculum in vim applicitam ad , ejusmodiperpendiculum nihil fore aliud nisi ; ita ut, sive momentum sumatur apud planum , sive apud illud alterumplanum parallelum ipsi , perinde sit.

11. Fac ut vis ( 10) (fig. 4) revolvatur circa punctum ,donec evadat parallela vi ; erit , ideoque si vires ad eamdemplagam obvertantur ; , ideoque si ad contrarias plagas. In primoigitur casu exsistent.

In secundo

valet signum superius ubi , inſerius ubi ;siquidem denotant hic virium dumtaxat intensitates.Inferimus illud; resultans ex duabus parallelis viribus adaequat istarum vel summam, vel differentiam , proutvel ambae conspirant in eamdem plagam, vel altera in unamet altera in contrariam plagam; ipsis insuper componentibusviribus est parallela , et ad eam plagam semper obversa ,quam respicit major ex componentibus illis ; transit deniqueper ejusmodi punctum in directione , quod distet apunctis applicationis componentium in reciproca earum ratione : istud punctum appellari solet centrum virium parallelarum ; estque invariabile, modo et respectiva viriumpositio et ipsarum ratio non mutentur.Si , in secundo casu nulla exsistet resultans.Non est enim ratio in ea qua sumus hypothesi cur adplagam unius potius componentis quam ad alterius componentis plagam sese dirigat resultans. Formulae praebent

Etsi vires et (fig.6) parallelae, aequales et contrariae nequeunt librari unica vi , utpote omni resultante destitutae; librabuntur nihilominus duabus aliis viribus et parallelis, aequalibus, contrariis, et in plano iacentibus, dummodo ductis ex in perpendiculis et , exsistat:tunc enim , ductis ex in et perpendiculis et, ob erit quoque;et consequenter ( 9. 2°) resultans ex et sese diriget a puncto ad punctum , simulque resultans ex et sese diriget a puncto ad punctum  ; istiusmodi praeterea resultantes sunt manifeste aequales: iccirco etc. ... Systema itaque virium aequipollebit systemati virium ; poteritque alterum ( mutatis ejus directionibusin contrarias partes ) alteri substitui. Consequitur posse binas vires parallelas, aequales et contrarias transferri abuna positione ad alteram in proprio ipsarum plano, variata simul virium et magnitudine , et directione ; modo tamen productum ex communi earum valore in mutuam distantiam maneat constans.

12. Sint nunc plures vires parallelae , ... variissolidi corporis punctis applicitae , quarum aliae conspirentin unam plagam , aliae in plagam contrariam . Componendo v . gr. et in unicam , et in unicam , et in unicam , etc. , ... facile devenies ( 11 ) ad illud : resultans ex pluribus viribus parallelis adaequat differentiam intersummam conspirantium in unam plagam et summam conspirantium in plagam contrariam ; ipsis insuper componentibus viribus est parallela , et ad eam plagam obvertitur , quamrespicit major ex illis summis .

Hinc si vires tendentes in unam plagam censentur positivae , tendentes vero in plagam contrariam negativae , obtinebit aequatio.Ad haec : denotantibus (fig .7) , ... puncta , quibus applicantur parallelae vires , ... , et . ..rigidas rectas jungentes puncta illa , cum transeant , ...per ejusmodi puncta , ... , quorum positiones sive inrectis , ... sive in earum prolongationibus unice pendent a conditionibus etc. ... ,

seu

, etc. ... ,

devenietur etiam ad illud : in systemate parallelarum viriamhabetur constans et immutabile centrum , per quod semper transit resultans , quacumque ceteroqui ratione componentes vires volvantur circa puncta quibus applicitae sunt ,modo et maneant parallelae , et applicitae iisdem punctis iniisdem respective distantiis.

13. Ducto quolibet plano , demittantur in illud expunctis ... perpendicula  ; sive ( 12) , ... sint in rectis , ... .sive in earum prolongationibus , demittantur quoque inidem ex istis punctis perpendicula , ... ; peripsa , ... agantur rectae , ... , prima rectaeMN parallela et perpendiculis occurrens in ,secunda rectae parallela et perpendiculis occurrens in , etc ... Erunt; etc ....Jamvero ( 11 ),etc ...,ideoqueetc....Igituretc....unde etc.seuetc....

Generatim exhibente , perpendiculum ex centro omnium datarum virium parallelarum ductum in , habebimus

rectangula , dicuntur momenta virium , ...quoad plapum .

Haec notentur: 1° Etsi non omnia puncta , quibus applicantur parallelae vires ... sita sunt supra planum adhuc tamen algebraica summa rectangulorum sub ... etrespondentibus perpendiculis ductis in ex punctis illis adaequabit rectangulum sub resultante et perpendiculo ducto ex centro ipsarum ... in idem ; moto enim versus ea puncta ita , ut maneat sibi parallelum , atque a primitiva positione recedat intervallo , si nova perpendicula exhibentur per erunt ; hinc ...

est autem ( 12.a) ;

igitur

ubi possunt esse vel positiva , vel negativa.

2° Praeter seu ( Fig.8 ) concipiantur duo alia plana ; quod autem in ordine ad est, sit , sit in ordine ad , et in ordine ad ; qua ratione assequuti sumuseadem assequemur (a')

3° Si compendii causa per exprimitur summapotentiarum et per designantur summae rectangulorum sub potentiis et respectivis perpendiculis , formulae ( a' ) scribi poterunt in hunc modum ( 12. a)undeIn hypothesi planorum orthogonalium , et , erunt orthogonales coordinatae , quibus determinatur positio centri parallelarum virium .

4.° AequatioP + P + P + ... ... = o ( a '' )''manifeste denotat unam quamvis ex datis potentiis v. gr. Pesse aequalem et contrariam resultanti R, ex reliquis omnibus P' , P '' , ... Ponamus XOY perpendiculare , et XOZ , YOZ''parallela directioni potentiarum ; in hac hypothesi eruntP et R, directe contrariae si perpendicula x et y spectantiaad punctum , cui applicalur P , spectent ambo ad centrumquoque virium p ', P '', ... , si nempe habeantur''x R , = x'P' + x '' P t ... ,''y R, =ÝP' +y'' P'' + .seu , ob R,x P + x' P ' + x '' P'' +yP + ' P ' + y '' P'' +-P= 0,0; }(cm

5. ° Quibus positis , stabilitur illud : parallelarumvirium systema consistit in aequilibrio sub duabus conditionibus simul explendis ; altera est , ut evanescat earum summa : altera ut evanescat summa ex earum momentis in ordine ad duo plana ipsis viribus parallela. Si parallelae viresinveniuntur omnes in eodem plano, secunda conditio jam de18tur summae rectangulorum sub potentiis et reSpectivis perpen-diculis, formulae (a') scribi poterunt in hunc modum (12. a)a:, EP :ZxP,y,ZxP: ZJP, z.l 2P:ZzP,unde u∙∙∙ zxp ∙∙ \sum∫ M) (0 )∙−− ⋅ −\sum−⇂⋅−↗∫≖ \sum⇂≀ .z,--—— ZPln hypothesi planorum XOT, XOZ , TOZ orthogonalium ,x, ,y, , et 2! erunt orthogonales coordinatae, quibus deter-minatur positio centri parallelarum Vtrium.43 AequatioP gr ≖⋡⋅−⊦∙∙⋅−−∙∶∘ (a''')'''manifeste denotat uuam quamvis-ex datis potentiis v. gr. Pesse aequalem et contrariam resultanti R, ex reliquis omni-bus P', P'', Ponamus XOV perpendiculare , et XOZ ,''ïOZparallela directioni potentiarum; in hac hypothesi eruntP et B[ directe contrariae si perpendicula x et y spectantiaad punctum , cui applicatur P ,spectent ambo ad centrumquoque virium P',P'', , si nempe habeantur''

:: Bl :x'F—I-x'' P'' ⊣−∙∙∙∙ Ja, ∶−−∫∣⊉≀−⊢∜∣∣≖≻∥−⊢∙∙∙∙

seu,ob B' :—P,xP—- x'P'-- x'' P'' −∙∙ :o,yp ——y' PI ...—7'' P'' −∙∙ ∙∙∙ :0' )(a'')5.'' Quibus positis, stabilitur illud : parallelarumvirium systema consistit in aequilibrio sub duabus conditio-nibus simul explendis; altera est, ut evanescat earum sum-ma :altera ut evanescat summa ex earum momentis in ordi-ne ad duo plana ipsis viribus parallela. Si parallelae viresinveniuntur omnes in eodem plano, secunda conditio iam de199se explebitur quoad istud planum , satisque erit ut expleatur quoad aliud tantummodo planum .6. Etsi vires P, P' , P '', ... non sunt parallelae , possunt tamen reduci ad terna ejusmodi systemata , quorum pri.mum coalescat ex viribus parallelis axi OZ , secundum exviribus jacentibus in plano XOY simulque parallelis axi OY ,tertium ex viribus agentibus juxta axem OX.

Ut demonstretur assertio , resolve unam quamvis ex datis viribus v. gr.

P applicitam puncto A in tres X, Y, Z, respective parallelasaxibus Ox, OY, OZ; ad punctum A applica duas vires H et- H aequales , contrarias , et parallelas axi OZ ; componeX ( = AC ) et H sese dirigentem juxta AE , sitque AB directio resultantis ; produc BA donec in N occurrat plano XOY ;transfer in N resultantem illam , et sic translatam resolve inbinas , alteram parallelam axi OX , alteram axi OZ ; prodibunt componentes X ( = NC = AC ) , H ( = ND ) , quarum primam transfer in C ut sit C'C' ( = NC' ) = X; ad Capplica binas vires K et — K aequales , 'contrarias et parallelas axi OY ; compone X ( = .CC ') et K sese dirigentem juxia C'F , sitque C'L directio resultantis ; produc LCdonec in V occurrat axi OX ; transfer in V novam istam resultantem , et sic translatam resolve in binas , alteram juxtaox , alteram parallelam axi OY ; emergent componentesX ( = VV' = CC'' ) , K ( = VF '): compone nunc Y et - H ;produc directionem resultantis donec rectae C' F occurratv . gr. in N ' ; hanc resultantem transfer in N ' , et sic trauslatam resolve in duas , alteram parallelam axi OY , alteramaxi OZ ; exurgent componentes Y et -H applicitae puucto N:hoc pacto vi P poterunt substitui sex viresZ, H, — H applicitae punctis A, N, N' et parallelae axi Oz,K, Y - K applicitae punctis V, C' et parallelae axi OY ,X applicita puncto V et agens juxta OX .Consimiles operationes cum possint instaurari quoad P', P ” ...non pluribus opus est , at pateat veritas assertionis .19se explebitur quoad istud planum , satisque erit ut explea-tur quoad aliud tantummodo planum .6.o Etsi vires P, P', P'', non sunt parallelae ,pos-sunt tamen reduci ad terna eiusmodi systemata, quorum pri-mum coalescat ex viribus parallelis axi OZ , secundum exviribus jacentibus in plano XOT simulque parallelis axi Oï,tertium ex viribus agentibus juxta axem OX. Ut demon-stretur assertio , resolve unam quamvis ex datis viribus v. gr.P applicitam puncto A in tres X, T, Z, respective parallelasaxibus OX, OT, OZ; ad punctum A applica duas vires H et∙∙∙ H aequales , contrarias ,et parallelas axi OZ ; componeX (: AC) et H sese dirigentem iuxta AE .sitque AB dire-ctio resultantis; produc BA donec in N occurrat planc XOT;transfer in N resultantem illam,et sic translatam resolve inbinas , alteram parallelam axi OX , alteram axi OZ; prodi-bunt componentes X (: NC':AC ), H (: ND) , qua-rum primam transfer in C' ut sit C'C'' (: NC' :) X; ad C'applica binas vires K et —K aequales ,'contrarias et parallelas axi OV; compone X (:.C' C'') et K sese dirigen-''tem juxt'a C'F , sitque C'L directio resultantis ; produc LC'donec in V occurrat axi OX ; transfer in V novam istam re-sultantem ,et sic translatam resolve in binas , alteram juxtaOX, alteram parallelam axi OV ; emergent componentesX (:VV':C' C'') ,K (:VF'): compone nunc V et —H;produc directionem resultantis donec rectae C' F occurratv. gr. in N'; hanc resultantem transfer inN' , et sic traus-latam resolve' tn duas, alteram parallelam axi OV, alteramaxi OZ ; exurgeut componentes ?et —H applicitae puncto N':hoc pacto vi P poterunt substitui sex viresZ,,H — H applicitae punctis A, N, Net parallelae axi OZ,K, ï— K applicitae punctis V, C' et parallelae axi OV,X applicita puncto V et agens juxta OX.Consimiles operationes cum possint instaurari quoadP' ,P'',... non pluribus opus est,ut pateat veritas assertionis.207. Axes OX , OY, OZ sumantur orthogonales ; eritH : X = ND : NC' NC zX Z :H ,et consequenter perpendicula ducta ex N in plana YOZ , XOZexprimentur per2XHg ;erit quoqueH : Y = AC ' : C'N ' = 2 : C'N' =2YHac proinde perpendicula ducta ex N' in eadem plana YOZ ,XOZ exprimentur perx18+1;insuperVi : Ci = VV' : VF' , seu x - OV : y = X , K ,ex qua eruitur perpendiculum ductum ex Vin planum YOZ,nempeOV =y XK8 . '* Quod in ordine ad Pest X, Y, Z, H, K, sit X ', Y ,Z ', H , K ' in ordine ad P ', sit X ”, Y '', Z'', H ” , K '' in or''dine ad P, etc. ... Systema ( 6'') virium parallelarum axi OZconsistet in aequilibrio sub tribus istis conditionibns ( 59)2 + Z ' + Z '' +... + H + HP + H '' + .- H - H²- H '' -... = 0 ,x2+x+2 + .. + ( x -7 ) +laZXH- ) H +'x H - X'H '-...207∙∘∙ Axes OX, 07, OZ sumantur orthogonales ;eritH:X:ND:NC': -Nc': f—X...-7et consequenter perpendicula ducta ex N in plana ïOZ, XOZexprimentur perzX x——s.7-ieritquoqueH. r:.tcx ea:: aut: 2?—, Hac proinde perpendicula ducta ex N' in eadem plana TOZ,XOZ exprimentur perTxsf'l'ïïi—i insuperVi:C'i:VV':VF',senx—OV:J:X,K. ↴ex qua eruitur perpendiculum ductum ex Vin planum TOZ, )-nempe )∘∇∶∙≖−⋅\sum⋮∙ K8. 01: Quod in ordine adPestX, T, Z, H, K, sit X'.ï',Z', H', K' in ordine ad P', sit X'', T', Z'', H'', K'''m or-dine ad P'' ,etc.. «Systema (60) virium parallelamm axi OZconsistet in aequilibrio sub tribus istis conditionibus (50)z −⊦ ⊠∣⊣−≀∥⊹∙∙∙−⊦∐⊣−∐∣⊣−∐∥−⊦ ∙∙⋅− ⊟∙↧∓∣∙⊟∥∙∙∙∙ :xZ-l—x'ZH—''xl-(x- fl—iï' H—1-(x'-)''IX, H'—)- ..

: r H—x'H'-.. .: o.21

y2 +y2 + ... + 38+y'! '+ ..- ( o + #) : -(-+ -+* ) r -...--.seu2 + 2 + Z'' + ... = 0 ,x2–2x + x2–5x' + x Z'' _z'' X '' + ... = o,y2 - zY + y'Z' — zY + y'' Z'' —z'' Y'' + ... :. =0.360''

Systema (69) coalescens ex viribus jacentibus in plano XOYsimulque parallelis axi OY consistet in aequilibrio

sub duabus istis conditionibus ( 5° ) .

Y - K + Y - K + Y'' _K'' + . + K + K + K + ... = a,2{Y -K)+7 (9 –K)+- + (3 - X) +(37 )K +seuY + Y + Y '' + ... = 0,xY4yX + x'Y' — y'X ' + x '' Y'' -- y'' X '' +... =0.0.}10'')Systema ( 6°) virium agentium juxta OX

consistet in aequilibrio sub ista tantum conditione

X + X+X''+... = o ( a '' '' ).Inferimus solidum liberumque corpus viribus P , P' ,P'' , ... sollicitatum haud mansurum in aequilibrio, nisi expletis conditionibus ( a' ) , ( a '' ) , ( a '' '' ); quas ita scribimus ( 30 )21⊺∄⊹↗⋅∄∣−⊢∙∙∙⊹∫∐⊹∫∣∐∣⊹∙⋅∙− (∫⊹.äï.) H —(y'-]- ⋮⋅≨⋚∣⇀∙≻ H'—. ..

: o,

seu∅⊣−∅∣⊣−⊈∥⊹∙∙∙∶∘∙ ;(a') xZ—zX-I-x'Z'— z'X'-l-x''Z''— z'X''—-]-. ..

: o,

yz -— zV-l—J'Z'—z'ï'—I- y''Z''—z''ï''-l— ..

:

.0.Systema (60) coalescens ex viribus jacentibus in plano XOVsimulque parallelis axi OV consistet in aequilibrio sub dua-bus istis conditionibus ( 5o )-r—x-t-x'—x'—l-1z''—xq-.. —[-K-]-K'-)-K''—]—. ..

:

0,I'X!IX ∣..ï—KH—x (r—x ⊢⊢⋅∙∙−⊢ xli?) x-l-(x ïk.-')K ∙⊦∙∙≔∶⋅∘⋅seu .y—I—T-I- ï''—l— ..

:

.0, 'h0'')xï—yX-l—x'ïL-y'X' x''ï''-y'' ''∙⊦∙∙∙∶−−∙ ∙Systema (60) virium agentium iuxta OX consistet in ae-quilibrio sub ista tantum conditione ',x-t—X'-l-X''-1-...:o (a''').Inferimus solidum liberumque corpus viribus P, P',P'', .. . sollicitatum haud mansurum in aequilibrio, nisi ex-pletis conditionibus (a' ),( a'' ),(av'' ); quas ita scri-bimus ( 3'')22EX=0, EY=0, E2=0,}(a'')2( zYX)= 0,2( x2–2X)= 0,2(x2– zY)=0..9'

# Denotet

R' resultantem ex viribus primi systematis(6°),R'' ex viribus secundi,R'' ex viribus tertii''

;

erunt( 12

:

a)R= EZ,R= EY,R''= EX.Recta, in qua agitR'', occurrit axi OX sub angulo recto

;

et disignanter'' distantiam interO et punctum occursuserit( 2º.7°).r“R”=x(Y—K)+x'(Y’–K”+ ...XK(s–'')k'+ ...,ideoque?''=EfxY-yX).R''trapotestR''' transferri in illud punctum occursus sicquecomponi cumR'' ut inde obtineatur resultans VR''2+R''3.Iterum( 9. 9º. 10°.) patet ergo viresPP',P',, ...duci vel ad ternas, vel ad binas aequipollentes.10.°

# Recta

, in qua agitR', occurrit normaliter planoXOY

; et designantibus

a',b' coordinatas istius occursus,erunt( 2º. 7º.)a'$(xZ- zX)R'6EgyZ-Y) 1 ROccurrent sibi mutuo R’et VR”?+R''2, ac proindejacebunt in eodem plano, quotiescumquea' etb' recidentin duas quasvis ex coordinatis illius rectae in qua agitVR'2+R''''2

; propterea

22ZX:0,Zï:o,ZZ:o,

; (aVIII)

\sum (xï—ïyX):o.Z(xZ—zX):0,2(yZ—zï): 0.9. 01: Denotet B' resultantem ex viribus primi syste-matis '(60 ), B'' ex viribus secundi , B''' ex viribus tertii;erunt( 12. a)R,:Z Z, B'':Zï, R''':ZX.Recta, in qua agit R'', occurrit axi OX sub angulo recto

;

et disignante r'' distantiam inter0 et punctum occursus,ertt∙(2∘∘. 7. ).r''R'':x(ï—K)—)—x'(ï'—K')—-)—...-)- (x... JKX.)K −⊦(x'-— 2274.) K' −∙⊢∙∙ .,ideoque r''-— xwy-FK)

:

potest B''' transferri in illud punctum occursus, sicquecomponi cum B'' ut inde obtineatur resultans l/B''3-l—B''''. Iterum (9. 90.100.) patet ergo vires P P', P', , .. .tra-duci vel ad ternas, vel ad binas aequipollentes.↿∘∙∘⋕ Recta, in qua agit B', occurrit normaliter planoXOT; et designantibus a', b' coordinatas istius occursus,erunt (20. 70.)↙⋮∣∙− X(xZ—zX) b' ∙∙∙\sum (yZ—zï)B'' R'⋅Occurrent sibi mutuo B' et l/B''2-)-B'''2, ac proindeiacebunt in eodem plano, quotiescumque a' et b' recidentin duas quasvis ex coordinatis illius rectae in qua agit⇂∕ B''2-I-B'''2; propterea23a ' - p '' : 6 = R : R ''et consequenterb' R' + ( r '' – a ' ) R '' = 0 ;quae , adhibitis substitutionibus, traducitur adEXE(yZ — ZY) + EYXzX— « Z ) + EZE (xY yX ) = 0.Sub hac ilaque conditione occurrent sibi mutuo viresR' , V R ''2+ R '' ), dabuntque resultantemVR2+ R ''2 + R ''' a = V (EX)2 + (PY )2+ ( EZ )2.11 . '* Si nequeunt vires alium gignere motum nisi circa immobilem axem Oz , quisque videt aequilibriiconditiones redactum iri ad unicam r ' = 0 , seu ad quartam ( a '' ), Ad haec si nequeunt vires alium gignere motum nisi circa immobile punctum 0 , redigentur aequilibrii conditiones ad r'' = 0 , a' = 0,6 = 0 , seu ad quartam , quintam et sextam ( a )12. '* Fac ut duo solida corpora A et B ( Fig. 9) ,alterum viribus P , P , P ''... sollicitatum , alterum viribus Q , , Q '' , ... , sese invicem aeque premendo apud dalum mutui contactus punctum C maneant in aequilibrio ;quaeritur istiusmodi pressionis magnitudo w. Duc per C planum tangens DD' , cui normaliter insistat recta ECE': denotent fig, h coordinatas puncti C ; a , á , a '' angulosinterceptos recta CE axibusque orthogonalibus OX , OY ,OZ ; et quod in ordine ad P' , P' , P '' , ... est X, Y , Z,á , : , X , Y , Z , X ', . . . sit a , b , c , a , ... A , B ,C , A ', ... in ordine ad C , Q , ... Pressio agensversus E resolvetur in ternas23a'—- r'': 6':a''': a''et consequenter↘∙∙b' B'''—i— ( r''-—a') B'': 0

;

quae , adhibitis substitutionibus, traducitur adZXZUZ—zTH-ZïXzX—xZH-ZZZ (a.-T —JX):o.Sub hac itaque conditione occurrent sibi mutuo viresB', l/ B''2-)- B''', dabuntque resultantem⇂∕↓↖⋅≖−⊦↓⊰⋅⋅≖−⊢∐⋯≖∶ ⇂∕ (mun-)- (zx) ≕⊣−≺ \sum∣∠≻≖∙11.''; Si nequeunt vires alium gignere motnm ni-si circa immobilem axem OZ, quisque videt aequilibriiconditiones redactum iri ad unicam r'' :o, seu ad quar-tam (a'''' ). Ad haec si nequeunt vires alium gignere mo-tum nisi circa immobile punctum 0 , redigentur aequili-brii conditiones ad r'':0, a':o, b':o, seu ad quar-tam, quintam et sextam ( am'')12.'': Fac ut duo solida corpora A et B (Fig. 9),alterum viribus P , P', P''. .. sollicitatum , alterum viri-bus Q, Q' , Q'', .. ., sese invicem aeque premendo apud da-tum mutui contactus punctum C maneant in aequilibrio;quaeritur istiusmodi pressionis magnitudo 'a'. Duc per C pla-num tangens DD', cui normaliter insistet recta ECE': de-notent f, g ,]: coordinatas puncti C; at, a', a'' angulosinterceptus recta CE axibusque orthogonalibns OX, Of, OZ; et quod in ordine ad P', P', P'',...est a:, 7, z,x', . . X,ï, Z, X',. . . sita,b, c, a,... A,. B,C, A', . . .in ordine ad Q', Q, . . . Pressio :: agensversus E resolvetur in ternas24cosa , cose , a cos '' ,agens vero versus E resolvetur in ternasw cos ( 180 ° - « ) = - COS Q, a cos ( 180 ° - = - a coseć,cos ( 180º – Ø'' ) W cos a :in primo casu w librat ex hypothesi vires P, P,in secundo vires Q, C, ... IgiturEX +w cosa = 0, Erto cosá = 0 , xZ + w cosa '' = 0 ,Σ Α W cosa = 0 ,EB - cosa = 0,8C — a cos '' = 0 , E ( «Y -y X ) +W ( f cos ' - g cosc) =0 ,ElxZ - 2X ) + o ( f cosc '' — h cosc ) =0 , Ely2 -zY) +wig cosa '' -hcosé ) =0 ,(aB - 6A ) - ( fcos - g cos ) = 0 ,E (aC - A )a ( f cosa '' -hcosa) = 0 , E (6C - cB ) - ( g cosa '' - h cosa') = 0 .Eliminata , prodibunt undecim aequationes , independentes ab ipsa a , inter quantitates datas ; quibus aequationibus expletis, habebitur aequilibrium , poteritque abuna quavis ex duodecim praecedentibus erui valor u .13.0# Solidum corpus sollicitatum viribus , P P ',P '' , ... delineatur duobus punctis fixis , sumptis in axev. gr. OZ ; sic facile determinabuntur pressiones M, N , Let M ', N ', L' exercitae in puncta illa juxta coordinatos a.xes Ox , OY, OZ. Exprimant m, n , l coordinatas uniusex duobus panciis , et m ', ní, ľ coordinatas alterius. Quouiam spectari debent24a: cosa, a cosa', wcosac' ,agens vero versus E' resolvetur in ternasm cos(1800—a): — arcus a, acos (1800—at'):—w cosa',a cos ( 180o -— ac'') ∶≖ −meos ac'':in primo casu ut librat ex bypOthesi vires P, P', .∙ ∙,in secundo vires Q, Q', . . .Igitur2X —l—w cosa::o, Zy-l—a cosa':o,ZZ—l-ar cosa:'':o,EA — z: cosa: :0,2B —a cosa':o,ZC—z.ïcos at'':o, Z (xï —7 X) −−∣−15 (fcosa''—-g cos ac) :0,2( a:Z—zX)-I—w(fcosa''—hcosa):o, XOZ—z?) −⊦w(g cosa''--hcosat'):o,E( aB—bA) —w(fcos a'—gcosa):o,2 (aC—cA)—-a(fcosa''-h cos a):o,2 (bC-cB) -zz(gcos a''- hcosac'):o.Eliminata a, prodibunt undecim aequationes, inde-pendentes ab ipsa a',inter quantitates datas.; quibus ae-quationibus expletis, habebitur aequilibrium, poteritque abuna quavis ex duodecim praecedentibus erui valor a.1394: Solidum corpus sollicitatum viribus, P P',P'', . . . detineatur duobus punctis fixis, sumptis, in axev. gr. OZ; sic facile determinabantur pressiones M, N, Let M', N', L' exercitae in puncta illa juxta coordinatos a-xes OX, DV, 02. Exprimant m, n, !coordinatas uniusex duobus punctis, et m', n'. [ coordinatas alterius. Quo-niam spectari debent25M, N , -L, — M ', - N - L'tanquam vires , quibus librantur caeterae P , P , P' ... ,ac insuper m = 0 , n = o , m' =0 , n = 0 , necnon ( 110. )(xY - yX ) = 0 : iccirco ( 8º. a '' )EX - M - M ' = 0 , EY -N - N = 0,8Z -L - L ' = 0 ,{ ( xZ - 2X ) + 2M + l'M' = 0 , E ( yZ – zY) +IN +Ľ N' = 0 ;quarum tertia nos edocet axem OZ premi vi XZ in directione z , reliquae vero suppeditant M , M' , N , N' . Si P ,P ' , P '' , ... evadunt parallelae axi OZ, et se dirigunt adplagam negativam , erunt ( 12: 13, 2° ) ,EX = 0 , EY = 0 , EZ = P - P - P ' -... = - R,ExZ- X ) = - xP - X'P' - '' P'' --... X, R,(y2 — zY) = - ype ' P' y '' P '' —... = - y . R;hic denotant P, P ', P '' , ... virium duntaxat intensitates. QuareM + M ' = 0 , N + N = 0 , L + L + R = 0,2M +I'M – x, R = 0 , 2N + IN - Y , R = 0 ;undeM = -M'1, R1 - T 'N = -N y R ,, LL ++ LEL' = - R.325—M,-FNg-Lg—M'g—N' '..L,tanquam vires, quibus librantur caeterae P, P', P''. ..,ac insuper m::o, '':D, in'-:(), ''' ∶−−⋅ o, necngn ( 110.)Xxï—yX :) o:iccirco( 80. a'''' )EX—M—M':o,2ï-—N-—N' :o,ZZ—L-—L' :0,Si xZ—zX)—I-lM-I— l'M':o,Z(yZ—-zï)—l-IN-l-!' N':o;quarum tertia nos edocet axem OZ premi vi ZZ in dire-ctione :, reliquae vero suppeditant M, M' , N ,N'. Si P,P',P'' ,... evadunt parallelae axi OZ, et se dirigunt adplagam negativam, erunt (12: 13. 20 ),ZX:o, Zïzo,zz :P—P'-—P''-—. ..

: — R,

XxZ—QX):—xP -x'P'-— x''P'' —-. .

:

. —a:. B,.2(yz ∙∙∙ zï):—yP—— r' P' —.7'' P'' ∙∙∙ ∙ ∙ ∙ ∶−∙ ∙−−∫∎ R;bic denotant P, P', P'', ... virium duntaxat intensitates. Quare∐−⊦∐∣∶∘∙∾⊣−∐∙−−∶∘∙ ↧⋅−↽↧⋅∙−↽≖↸≓∘∙≀∐⊣⊸I'M' — x,R:o, lN-i-l'N'—-y,R:o;nndeM: x,B -—M':—---—- r—z 'Nz—N' :-—l',y'—-—R—2,L-I—L':—R- 32614. Ex dictis de virium aequilibrio deduci possuntaequilibrii leges in Machinis. Sic v. gr. in vecte potentia librabit resistentiam seu pondus, quotiescumque ( sumptis( 10. 10 ) momentis quoad axem immobilem, circa quem potest vectis moveri ) momentum potentiae aequatur momentoresistentiae.Idipsum obtinet quoad Axem in peritrochio ; idipsum quoad trochleam fixam . Potentia et resisteutia istismachinis applicantur in directione parallela planis perpendicularibus axi immobili; perinde igitur ( 10. 10 ° ) erit sive in eorum uno sive in altero accipiantur momenta ;poteritque vectis repraesentari per lineam mobilem circapunctum fixum , quod dicitur fulcrum , hypomoclion : axisin peritrochio per circulares projectiones rotae ac cylindri in uno quovis ex dictis planis , mobiles circa commune immobile centrum : trochlea fixa per circulum rotatilem circa suum centrum , cujus circuli radius sit ipsetrochleae radius; verum quia in trochlea fixa nihil suntaliud perpendicula momentorum propria nisi trochleaeradii, ducti ad puncta ubi funis desinit ipsam trochleamtangere, ideo erunt aequalia , et consequenter aequilibriumin trochlea fixa importat potentiae ac resistentiae aequalitatem.Ad trochleam mobilem quod spectat , sit P (Fig. 10)pondus sustinendum a potentia Q : quoniam in casu aequilibrii , P et Q praebeant oportet resultantem R transeuntemper punctum fixum 0, iccirco ( 9. 10. ) Q : P = sin \beta : sin a= sin i : sin 2i = cos x : sin 2x = cos x : 2sin x cos1 : 2 sin ; ac proindePQ2 sin sPosuimus angulum OaQ dividi aequaliter directioneponderis P : id vero facile intelligemus animadvertendo , sifilum OaQ fixum in 0 et Q , tenditur vi applicita puncto26

14. Ex dictis de virium aequilibrio deduci possuntaequilibrii leges in Machinis. Sic v. gr. in vecte poten-tia librabit resistentiam seu pondus, quotiescumque ( sumptis(10. 100) momentis quoad axem immobilem, circa quem po-test vectis moveri ) momentum potentiae aequatur momentoresistentix-Idipsum obtinet quoad Axem in peritrochio ; idi-psum quoad trocbleam lixam. Potentia et resistentia istismachinis applicantur in directione parallela planis perpen-dicularibus axi immobili; perinde igitur( 10. 100) erit si-ve in eorum- uno sive in altero accipiantur momenta;poteritque vectis repraesentari per lineam mobilem circapunctum fixum, quod dicitur fulcrum, hypomoclion: axisin peritrochio per circulares proiectiones rotae ac cylin-dri in uno quovis ex dictis planis, mobiles circa com-mune immobile centrum: trochlea lixa per circulum ro-tatilem circa suum centrum,cuius circuli radius sit ipsetrochleae radius; verum quia in trochlea fixa nihil suntaliud perpendicula momentorum propria nisi trochleaeradii, ducti ad puncta ubi funis desinit ipsam trocbleamtangere, ideo erunt aequalia ,et consequenter aequilibriumin trochlea fixa importat potentiae ac resistentiae ae-qualitatem.Ad trocbleam mobilem quod spectat , sit P (Fig. 10)pondus sustinendum a potentia Q: quoniam in casu aequi-librii , P et Q praebeant oportet resultantem R transeuntemper punctum fixum 0, iccirco (9. 10.) Q: P:sin 13: sin «

: sin i :sin 2i:cos x : sin Zx:cos x: Zsinxcosx: 1: 2 sin a:; ac proinde

P Q''üü'Posuimus angulum OaQ dividi aequaliter directioneponderis P: id vero facile intelligemus animadvertendo, siiilum OaQ fixum in 0et Q ,tenditur vi applicita puncto∙∙∙ '. 'una-,.. ↙∙∙∎⋅−27a libere excurrenti juxta ipsum Oal , punctum a necessario permansurum in perimetro ellipseos , cujas foci O et Q;ideoque in casu aequilibrii vim illam fore perimetro ellipseos normalem ; quod certe importat praedictam anguliOaQ divisionem . Vide n. 55. 13 .Etiam sic : cum in casu aequilibrii funis ubique maneat aeque distentus , pondus P librabit resultantem R'ex duabus viribus aequalibus Q et concurrentibus apudpunctum a ; et quoniam R' aequaliter dividit angulum Oal ,idipsum dicendum erit de ponderis directione. JamveroR ' ( = P2) = Q + + Q2 + 2QQ cos 2i =2Q ( 1 +cos 2i) =4 Q* cos 2i = 4 Q* sinºx :rursus igiturP-2sin xangulo x = 90° respondebit minimal ; erit Q = P2si x = 30° ; vergente x ab 30° ad 09 , verget Q ab P ad co .15. Vectis primi generis nuncupatur , si fulcrum sitinter potentiam et pondus ; dicitur secundi generis si pondus sit inter fulcrum et potentiam ; denique si potentin me.dium locum teneat inter fulcrum et pondus , vectis tertii generis vocatur. Hinc vectes primi et secundi generis potentiam juvant , quatenus eo minor requiritur potentia ad datum pondus sustinendum , quo major est potentiae distantiaa fulcro relate ad ponderis distantiam ab eodem fulcro ;adeo ut quodvis pondus utcumque ingens possit vectis opea quacumque potentia utcumque exigua sustineri : quod cumbene nosset Archimedes , illud dixisse fertur Hieroni Regi ..dic ubi consistam , coelum , terramque movebo ,, : vectis autem tertii generis potentiam non juvat , quia in hoc vectepotentia minus distat a fulcro quam resistentia seu pondus.27

:: libere excurrenti juxta ipsum OaQ , punctum :: necessa-

rio permansurum in perimetro ellipseos, cuius foci O et Q;ideoque in' casu aequilibrii vim illam fore perimetro elli-pseos normalem; quod certe importat praedictam anguliOaQ divisionem . Vide n. 55. 13.0Etiam sic :cum in casu aequilibrii funis ubique ma-neat aeque distentus , pondus P librabit resultantem R'ex duabus viribus aequalibus Q et Q concurrentibus apudpunctum a; et quoniam R' aequaliter dividit angulum OaQ,idipsum dicendum erit de ponderis directione. Iamveroa'∙≺⇌−− re:? -1-Q*-l—2QQcos2i:2Q'(1-l-cva 20:4Q' cos 3i:4Q3 sin'x:rursus igiturPQ— 2sinx,angulo x:900 respondebit minima Q

: ä; erit Q:P

si a: 300 ,- vergente :: ab 300 ad 00,verget Qab P ad 00.

15. Vectis primi generis nuncupatur, si fulcrum sitinter potentiam et pondus; dicitur secundi generis si pon-dus sit inter fulcrum et potentiam ;denique si potentia me-dium locum teneat inter fulcrum et pondus , vectis tertii ge-neris vocatur. Hinc vectes primi et secundi generis poten-tiam iuvant, quatenus eo, minor requiritur potentia ad d'a-tum pondus sustinendum , quo maior est potentiae distantiaa fulcro relate ad ponderis distantiam ab eodem fulcro;adeo ut quodvis pondus utcumque ingens possit vectis opea quacumque potentia utcumque exigua sustineri :quod cumbene nosset Archimedes , illnd dixisse fertur Hieroni Regi ,,dic ubi consistam ,coelum ,terramque movebo ,, :vectis an-tem tertii generis potentiam non juvat , quia in hoc vectepotentia minus distat a fulcro quam resistentia seu pondus.28Ex indicata vectis theoria redditur ratio innumerabiliam effectuum quos quotidie cernimus fieri ; ac primo quidem quicumque ex lapidicinis extrahunt lapides utuntur utplurimum vecte ferreo : quoties autein multum resistit lapis sive propter magnitudinem sive quod nimis firmiter aliisadhaereat , tunc hypomoclion quam proxime ponderi admovent , ut facilius moveant , quod vulgo dicitur ,, dar laleva ,, . Pro hypomoclio antem utuntur quovis sustentaculov . gr. lapide ; saepe etiam cum duo lapides ab invicemsejungendi sunt , unus respectu alterius habet rationem hypomoclii . Hic notandum est maxillas quoque esse vectessecundi generis quum cibi dentibus molaribus comminuendi traduntur . Secundo : si avellendus est clavus ope mallei , quanto clavus , qui ponderis vicem obtinet , propiorfuerit hypomoclio , eo facilius educetur ; unde cum jam tantisper eductus est , ita ut extremitas mallei nequeat amplius insistere subjectae tabulae aut parieti e quo est deducendus , solemus aliud corpus interserere ut quam minimasit distantia. Tertio : in forcipibus quoque duplex est vectisprimi generis , quorum unum est commune hypomoclion ,clavus nempe circa quem uterque ramus volvitur , eoque validius stringetur corpus quo rami , qua parte secant , breviores , qua parte vero applicatur potentia seu manus , longioreserunt . Quarto : cum portas aperimus aut claudimus , eofacilius id praestamas , quo longius a cardinibus eas impelIimus , nempe janua est vectis secundi generis , cujas hypomoclion sunt cardines. Quinto : remorum motu cymbapromovetur , quia remi sunt vectes secundi generis , quorum bypomoclion est aqua , cymba est pondus seu resistentia , manus hominis sunt potentia applicata : hinc quomagis ab aqua remotae sunt manus quam punctum cymbae , cui remi insistunt , eo majus est potentiae momenium. Sexto : ex his etiam intelligitur cur difficillima sitbacali oblongi elevatio si per extremitatem accipiatur , elcur quo longior fuerit ipse baculus , eo facilius curveturaut frangatur.28Ex indicata vectis theoria redditur ratio innumerabi-lium efi'ectuum quos quotidie cernimus iieri ; ac primo qui-dem quicumque ex lapidicinis extrahunt lapides utuntur utplurimum vecte ferreo :quoties autem multum resistit la-pis sive prOpter magnitudinem sive quod nimis firmiter aliisadhaereat ,tuuc hypomoclion quam proxime ponderi admo-vent,ut facilius moveant, quod vulgo dicitur,, der inleva ,, . Pro hypomocliol autem utuutur quovis sustentaculov. gr. lapide; saepe etiam cum duo lapides ab invicemsejungendi sunt, unus respectu alterius habet rationem hy-pomoclii. Hic notandum est maxillas quoque esse vectessecundi generis quum cibi dentibus molaribus comminuen-di traduntur. Secundo: si avellendus est clavus ope mal-lei, quanto clavus, qui ponderis vicem obtinet, propiorfuerit hypomoclio , eo facilius educetur ;unde cum iam tan-tisper eductus est, ita ut extremitas mallei nequeat am-plius insistere subjectae tabulae aut parieti e quo est dedu-cendus , solemus aliud corpus interserere ut quam minimasit distantia. Tertio :in forcipibus quoque duplex est vectisprimi generis, quorum unum est commune hypomoclion,clavus nempe circa quem uterque ramus volvitur, eoque va-lidius stringetur corpus quo rami, qua parte secant, brevio-res, qua parte vero applicatur potentia seu manus ,longioreserunt. Quarto: cum portas aperimus aut claudimus , eofacilius id praestamus, quo longius a cardinibus eas impel-limus , nempe janua est vectis secundi generis , cujus hy-pomoclion sunt cardines. Quinto : remorum motu cymbapromovetur, quia remi sunt vectes secundi generis , quo-rum bypomoclion est aqua, cymba est pondus seu resi-stentia , manus hominis sunt potentia applicata: hinc quomagis ab aqua remotae sunt manus quam punctum cym-hae, cui remi insistunt , eo majus est potentiae momen-tum. Sexto : ex his etiam intelligitur cur difficillima sitbaculi oblongi elevatio si per extremitatem accipiatur ,etcur quo longior fuerit ipse baculus, eo facilius curveturaut frangatur.2916. Supponantur nunc plures quotcumque vectes itadispositi , ut potentia Q in 0 ( Fig. 11 ) magis , puta decuplo distet a fulcro A quam resistentia in L , quae similiter magis distet , puta noncuplo a fulcro C quam resistentia in K , quae rursus magis distet a fulcro D puta quintuplo quam resistentia in E , et haec similiter magis putaquadruplo distet a fulcro G quam resistentia in F , haecdenique duplo magis distet a fulcro H quam pondus P in B.Si res ita se habet , atque insuper potentia et pondus directiones habeant perpendiculares ad respectivos vectesfactis AO = a , CL = a ', DK = a '' , GE = a '' , HF - a '' ,AL = 6, CK = b' , DE = 6'' ,GF = 6 '' , HB = 6 ''b '' , eruntin casu aequilibrii,L. 6 E. 6 ''QF.6'' ''ilK =Kiba,KE FP. ''

;

aa''a 'IVex quarum multiplicatione prodibitb 6'6'' 6 '' 8 '' PQα α' αPa '' a '' 3600''Quisque videt haec applicari systemati cuicumque rotarumdentatarum.Supponantur quoque plures trochleae mobiles v.gr. tres(Fig. 12) ; erunt ( 14)QL2 sin r ''K рLE 2 sin ac '> K = ;2 sin xet consequenterQ =P23 sin x sin a ' sipx''Quod si detur systema coalescens ex trochleis fixisv. gr , C , C' , C '', C ''' ( Fig . 13 ) et ex mobilibus F, E, K2916. Supponantur nunc plures quotcumque vectes itadispositi , ut potentia Q in O (Fig. 11 ) magis , puta decu.plo distet a fulcro A quam resistentia in L , quae simili-ter magis distet, puta noncuplo a fulcro C quam resisten-tia in K, quae rursus magis distet a fulcro D piita quin-tuplo quam resistentia in E, et haec similiter magis putaquadruplo distet a fulcro G quam resistentia in F, haecdenique duplo magis distet a fulcro H quam pondus P in B.Si res ita se habet , atque insuper potentia et pondus di-rectiones habeant perpendiculares ad respectivos vectes,factis AO:a,CL :a', DK:a'', GE :a''',HF :a'',AL:&, CK:6', DE :6'', GF:b''', HB:ö'', eruntin casu aequilibrii,'''. ∙'''' Q—qy'b,L—K'£.,K:E'f ∙ !' ,E—Eb ,F—Pf ;a a a a aex quarum multiplicatione prodibitQ 6 b' 1)'' b''' 6''P P ⇠a.: ∙as an aut alv 3600Quisque Videt baec applicari systemati cuicumque rotarumdentatarum.. Su pponantur quoque plures trochleae mobiles v. gr. tres(Fig. 12) ; erunt (14). ⋅et consequenterQ.... 23 sinu: sinx' sin x''Quod si detur systema coalescens ex trochleis fixis''gr, C ∙∁⋅∣ C''. 0'' (Fig. 13) et ex mobilibus F, E, K30uno eodemque fane conjunctis ; quoniam , librato systemate ,funis ubique manet aeque tensus , ideo Q : Q = Q ''Q '' = Q '' = Q = Q '' = Q '' '' . JamveroF E KQ Q '''' QP 2sin x' ' 2 sin x2 sin 2et consequenterF = 2Q ' sin '' 2Q sin x '' , E = 2Q sin ü'' , K =2Q sin x ;cum igitur sintL = Q'' '' , F +E + K +L = P ,iccirco2 Q sin x '' + 2 Q sin x' + 2 Q sin x +Q = P :undePQ =1 +2 (sin x +sin x ' + sin x '' )Fac demum ut puncta materialia K , K ', K '' , K '''',( fig. 14 ) jungantur Glis K K' , K'K '' determinataequidem longitudinis, sed mobilibus circa K , K '' . Si puncta illa sollicitantur viribus Q , Q , Q '' , Q ''' , ad aequilibrium haec manifeste requirentur : potentia Q in directione K'K tendens ab K' versus K ; resultans R' exQ et Q' in directione K '' K ' tendens ab K '' versus K' ; resultans R '' ex R' et Q '' in directione K '' K '' tendens ab K'' '' 'versus K '' ; potentia Q ''' in directione K '' K' ' ' tendens ab K ''versus K' ' ' : demum ipsa Q's aequalis resultanti R '' .

* Denotantibus X , Y , Z componentes coordi

natis orthogonalibusque axibus parallelas , in quas resolvitur Q, erunt30uno eodemque fune coniunctis; quoniam .librato systemate,funis ubique manet— aeque tensus, ideo, Q:Q' ∶⋅−−−−∙ Q'' ∙∙∙−∙∶Qu::le:Qv :va :Qvu ∙IamveroF ∙∙∙ E v KQ −⇀⋅⋅ 2 SQ..— sin m' 2 sinxQ'—−⋅ Zsin x'' ∙et consequenterF:2Q'Isin a:'' ZQ sin x'', E:2Q sin x', K:2Q sinx; ⋅cum igitur sintLSva'sF4-E—FK—FL2P,iccirco—2Qsinx''—I-2Qsinx'—]-2Qsinx—l-AQ:P:nndeP1—l-2 (sinx-l—sin x' ∙−⊢ sin x'').Fac demum nt puncta materialia K,K' ,K'', K''', ..:(Gg. 14 ) iungantur filis K K', K' K'' , ... determinataequidem longitudinis, sed mobilibus circa K', K''. Si pun-cta illa sollicitantur viribus Q, Q' , Q'' , Q'' , ad aequi-librium haec manifeste requirentur: potentia Q in di-rectione K'K tendens ab K' versus K; resultans R' exQ et Q' in directione K''K' tendens ab K'' versus K'; re-sultans R'' ex B' et Q'' in directione K'''K'' tendens .ab K''versus K''; potentia Q''' in directione K'' K''' tendens ab K''versus K'': demum ipsa Q''' aequalis resultanti R''.& Denotantibus X , T, Z componentes coordi-natis orthogonalibusque axibus parallelas, in quas resolvi-⋅ tur Q, eruntQ;:31X YēzQcosinus angulorum , quos cum iis axibus intercipit l; denotantibus insuper 2 , y , z coordinatas puncti K , et x' ,j ', z coordinatas puncti K' , erunt2x yay 22KKKK KKcosinus angulorum, quos cum ipsis axibus efficit K'K ; obtinebit itaque primum ex requisitis ad aequilibrium, quotiescumque fuerintX XX YDKKKK .yg ZKÖK >K’K ''seuX Y Z(h ) .Quod in ordine ad Q est X , Y , Z , sit X', Y ', Z ' in ordine ad Q ' : si resolvitur l' in ternas coordinalis axibusparallelas, eae erunt ( 9. 40. )x + X ' , Y + Y ' , 2 + Z ';hinc designantibus a'', y ', z '' coordinatas puncti K'' , obtinebit secundum ex requisitis ad aequilibrium , ubi fuerintX + X __ * ' - '' Y + Y_y_y'' 2 + 2_z'- ''R ? KK R' K ” K R K''K'''.seuX + * _ * + Y_2_Zx - x yay 22( h ').31X ? ZQ Q Qcosinus angulorum, quos cum iis axibus intercipit Q; de-notantibus insuper a: , y , :: coordinatas puncti K,, et x',y', s' coordinatas puncti K' ,erunt⋅⇂⋅−−⋅⊴⇂∙∣ .7-7'' z—z'K'K , K'K . K'Kcosinus angulorum, quos cum ipsis axibus efficit K'K: ob-tinebit itaque primum ex requisitis ad aequilibrium, quoties-cumque fuerint '≟−−−⋅−∝−−≄∣ it.s,-ï ZQ K'K'' 'Q K'K ''G'ka' ↽−≖∙⊍↼∙≕∣seu gx zr—x' y—y' x—z'Quod in ordine ad Q est X , T, Z , sit X', ï', Z' in or-dine ad Q':si resolvitur Q' in ternas coordinatis axibusparallelas, eae erunt (9. 40.)X—FX' , T—Fï' , Z—l-Z' ; ↽hinc designantibus z', y'', :'' coordinatas puncti K'', ob-tinebit secundum ex requisitis ad aequilibrium , ubi fuerint ⋅X—l—X' x'-x'' T—l-Tl—TI—j''' ∅⊣−⊈∣↼↼≂∣∙ z''B' ⋅⋅⇀∣⋦∣∣↓⊊∣ ∙ nf- KI/KT '-T—KHK' '—....t ∙⇁−⋅∣ ↖↽∙∣ ∣X X TT—Z-Z.(h)./ II I I/32non pluribus opus est ut intelligamus quod, expletaX + X + X '' _Y + Y + Y '' _Z + Z + Z ''x ' - 0 '' g'my '' z ''' - ''( h'' ) ,''obtinebit tertium ex requisitis illis ; componentes X” , Y'' ,Z'' spectant ad vim Q '', coordinatae z ' ', y, pun.clum K ''' . Designantibus demum X '''' , YY ' '','' , Z ''componentes in ordine ad Q'' , expletisqueX + X + X '' + X '' = 0 ,Y + r' + '' + I'' = 0 ,2 + 2 +2'' + Z '' = 0 ,( h '' )manifeste obtinebit quartum simulque quintum ex requisitis ad aequilibrium. Sub novem igitur distinctis conditionibus propositum quatuor virium systema consistet inaequilibrio: si quinque darentur vires , undecim prodirentconditiones; generatim 2 n + 1 conditiones quoad n vires.Collatis primis ac secundis membris formularum ( h) , (h') ,( h'') , emergentY ( 2 - x ) – X (y - ) = 0 ,( Y + Y') (a' - '' ) – ( X + X ') ( 7'- , ' ) = 0 ,( X + Y' + Y '') ( ' < '' ) — ( X + x ' + X '') (y '' , ' ') = 0;''quarum summa praebetxY_yXfwY — y'X ' + x '' Y '' —y '' X '' + '' ( X + X' + x '') —x '' ( Y + Y ' + Y '' ) = 0 ,∃⊈∙non pluribus Opus est ut intelligamus quod, expletax-1-xq-x'Q—v-1-rq-rff—z-i-zq-z'' W,),xli—xlli J/l ∙∙⇁ 7'', z''—z'''obtinebit tertium ex requisitis illis; componentes X'', ?'',⋅Z'' spectant ad vim Q'', coordinatae x'''. '', z''' ad pun-ctum K'' . Designentibus demnm X''', ï''', Z''' componen-tes in ordine ad Q''' , expletisque\sum∙⊦\sum∣∙⊢\sum∦⊹\sum∣∥∶∶∘∙T .l-T-l-TII—l- III,: 0 , (hi/I)Z-i-ZIä-le-l—ZIflzo'manifeste obtinebit quartum simulque quintum ex requisi-tis ad aequilibrium: Sub novem igitur distinctis condi-*tionibus propositum quatuor virium systema consistet inaequilibrio: si quinque darentur vires, undecim prodirentconditiones; generatim 2 n ⊣− ↿conditiones quoad :: vires.Collatis primis ac secundis membris formularum (I:), (b'),U;'' ), emergent?(x—x') —X (?'—?') −∙−−−∘ ∙(ï—l— !' )(x' ∙∙∙ x'')—( X-l-X') (r'—y'') :o,(HF-IJ'') (x''-— ∣∣∣≻⊣≖≖−⊦\sum∣−⊦\sum∥≻ (y'—y''')−−− .;quarum summa praebetxy-Jx-Jlïl—y/X/ :'' ï''—y''X''—l—y'''(X XLI-X'') ∙−⋅↕∣∣∣≼↕⊹⊺∣⊹↕∥≻ :0 ,33seu , ob primam et secundam ( hm) ,-Y yXTY'y'x + x'Y'' _7 / X '' + x '' I '' —7'''X '''''Simili modo collatis primis ac tertiis membris ipsarum ( h) ,( h') , ( h'' ), attentisque prima ac tertia ( h '''') ; itemque collatis secundis ac tertiis membris earumdem ( h ) , ( h ) , ( h'' ) ,''attentisque secunda ac tertia ( h ''') , assequemur'''xZ - 2X + « Z_z'X' + x'Z'' _z''X '' Tx '' Z '''' —Z'y'' = 0 ,''32—3Y + y^2?–49 + ''Z'' >''Y '' +y '' Z'' — ;'' Y'' = 0 .Conditiones videlicet aequilibrii ( 13. 8º. ) quoad systemapunctorum lineis rigidis inter se firmiter connexorum includuntur in conditionibus aequilibrii quoad propositumsystema habens formam variabilem .

De centro gravitatis.recensere

17. Constat experimentis corpora jugiter sic tendere, seu gravitare in tellurem, ut sibi commissa descendant verticaliter in eius superficiem, gravitas ergo, seu vis unde provenit iste verticalis descensus, eatenus haberi poterit pro sibi ad sensum parallela, quatenus licebit superficiem illam habere pro physice plana: constat insuper experimentis omnia quaevis corpora eodem tempore idem spatium verticaliter in vacuo percurrere, idest aequali velocitate ex aequali altitudine perpendiculariter ad horizontem descendere. Inde sequitur vires gravitatis in diversis corporibus esse illorum massis proportionales, et corpus quodlibet spectari posse tanquam aggregatum materialium graviumque particularum, quae gaudeant parallelarum virium proprietatibus: centrum virium parallelarum (12) in casu dicitur centrum gravitatis. Resultans ex omnibus gravitatis viribus, quae vigent in corporis particulis, vocatur corporis pondus; transit constanter per gravitatis centrum, et directionem obtinet horizonti perpendicularem.

Porro si massula indefinite parva apud datum corporis punctum dividitur per respondens volumen , ratio vocatur corporis densitas apud illud punctum; diciturque corpus vel homogeneum, vel heterogeneum prout apud singula corporis puncta est vel eadem, vel diversa; in corporibus homogeneis ratio est eadem ac ratio inter totalem corporis massam et ejus totale volumen; pondusculum massulae , utpote proportionale ipsi , exprimitur per ductam in quandam constantem ; ratio appellatur specifica corporis gravitas apud praefatum punctum; estque densitati proportionalis.

18. Notetur illud: etsi corpus gravitate sua jugiter sollicitatur deorsum; hoc tamen non officit quominus adhuc (2) dicatur corpus de se et natura sua indifferens ad quietem vel motum. Gravitas enim est dumtaxat vel aliquid extrinsecum corpori, vel illi intrinsecus additum, non autem aliquid eidem essentiale. Patet, quia vel nomine gravitatis intelligitur vis quaedam, qua corpora versus terram urgentur, vel vis qua tendunt ad determinatam quamdam spatii immobilis partem. Non hoc secundum, quia eo ipso casus purus admitteretur contra principium rationis sufficientis, cum nulla appareat ratio cur mobile ad hanc potius partem ferri debeat quam ad illam, cum spatium ubique sit homogeneum; ergo primum erit dicendum: sed si ita est, certe gravitas non est corporibus essentialis; nulli enim corpori essentiale est ut sibi caetera coexistant, ac proinde unum potest existere quin existant caetera, et consequenter etiam quin existat terra.

19. Dato centro gravitatis corporis, facile definitur utrum corpus in dato situ extra lapsus periculum constitui possit. Nam ex eo centro demissa ad planum horizontale recta perpendiculari, quae vocatur linea directionis, si haec intra basim cadat, corpus extra lapsus periculum erit positum, secus ruet in eam partem in quam perpendicularis recta dirigitur. Hinc patet ratio cur turres aliquae inclinatae non cadant, ut sunt Bononiensis, Pisana etc: linea scilicet directionis extra ipsarum basim non excurrit. Hinc etiam valde pingues, et qui magnum aliquod onus brachiis complectuntur, retrorsum; gibbosi autem et bajuli antrorsum; qui dextra pondus aliquod sustinent, sinistrorsum; qui vero sinistra, dextrorsum inflectuntur. Per hanc scilicet declinationem efficiunt ut linea directionis transeat per spatium, quod inter pedes continetur; quod spatium est basis corporis humani. Eamdem ob caussam si quis velit ex. gr. dextero pede stare, crus inclinat paullulum dexteram partem versus, nec diu haerere potest in eo statu , quia cum basis totius corporis sit unus dumtaxat pes, linea directiouis facile potest basis tam anguslae limites praetergredi. His autem corporis nostri flexibus ac librationibus ita ab infantia assuevimus usu continuo ut nec advertentes recto illas ordine peragamus. Patet hinc denique cur aves uni pedi insistentes dormire solent capite sub ala recondito; id nempe faciunt ut linea directionis intra pedis cui insistunt latitudinem servetur.

20. Centrum gravitatis inveniri potest vel ratione mechanica, vel ratione, algebraica. Ad primam quod attinet, si corpus aliquod filo suspendas, volvetur converteturque donec in aequilibrio tandem consistat, et filum ad terrae superficiem perpendiculariter dirigatur. In hac perpendiculari, quae est linea directionis per quam centrum gravitatis corporis tendit, erit centrum ipsum. Iam notetur linea a filo perpendiculari in corpore designata, rursusque ex alio puncto suspendatur corpus, et facto aequilibrio linea perpendicularis pariter notetur. In communi duarum linearum intersectione reperietur quaesitum centrum. Ratio algebraica desumitur ex dictis ( 13.2.ºa" ): sumantur nempe vires proportionales massis , ..... punctorum, quibus applicitae sunt; hoc pacto, ad positionem centri gravitatis determinandam exsistent

Si corpus intelligitur divisum in varias portiones dimensionis finitae , et earum massae denotantur per , adhuc valebunt formulae (b); nihilque aliud erunt , ... nisi coordinatae centrorum gravitatis illarum portionum. Si corpus ponitur insuper homogeneum quoad omnes partes, erunt massae ut respondentia volumina; poteruntque haec illis substitui in formulis (b) : quisque videt coordinatas , ex (b) haud pendere ab intensitate gravitatis. Caeterum plures sunt casus, in quibus centrum gravitatis absque formularum subsidio immediate cognoscitur. Sic in linea recta centrum gravitatis est medium ipsius rectae punctum: in parallelogrammo punctum, ubi binae diagonales se mutuo secant: in circulo centrum figurae: in cylindro habente bases parallelas punctum medium axeos:in parallelepipedo punctum, ubi quatuor diagonales se mutuo secant: in sphaera ipsum magnitudinis centrum.

In triangulo centrum gravitatis est punctum illud, ubi sese invicem secant rectae lineae, quae a duobus trianguli verticibus ducuntur ad puncta media laterum oppositorum: cum enim (Fig. 15) dividat aequaliter rectas omnes lateri parallelas, et rectas omnes lateri parallelas, reperietur centrum gravitatis areae triangularis tam in quam in ; ideoque erit in . Jamvero ducta , ea exsistet parallela lateri ; et consequenter triangula erunt similia; hinc

sed, ob et , est DE = ; igitur ; ac proinde ; et .

In pyramide triangulari (Fig. 16) erit centrum gravitatis; ubi nempe se mutuo secant binae rectae , quae ex et ducuntur ad centra gravitatis et triangulorum . Secetur enim pyramis,

1.º planis parallelis triangulo ,

2.º planis parallelis triangulo ; transibit per centra gravitatis omnium illarum sectionum triangularium; transibit per centra gravitatis omnium harum. Ergo pyramis habebit suum gravitatis centrum tam in quam in , et consequenter in . Ducatur nunc ; erit parallela rectae , et triangula similia praebebuntSed, ob et , est ;ideoque ; igitur , et .

De corporum collisionerecensere

21. Quaestio de corporum collisione eo redit, ut datis velocitatibus ante collisionem, determinentur velocitates post collisionem. Corpora sese collidentia assumimus sphaerica, et in singulis stratis concentricis homogenea; in quibus proinde corporibus centrum gravitatis erit ipsum magnitudinis centrum. Corporum sese collidentium centra vel moventur in eadem recta, vel in diversis rectis; in primo casu collisio dicitur normalis, in secundo obliqua.

22. Invenire velocitatem , quam habent duo data corpora non elastica post normalem collisionem, datis eorumvelocitatibus et ante collisionem. Dicantur corporum massae; erunt quantitates motus ante collisionem: eatenus corpus subsequens agit in antecedens quatenus hoc lentius illo movetur, adeo ut perseveret actio donec ad aequalitatem velocitatis deveniatur; unde velocitas post collisionem erit communis, et aequalis in utroque: summa praeterea quantitatum motus est eadem ante et post collisionem; velocitas autem obtinetur dividendo quantitatem motus per massam. Ergo demum

Haec observentur:

1.° exprimit quantum velocitatis acquisierit corpus antecedens, quod ponimus esse; et quantum amiserit impellens .

2.° consideranda erit pro lubito alterutra velocitas tamquam negativa, si corpora ex oppositis plagis adveniunt; hinc in formulis ubicumque ea inveniatur, signo contrario erit adhibenda - Sic v. gr. si massae directio habeatur pro positiva, sumenda erit negative, ac proinde .

3.° ponetur , si corpus impellendum quiescit; erit : hinc ferme evanescet si massa sit physice infinita respectu .

4.º numquam habebitur perfecta quies post collisionem si et in easdem partes oppositas, et velocitates sint reciproce ut massae, tunc , et consequenter habebitur perfecta quies.

23. Invenire velocitates corporum perfecte elasticorum post normalem collisionem, datis velocitatibus ante collisionem. Perspicuum est hujusmodi corpora sequi leges non elasticorum toto compressionis tempore, tum restitutionis tempore effectum hunc instaurari. Ergo facta partium restitutione inveniri debet in corpore impulso dupla velocitatis acquisitio; dupla vero celeritatis amissio in impellente. Itaque si dicantur r' ' et " velocitates corporis impellentis et corporis impulsi post factam restitutionem ,erunt ( 22)u " = V - 2 ( 0--0" ) = v - 2my + msmtm2 mv tv (m ' — m)( 9 ),m + m(1vi " = 0 + 2 (0 " ~ v ) = 2 + 2 ( -v)mv + m'sm + m2 m ' ú tu (m - m ')(9) .mtm

24. Haec ex formulis (9) et (q' ) deducuntur .

1.• Si massae sunt aequales , elastica corpora post collisionem movebuntur .facta velocitatum permutatione, Nammoveantur primo in eamdem plagam ; propter m = m' , formula (9) abit in2 m v'et ( 9 ') in 3,10 v' ; ergo etc.Rursus praeter m = m ' habeatur etiam v = 0 , hoc est cor2 mopus percussum quiescat; erit v = 0 , et v ' . = V ' ;corpus nempe percutiens post collisionem quiescet , et per2 mv2 m 2 m2 m139moveantur, vel* alterutra solum quiescat :quod si collisioliat ad partes oppositas ,et velocitates sint reciproce ut mas-sae, tunc v":o ,et consequenter habebitur perfecta quies.

23. Invenire velocitates corporum perfecte elasticorumpost normalcm collisionem, datis velocitatibus v', 0 ante col-lisionem. Perspicuum est huiusmodi corpora sequi leges nonelasticorum tOto compressionis tempore, tum restitutionistempore effectum hunc instaurari. Ergo facta partium re-stitutione inveniri debet in corpore impulso dupla velo-citatis acquisitio; dupla vero celeritatis amissio in impel-lente. ltaque si dicantur v'" et v" velocitates corporis im-pellentis et corporis impulsi post factam restitutionem ,erunt (22)''um:-D' --2 ('n'—v") :'--2 (,; ∙−−−−−−−−⋯⇂↓−⊢⋯∣∣↗ m −−⊢ m )..2 mv −⊢∣v (m' −∙∙ m)'m ∙−∙∙ m' ∓∎∎∎∎∎∎ (9):W:w—l-2(v"—v):v-l—2 Maii:-31; -v)-"2mv—l-v(m-—m) (qr).m-l-m' J—24. Haec ex formulis (q) et (q') deducuntur.↿∙∘ Si massae sunt aequales, elastica corpora post colli-sionem movebuntur.fdcta velocitatum permutatione, Nammoveantur primo in eamdem plagam; propter m:m', for-mula (q) abit in2 mv ' ∙2'"'v'"::«v p. . ,et (q ) 111 10": :v ; ergo etc.a m'-Rursus praeter m:m' habeatur etiam :::o , hoc est cor-- -∣∣∣ tv 2 m "( pus percussum qutescat; er1t a::o, et a:::'v ; mcorpus nempe percutiens post collisionem quiescet , et per-40cussum movebitur velocitate , quam percutiens habebat antecollisionem . Demum sibi mutuo occurrant : ubicumque ergoinvenitur v , sumenda erit negative ; qua mutatione facta ,habebuntur2 mv 2 mv'2 mv, et viv v' .2 mJam vides mutationes velocitatum exhiberi per ipsas litteras , et ubi debeat etiam mutari directio , regressus exprimitur per mutationem signorum.2.• Si statuatur series corporum perfecte elasticorum , aequalium , se mutuo tangentium , et quorum centra unamrectam constituant , in primum autem quacumque velocitateincidat alterum corpus aequale , movebitur tantummodo corpus ultimum , quiescentibus omnibus aliis . Quod si statuatur series corporum habentium massas in progressione geom3,metrica m' , m, ... ; et caeteris quiescentibus, primum m' incidat in secundum velocitate v' , exprimentm2m ? m2 mv' .m +m (m *:)*,~(m2 I )mvelocitates excitatas a primo in secundo , a secundo in tertio , a tertio in quarto etc. Denotante igitur n numerum corporum , movebitur ultimum velocitate2 m'N- 1ICena ntmi).3. Quotiescumque corpus impellens minus erit corporeimpacto quiescente , toties illud regredietur , uti patet exformula ( 9 ) , posita v = o et m > m' . Quod si m =et v =0 , prodibit v = -1 , nimirum si globus minor∢⋅∘cussum movebitur velocitate ,quam percutiens habebat antecollisionem. Demum sibi mutuo occurrant :ubicumque ergoinvenitur :: , sumenda erit negative; qua mntatione facta.,habebuntur2mv " 2mv'

—-v,et'v :

2m ∙∙−−−∙⋅∙≀≀∙ 2mIam vides mutationes velocitatum exhiberi per ipsas litte-ras , et'ubi debeat etiam mutari directio , regressus expri-mttur per mutat1onem signorum.2." Si statuatur series corporum perfecte elasticorum, ae-qualium, se mutuo tangentium, et quorum centra unamrectam constituant,in primum autem quacumque velocitateincidat alterum corpus aequale , movebitur tantummodo cor-pus ultimum, quiescentibus omnibus aliis. Quod si statua-tur series corporum habentium massas in progressione geo-∙ m! ma. metrtca m', m, ∙ ∙ ∙ ∙ "7, , m .; et caeterts qmescenttbus , prt-mum m' incidat in secundum velocitate v', exprimentv,2m' ⋅∙ 2m' :,( 2m' 3m—l—m" 'v (m—l—m')", m-l-m'velocitates excitatas a primo in secundo , a secundo in ter-tio, a tertio in quarto etc. Deuotante igitur n numerum cor-porum , movebitur ultimum⋅⋅⋮ velocitate ea"3." Quotiescumque corpus impellens minus erit corporeimpacto quiescente ,toties illud regredietur , uti patet exformula (q) , posita v :o et m m'. Quod si ut:eaet 9

o

, prodibit v'":-— v' , nimirnm si globus minor41incurrat in globum immensae massae quiescentem , resilietcum velocitate eadem , cum qua advenerat .4.• Si duo corpora elastica occurrant sibi velocitatibus v , v ', quae massis m, m ' reciproce sint proportionales ,eadem qua venerant velocitate ambo resilient. Etenim cumex oppositis partibus corpora congrediantur , ac praeteream : m ' :: v ' : v , in formulis ( 9) , ( 9' ) sumenda erit » negative ,et ponendum mv = m' '; quibus peractis , obtinebiturv ' " = > " (m + m )et viv=vIm + mno-tmImtin-- 5. ° Ex ipsis ( 9) et ( 9' ) eruitur m'y's mulam 'ustomus: factum ex massa in quadratum respondentisvelocitatis dicitur vis viva ; hinc in corporibus perfecteelasticis summa virium vivarum permanet eadem ante et postcollisiopem .

25. Formulae ( 9) , (9 ') aptari possunt etiam corporibus,imperfecte elasticis , modo quantitatibus2(v— mm Imus)my tmsmtmet 2( mahumy + mvm + m--)substituantur(n+ m ( = m **)e (1+- ( Inv—-).denotante r rationem inter vim , qua partes sese restituunt , et vim comprimentem. Quantitas r experimentis determinanda est in singulis corporum speciebus : fac ut mquiescat , sitque co ; erit post collisionem '" = -ru':unde , cognita velocitate v' ., qua m ' offendit in m , et velocitate negativa v , qua post impactum resilit , habebitur-4⋅↣' 41incurrat in globum immensae massae quiescentem ,resiliatcum velocitate eadem, cum qua advenerat.49 Si duo corpora elastica occurrant sibi velocita-tibus v, v', quae massis m, m' reciproce sint proportionales ,eadem qua venerant velocitate ambo resilient. Etenim cumex oppositis partibus corpora congrediantur , ac .praetereaut :m'::v':9, in formulis (q) ,(q' ) sumenda erit .9 negative ,et ponendum m 9:m' v'; quibus peractis , obtinebiturv'":— v' (Z.—lm,) :-v'. et v":v (m )

v.∙∙⊢⋯⋅ ⋯∙−⊦⋯∂∙∘ Ex ipsis (q)et.(q') eruitur m' v'"3-l- mv"::m'∎∣∣≖ -l-m vi: factum ex massa in quadratum respondentisvelocitatis dicitur vis viva; hinc in corporibus perfecteelasticis summa virium vivarum permanet eadem ante et postcollisionem. .

25. Formulae (q), (q')'aptari possunt etiam corporibus ,imperfecte elasticis , modo quantitatibus .2(v,—nw—-mlv) et/2 (mv-l-mlv m-l-m —v) mmsubstituantur (1 44) (v'. m.,-(.m'v') et≰↿⊹↗⋝⋅≼⋯⇂≩−−⋯⋅∣⇂≀∣ ∙∙∙∙∙ v) ∙∦⇂⊣−⋯≳ m—l—mdenotante r rationem inter vim, qua partes sese resti-tuunt , et vim comprimentem. Quantitas r experimentis de-terminanda est in singulis corpürum speciebus :fac ut 11:quiescat , sitque :co ; erit post collisionem v'":-r v':unde , cognita velocitate v' ., qua m' olfendit in m, et velo-citate negativa v'", ua post impactum resilit, habebitur '42

26. Ad collisionem obliquam quod pertinet , si corpora sibi mutuo occurrunt directionibus convergentibus bm , b'm( Fig.17 ) et velocitatibus expressis per easdem rectas bm ,b'm ', resolvantur bm , b'm ', altera in duas by, ba, altera in duas b'y ', b'a', ita ut by, b'y' existant normales , ba vero et bá parallelae sint rectae m m corporum centra jungenti. Quoniam componentes b y , b'y' parallelae sunt tangenti TT ductae per punctum contactus, ab ipsis nullo pacto pendebit collisio, nullamque in collisione subibunt mutationem . Corpora igitur sese collident velocitatibus ba = ym, b'a' =y'm '. Inventis itaque ( 23 ) v " , et v , sumptisque ex. gr. mf = y " , mi = " in recta y r', et ductis mv = by , m'ú= bóý , si complentur parallelogramma fv, iv', exprimentur per diagonales mf, m'i' tum velocitates , tum directiones corporum post collisionem. Haec autem ex modo dictis facile colliguntur;

1.º Si globus minime elasticus iacidit oblique in planum immobile, progredietur secundum directionem plani cum velocitate m'v ' ( = a'm '), quae ad velocitatem priorem b'm ' erit ut sinus anguli incidentiae b'm'y' ad radium.

2.º si globus fuerit perfecte elasticus, resiliet per m'z efficiendo angulum reflexionis z míy aequalem angulo incidentiae b'm'ý .

3.° quod si globus incidens sit imperfecte elasticus, resiliet ad angulom i'm'y ', cujus cotangens ad cotangentem anguli incidenliae b'm'y ' ut r : 1 .

De motu rectilineo utcumque vario.recensere

27. Nonnulla hic praemittimus ex analysi infinitesimali.1.o Quantitas iniinitesima a: (minor videlicet qua-cumque data utcumque parva) censeatur esse primi ordinis ;«2 erit inlinitesima secundi ordinis; «3 iniiuitesima tertii; etc.2." Inlinitesima a) dicetur esse primi ordinis si ra-∙ G) ∙ ∙ ∙a tno ∙.. valorem habet (imtum, secund1 s1 ∙−− valorem obtinetac «:43similiter finitum , atque ita porro . Denotante generatim kvalorem illum finitum , poterit infinitesima quantitas ordinismsimi exhiberi perw kam3. Sumptis aliis valoribus finitis k,; ka, ... km ,habentur pro aequalibuskmetkam tk , an- tkzam- ² + ... + kmiat kmakm_ ,a et kam + kamer + ... + km_, & ,kmed k * et kam + kamer t . tkm -rQ ?.etc .... ;admittuntur nimirum aequationeskam tka"-t ... tkm , at kmkmkam +k ,am -s +... +kimeza? + kmailkm ,51etc.quatenus differentia inter utrumque membrum est minorquacumque data quantitate alcunique parva. Huc spectatillud : quantitates infinitesimae , quaecumque eae sint, et quorumcumque ordinum , absque ullo errore negliguntur praequantitate finita : itemque infinitesimae quantitates altiorumordinum absque ullo pariter errore negliguntur prae infinitesima quantitate inferioris ordinis.4.0 Quantitates infinitae ( majores videlicet quacumque data utcamque magna) cum possint exprimi person43similiter tinitum, atque ita porro . Deuotante generatim kvalorem illnm finitum, poterit intinitesima quantitas ordinismsimi exhiberi perm::ka"3." Sumptis aliis valoribus finitis k,,It,,... k,",habentur pro aequalibus

, et kat'-I-k, ∝⋅⋅−≖⊣−≀∣≖∝∙−⋅≖−⊦ −⊦↗⊏⋅∙∙⋅∝−⊦∣⊏⋅⋅∙

∄⊄⋅⋅∙≖∘≖ et ka" ⊣− 1, ∘⋍⋅∙∙⋅⋅⊳⋅ ⊣− ⊣− r.,, a: -It,... «* et kat" −⊦ kp?" -]— ∙∙∙−∣⋅⋅ km., æ.etc-eoo ;.admittuntur nimirum aequationes ⋅ '↗⊄⊧∘↙⋅⊣−∣∁⋅⊶⋅∙−⋅⊣−∙∙∙∣−⊦↗≂⋅∙∙⋅⊄−⊦↳↿ ⋅km .lkan-l-Ic,ac""-l--. "'l-kaum",hngua −⊦⋠⋅∙∙∙∸⇂⇉⊄∙−⋡↿ ⋅ «⋅etc. ∙ ∙ , . ... ⋮∙ ;,-∣

quatenus differentia, inter utrumque membrum'est'minorquacumque data quantitate utcumque parva. Huc. "spectatillud :quantitates inünitesimae, quaecumque eae sint. et quo- ∙rumcumque ordinum, absque ullo errore negliguntur praequantitate finita :itemque infinitesimae quantitates altiorumordinum absque ullo pariter errore negliguntur prae ⋮≖≖∅≖∙≖∃∙∙ tesima quantitate inferioris ordinis.∙∡∙∘ Quantitates infinitae (majores videlicet qua-cumque data utcumque magna) cum possint exprimi per-;,44tribuentur et ipsae in varios ordines ; illudque facile stabilietur : quotcumque finitae quantitates tuto : negligunturprae quantitate infinita ; quantitatesque infinitae ordinum inferiorum tuto etiam negliguntur prae quantitate infinita altioris ordinis. Facto enim \beta . , et designantibus a, b,c, ... , 9valores finitos , habebitur1. 0a \betam + bBm - tom-> + ... +9\betato1EL-la + bw twat..tqomat ww .5.- Si variabiles x, y sunt inter se per certam quamdam relationem ita connexae ut data v. g. X , inde possitvalor y determinari , y vocatur functio quantitatis x ; ipsavero x dicitur independens. Si relatio inter x et y exprimitur aequatione minime resoluta quoad functionem y habitam pro incognita , y appellatur functio implicita ; quod sivalor y detur expressus immediate per independentem x,vel talis obtineatur per aequationis resolutionem , y diciturfunctio explicita. In aequatione v, g. yo -2xy + m2 =0y functio implicita quantitatis variabilis x ; at facta resolutione , evadet y functio explicita ipsius x , duplicemquehabebit valorem , scilicet y = x + Vx? m2 , Functiones explicitae quantitatis x designari solent in hunc modumest-F ( x) , f ( x) , ..6.0 Differenziale dx quantitatis x est incrementuminfinitesimum , quod ipsi x adscribitur : differentiale vero dyfunctionis y = f (x ) est respondens incrementum f ( x + dx)- f (x ) .quod ob variatam x recipit in se functio illa : proponantur v. gr. invenienda differentialia functionum44tribuentur et ipsae in varios ordines ; illudque-facile stabi-lietur :quotcumque finitae quantitates tuto.: negligunturprae quantitate infinita; quantitatesque infinitae Ordinum in-feriorum tuto etiam negliguntur prae quantitate infinita altio-ris ordinis. Facto enim þ:S;, et designantibus a,b,c, ..., qvalores linitos , habebitur∘∣⊰⋅∙⊣−∂↙⊰⋅⋅∙⋅≖−⊦∘≀⊰⊶−≖ −⊦⋅⋅⋅ ⊣−⊄∣⊰−⊦ .∸−−te». "(a ∙⊸⊦bæ—l— ccc" −⊦∙∙ .-l—qm""' ∎∙−∣− r m'").5." Si variabiles æ,y sunt inter se per certam quam-dam relatidnem ita connexae, ut data v. g. a:,inde possitvalor ]determinari ,;vocatur functio quantitatis se: ipsavero «: dicitur independens. Si relatio intern- et y expri-mitur aequatione minime resoluta quoad functionem ]habi-tam pro incognita ,]appellatur functio implicita ; quod sivalor y detur expressus immediate per independentem :,vel talis obtineatur per aequationis resolutionem ,]diciturfunctio explicita. ln aeqnatione v,- g. ;" -—,2ay −⊢ ⇑∙∅:oest 7 functio implicita quantitatis variabilis z'; at facta re-solutione, evadet ]functio explicita ipsius a:, duplicemquehabebit valorem, scilicet 7—:a:∶⊨ ⇂⋅∕⋅↕∙≖ −− m'. anctio-nes explicitae quantitatis a: designari solent 1n hunc modum,F (x), f(x),... ⋅∙6."Dill'erentiale dx quantitatis x est incrementuminfinitesimum , quod ipsi :: adseribitnr :differentiale 'vero dyfunctionis y:--f (x) est respondens incrementum f(x dx)—f(a:), quod ob variatum se recipit in se functio illa: pro-ponantur v. gr. inVenienda difi'erentialia functionum45at +6,9 +0,24+ Cisin x + C , cos x+c ,tang x + C, log x + C , a ' tc ,ubi a et C sunt quantitates constantes.Erit I. dy = [ alx + dx ) + ] - [ax + C ] = adx.aII.dy = [ f'da+ c ]- [* + c]atda Xadotadxx2 + xdx.III.dy = [ ( x + dx)* + C]-[x4 +C]=ax“-'dx + 29,a'a- 1 )24-2d.22t . ax-' dx .IV.dy = [ sin ( x + dx ) + c ]- [sinx + C ) = sin ( x + dx ) — sinx2 cos 2xdx)sinh dz = 2cosx sind = cos xdx .V.dy = [cos ( c + dº + C ]- [cos.FC ] = cos ( c - day -cosx =2 sin - (2x +dx)sin __ (x -x -dx) = sin xdx.VI.dy = [tang ( xtdx )+c] - [langat.C ]=sin ( x + 2x)cos(x + dx )sinx cosxsin (xtdx)-sinxcos( x + dx ) sin ( x + dx - x )cos2 cosx cos ( cdc )cos2x45a'−⊦∁∙−⋮∙−∙⊹ C, æa-l- C,'sin a: ∙⋅⊢ C,cos æ-l-C,tang æ-l—C, logæ-l— C, ar-l-C,ubi a et C suntquantitates constantes.Erit l. dy: [a( æ-l—dx) ——C ]— [ux—I»- C ]:adæ.∥⋅↙∣↗↗⊣⋤⋮⋅−−⊦ (i]—[?" C]— jd,— :—∥∣∙↙∄∫⇋∶∐↕⊹≴≀↕≻⋅⊹∁⊐∙⋢∞⋅⊹∁∃≕∞≕∙∣↙≀↝⋍⊹↽∘↙↙⊑⋅∣≱↶∶⊄−≖∠≀↓⋅≖"I- ∙ ∙∼ ∙ :aæ"-' dx.IV. a];:[sin(æ-l-dæHCI-[sinæ-l-C] :sin(æ-l—dæ)— aina:

2cos—;..(Zæ-l-dæ)sin-—;. dæ: a cosa: sin-;— dx:cos ædæ .

V.dJ:[cos(æ-l—dæ)-l-C]- [cosa: −⊢∁↥ ∙−−− cos (æ—l—dæþcosæ:2sin :(ZPFdrþin-i—(æ-x-dx):— sin ædæ.Vl.dy::[tang (.z—l-dæ ≻−∣−∁⋮∣ ∙⇂⊏∄∐⊰⊅⇥∙∁⊐ —8lll(æ..ll-rlæ) cos(æ—-dæ)aina: cosæsin(æ-l-dæ)-sinæcos(H—dx)— sin(.i—l—dx-æ)cosa: cosæ cos( æ⊹∠≀∙↧⋅ ) coszx ⇁⇁−∙↼46dxcos2 xVII.dy= [log(x-tdx)+ c]-[logo +C ]= log ( + )dit 15 ( 1 +4x)dx _d2log [2 + } (1- dot) +23 (1-4 )(1-2dt)+... ]det 103 ( 2 + + 43 + 234 + ...)dxlog [ 2 , 718281828dx] ;sumptisque logarithmis quoad basim 2 , 718281828dx dy Xistiusmodi basis solet exprimi per e.VIII.dy = [a ++dx + C ] - [ a * + C ] = a *+ x_qt = da? =a* d log (a *) = a * d [ x log (a )] = a * log (a ) dx.70. Quantitas constans C, quaecumque ea sit, non invenitur in differentialibus: idemque proveniet differentialesive differentietur v. g. sin x + C, sive sin x.dy 8º. In primo exemplo habemus a,dzcundo axe- ', in dy quarto dx dx- in sedyain tertio dy dxx246da:∙∙∙∎∙∙↼⇁∙−⇁∞∘⇄∙⋍∙∙∇∥∙ ↙≀↨↶−−−∏∘⊰≺⊿↾∶∙∔⋞≀∙↕≻−⊦∁∃⋅⊏∣∘∷∞⊣−∁↿⇌ log (↿.? −⊢↙∙⇣⋮⋮⋟⋮dx —log (HE ↙↿−⋤⋅∶∙↙≀−≟−∅∣∘⊰∣∶≆⊣⊸≑−≺↿− ff):⋮⇡↽≐≺↿−⋛≣≤ (fi-:): --]—da: ↿ ↿⊺⊅−∣∘⊰≺⊈⋅∙⊦−≆−⊣−≐−∙≡ 2..3∢⊯∎⊦∙∙∙ '):≦−↕∣∘∥⋣∙ 718281828 ...];sumptisque logaritbmis quoad basim 2, 718281828 ..., .(II:—;:istiusmodi basis solet exprimi per e.Vlll'dy :[a"dx—I—C ]—[ax ∙−⋅⋅⊢∁⋮∣∶∅≖↤≖− ar: daJr:

a'd log (a'):axd [æ log (a)]:axlog (a) dt.

⋅70. Quantitas constans C,quaecumque ea sit, non in-venitur iu differentialibus: idemqne proveniet dili'erentialesive dilferentietur v. g. sinæ ∙−∣⋅− C, sive siuæ.80. In primo exemplo habemus ?: a, in se-xd d cundo a- . J⊋−⋮⋮⋮ :— &, 1n tertio 23:01: ', 111 quarto 71:47in COSTin octavody dy cost , in quinto sin x, in sexto dx dx1septimo di die= a * loga . Quisque videtdy fore generatim novam functionem variabilis z : si eadenotatur per f(x) , erit2dxde = f( ), et dy = f ( z )dx .Functio f '(x ) appellari solet derivata ex primitiva f( x) :caeterum dx, seu differentiale variabilis independentis x,spectatur quidem ut quantitas infinite parva ; sed simul constans atque arbitraria,9º. Ex ivº, vº, et viº exemplo habemusd sinx d sinx da dx :dcosxCOS X Vsinx 1 - sinardcosx77- cosa a 'dx = cosa x d tang x =d tangasec2 xdtang x1 + langa xAequationes istae in hunc modum scribi possuntdz dzdarc (sin = z ) = darc(cos = 2 ) =V1 - ZV 1-22dz darc ( tang = 2 )1 + z247cosa: ,in quinto ?; −∙−∙−∙ -—sinx, in sexto ⋛⋚∶≎∙⊂≐⊭−∙ inseptimo g

-.::— ,in octavo :::-ï :axloga. Quisque videt217— fore generatim novam functionem variabilis :: si ea

denotatur per f(æ) , eritngþ), et 47 :f(æ)dæ .lFunctio f(æ) appellari solet derivata ex primitiva f(æ):caeterum dx, seu differentiale variabilis independentis x,spectatur quidem ut quantitas infinite parva; sed simul con-stans atque arbitraria.go, Ex "o, vo, et vi" exemplo habemusdsinæ dsinæ dccsæ dar.... ∶−−−−−⇀⋅−⇁−⋅ :.

⋅ cos 3" l/ 1

-sm'æ '"":&, dx:cos3xd tangæ:deosæVi-oos'xdtangx ∙∙∙ dtangxsecaæ 1—i—tang3xAequationes istae in hunc modum scribi possunt'ddare (sin— !.):sz ,darc(cos——z)-—- V132 ,-zz ∙ 2darc(tang:z): T'↶−≀≘≖−−?'4810 ° . Sicuti ex y = f( x) obtinuimus ( 8" ) dyf ( x )dx, sic ex hac obtinebimus ddy = f' ( x) dxdxf '(x )dx?, ex qua rursus dddy = f " (x )dx dx ' = f " (x ) dr },atque ita porro ; denotant fif ", ... novas functionesvariabilis independentis x. Itaque si compendii causa exhibentur ddy, dddy, ... per dy, dy,.. , profluentdd’y = f '( x ) dx?,dy = f " ( x ) dx3,dy= f (x) ,da²d3y= f'" (r ) , ... : d.x3assumpta v.gr.y = x ^, erunt f( x) = x ^ , f ( x ) = axa if '( ')=a ( a - 1 ) 219-2, f ( x ) = a (a - 1 ) ( a - 2 ) x4-3, .Differentialia dy , dºy , dy ,. . , itemque functiones derivatae f (x ), f ' (x) , f " (x ), ... dicuntur primi, secundi, tertii , ... ordinis respectu functionis primitivae y = f (x ).11 ° . Quemadmodum data functione possunt quaeriejus differentialia , ita vicissim dato differentiali quaeri potest functio unde illud promanal. Sint F (x ), f (x ) ejusmodi functiones variabilis x , ut exsistat F' ( x) =f( x) : quantitas F ( x) + C vocatur integrale indefinitum differentialis f ( ) dx, designaturque praefigendo litteram ſipsi differentiali , ut scribaturſf(x) dx F ( x) + C ;exprimit C quantitatem ( 7 " ) constantem atque arbitrariam.12° . Formula f ( x )dx ita sese aliquando exhibet,ut statim appareat eam esse differentiale cujusdam datae functionis ; tunc vero in promptu est integrale: atquehoc pacto habemus ( 6º . 9° )f (a + 1)x*dx ******+. C,unde fredr =xatiatito48100. Sicuti ex 7:f(x) obtinuimus (80) d] ∶∙∙−−⋅f(æ)d.r, sic ex bac obtinebimus ddj :f'(æ) dædæ :f'(x)dæ', ex qua rursus dild]:f"(æ)dx dæ' :f'"(æ) dx3,atque ita porro; denotant f,f ",... novas functionesvariabilis independentis æ. Itaque si compendii causa e-xhibentur ddy, dddy, ... per dy, d37 ,. ., profluentdïy&? d')" :f'(x) da.",dfly :f" (æ) das-3, ...,

f'(æ),

113!dæ3 :f'"(.r),...:∙∙⋅⋅∙⋅assumpta v. gr.y:æ", erunt f(æ):æ',f' (x):ax"',f'(a-)

a(a — 1) x"",f" (x):a(a—1)(a—-2)x"3, ....

Difаerentialia dy, diy, d3y,. . , itemque functiones derivatae f(x), f'(x) , f"(æ) , ... dicuntur primi, secundi, tertii, ...ordinis respectu functionis primitivae y:f(x).110. Quemadmodum data functione possunt quaerieius differentialia, ita vicissim dato differentiali quaeri po-test functio unde illud promanat. SintF(x),f(æ) ejusmo-di functiones variabilis x, ut exsistat F'(æ):f(x): quan-titas F(x) −−∣− C vocatur integrale indefinitum differentia-lis f(.r) dar, designaturque praefigendo litteram ]ipsi differen-tiali, ut scribaturff(æ)dæ:-—F(æ)—1-C;exprimit C quantitatem (70) constantem atque arbitrariam.120. Formula f(x)dx ita sese aliquando exhibet,ut statim appareat eam esse dili'erentiale cujusdam da-tae functionis; tunc vero in promptu est integi—ale: atquehoc pacto habemus (60. 90)a&a-l-l C :: xtt-H f(a—1-1)æ dx:x ∙⋅∣− ,undefæ dx: ∉⊋∙∙⊦∙∙∙∓ ⊹∁⊒ï49QCxſalog/a)d(c== q** + C, unde ſe*dx =clogiastc

dxS= arc ( sin = x ) +C ;V 1 - 22Sadx1 + x2= arc ( tang = x ) + C.130. Interdum formula f (x )dz, de cujus integratione non constat , per quasdam substitationes transformatur in aliam , cujus integrale illico cognoscitur. Sic.v . gr. positis ax = 2 , - = z ,assequimur adx dz 1Si Salita=14a²x² arc ( tang == z) + C =1arc ( tang = ax ) + C ,Sadix22 ta1Satdza (1 + z2)arc ( tang = 2 ) + c = a-a arc tang * + c,-Svador - Svado --Svet( cos = ) + carc ( cos = z ) + c= arcfa"log(a)d(cæ):a" —]—C,undefa" dx: -acdx- ⇂∕↿∙−⋅⋥∎⊑ :arc (sin :x) −⊢∁≂f 1112 :arc( tang:x )-l-C.130. Interdum formula f(æ)dx, de cujus integra-tione non constat, per quasdam substitutiones transfor-matur in aliam, cuius integrale illico ougnoscitur. Sic... æ . '. gl'. POSIUS nær-z.;— Zoasaequlmurdæ ⇀∙∙− dz 1 — ∙−−fl'l'a'æ' a(1-I-za) a"c (tang—z)-[-C—..dxxï-l-adz 1faU-l—z') − a arc(tangzz)-I-C:↿—a.arc (tang :ax)-[- C,] ——.——1-arc( tang :−⋅⋮− ⋟⊹ C,etfdx ]adz ]dz ∙∙∙[fas-xa ∣∕ ∅≖∙∅≖≖≖ −⇀ ∣∕↿ -zzarc(cos:z)-1-C :arc(cos :?) ⊹∁∙50140. In integrali indefinito ( 11 °) adhibeantur successive pro x peculiares valores xo, x n , ac dein ab F ( zn )+ C subtrahatur F ( x ) +C ut , eliminata C , prodeatF (xn) - F ( xo) : ejusmodi differentia vocatur integrale definitum differentialis f (x ) dx , sumptum videlicet ab x =а "xXoxhſ p(x)dx = F(wow )— F( xo ) .XoHinc v. gr.adxjederati7TaoVariato altero ex binis limitibus v. gr. x ny variabitipsum quoque integrale ; et adhibita x pro xmo eritXſ f(x)dx= F ( x) — F ( xo ) :Xohabebitur videlicet integrale illud , quod incipit ab xo ,quodque evanescit facto x = x,: et quoniamaff(x)dx = d [F(x)-F(xs)] =dF( x) =f ( x) dx ;X.iccircoXS SP(x)dx = Sp«x ) dx + c .X.15 °. Sit arcus infinitesimus ABEH ( Fig. 18 ) , etin eo chordae infinitesimae AB , BE , EH , quarum prima50140. In integrali indefinito (110) adhibeantur suc-cessive pro x peculiares valores xo, x,, , ac dein ab F (x,)−⋅∣− C subtrahatur F(xo)-I-C ut, eliminata C, prodeatF(x,,)— F (x,): eiusmodi differentia vocatur integrale de-finitum differentialis f(x)dx, sumptum videlicet ab x:x"x, ad x:æ, ,designaturque per [f(x) dx, ut scribaturæoxn]f(æ)dx :P(æ.) — P(æ. )-æo Hinc v. gr.[ afa,-' dx: ..-.-..-—1 J'EL :-E- a-l—1 ' xï-l-aa a.0 0Variato altero ex binis limitibus v. gr. x,, variabitipsum quoque integrale; et adhibita x pro x,, erit.?faa-w.r: ∌⇁≺∙↿∶≻−−∙≖⊸⇁≺∞∘≻≃⋍∙æohabebitur videlicet integrale illud, quod incipit ab x.,,quodque evanescit facto x: x,: et quoniam&?df/(x)dæ:d[F(x)-F(æ.) ]:dF(æ) :f(æ) dx;xoiccircofff(-1')dx:ff( x)dxH—FC.↿⋅⇂⋝∘⋅ x.,Sit arcus iniinitesimus ABEH( Fig. 18 ), etin eo chordae infinitesimae AB, BE, EH, quarum prima51SUC:ac tertia producantur donec concurrant in D. Quoniam anguli DBE, DEB sunt infinitesimi, angulus quoque ODEerit infinitesimus: designetur iste angulus per i , et fiant odeste deBD =esBE = c , DE b ;habebimuslur62 =a +62 – 2ab cos ( 180° -1i ) = a + b2 +2 ab cos i = a : + 62 + 2 ab- 2ab + 2 abcosi = (a + b )22 ab ( 1 — cosi ) =( a + b )2 – 4ab sin ’ şi ,unde

1

4absin _ i = 1(a + b ) ( a + b )2ariabiet consequenter[1 - ( +5)*] sinº in= - = [ - (-3 ) ]su'_

[" - )*]*sist i -....

2 + bbanDifferentia nimirum inter unitatem et rationem c ada + b consistet in terminis duntaxat infinitesimis , quorumordines excedunt omnes ordinem primum .16º. Idipsum a fortiori dicendum de differentiainter unitatem et rationem ipsius c ad subtensum arcumBmE ; siquidem BmE <a + b et > c. Inde fit ut et arcus infinite parvus censealur aequalis respondenti chordae , et curva quaevis spectetur tamquam polygonum coalescens ex laterculis infinitesimis numero infinitis, et isto.rum laterculorum prolongationes habeantur pro totidemtangentibus apud varia curvae puncta.rini⋅ 500(I.]0anede-luranalibf"Lr;(im!51ac tertia producantur donec concurrant in D. Quoniam an-guli DBE, DEB sunt infinitesimi, angulus quoque ODEerit infinitesimus: designetur iste angulus per i, et fiantBD—fd, BE:c, DE:6;habebimusea :a: ⊹∂≖ —2abcos(180'-'—-i) :03 ∙−⊦ 63 −∣−Zabensiz—maa-i-ba -l-Zab—Zab-l-2abcosi :(cs-Fb):—Zab,(1—- cosi):( a --[-b):-4absin* −≧−≀⋅∙nndec*— 406 (a- -b)' ∙∙∎∙∙∙∙∙∶↿∙∙∙ . (a -l-b)3 sin ∙⋮−∎a—ö a .

,

.[1 (—r—b)]sm;-h et consequenterc⋍↿∙−−∶∙−∣∶↿ −≺∅≆≴≻≖∃ aina-Li—a b a∸⋇⋅∣∶↿ 3−≺⋮−⋮−−⇣∙≑≻≏∃≏∘⋮∎≖∣⇩ ..;-i ∙−− ∙ ∙ ∙ ∙DiEerentia nimirum inter unitatem et rationem c ada −⊦ & consistet in terminis duntaxat inünitesimis, quorumordines excedunt omnes ordinem primum.160. Idipsum a fortiori dicendum de differentiainter unitatem et rationem ipsius (: ad subtensam arcum BmE ; siquidem BmE a −↿− 6 et 0. Inde Et ut et ar-cus infinite parvus censeatur aequalis respondenti chor-dae, et curva quaevis spectetur tamquam polygonum coa-lescens ex laterculis infinitesimis numero infinitis, et isto-rum laterculorum prolongationes habeantur pro totidem'tangentibus apud varia curvae puncta.5217º. Fac ut aequatio y f( x) pertineat ad corvam ABD ( Fig. 19 ) et sumptis coordinatis orthogonalibus, sit abscissa OG = x, ordinata CB = y , infinitesimumabscissae incrementum CC = dx : ducta per C' alia ordinataC'B' , et per B lineola recta Bm parallela axi abscissarumOX, erunt B'm = dy , Bm = CC = dx. Pone tangentemBE occurrere abscissarum axi in E , normalem vero BH in H;triangula rectangula et similia BEC , B'Bm , BCH dabuntydy

tang E-tang B'Bm dy, ce = ydx CH dx dy dxCE dicitur subtangens, CH subnormalis.18º. Ob auctam x area curvilinea BCa'a recipitincrementum infinitesimum BB'C'C; est autemBB'C'C =dx(rty + dy ) =dxdy ydx +2

ydr:2facta igitur Oa' = xo , eritBCa'a- j^ydx = ${( )dx Xo XoArea BCa'a manifeste traduci polest ad rectangularem aream sub ejusmodi lateribus , quorum alterum sit differenalterum vero ordinata quaedam ym media inter ordinatam aa' respondentem abscissae xo et ordinatam BC respondentcm abscissae x : proptereatia c Xo ,Xſ ydx = ( x - X . \ 'm , seu S f (x )dx = ( x - x . ) f ( xm ) .X. XoEadem area BCa'a spectari potest veluti summa ex infinitis numero infinitesimis areolis rectangularibus52170. Fac ut aequatioy :f(et) pertineat ad cor--vam ABD( Fig. 19) et sumptis coordinatis orthogonali—bus, sit abscissa OG:x. ordinata CB: , infinitesimum

abscissae incrementum CC':dx :ducta per 0alia ordinataC'B', et per B lineola rectaBm parallela axi abscissarumOX, erunt B'm:dy, Bm:CC':dx. Pone tangentemBF. occurrere abscissarum axi in E, normalem vero BH in H;triangula rectangula et similia BEC , B'Bm, BCH dabuntJ—— , tang E: tang B'Bm :.. £,CF—Jjæ (31:731: '].L'CE dicitur subtangens, CH subnormalis.180. Ob auctam x area curvilinea BCa'a recipitincrementum infinitas-imum BB'C'C; est autem⊞∍⋅∁∙∁−−−−↙⋚∁≺⊺ −⊢∫ ⊣−↙≀∫ )∙−−∶ydx −⊢ ∂⋅⋅↕−⋮↨−↗− :ydx-l— [figi-£ :ydx:facta igitur Oa':x.,, eritx xBCa'a:fydx :ff(x)dx.xo xoArea BCa'a manifeste traduci potest ad rectangularem a-ream sub eiusmodi lateribus , quorum alterum sit differen-tia x —-xo , alterum vero ordinata quaedamym media in-ter ordinatam aa' respondentem abscissae an. et ordina-tam BC respondentem abscissae x: proptereax ⋅ xfydx: (x -e-x., ly,", seuff(x)dx:(x—- x.,)f(x,,, ).x., . xoEadem area BCa'a spectari potest veluti summa ex infini-tis numero inlinitesimis areolis rectangularibus53f ( x ) dx , f ( x +dx ) dx , COPf ( xo +2dx ) dx f ( x — dx ) dx ;naliimumBinala.sarum ubi nibil sunt aliud f (xo) , f( x + dx ), f (xo + 2dx), ...nisi ordinatae respondentes abscissis xo , xo + dx , to +2 dx ,Quareentemin Hi;bunt Cſ f(x).lx = f(x )dx + f( xo + dx)dx +Y :Xofl xo + 2 dx )dc + .+ f ( x -dx )dx.recipé 19º. Ponatur arcus aB = s , ejusque incrementuminfinitesimum BB' = ds; quoniam BB'2 = Bm2 + B'ma, erit2ds = dx= + dy ,ideoque s= V dx=+dya =X.jäevitroXoTemaifferedia isordin200. Circulus habens communia cum curva CC( Fig. 18 ) duo proxima latcrcula v. gr. AB et BE, dicitur osculator: sit O centrum istius circuli, BO ( r) radius, OʻK et O'K' perpendicula ex O ducta in AB et BE ,i angulus OBE , ds' et ds infinitesimi arcus laterculis ABet BE subtensi, alter spectans ad circulum osculatorem , aller ad curyam CC' . Quadrilaterum KOʻKB praebet angulum KO'K ' = 180° — KBK' ; sed KBK' = 180°-OBE =180° -1 ; igitur KOK' = , et consequenter ds' =r( KOK' ) = ri' . Est autem ( 16 ° ) ds' = ds : proptereainfinimali-imumlinat:aruaentemLiuii; ↽bum⇟⇁∙∎↘⊰..recipirem ?illerädia i?orzlïm'inüw'53f(xo)dx,f(xo-I-dx)dx,f(xo—l—2dx)dx,. . ..f(x—dx)dx;ubi nihil sunt. aliud f(..-.,),f(xo—l-dx), f(æQ—l-2dæ). .. . nisi ordinatae respondentes abscissis xo , xo -l-.dx , xo −∣−de, . .. . QuareæJ. f(x)dx :f(xo)dx −⊢∙∣≼ xo-l-dx )dx ∙−∣−∙↾≀⋅⋅∘f(xo-l-2dx)dx −⊦ ∙ ∙..-I-f(æ-dx)dx.190. Ponatur arcus aB: :. ejusque incrementuminiinitesimum BB':ds; quoniam BB'a :Bma—l-B'ma ∙ eritxd:":dxï-l-dyïddeoque s:f V de-l-dy ∶−∙⋅−∙æox⋅∣∙↙≢∙↿∶⇂∕↿∙∙⊢∣⇃≖≼⋅≖⋅⋟∙. xn ⋮⋅⋅200. Circulus habens communia cum curva CG'( Fig. 18 ) duo proxima latercula v. gr. AB et BE, dici-tur osculator: sit 0' centrum istius circuli, BO' (:) ra-dius, O'K et O'K' perpendicula ex 0' ducta in AB et BE,

" angulus OBE, 'ds' etïds-iniinitesimi arcus later-culis AB

et BE subtensi, alter spectans ad circulum osculatorem, al-ter ad curvam CC'. Quadrilaterum KO'K'B praebet angu-lum KO'K':1800 −− KBK'; sed KBK':1800—OBE:180o — i' ; igitur KOK':i',et consequenter ds":r( KOK') :ri'. Est autem ( 16o ) ds':ds: propterea54ds21.• Curva CC' sit plana ; exhibeaturque per y =f (x ), sumptis abscissis x in RX ( Fig. 20) . Erit i = Qa = - (-a) = - dx , ideoque ( 170)dsdsd x darc ( tang dy -dx)Jamvero (90 )dydarc ( tang )a dydrdy²dx²df ( 30)1 + f ? (x )f (x ) dx ;1 + f ? ( x )dxigitur[1 + F2(x) ] }f " ( 3)22.• Si ordinata y in curva y =f ( x) fit alicubimaxima vel minima, exhibeaturque respondens abscissa perXn , quisque videt angulum interceptum tangente geometricaet positivo abscissarum axe fore acutum vel obtusum prout punctum contactus habuerit abscissam x < vel > xn incasu maximi , > vel < x , in casu minimi , fore autem inutroque casu = o ubi punctum contactus habuerit abscissamx = x , Inferimus illud ( 8º. 170) : functio f (xn) est maxima quotiescumquef ( x) < o quoad x = x + w ( denotat a quantitateminfinite parvam >0 ) , et f ( 2) > o quoad x = xn - W ;est minima quotiescumque5421 ∙∘ Curva CC' sit plana ;exhibeaturque per :7f(x), sumptis abscissis xin RX (Fig. 20). Erit :" a— a':—(a'- a):— dx , ideoque (170)ds- ds↗−− dx— dydarc(tang:ä-;Iamvero (90)- si! darc(tang:i-'r .— dx ∙− ↙≀∣↬≺∙↿∶∟∙∙− f (adde;dx −−↿ ,dJ' 1-t-f'(æ) l*f'ix)dx'igitur3[1 ⊣∙↾↔≖ (æ) ]∶⊸∙ f" r— (æ)22.0 Si ordinata ;- in curva ;-:[(x) (it alicubimaxima vel minima, exhibeaturque respondens abscissa perx,, , quisque videt angulum interceptum tangente geometricaet positivo abscissarum axe fore acutum vel obtusum pro-ut punctum contactus habuerit abscissam x(vel )x,, incasu maximi ,)vel (x,, in casu minimi , fore autem inutroque casu:0 ubi punctum contactus habuerit abscissumx:x,. Inferimus illud ( 80. 170) :functio f(x,) est maxi-ma quotiescumquef(x) (o quoad x :. x,, ↼⊢ co (denotat a quantitateminfinite parvam )o ).et f' (x) )o quoad x :x. — a) ;est minima quotiescumque55f (x ) < o quoad x = x, — W, et f ( x ) > o quoad x =X'n tw ;valores X c.quibus respondet maxima vel minima f( xr ), quaerendi sunt inter radices aequationisp' ( x)InSi f ( x) maneret aut constanter negativa , aut constanter positiva, dum x versatur in viciniis x m , certe f ( x ) nequemaxima esset , neque minima .Ad haec : quoad casum maximi, crescente x in viciniisdecrescit f' ( oc) , decrescente x decrescit f ( x) ; ideoquedf ( x)< 0 , seu f" ( 30 ) <0 . Quoad casum vero minimi ,dxcrescente x crescit f (x) , decrescente x decrescit f ' (x ), etaf' ( x)consequenter > o seu f ( x) >o .23. Functiones plurium variabilium independentium x , 2 , u , ... designantur in hunc modumdxF ( x, 2, Ú, ... ) _f ( x, 2, U, ... ) , ...Ponatur j = f (x ,2 , 9-9.) : si quaevis una ex quantitatibus x, 2, u, spectetur uti variabilis et habeantur caeterae pro constantibus , poterunt differentialia functionis ueodem manifeste modo determinari ac differentialia functionum quae ab unica pendent variabili. Ejusmodi differentialiadicuntur partialia , ipsaque sic exhiberi queunt ,utdet , draf . d. , dal , ...denotent differentialia functionis fe , primi , secundi ... ordinis quoad x , quoad 2 , ... Ad partiales functiones derivatasquod pertinet , eae poterunt sic exprimi , ut per55f(x)(oquoad x:x,,—-o),etf (x))o quoad x:a'.—FG);valores x,,,quibus respondet maxima vel minima f(x,,), quae-rendi sunt inter radices aequationis,'(æ)::00Si f(x) maneret aut constanter negativa , aut constan-ter positiva,-dum x versatur in viciniis xn, certe f(x,) nequemaxima esset, neque minima.Ad haec :quoad casum maximi, crescente x in viciniisx,, decrescit ]" (x) ,decrescente x decrescit f' (x); ideoquedf (x)dx 0.- seu f" (x) (o. Quoad casum vero minimi ,crescente x crescit f(x) , decrescente x decrescit f' (x) ,etconsequenter (IS .(ræ) )o seu f" (x) )o.23." Functiones plurium variabilium independen-tium x ,z , u, designantur in hunc modumF (x, :, ti, ...) ,f( x, :, u, ...),Ponatur p.:f(x, :, a.,.,.) :si quaevis una ex quan-titatibus x, z,u. spectetur uti variabilis et habeantur cae-terae pro constantibus, poterunt differentialia functionis p. ↴eodem manifeste modo determinari ac differentialia functio-num quae ab unicapendent variabili. Eiusmodi dill'ereutialiadicuntur partialia , ipsaque sic exhiberi queunt , utdxld-1 dxaPQ'" ∂∷⊬∙∠↨≖≖⊬∙∙∙∙ denotent differentialia functionis 9. ,primi , secundi ordi-nis quoad x , quoad :, Ad partiales functiones derivatasquod pertinet , eae poterunt sic exprimi ,ut per56doll darfdx dx2dou , dazlededz dzavelperfx(X , Z, Up... ) , f" , (3 , 2, U, ... ) , . f : (3 , 2, U, ... ) ,fo( %, 2 , Wo...) , ...designentur functiones , primi , secundi ... ordinis derivataeex M = f ( x , % , U. ... ) quoad x , quoad 2 , ... Plerumquetamen in his derivatis functionibus exprimendis detrahuntor ,compendii causa , litterae d signa x , % , U 7 .** , et prodal d , ² ldx dx2 d,Id², Mdz dzadhibenturdu del idx dx2du deledz dz ?924º . Totale functionis pe differentiale due ( quumnempe xspectantur omnes ut simul variabiles )eruitur ex partialibus dx f , d , f , dul , ... ; sunt enim% , U ,f ( x + dx, 2, 1, ... ) - f ( x , ,U, ...) = fx ( x ,2 ,4, ... ) dx,f ( x + dx, atdz, u, ... ) -f( x + dx, 2, U, ... ) =f: ( x + dx, 2, u, ...) dz = f : ( x, z, u, ... ) dz,f ( x + dx, atdz, utdu, ... ) — ( x + dx, atdz, u , ...) —f'u ( x + dx, z + dz, il ... ) du = f ( x, 2, u, ... ) du, etc... ,)1.—56≀≀≖≀∸ −−↙≀⇄↕≴∸ .⋅≤≀−⊦∸−∙∙ −−−⊓≀⇄≖≴∸ dx dx" , dz dza 'vel perfx(x, :, uh") ,f": (x, :, u, a") , ∙∙∙ f, (x' z' u, a.) ∙f',(x, :, u, ...),designentur functiones , primi , secundi .. ordinis derivataeex ". f(æ.:, u....) quoad x, quoad :∙ ∙∙∙ Plerumquetamen in his derivatis functionibus exprimendis detrahantur,compendii causa ,litterae d signa :, a, «,... ,et prode- dx'P- (!sz (I,,[L da:∙ m ⋅⋅⋅⊤ ⋅−∂⋅⊒⋅−adhibentur≴≀−⋅≖∸− ↙≀≖⋅⊀↓ de dwdæ'dx' ,' de, dza240. Totale functionis p. dilferentiale dp. (qumnnempe x , z , n , spectantur omnes ut simul variabiles )eruitur ex partialibus d, (1.,d, pt, d,, p. , ; sunt enimfl xhi—dx, 39 ut ...) ↼f( æ, :, u, ...):f, (æ, :, ., ...) dx,f(æ-l—dæ, t—l—rlz, u,...) — f(x-[r-dx, :, n, ...):f: (xä-dx, :, ", mida: f, (x, s, u, ...) dz,f( æ-I- dx, z-l—dz, u-l-du, ...) ∙− ≼∙↧∙⋅∙∣−↙∣∙↧⋅∙ z—i-dz, u, ...) ::f," (x-i—dæi z-l-dzo nus) du:f,, (æ, Z, ", ,,.) du, etc-0-'57quarum summa praebetp ( x + dx, atdz, utdu , ...) — f ( x, z , l , ... ) =fr ( x, 2, U, ...)dx + f : (x , 2, u, ...)dz + f'u ( x,Z, U, ... ) dut ... , seu dų = d .; + d ,l + d.le + ...25.• Potest etiam functio pe differentiari successive quoad binas, lernas , ... variabiles v . gr. quoad x, z, quoadX , 2, u ; etc. ... Id genus partialia secundi , tertii , ... ordinisdifferentialia designari queunt perd, dx M , d , d , dal , ...sive autem functio u prius differentietur v . gr. quoad xdeinde quoad z , sive prius quoad z , deinde quoad x ,paallulum attendenti patebit idem in utroque casu proventurum differentiale .26. Detur nunc differentialis aequatio primi ordinisdy - cydx f ( x ) dx ;facta y = zu, et adhibita substitutione, emerget zdu + ud:czudx = f ( x) dx . Pone udz – czudr = 0 ; habebisdz= cdx , log ( x ) = cx = cx log ( e) = log ( eⓇx ) ; unde 7z > eºx :in ea qua sumus hypothesizdu = f(x) dx ;igilur du = f ( x ) dxf (x) dx , u Sf (x)dx + G ; et 7 esex15quarum summa praebetf(x-f—dx, z-l—dz, (kl—du,...) —f(x,'z, u, ...):f: (æs 31 ut ⋅∙ ')dæ—I—fg (æ, :, II,. ..)dz—l—f'u (æ,.z, u, .,.) du-l—n., seu dy.— −∙∙ d,.p. :i- dyp. ∙−⊦ d,); ∙∣−∙∙∙25. ∘ Potest etiam functio p. diil'erentiari successi-vequoad binas, ternas... .variabiles v. gr. quoad x,z, quoadæ, :, u; etc.... Id genus partialia secundi ,tertii,... ordinisdiii'erentialia designari queunt perds dxp'adudadxp-vmisive autem functio p. prius differentietur 11. gr. quoad acdeinde quoad :, sive prius quoad z, deinde quoad x ,paullulum attendenti patebit idem in utroque casu p1o-venturum differentiale.26." Detur nunc differentialis aequatio primi ordinis,dy— cydx :f(x) dx;facta ]: zu, et adhibita substitutione, emerget zdu −⋅⊢ ud:— czudx :f(x) dx. Pone udz —. czud-r :o ; habebisdzZ∙−−− ∖∙∘⊄≀⋅⋍∙⋅ ,log (z):cx:cx log (e):log (e"); unde∙−−− cx, z....e :«in ea qua sumus hypothesizdu :f(x) dx; ∙ ∙'igitur du:,(x) dx *fbl'c) dx :":M—i—C; et 2 0 .: et.:5 d58consequentery = eriſ f x)dx = C ] :integratio videlicet dalae aequationis differentialis traduciturad integrationem functionis f (x ) dx Porro absoluta aequa ertionum differentialium integratio eo redit , ut quae relatiointer quantitatem et quantitatem per eas exprimitur , aequivalenter exprimatur per aequationes differentialibus liberalas.27 .. Si dalur differentialis aequatio secundi ordinisday dy ta dx +0 ,dxtby:designantibus k et k' radices aequationis 32 taz +b =0 ,traducelur illius integratio ad integrationem binarum primi ordinisdy ' dy - ky ' = 0 ,dx dxsiquidem , eliminata y' , prodibit- ky = y ' ;ady-ky)dx dydx – k G - hy) == 0 ;quae , ob k tok = -a et kk' = b , recidit in datam. Jamvero ( 260 )dx y ' = Cetry = e ** Celix

ergoy = ek'ses [ foe-tyde +c ] - [ * +c ]=Ceks + C'ek's .58consequenteryzccxiffiæidæzcl: Bexintegratio videlicet datae aequationis differen'tialis traduciturf(x) dx ad integrationem functionisac:. Porro absoluta aequa-tionum differentialium integratio: eo redit ,ut quae relatiointer quantitatem et quantitatem per eas exprimitur , aequi-valenter exprimatur per aequationes differentialibus liberatas.27.0 Si datur differentialis aequatio secundi or-diuis?;: 437 dr −⊦ "ï; −⊢ b,! −−∶ ∘⋅designantibus I: et k' radices aequationis z' −⊸⊢ az —]-b:0.traducetur illius integratio ad integrationem binarum pri-mi ordinis ⋅alt" ∙⋅− df↙↙−↜↕∶∎∎−∎↗⋮∫−−∘∣∠≀↜↿∶−↻ ⋅⋅⋅⋅∙∙⋅−−−−−↗ 'siqnidem , eliminata y', prodibitd d ∠−− '(dx kf) A(g—F):0.d.; ⋅ dx ] 'quae ∙Ob k −⋅⊢ ∣⊏∎:— a et kk':b, recidit in datam. Jam-vero (260).)": Ce"'.y:e*"[ ∫−⋅≤∎⇂−⊺∶⋮⇆∙⊹∁∙ ]

ek'xergo∙∙∙ ': ∙∙ ∙ r ∙ rr Ceu—H).:..7— e*. [Ca,/460 &) dx—l—C] ∙−−∶ e* k—k. *C]:- Ce" ∙⋅∣−∁∎ e*" .5928.- Si daretur d²y dxatadr. + by = f(x),traduceretur integratio ad integrationem binarum dy'-ky'daP(z) Tipo - Ky = y'; sicque prodirent ( 260)[Sl + c]e** [ S ,* + c ]y' = etxek et k 'sunt , ut supra, radices aequationis z2 taz + b = 0.29.• Resumentes functionem f ( x ) , ponamusf(x) = a, tax taqx? +R3 2 :3 + 04x4 +

exsurgentf ( x) = a + 2a , x + 3az x2 + 404 x3 + ... , f" ( x)2a + 3.2a3 x + 4.394 va t ... if" ( 0) = 3.2a3 +4.3.204 x +Facto x = 0 , emergent ao f (o) , a, =: f ( 0) , a,i f' (o) , az =-3f" (o), etc.... Hincetc...f(x) = f(0)+xf ( 0) + 1" (0) + "(o) + ...Sint v. gr. f (x) = e*. f (x) sinx , f (x) = cosx : quoadprimam f (o ) = 1, f (0 ) = 1 , f ' (o) = 1,8 " (0 ) = 1 , etc...;quoad secundam , f (o) = 0 , f ( 0) = 1 , p (o ) = 0 ,fr (0 ) • , 1 , f (0) = 0, f ( 0) = 1 , etc...; quoad ter59. dfy dy 28.0 St daretur . (: d −⊦∙ 6]:f(x) ,.tra-dxa xduceretur integratio ad integrationem binarum Si.-..;. ':dx '7f(a:), £—)(]:!' ; sicque prodirent (260) www-rc]730, reli]dx11 et k' sunt,ut supra ,radices aequationis z' -l—az—-I—-b :o.29." Resumentes functionem f(x) , ponamusf(x):ao—I"alx −⊦∁≖∙↕≖∙−∣⋅−↷∍ ∷∙⋅∍⊣−∦∣∙∙≂↙∣−⊦∙∙∙⇋exsurgentf(x):a, -l-Za,x-l-3a3x3 404 ∞∍−⊢∙∙⋅ ,f" (x):2a3-1l-3. Zaax-i— 4. 3a(,x2 -[-...,f"(x) :3.2a3—[—4. 3. 244x—l-..,,etc...Facto x:a, emergent a,:f(o) , a,:f(a) , a,:

f. (0) , 03 3— f" (0) ' :.etc-00. Hinc 3 'f(x): f(0)-l-xf(0)-i-—-f'(0)'l"——f (o)-b"-Sint v. gr. f(x):ex.f(x) :sinx ,f(x):coax :quoadprimam f(o):1, f(0):1, f' 'o):1,f" (o):1, etc...;quoad secundam , f(o):0, f(o) :1 , f" (a):0 ,f" (Ol—"'-— ∙−− 1, f' (0):0, f' (0):1, etc...; quoad ter-6023tiam , f (o ) = 1 , f ( 0) = 0.8" ( ) 1,8 " ( 0 ) = 0 ,f (o ) = 1 , ' (o) = 0 , p (0 ) 1 , etc... ; ideoquex2 24 3 e* : 1 tox +*+ +sin u = r2.3.4 2.3x2 8: 4cos = 12.3.4.5 2+2.3.4 2.3.4.5.61+ar5x61.5.0 + ...30.• Adhibita xV - 1 pro x in istarum prima,emerget= 1x2e **vi .x4+2.3.4Xc62 2.3.4.5.6 +r3 xc5+2.3 2.3.4.5 -.)v = 7.ܪunde , ob secundam ac tertiam ,e #xVST = cos x + V1 sio x .

28. Fac nunc ut punctum materiale vi qualibet continuasollicitetur ad motum rectilineum: sit »» velocitas punctiin fine temporis t,,.s spatium percursum , et ds spatiolumpercurrendam subsequente tempusculo dt. Perinde spectaripoterit ds ac si motu uniformi conficeretur , sola nimirumvelocitate praeconcepta 1); siquidem nova velocitas dv, quaelabente d:accedit materiali puncto, utpote infinitesima. ne-gligenda.Hi11c (1 )s[∥Motus rectilineus puncti materialis iugiter sollicitati viconstanter eadem, dicitur uniformiter varius. Per ep desi-61/gnetur velocitas, quam vis constanter eadem gignit intratempus 1 , erit qe velocitas ( 6 ) genita intra tempus t :propterea denotante vo velocitatem initialem , qua nimirumdonatur materiale punctum quum t = 0, existetv =v, +9ds Hinc dt votoe : fac ut tempori 1 = o respondeatSo ; habebiss -8 = v. i + 902 ?

21et eliminato t ,v2— v.2 = 29 / s - s . ) :positis v ,30,0, eruntV = pt , s =- Det, v?= 205 ,o dicitur vis acceleratrix : el designante mmassam punocti materialis, m q appellatur vis motrix : insuper spatium s inaequatione ultima vocatur allitudo debila velocitati v.Ad motum rectilineum utcumque varium quod spectat , nomine vis , acceleratricis apud terminum spatii percarsi s nihil aliud intelligitur nisi velocitas q , quam gi.gneret vis conversa in constantem, constantique energiaqua inibi pollet , agens loto tempore 1. lamvero exhibetdo numerum tempusculorum , ex quibus coalescit tempus1 ; ergo velocitas illa exprimetar per dv; nimirum161gnetur velocitas, quam vis constanter eadem gignit intratempus 1, erit got velocitas (6) genita intra tempus ::propterea denotante 'Uo velocitatem initialem, qua nimirumdonatur materiale punctum quum :

o, existet

v:v, ⊣∙− cp :.Hincd ∙−∙−:v.,-l—got: fac ut tempori :

o respondeat

,,- s,;habebis(2⋅⇟−⋅⋅≖∘∶∶'"o t"l" 92";et eliminato t,vï—vo*:2?( s—s, ):positis v,: o ,r,: 0, eruntv:g0t, :: gt: ,v': 291,q; dicitur vis acceleratrix: et designante m massam pun-cti materialis, m ? appellatur vis motrix: insuper spatium .: inaeqnatione ultima vocatur altitudo debita velocitati 9.Ad motum rectilineum utcumque varium quod spe-ctat, nomine visacceleratricis apud terminum spatii per-cursi :nihil aliud intelligitur nisi velocitas ga, quam gi-gneret vis conversa in constantem, constantique Aenergia ,qua inibi pollet, agens toto tempore 1. Iamvero exhibet−↿−∙ numerum tempuscu'lorum, ex'quibus coalescit tempusdt1 .: ergo velocitas illa exprimatur per Tit-dv; nimirum62dvdt .et quia dyd's ddt ; idcirco erit quoquedèsd12habetur pro variabili atque independente quantitate.29. Fac v. gr. ut materiale punctum sollicitetur versusdatum centrum vi acceleratrice, quae distantiae z' ab eo centro exsistat proportionalis , ut , denotante C ' quantitatemconstantem , habeamus q =C'z' ; sit z, initialis distantia ,ibique vo =0 , t =0 ; sit insuper v ' velocitas in distantiaz' : erit ( 28 )v = d (20-3')dcdzdtdu'ideoque C'z' =dtv'dz'dziHinc 19. Cʻz'dz' = -v'dv'; ex cujus integratione proditC- W'2C'z'2 =C -2'2 , z = ve C'facto z' =0, erit v' velocitas punci materialisió centro virium ;exprimit igitur C hujusce velocitatis quadratum : quod si fiatz' =2 . , erit ex hypothesi v = v = o, ideoqueVT= 2.VC ;velocitas nempe puncti materialis in centro virium est ut ipsainitialis distancia zo.620:32- ' dt -'et quia xlv::! g:- ; idcirco erit quoqued3s(:):d::'habetur :pro variabili atque independente quantitate.

29. Fac v. gr. ut materiale punctum sollicitetur versusdatum centrum vi acceleratrice, quae distantiae z' ab eo cen-tro exsistat proportionalis , ut, denotante C" quantitatemconstantem , habeamus q) :C'z'; sit zoïinitialis distantia ,ibique v.:o, t:o; sit insuper v' velocitas in distantiaz' : erit ( 28 )d(zo-z')-——dz' .d ∙∙−− dp'— v'dz' d: d:"eoque c.. d. dz' 'I,.....Hinc ↿∘∙ C'z'dz':—- v'dv'; ex cuius integratione proditC— 'v'ï cause—w.r: ⇂∕−∁∼⊤−⋮facto z':o,erit v' velocitas puncti materialisin centro virium;exprimit igitur(] hujusce velocitatis quadratum: quod si fiatz':z,, erit ex hypothesi v':v,;—..-o, ideoque⇂∕⋜⋮∶−−⊸−≖∘⇂∕−∁−⋮≂velocitas nempe puncti materialis in centro virium est ut ipsainitialis distantia z..632.º du1 Tc di=C'zi v CV C -via VCVic Сsuinptisque integralibus ,i = C " +ve are (sin = vo ):v = o quando i = 0 , proindeVc are ( sin = o), exquav = VC sinero.3º. Cum in centro virium sit v = VC, erit ibi1 = sint y C , et consequenter t = Inferimus punn2V0a1ctum materiale eodem semper tempore quacumque 2VCdistantia z . perventurum ad centrum illud .4º. Si materiale punctum movetur vi acceleratrice, quae distantiae a dato centro sit proportionalis , sicabsque formularum subsidio polest ostendi eodem sempertempore punctum ipsum peryenturum ad centrum illud :concipiantur duo puncta, quorum primum triplo magis initio molus distet a centro quam secundum : quoniam exhypothesi vis est proportionalis distantiae a centro, erit visprimi triplo major quam secundi , ideoque triplam velocitatem primo tempuscalo illud acquiret, et triplum spalium percurret; quare etiam tripla ibidem residua erit distantia. Igitur et secundo tempusculo triplam velocitatemnovam acquiret, et triplum spatiolum tum praecedente, imm⊖⊰∆2.-−≀≀∙↗⋅ ∙∙∙ dv' 'dv' 1 C'z' yel/CT?"— ⇂∕⋅∁⋅ ⇂∕↿−−−∙∙−−∙∽⋅∙∑−⋅ :sumptisque integralibus ,1(. v' )are sm −−− ;C' y'Cv':o quando :: o , proinde

z ∁∙∙−⊢ ⇂∕

!(z.—1.-.— arc (sin: v), ex qua ≸↗⋅∶∶⇂∕ ⇂∕∁ ⇂∕∁ sint;/CZ30. Cum in centro virium sit v': l/C,erit ibi'io. n ↿∶∶ . sunl/C, et consequenter :: ï— . Infenmus pun-ctum materiale eodem semper tempore a quacumque 21/ Cdistantia za perventurum ad centrum illud.40. Si materiale punctum movetur vi accelera-trice, quae distantiae a dato centro sit propmtionalis, sicabsque formula1um subsidio potest ostendi eodem sempertempore punctum ipsum perventurum ad centrum illud:concipiantur duo puncta, quorum primum triplo magis i-nitio motus distet a centro quam secundum: quoniam exhypothesi vis est proportionalis distantiae a centro, erit visprimi triplo maior quam secundi, ideoque triplam velo-citatem primo tempusculo illud nequiret, et triplum spa-tium percurret; quare etiam tripla ibidem residua erit di-stantia. lgitur et secundo tempusculo triplam velocitatemnovam acquiret, et triplum spatiolum tum praecedente, tam64nova vi et velocitate percurret: unde consequitur ut triplapariter sit lota velocitas jam acquisita , triplum totum spatium percursum, tripla distantia residua. Propterea et novo tempusculo tripla erit nova velocitas acquisita , triplum spatium novum percursum , tripla nova distantia; atqueita porro. Patet igitur post tempus quodvis distantiamprimi fore triplam distantiae secundi, ac proinde imminuta in infinitum ac demum evanescente hujus secundi distantia, illius quoque primi distantiam in infinitum imminui ac simul evanescere: haud poterit ergo secundum pun.clum ad centrum pervenire, quin simul cum secundo ipsoprimum punctum perveniat. Hoc tantummodo discrimen erit, quod primum eo deveniet velocitate tripla secundi ; exquo manifeste consequitur , quod si primum illud punctumex centro cum illa tripla velocitate projicitur , debebit adtriplam distantiam pervenire; nam vis in recessu velocitatem codem ordine extinguit , quo generat in accesso. Porro quod diximus de ratione tripla , patet generatim convenire rationi cuicumque ; nimirum in quacumque proportione fuerit distantia prini punci major quam secundi ,eodem tempore semper ambo ad centrum devenient cumvelocitalibus , quae distantiis initio habitis sint proportionales; et si inde discedant cum velocitatibus quibuscumque,pervenient eodem pariter tempore ad distantias ipsis velocitatibus proportionales.5º. Dicatur tempus quo materiale punctum it acredit uude primo discessit; erit ( 3º. )471 276 271 0276 VCQuare ( 1º, 2º. )2750 C ,60 27510G220210VO TTz = VCCOS 27764nova vi et velocitate percurret: tinde consequitur ut triplapariter sit tota velocitas iam acquisita, triplum totum spa-tium percursum, tripla distantia, residua. Propterea et no-vo tempusculo tripla erit nova velocitas acquisita, tri-plum spatium novum percursum, tripla nova distantia; atqueita porro. Patet igitur post tempus quodvis distantiamprimi fore triplam distantiae secundi, ac proinde imminu-ta in infinitum ac demum evanescente huius secundi di-stantia, illius quoque primi distantiam in infinitum immi-nui ac simul evanescere: haud poterit ergo secundum pun-ctum ad centrum pervenire, quin simul cum secundo ipsoprimum punctum perveniat. Hoc tantummodo discrimen e-rit, quod primum eo deveniet velocitate tripla secundi; exquo manifeste consequitur, quod si primum illud punctumex centro cum illa tripla velocitate projicitur, debebit adtriplam distantiam pervenire; nam vis in recessu velocita-tem eodem ordine extinguit , quo generat in accessu. Por-ro quod diximus de ratione tripla, 'patet generatim conve-nire rationi cuicumque; nimirum in quacumque propor-tione fuerit distantia prinii puncti maior quam secundi,eodem tempore semper ambo ad centrum devenient cumvelocitatibus, quae distantiis initio habitis sint proportio-nales; et si inde discedant cum velocitatibus quibuscumque,pervenient eodem pariter tempore ad distantias ipsis ve-locitatibus proportionales.50. Dicatur 9 tempus quo materiale punctum it acredit uude primo discessit; erit (30.)

∡⊺≖∙∙∙∙∙⊸ 211 ,—21t9⊋⇂↗⇠∁⋮↼−⇀∣−∕−⋐⇀∶⋅−∙⋅⇂∕∁−⇀⊺⋅∙ Quare (10. 20.)∙∙∙⊇⇂∕∁ 9220 ∙∙∙⊓∙ ⇂∕∐⋅ ∶∶↼⋤⋮−⇂∕∁∙≀≀↗⋅∶⇂∕∁⊱⋮∥ −−−−⊖−⋅ ⊋⋯⋅ ⋅− 9 271! z': l/C -—-co −−−−∙271 s 965

De verticali gravium descensu atque ascensu.recensere

30. Si gravitas aequaliter semper ad sensum corpora decidentia sollicitare intelligitur, motus erit uniformiter varius (28): positis igitur , et denotante vim acceleratricem ex gravitate, in ea qua sumas hypothesi determinabitur motus per formulas

legibusque sequentibus subjicietar.

1a. Spatium percursum intra tempus est dimidia pars illus spatii , quod percurreretur si grave aequali tempore pergeret moveri uniformiter cum velocitate infine temporis acquisita; nam (1)

2a. Spatia totalia a gravibus libere decidentibus percursa,sunt ut quadrata temporum quibus eadem spatia conficiuntur: item ut quadrata velocitatum tempore descensus acquisitarum Nam

3a. Spatia a gravibus libere decidentibus percorsaaequalibus et successivis temporibus sequuntur progressionumerorum imparium 1,3,5,7, ... ; assumpto enim, ... spatia illa exprimentur per

Hae leges experientiae cum sin consentaneae, hypothesis gravitatis aequaliter semper ad sensum agentis propetelluris superficiem existimanda est naturae conveniens: etquoniam experimentis saepe iteratis apud nostras regiones compertum est, grave sibi relictum percurrere pedes15, 0915 ... intervallo unius minuti secundi, erit

[1]

Eam nimirum velocitatem gravitas valet mobili communicare intervallo unius secundi, qua si mobile pergeret uniformiter moveri, absolveret singulis secundis pedes 30,2 circiter.

Deprehenderunt quidem Physici gravitatem esse diversam tum ad diversas supra terrestrem superficiem altitudines, tum ad diversas ab aequatore terrestri distantias: verum ejusmodi variationes in corporum gravitate haud fiunt sensibiles nisi sub differentiis admodum grandibus sive inter altitudines illas, sive inter illas distantias; propterea absque sensibili errore contemni poterunt in ordine ad singula corpora terrestria, quae ut plurimum veniunt consideranda.Si retenta , ponitur , exsurgent (28)

31. Assumpta in (b'), prodibunt

quae formulae manifeste determinant verticalem gravium ascensum. Facta in tertia ac prima (b"), emergentmaxima nempe altitudo ad quam ascendit grave, tempusque respondens.

Obiter hic notamus illud: Si datur ejusmodi potentia , quae agendo ad modum vis instantaneae valeat massae communicare velocitatem , ut sit (6) , ipsa agendo ad modum vis continuae per gradus infinitesimos poterit ponderosam massam sustentare libratam per totum tempus

Cum enim singulis tempusculis infinitesimis gignatgravitas in massa quantitatem motus , certe singulis debebit ad librandam exerere actionem infinite parvam ; proinde totalis actio respondens toti erit : igitur ; ideoque etc.

Quisque nunc videt posse vim exhiberi non solum per, sed etiam per .

32. Ad motum gravium determinandum in machina Atwoodi, sint et massae filo appensae: quisque videt motricem systematis vim exhiberi per ; unde profluit vis acceleratrix substituenda loco in formulis (b). Quoniam vis ista potest pro lubito attenuari, sequitur in Machina Alwoodi posse motus velocitatem imminui quantum libuerit; quod maxime conducit et ad accuratius definienda spatia percursa, et ad aeris resistentiam tuto negligendam. Sicuti enim corpus, quod movetur in medio aliquo materiali, agit in ipsum medium, ejus particulas expellendo, exerceturque corporis actio juxta motus directionem, ita medii particulae juxta contrariam directionem reagunt (7) in corpus atque resistunt; inde oritur quidem imminutio virium in corpore, sed major vel minor, prout major vel minor velocitas communicatur medio expellendo; et consequenter prout major vel minor est velocitas corporis expellentis.

33. Haec notamus circa gravium motum in medio resistente.

1º. Constat gravia decidentia in pleno homogeneo motum suum vi gravitatis sic accelerare ut paullatim evadat proxime et sensibiliter uniformis. Dum nempe corpus initio movetur, primumque velocitatis gradum acquirit, aliquam hujus gradus jacturam pati debet ex opposita medii resistentia. Sed quia velocitas corporis in progressu semper augetur, multo magis augeri etiam debet medii resistentia; siquidem major corporis velocitas non solum importat ut major quoque velocitas communicetur singulis particulis removendis, sed praeterea ut major quoque resistentis materiae quantitas dato tempore dimoveatur. Ergo velocitatis gradus semper magis imminuetur: unde fit quod velocitas corporis ad valorem constantem propius semper accedat, ejusque motus paullatim evadat proxime et sensibiliter uniformis.

2º. Medii resistentia cum tota exerceatur contra corporis superficiem, vis motrix inde resultans haud pendebit ab ipsius corporis massa, eritque eadem utcumque sub eadem et forma, et amplitudine superficiei, crescat vel decrescat massa: non sic dicendum de respondente vi acceleratrice, quae cum obtineatur dividendo vim motricem per corporis massam, permanente et forma, et amplitudine superficiei, erit reciproce ut ipsa massa. Hinc patet cur, caeteris paribus, quo major est massa corporis in medio resistente decidentis, eo etiam rapidior sit motus finalis.

3º. Si concipimus planum variis resistentis medii stratis normaliter occurrens velocitate , ponimusque et plani actionem in medii particulas intra singula tempuscula infinitesima sese protendere ad respondentia duntaxat strata dimovenda, et haec eadem strata illico sic dimoveri ut statim atque dimota sunt nullam praeterea actionem sive immediatam, sive medialam exerceant in dimovens planum; expressa per crassitudine strati dimovendi intra tempusculum , per densitate medii, et per area dimoventis plani, orietur inde (28) resistentia seu . Duplicatur resistentia in casu medii elastici (23).

4°* Si vis acceleratrix ex medii resistentia assumitur proportionalis quadrato velocitatis, ut denotante quantitatem constantem (experimentis determinandam), exhiberi possit vis illa per gravia descendentia sollicitabuntur vi acceleratrice ascendentia vi acceleratrice : proinde (28) quoad gravium descensum

 

quod ascensum

 

5°* In primo casu

 

sumptisque integralibus:(27.6 °) in hypothesi velocitatis ,

 

unde

Primum membrum est necessario ; ergo et secundum: crescente igitur crescet quidem ; ita tamen ut nunquam fiat : quod consentit cum dictis (10). Ad haec : quoniam (28) erit quam integrantes assequemur : in initio motus ex hypothesi , ac proinde ; igitur

6°* In secundo casu

ideoque (27.13°)

tempori respondet , et consequenter ; igitur (tang- ):5l = k [ arc(tang = :) - arc (ranga ) ] .ds Ad haec : ob de habemus sV71ndum :gds =kavdv ; propterea gs = C—kat va -- 105 (1º + vw).log ( Kº +w.), ceka In initio motus s = 0 , v = Vo;hinc CF2gs =log k2+0.2katua 2Facta v = 0 , prodibuntk2 proind klogktve t2g 8 are (tang = ).

maxima videlicet altitudo ad quam in medio resistente ascendit grave, tempasque respondens.

7º. Fac ut, exhibente ( Fig. 17) directionem normalem stratis TT medii resistentis , planum A oblique occurrat stratis ipsis sub angulo . Recta parallela rectae repraesentet velocitatem , qua movetur A: resoluta in Kc perpendicularem et BK parallelam plano A , exprimet Aje . KC2 resistentiam medii; et quoniam KC bc . sin Kbc = vsin \beta , iccirco resistentia ista A jwa , sin a\beta .J =

De gravium descensu atque ascensu per plana inclinata; de attritu; deque cochlea, et cuneo.recensere

Planum inclinatum

34. Super plano ad horizontem inclinato collocetur corpus quod habeat centrum gravitatis in (Fig. 21) et massam ; ex horizontem demittatur perpendiculum ; et ex ducatur alterum perpendiculum in communem plani horizontalis et plani inclinati intersectionem; vis motrix ex corporis pondere jacebit in plano perpendiculornm ; demisso enim ex perpendiculo in planum inclinatum, vis illa invenietur in plano normaliter insistente intersectioni plani inclinati et plani horizontalis; quod planum manifeste recidit in planum perpendiculorum . Sit communis intersectio istius plani et plani inclinati; perpendiculum ex demissum in angulus : recta vocatur longitudo plani inclinati, altitudo, angulus inclinationis. Vim motricem per repraesentatam resolve in duas , quarum altera sit perpendicularis, altera parallela rectae ; erunt

.

Cadat intra corporis basim; elisa a resistentia plani inclinati, gignetur motus a sola ; quae cum maneat constanter eadem, non alium pariet motum nisi uniformiter varium. His positis, ad determinandum gravium motum per plana inclinata satis erit in (6,6' . 30) et in ( 6 " . 31 ) substituere pro : denotantibus itaque tempus, velocitatem, et spatium, erunt quoad gravium descensum per plana inclinata u = g 9 sin c, z = * gga sin c, u = 2gz sin c ( 6 " )si tempori 0 = o respondent u = 0,2 = 0 ; etu = u + go sinc,z = altiglasin c,u ? —a? = 2g zsin c (6 )si tempori 0 =o respondent u = a, z = 0 : quoad ascensum verou =a -g6 sinc, z =a9— 1 g 2sinc, a ?—u? = 2gz sin c (65 " )Componens exhibet pressionem, quam exercet grave contra planum inclinatum .

et :spatium , eruntxquoad gravium descen-sum per plana inclinatau:g93inc, :

äggï sinc, 113:2gz sinc (ö")

si tempori 6:o respondent u:o,:

o; et

u:u-1-g 9ainc.z:a G—i-äggasin c,u'—a*:Zgzsin c(b')si tempori 9:o respondent u:a, s:o :quoad ascen-∙ sum verou :::—gg sinc, :349— äggaslncaaa—uzzzgz Sine (b'-l)" r Componeus Gi exhibet pressionem, quam exercet gravecontra planum inclinatum .73

35. Comparantes ( 6 ' ' ) cum (6 ) haec facile stabiliemus.1. ' Si licals t . erunt i GHplaui 1 : sin c , s : 2 = 1 : sin c ;plainterculaBrnogulssi duo nempe gravia eodem tempore delabuntur, alterumverticaliter , alterum per planum inclinatum AB , tam velocitates v , u ab ipsis gravibus in descensu perpendiculariet obliquo acquisitae , quam spatia s , z descripta , eruntut longitudo plani ad ejus altitudinem .2. ° Hinc ubi ex puncto C concursus rectae verticalis com horizontali ducatur perpendiculam CE ad planiinclinati lougitudinem AB , grave percurret lapsu obliquospatium = AE eo tempore , quo percurreret lapsu verticalitotam altitudinem AC ; nam AC : AE - AB : AC.3. ° Inde sequitur chordas omnes circuli ad supremam , vel infimam diametri verticalis extremitalem pertingentes describi eodem tempore ; eo nimirum , quo describeretur ipsa circali diameter.4. ° Velocitates u , v gravium in plano ioclinatoet in recta verticali aequales sunt si gravia ex punctis aequealtis ad eamdem rectam horizontalem pervenerint : in easumus hypothesi est s = zsinc , ac proindea plaifors16 :3cempoenim qua

u2 V =U .

5.° Tempus descensus per longitudinem plani inclinati ad tempus descensus per altitudinem est ut ipsa longitudo ad altitudinem : nam in casu ( 4º ) u = v; ideoqueSIDENg9 sin gt , et 0 : t 1 : sin c .

36. Sint nunc plura plana sibi contigua ( fig. 22. * )diversimode ad horizontem inclinata . Si grave ab ABtransit ad planum BD , in eo transitu non retinebit ininitio plani BD totam velocitatem , quam habebat infine plani AB. Si enim concipitur recta AC perpendi6 et ?73

35. Comparantes (b "') cum (6) haec facile stabiliemus.1." Si 9:t . eruntv:u:1:sinc,s:z:1:sinc;'si duo nempe gravia eodem tempore delebuntur, alterumverticaliter , alterum per planum inclinatum AB, tam ve-locitates v ,1: ab ipsis gravibus in descensu perpendiculariet obliquo acquisitae , quam spatia s, z descripta , eruntut longitudo plani ad ejus altitudinem .2? Hinc ubi ex puncto G concursus rectae verti-calis cum horizontali ducatur perpendiculum CE ad planiinclinati longitudinem AB, grave percurret lapsu obliquospatium :AE eo tempore , quo percurreret lapsu verticalitotam altitudinem AC; uam AC :AE :- AB :AC.3." Inde sequitur chordas omnes circuli ad supre-mam , vel infimam diametri verticalis extremitatem pertin-gentes describi eodem tempore; eo nimirum , quo descri-beretur ipsa circnli diameter.. 4." Velocitates 11 .'v gravium in plano inclinatoet in recta verticali aequales sunt si gravia ex punctis aequealtis ad eamdem rectam horizontalem pervenerint: in eaenim qua sumus hypothesi est s:zsinc, ac proindev":uz , v :u .'5." Tempus descensus per longitudinem plani in-clinati ad tempus descensus per altitudinem est ut ipsalongitudo ad altitudinem: nam in casu (40) u:v ; ideoqueg95inc:gt,et-9:t:1:sinc.36. Sint nunc plura plana sibi contigua (fig. 22.')diversimode ad horizontem inclinata. Si grave ab ABtransit ad planum BD, in eo transitu non retinebit ininitio plani BD totam velocitatem, quam habebat -infine plani AB. Si enim concipitur recta AC perpendi-6- .... ↹∙∙∙↽∙⊾ −↿−⇀⋅⋅⋅⋅↽∙⋅↽ f.:-.. ∙−←−−− ↘−∼∙⋅ ,. ∙∙⋅∙∙∙⇁ . ∙∙'1cularis plano BD producto, et velocitas in fine plani habens directionem AB concipitur resoluta in duas AC,CB

illa prior AC

a novo plano BD elidetur, utpote quaetota insumitar in eo normaliter percutiendo, ac seclusa0mois elasticitatis consideratione, sola altera CB urgebit corpus per novum planum BD, eritque velocitas prior ad novam, qua nempe ingreditur novum planum ut AB

CB sive ut

radius ad cosinum anguli ABC, et prior velocitas ad amissamerit ut radius ad sinum versum ejusdem anguli ABC

cum

nempe, si centroB et radio BA describatur semicirculusEAE', sit velocitas prior ad amissam ul AB

CE

.Erraverunt igitur qui banc velocitatis jacturam minimeconsiderantes falsum hoc theorema confecerunt,, Ex aliitudine quacumque descendens grave per quotlibet ac quaelibet plana AB, BD sibi contigua utcumque inclinata eamdemin puncto infimoD velocitatem acquiret ac cadendo perpendiculariter ex eorum omnium altitudine,, Erit tamen verissimum theorema si non ad plana contigua quaecumque scdad curvas, quae ex infinitis numero rectis lineis et infiniteparvis( 27. 16°) coalescere intelliguntur, applicetur et poterit verissime sic enunciari ,, Quodlibet grave ex quacumque altitudine cadens supra superficiem curvam quamcumque, eamdem in puncto infimo velocitatem acquiret ac cadendo perpendiculariter ex ipsius curvae altitudine ,, Ratioest quia velocitatum jactura in transitu de uno in aliudplanum, decrescente angulo quem continet planum alterumAB cum altero DB producto, decrescit siquidem decrescente angulo ABC decrescet sinus versus CE repraesentansvelocitatem amissam. Quare faclo infinite parvo angulo ABC,uti contingit in curvis, velocitas quoque amissa fiet infiniteparva, ac proinde grave ingredietur planum BD cum velocitate acquisita in descensu per planum AB. Porro sinusversus CE' ita decrescit ut, facto infinite parvo primi ordinis angulo ABC, ipse CE' evadat infinitesimus secundi ordinis

nam EC
AC

= AC

CE

'.74cularis plano BD producto,et velocitas in fine plani ha-bens directionem AB concipitur resoluta in duas AC,CB; illa prior AC :: novo plano BD elidetur, utpote quaetota insumitur in eo normaliter percutiendo, ac seclusao-mnis elasticitatis consideratione, sola altera CB urgebit cor-pus per novum planum BD, eritque veloeitas prior ad no-vam, qua nempe ingreditur novum planum ut AB:CB sive utradius ad cosinum anguli ABC, et prior velocitas ad amissamerit ut radius ad sinum versum ejusdem anguli ABC; cumnempe, si centroB et radio BA describatur semicirculusEAE', sit velocitas prior ad amissam ut AB: CE'.Erraverunt igitur qui hanc velocitatis jacturam minimeconsiderantes falsum hoc theorema coufecerunt,, Ex altitu-dine qnacumque descendens grave per quotlibet ac quaeli-bet plana AB, BD sibi contigua utcumque inclinata eamdemin puncto infimoD velocitatem acquirat ac cadendo perpen-diculariter ex eorum omnium altitudine,, Erit tamen veris-simum theorema si non ad plana contigua quaecumque sedad curvas, quae ex infinitis numero rectis lineis-et infiniteparvis (27. 16") coalescere intelliguntur, applicetnr; et po-terit verissime sic enunciari ,, Quodlibet grave ex quacum-que altitudine cadens supra superficiem curvam quamcum—que, eamdem in puncto infimo velocitatem acquiret ac ca-dendo pan-pendiculariter ex ipsius curvae altitudine ,, Ratioest quia velocitatum jactura in transitu de uno in aliudplanum, decrescente angulo quem continet planum alterumAB cum altero DB producto, decrescit; siquidem decrescen-te angulo ABC decrescet sinus versus CE' repraesentansvelocitatem amissam. Quare facto infinite parvo angulo ABC,nti contingit in curvis, velocitas quoque amissa fiet infiniteparva, ac proinde grave ingredietur planum BD cum ve-locitate acquisita in descensu, per planum AB. Porro sinusversus CE' ita decrescit ut, facto infinite parvo primi or-dinis angulo ABC, ipse CE' evadat infiuitesimus secundi or-diuis; nam EC: AC:AC: CE'.751

37. Hactenus nullam habuimus rationem attritus , seuresistentiae ex asperitate superficierum : prominentes nempe unius superficiei denticuli foveas alterius ingrediuntur ; sicque haud poterit una superficies alteri superpositapromoveri, nisi ipsi denticuli vel frangantur, vel inflectantur, vel , saperiori superficie identidem elevata parumper ,e foveolis egrediantur: possunt quidem denticuli ita politione imminui , ut sensum inermem effugiant, sed penitustolli nequeunt.Statue corpus super plano horizontali ; tum planum istud eousque sensim inclina , donec sub quodam anguloc=c'corpus tantum non incipiat descendere, incipiat vero crescente utcumque parum c ultra c' . Attritus respondens anguloc = c dicatur f: quoniam f accurate librat vim gM sinc'erit f =g Msinc' ; hinc si per r exprimitur ratio attritus f adpressionem gM cosc' ut sit fer. GM cosc ', habebitur.r.gM cosc = gM sinc' ,ideoquer = tang c' .05Permanente qualitate massae M, itemque politionis gradu , constat experimentis quod permanet quoque angulus c' ,et consequenter ratio r, licet quantitas ipsius M augeatur,vel minuatur. Inde sequitur attritum f, caeteris paribus, fore proportionalem pressioni r.gM cosc' .Si ponimus attritum adhuc pressioni proportionalemquum angulus c superat angulum c'; ad habendam rationem attritus in motu gravium per plana inclinata , progsinc substituetur g sin c - rg cosc in ( b ), et gsinc +rg cosc in ( 6 " ); caeterum in casu motus videtur f non a sola pressione , sed a corporis quoque velocitate haud parum pendere.Haec subjungimus."75

37. Hactenus nullam habuimus rationem attritus, seuresistentiae ex asperitate superficierum :prominentes nem-pe unius superficiei denticuli foveas' alterius ingrediun-tur ; sicque haud poterit una superficies alteri superposita-promoveri, nisi ipsi denticuli vel frangantur, vel mflectan-tur, vel, superiori superficie identidem elevata parumper ,e foveolis egrediantur: possunt quidem denticuli ita poli-tione imminui, ut sensum inermem effugiam, sed penitustolli nequeunt.Statue corpus super plano horizontali; tum pla-num istud eousque sensim inclina, donec sub quodam anguloc:c' corpus tantum non incipiat descendere, incipiat vero cre-scente utcumque parum c ultra c'. Attritus respondens anguloc:c' dicatur f: quoniam faccurate librat vim nginc'erit f

g Msinc'; hinc si perr exprimitur ratio attritus f

adpressionem gM cosc' ut sit:r. gM cosc', habebiturr. gM cosc': gM sinc' ,ideoquer:tang c'.Permanente qualitate massae M, itemque politionis gra-du, constat experimentis quod permanet quoque angulus c',et consequenter ratio r, licet quantitas ipsius M augeatur,

vel minuatur. Inde sequitur-attritum f,'caeteris paribus, fo-

1e proportionalem pressioni ngM cosc'.Si ponimus attritum adhuc pressioni proportionalem↴⋅ quum angulus c superat angulum ∁∙∍ ad habendam ratio-lnem attritus in motu gravium per plana inclinata, proigsinc substituetur gsinc—rgcosc in (b' ), et gsinc −∣−' rgcosc tn ( b "); caeterum in casu motus videtur fnon a so-lla pressione, sed a corporis quoque velocitate haud pa-rum pendere.Haec subjungimus.761º . Si corpus in plano inclinato constitutum librandum sit potential applicita ( Fig. 21 ) puncto G, quaepotentia et sollicitat ad ascensum, et efficit angulum & cumAB, gignitque propterea pressionem Qsind, satis erit ut resultans ex viribus Q et M ( g sinc F rg cosc ) Fr (sinexsistat ipsi plano perpendicularis , sese videlicet dirigat juxta Gi: continet autem Q cum Gi angulum 900An et vis Mg ( sinc F r cosc ) FrQsinc angulumcum eadem Gi. Igitur ( 9.10 )= 90Q: Mg( sincar cosc ) FrQsing = sin 90 ° ; sin ( 90 °a ) = 1 : cosa ;ideoquesinc Frcosc OSCMSQcos a Es sincesecun Sumpio superiori signo, nequit Q esse minordo membro quin corpus descendat; sumplo inferiori signo, nequit Q esse major secundo membro quin corpusascendat; perstabit aequilibrium intra limitessinc - rcosc sinc torcose Mg, el <cosa + rsingMg.cosu - osinc2º. In hypothesi nullius attritus erit r = 0 ; etconsequentersin cQMg COSU.3º. Si Q est insuper parallela horizontali BC, erit a = c ; ideoque761". Si corpus in plano inclinato constitutum li-brandum sit potentia Q applicita ( Fig'. 21) puncto G, quaepotentia et sollicitat ad ascensum, et eilicit anguluma cumAB, gignitque propterea pressionem Qsinac, satis erit ut re-sultans ex viribus Q et M (gsinc :rgcosc ):F r Qsin aexsistat ipsi plano perpendicularis , sese videlicet diri-gat juxta Gi: continet autem Q cum Gi angulum :90"—a, et vis Mg ( sine: rcosc) :rQsina angulum :90"cum eadem Gi. Igitur ( 9. 1" )Q: Mgüincqzr 0050 ):t:rQsinat:sin 90" :sin ( 90"—at:) 1:cosa:;ideoquesinc ∓r cosc−∙∙ Mocos a:r siuaSumpto superiori signo, nequit Q esse minor secun-do membro quin corpus descendat; sumpto inferiori si-gno, nequit Q esse maior secundo membro quia corpusascendat; perstabit aequilibrium intra limitessinc—rcosc sinc rrnsr Q)...— Mg, et Q(−⊢ Mg.cosa rsiuat cosa—rsiua2". In hypothesi nullius attritus erit r: o ; etconsequentersin 0 Mg. szz cosa:3". Si Q est insuper parallela horizontali BC, e-rit at:c ; ideoque77sipc :Mg COSCpotentia videlicet ad pondus ut plani altitudo AC ad horizontaleon BC. Hinc facile deducuntur aequilibrii leges incochlea et cuneo.4º. Cum cochlea non sit nisi planum inclinatum ABC, quod circum cylindruni ducitur; dum vero cochlea agit , potentia sit rectae lineae BC parallela, eritpotentia ad pondus seu resistentiam superandam , ut altitudo plani seu helicam distantia ( =h ) ad basim planiseu cylindri peripheriam ( = k ). HincQhP ;kquae formula supponit distantiam inter cylindri axem et pun .ctum cui applicatur potentia , esse ipsius cylindri radium( = m ) : quod si distantia illa fiat alia ab r', et exhibeatur per R' ; denotante e potentiam respondentem novaedistantiac, exsistetmi?R'ac proinde Q-hPR 'LP25R .kIn ordine ad cochleam infinitam , dicatur A radius majoris rotae , a radius minoris , et P' pondus seu potentia apud dentes ipsius rotae majoris; eruntар P =Qapi AhP27.R 'ideoqueQ =h a P21AR'77Q sine. NT: ⋅⇀ SE.—.'potentia videlicet ad pondus ut plani altitudo AC ad hori-zoutalem BC. Hinc facile deducuntur aequilibrii leges incochlea et cuneo.4". Cum cochlea non sit nisi planum inclina-tum ABC, quod circum cylindrum ducitur; dum vero eo-chlea agit, potentia sit rectae lineae BC parallela, eritpotentia ad pondus seu resistentiam superandam, ut al-titudo plani seu helicum distantia ( :h)ad basim planiseu cylindri peripheriam :( k). HincQz—k-iquae formula supponit distantiam inter cylindri axem et pun-ctum cui applicatur potentia, esse ipsius cylindri radium(: r' ): quod si distantia illa fiat alia ab r', et exhibea-tur per B'; denotante Q' potentiam respondentem novaedistantiae, exsistetQ'—r' ∙∙ ∙∙∙∣≖∣⊃⋅↿⋅⋅∙−∣≀∌ ∙≺⋮−−−−∙↓⊤∙ ac ptomde QI—B— . ∣∙⋮−−−−∙ ⊋∙⋮⋮⋅⋮↸↽∙In ordine ad cochleam infinitam, dicatur A radius ma-ioris rotae, a radius minoris , et P' pondus seu poten-tia apud dentes ipsius rotae maioris; eruntaP , hP'P::ï'Q—an' 'ide ueOq haP7815 ° Cuneus spectari potest tamquam coalescens exduobus planis inclinatis ut ABC, tum ob figuram suam ,tum quia idem est sive pondus per planum inclinatumtrahatur sursum , sive planum sub pondere promoveatur.Agit autem potentia in cuneo juxta CB; quoad igitur u1nam cunei partem ABC respondens potentia Qerit adm1respondentem resistentiam P ut AC ( = D ) , sen dimidia cunei crassities ad BC ( = H ) , idest ad altitudinem1Q1ad respondentem resistentiam P P erit pariter utį D ad H. IgiturmLQ.H - 1P.HD, Q (m - 1 ) .Am2 m mP (m - 1 )mi '· D ;quibus aequationibus in summam collectis ,Q. H = P. , D ,et consequenterDH totalis videlicet potentia Q ad totalem resistentiam P utdimidia cunei crassities D ad ejus altitudinem H ; modo tamen exerceatur resistentia normaliter ad H.6º . Si in cochlea v . gr. considerandus esset attritus , haberetur ( 10.40.) ,1!15" Cuneus spectari potest tamquam coalescens exduobus planis inclinatis ut ABC, tum ob figuram suam,tum quia idem est sive pondus per planum inclinatumtrahatur sursum, sive planum sub pondere promoveatur.Agit autem potentia in cuneo iuxta CB; quoad igitur u-. . 1 nam cune1 partem ABC . respondens potentta —Qer1t ad.'mrespondentem resistentiam −↿−∙∶ P ut AC (: äD ), seu di-↾mmidia cunei crassities ad BC (: H ), idest ad altitudinem. . 1 cunei. Quoad alteram partem respondens poteutta Q—- −− Qm. . 1 ad . . respondentem rc51stent1am P-— −−∙ P er1t partter ut171& D ad H. IgiturD, Q—(m-1).H: −↿−↽≺≀∙∥∶∶∙−↿∙−↕⊃∙ ;.m m mP∙∙-(m'1) -äD;,- utquibus aequationibus in summam collectis,QaHzpaL'D, et consequenter≟≺−≀∙∙− :D.P −⋅⋅ H ⋅totalis videlicet potentia Q ad totalem resistentiam P utdimidia cunei crassities & D ad ejus altitudinem H; mo-do tamen exerceatur resistentia normaliter ad H.6". Si in cochlea v. gr. considerandus esset at-tritus , haberetur (10. 4".),≁−−−−∎⋅−−−−⋅⋅...-—79sinc FrcoscP =cosc trsinch = 2 te r'r P ;h ErkPk trh 2 trhideoqueQQr Pr' h = 27r'sR ? -R 2 r'trh070. Veniat quoque considerandus attritus in ae- ,quilibrio corporis AB ( Fig. 23: 24 ) , quod ad rolatilemmotum circa fixum cylindrum sollicitatur vi Rjacente inplano, cui normaliter insistit axis cylindri.Ac primo cylindrus impleat accurate circularem corporis aperturam DE ( Fig. 23 ) , in quam inseritur: per cylindri centrum O duc rectam OEE' parallelam vi R , etpancto E corporis AB applica duas . vires Q ', Q' aequales eidem R, et contrarias, alteram nempe tendentem, abE versus E' , alteram ab E versus O; vi R licebit substituere systema virium R , Q ', Q " : et cum possint absque systematis turbatione sic transferri ( 11 ) R et l ' ut aequidistent ab O, eae nitentur dumtaxat gignere motum rotatilem circa cylindrum quin ullam pariant pressionem apud ipsius cylindri superficiem ; pressio igitur in hanc superficiem redigetur ad solam୧ = R , ideoque f = Rr.Attritus fest vis tangentialis respectu superficiei cylindricae; hinc denotante a radium OE cylindri , et p perpendiculum Oi ex O ductum in directionem potentiae R,ad aequilibrium satis erit, ut exsistat ( 9. 2° )R 12рRr. 79Q-—sinc:r:rc.oscP 11:er P—h:t:2nr'rpcosczbrsmc R::brh 2nr':t:rh ,ideoque—Qr' Pr' II::ZRr'ra' "B' 'an'äzrh Q! '70. Veniat quoque considerandus attritus in ae- ↗qnilibrio corporis AB ( Fig. 23: 24 ), quod ad rotatilemmotnm circa fixum cylindrum sollicitatur vi R iacente inplano, cui normaliter insistit axis cylindri.Ac primo cylindrus impleat accurate circularem ocr-poris aperturam DE (Fig. 23), in quam inseritur: per cy- ⋅lindri centrum O duc rectam OEE' parallelam vi B, etpnncto E corporis AB applica duas, vires Q', Q" aequa-les eidem R, et contrarias, alteram nempe tendentem, abE versns E', alteram ab E versus O; vi R licebit substi-tuere system virium R, Q', Q": et cum possint absque sy—stematis turbatione sic transferri (11) B et Q'0ut aequi-distent ab 0, eae uitentur dumtaxat gignere motum ro-tatilem circa cylindrum quin ullam pariant pressionem a-pud ipsius cylindri superficiem; pressio igitur in hanc su-perficiem redigetur ad solamQ" −∙∙−− R, ideoque f: R r.Attritus fest vis tangentialis respectu superficiei cylin-dricae; hinc denotante a radium OE cylindri, et p per-pendiculum Oi ex Oductum in directionem potentiae Pt,ad aequilibrium satis erit, ut exsistat ( 9. 20)80et consequenterPfacto p > ar , disrumpetur aequilibrium ; facto p < ar ,subsistet .Ponatur secundo circularis apertura corporis baudimpleri accurate cylindro ( Fig.24) : vis R manifeste transibit per contactum E cylindri et corporis AB . Resolve Rin duas EF, et ED' , quarum altera transeat per centrum 0 ,altera tangat cylindrum : per EF exprimetur pressio ; acproindef = r.EF .Obtinebit igitur aequilibrium quotiescumqueED ' < r. EF ,vel ED' = r.EF :cum autem ( 9. 1. ° ) .ED' : R = sin FER ; sin D'EF = sin FER : 1 ,EF : R = sin D'ER ; sin D'EF = cos FER : 1 ,cumque ducto perpendiculo Oi ex O in ER ,Oi Ei voa ?OE sin FER Р cos FER 22 -p2a OEiccirco praefatac aequilibrii conditiones vertentur inRp Rr Vap2 Rp aRr Va - p ?a aquae traducuntur ad80et consequenter"' p :: ar :facto p ar, disrumpetur aequilibrium; facto p ar,subsistet .lPonatur secundo circularis apertura corporis baudimpleri accurate cylindro (Fig.24): vis B manifeste trans-ibit per contactum E cylindri et corporis AB. Resolve Bin duas EF, et ED' , quarum altera transeat per centrum O,altera tangat cylindrum: per EF exprimetur pressio; acproindef

r. EF.

Obtinebit igitur aequilibrium quotiescumqueED' (r. EF , vel ED' −−∶ r. EF :.cum autem (9. 1.0)..'ED': R ::sin FER : sin D'EF :sin FER : 1 ,EF fii ∙−−∶ sin D'ER; sin D'EF: cos FER : 1,cumque ducto perpendiculo Oi ex 0 in EB.Oi p Et. ⇂∣ (13 ∙−− :;' :∙−−− :... ∙ FER ↽− −∙ psin FER 08 a 005 OF. a ,iccirco praefatae aequilibrii conditiones vertentur inn,,(RrI/aa—pz ↧≹∣↗∙∙∙↧≹≀⋅ Wiz—pa7." −−−−↴∶∎−−∙−↙≀∎ ⇀⇀ a 'quae traducuntur ad⇁−∙↱⇁≓≓81 1ar 2p <р1 + 12 vit ?8.• Si ponitur R nihil esse aliud nisi resultansex datis viribus P' , Pi ad puncta data v . gr. A , B applicitis , innotescet R ex dictis ( 10 ) , itemque p. ex ( 10.3° ) .Sic habetur ratio attritus in vecte : caeterum in machinispraeter resistentiam ex attritu spectanda etiam est resistentia ex funibus . Hi enim inflexioni suae resistunt quumcylindris vel trochleis circumvolvuntur; et quidem eo magis , quo majori pondere tenduntur , quo insuper crassiores sunt , et quo minor fuerit trochleae, aut cylindri radius.

De motu gravium oblique projectorum.recensere

38. Grave (Fig. 25) juxta directionem MG velocitate projectum urgebitur duplici motu, altero aequabili per ex impetu recepto, altero (nihil est aliud nisi motus relativus mobilis quoad ipsum iens per sola ) uniformiter accelerato gravitatis proprio per rectam verticalem , vel ipsi parallelam. Sit spatium quod cumque primo illo aequabili motu seorsim sumpto percursum, tempus impensum ad ejusmodi spatium percurrendum, sitque spatium pari tempore percursum secundo motu item seorsim sumpto. Completo parallelogrammo , in fine temporis grave erit (5) in ;et quia (1:30)eliminato , existetaequatio ad curvam (dicitur parabola) in qua defertur grave. Si altitudo debita (28) velocitati , dicatur , erit, et aequatio transformabitur in.

39. Denotet x horizontalem rectam MK , y verticalem KQ , et h angulum CMK ; erunt x = S cosh , y =CK - CQ = S sin h -5 ; undeXXS =cosh . sinh :coshquibus valoribus substitutis in (c) , prodibitx2 rcsinh4 ACO -Y) ,et consequenter cos2 hcos hy =xtang h 1 + tang k4 Ax2 ( c' ) .

40. Haec facile nunc stabiliuntur. 1º facta y = 0 ,proveniet amplitudo jactus4 Atangah1 + tang h4Asinhcosh = 2 Asin2h.2.º Inde sequitur maximam jaclus amplitudinemhaberi sub angulo h = 45°.

3. ° Si quaeritur angulus h , sub quo proiiciendum est grave ut offendat in datum scopum, cujus nempedantur coordinatae x et y , erit2A + V 4A2-4 Ay - x2tangh82aequatio ad curvam (dicitur parabola) in qua deferturgrave. Si altitudo debita (28) velocitati v, dicatur A, eritvio:2gA, et aequatio trausformabitur inS':4As (c) Esistente igitur 4 A 2—4 Ay-x >0 , poterit sub dupliciangulo projici grave ut datum -scopum attingat : attingetautem in fine temporis ( 38 : 39 )Sts Vo .Vo cos h

4.0 in ( c ) pone2 Atangh ta ;1 +tangahbabebisA tangah1+ tang2h ya1 + tang 2h W?4A( c ' ' ) .Iam vero maxima y ( dicitur altitudo jactus ) manifeste respondet valori w = 0 ; altitudo igitur jactus exhibebiturperA tangah seu A sinh.1 +tangah

5º . Ex eadem ( c " ) quisque colligit parabolam , in quadefertur grave, dividi a maxima y in duas aequales similesque partes : extremitas maximae y vocatur vertex parabolae; ipsa vero maxima y indefinite producta juxla gravitatis directionem appellatur axis parabolae.

6º Si angulus h fit < o, ut initialis directio cadat iтfra horizontalem rectam ML, jactus amplitudo x (1°) ex > fiet < 0; jactus vero altitudo y ( 40 ) permanebit >o. Quod si fuerit h = o, ut initialis directio recidat in rectam horizontalem ML, nulla erit amplitudo jacеus, nullaque ejus altitudo.

7º. Demittatur perpendiculum QP ex puncto Q parabolae in axem NI ... , sintque NP = x', Q P =y'; erunt ( 1º . 4º . ) x MI — QP = 2 A sinh con -y'y=NI — NP = A sin’h— x' : quibus valoribus substitutisin ( c' : 39 ) , proveniety2= 4 A x' cosahaequatio ad parabolam M N L inter x' ety' computatas avertice ; quantitas 4 A cos’h dicitur parameter parabolae ;quod si in axe sumatur punctum H ita , ut ejus distantiaa vertice sit quarta parametri pars seu A cos ?h , habebiturpunctum illud , quod appellatur parabolae focus.

41. Cum ad curvam parabolicam describendam, corporis motus, qui fit secundum lineam projectionis, debeat esse aequabilis, qui vero fit secundum lineam verticalem, debeat esse uniformiter acceleratus, cumque hujusmodi certe neuter esse possit si medium utrique motui resistat, iccirco nonnisi in vacuo motus corporis oblique projecti fieri potest per curvam, quae sit perfecte parabolica. In medio resistente curva minus late patet, minusque assurgit quam in vacuo; duobus insuper cruribus dissimilibus (Fig. 26) componitur, quorum descendens ad rectam quamdam ut asymptotum accedit in infinitum, quin unquam congruant. Etenim resoluta projectionis velocitate in duas, alteram verticalem, alteram horizontalem, verticalis tum ab aeris resistentia, tum a gravitate usque ad punctum minuetur: propterea punctum minus assurget quam in vacuo: postquam grave ad pervenerit, descendet ob gravitatis vim damna ex medii resistentia reparantem, et hujusmodi descensus fiet motu verticali ad motum aequabilem (33) semper accedente. At horizontalis velocitas minuitur perpetuo, nulla interim vi iacturam reparante, atque inde fit ut recessus horizontalis a recta verticali certum limitem non praetergrediatur, quem curva habet pro asymptoto. Haec contingunt potissimum corporibus ingenti velocitate in aere projectis.

De generalibus quibusdam proprietatibus motus curvilinei, orti a viribus, quarum una determinat materiale punctum ad motum aequabilem, altera ipsi materiali puncto est continue applicata.recensere

42. Concipiamus secundam vim agere solum in initiis quorundam tempusculorum, ac tantam velocitatem unico impulsu valido producere, quantam vis perpetuo agens producit toto illo tempusculo, ut deinde inminuta magnitudine tempusculorum in infinitum, habeatur linea curva orta ex continua vis actione.

Projecto puncto materiali cum velocitate (Fig. 27) simulque illi impressa velocitate , abiret punctum per diagonalem CO parallelogrammi AOBC et esset in fine primi tempusculi in O cum determinatione describendi altero aequali tempusculo rectam OL = OC, eique in directum jacenlem. Si hic iterum illi imprimeretur alia velocitas OF, completo parallelogrammo FILO , incederet per diagonalem OI, essetque in fine secundi tempusculi in I cum determinatione describendi tertio tempusculo aequali rectam IM = 10, eique in directum jacentem. Sed ob impressam hic quoque aliam velocitatem IV abiret per novam parallelogrammi diagonalem IH, atque ita porro. Fieret ergo in ejusmodi hypothesi vis agentis per intervalla tempusculorum ut materiale punctum describeret polygonum COIHN etc, cujus latera certam magnitudinem et positionem haberent, definita nempe a directione virium et a ratione velocitatum, quas initio cujusvis tempusculi mobile obtineret. Hinc pro diversis virium ila agentium ordinibus numero infinitis infinita considerari possunt ejusmodi polygona, quorum alia in se ipsa redirent, desinente ultimo latere in puncto C ubi primum inceperat; alia abirent in infinitum. Concipiamus jam numerum tempusculorum augeri, et simul eorum magnitudinem imminui in infinitum, vitum magnitudine tum directione vel constantes manere, vel variare certa quadam lege ad continuam quamdam variationis rationem accedente in infinitum. Augebitur in infinitum numerus laterum polygoni determinato tempore descripti, imminutis interea in infinitum angulis, quos efficit quodlibet latus praecedens cum consequente: cum enim LI debeatur impulsui, qui initio tempusculi 0 eamvelocitatem producere concipitur, quam produceret vis toto tempusculo agens, cumque per tempusculum infinitesimum vis ista habenda sit pro constante, existet ( 28: 30. 14. ) LI =092; ideoque ob o finitam, et quadratum 62 infinitesimum secundi ordinis, erit etiam LI infinitesima ordinis secundi, sed OL est infinitesima ordinis primi, utpote quae tempusculo O describitur cum velocitate finita; ergo angulus LOI erit ivfinitesimus: atque eodem pacto demonstrantur infinitesimi anguli MIH , K'HN , etc. Hinc polygonum ad curvam continuam semper magis accedet; et ubi demum continua habealur actio vis, et continuae cuidam legi subjiciantur directio ipsius et magnitudo, obtinebitur curva continua cavam sui partem versus eam plagam obvertens, in quam tendunt vires.

43. Abeunte polygono in curvam , rectae CL , OM' , IH ', HK , etc abeunt in tangentes apud puncta C, O, I, H , etc. Ubi ergo in aliquo curvae puncto vis desinat agere,,excurret mobile per tangentem apud illud punctum.

44. Sit IM (fig, 28 ) spatiolum quod tempusculo 9mobile percurreret sola velocitate praeconcepta, et IVspatiolum respondens vi agenti unico impnlsui valido ; itaut existat (42) IV ::99". Completo parallelogrammo, positis-que lM:P ,lH:B, et angulo MIV :i, erit (9. 3." )∶∶ Vra-Hæ os −⊢⋅∠⇂⊃⊊↶⊖⋍ cos :.87Evolvatur quantitas radicalis in seriem : provenietR = P + q9 cos i , unde R - P = º02cosi ,neglectis infinitesimis altioris ordinis. Sit v' velocitas , quamobile percurrit laterculum R; erit R = v'0 : sit etiam vvelocitas , qua mobile percurreret laterculum P. si nonadesset impulsus validas in I ; erit P =v @ : hinc R --P = vv( ) 0 .; et consequenterv ' - v = q Ocosi.Ex hac aequatione patet v— esse quantitatem infinitesimam primi ordinis , positivam vel negativam prouti <vel > 90° , esse autem =0 si i 90° . Inferimus illud : ubi tempore finito angulus , quem efformat vis acceleratrix cum directione tangentis , fuerit semper aculus,acquiret mobile incrementum velocitatis finitum ; si semper obtusus , patietur decrementum finitum ; si semper relus , velocitas manebit constans.

45. In motu quovis curvilineo quadratum velocitatis aequat vim acceleratricem ductam in dimidium chordae, quae ex ejus directione abscinditur a circulo osculatore. Denotet enim a lineolam infinitesimam IM (Fig. 29) ut sito et consequenter IV = 902cipiatur circulus , qui transiens per tria puncta 0 , I ,H ( fig . 27. 29. ) habeat centrum in G , quique eritcirculus osculator apud curvae punctum O ; producanturIV , MH donec occurrant peripheriae in G " , G  ; et exG ducatur perpendiculum GGʻad chordam IG " : eruntIG "MG " = IG " = ICE Est autem MH . MG ' " : MI. MO;2ergo MH . 21Gʻ = MI.MO = MI . 2MI , seu 21G'2x2. Hinc v2 = . IGʻ ; ideoquc etc. Porro angulus IGG' =2 Oxa

con

.px ?2287Evolvatur quantitas radicalis in seriem : provenietB:P −⊢ o9zcos i, unde B—P:cp92cosi ,neglectis infiuitesimis altioris ordinis. Sit 'v' velocitas , qua mobile percurrit laterculum R; erit R: 0'9: sit etiam »velocitas , qua mobile percurreret laterculum P. si nonadesset impulsus validus in I, erit P:-v 9: 'hinc R-— P:(v'--v)9; et consequenterv'—v:cp9cosi .Ex hac aeqnatione patet 'o'—v esse quantitatem in-fiuitesimam primi ordinis, positivam vel negativam prouti(vel 90" , esse autem :0 si 1": 90". Inferimus il-lnd : ubi tempore finito angulus, quem efformat vis ac-celeratrir cum directione tangentis ,fuerit semper acutus,acquiret mobile incrementum velocitatis finitum; si sem-per obtusus, patietur decrementum finitum; si semper re-ctus, velocitas manebit constans.

45. In motu quovis curvilineo quadratum velocitatisaequat vim acceleratricem ductam in dimidium chordae,quae ex eius directione abscinditur a circulo. osculatore.Denotet enim a lineolam infiuitesimam IM (fig. 29. )gox- ; con-92cipiatur circulus, qui transiens per tria puncta 0, I,II (fig. 27. 29..) habeat centrum in G, quique eritcirculus osculator apud curvae punctum 0; producanturIV, MH donec occurrant peripheriae in G", G'"; et exG ducatur perpendiculum GG' ad chordam IG": eruntMG"':IG", −−−∙−↧∁⇀−− ⇀∸−↧−⊊≩−⋅∎−∙ Est autemMH. MG'":MI. MO;ut sit :9 i,et consequenter IV:99":'»ergoMH.21G':MI.-:MO MI. 2Ml.seu—-— """" ,210':'v".Hiuc v": 39. lG' ; ideoque etc. Porro angulus IGG'— −∙∙−∙↼⇀−−. −↼∙⋅⋅∙∙⋅↼−∎∣ −↼∙∙∙8890 ° -GIGʻ = 900 (MIV - MIG ) = 90 ' - ( i - 90 °) = 180 °-i ;proinde , denotante r radium GI , erit IG ' = rsin IGG' =rsini , et consequenterva = grsini ( b ) .

46. Haec vera sunt de omni virium genere. Sint nuncvires acceleratrices directae ' ad centrum datum : in casu,curva ColH .... ( fig . 27. ) jacebit in plano transeunteper rectam projectionis et per centrum virium ; quod facile intelligitur , cum in eodem plano agant vires omnes.Viribus ad punctum aliquod S tendentibus , radiusvector ( est recta , quae ab S ducitur ad mobile ) descri .bet areas circa idem punctum temporibus proportionales ,et viceversa.Quod spectat ad primam assertionis partem , assumptis tempusculis aequalibus , et ducta recta SL conside .rentur triangula SCO , SOL , SOI : est SCO = SOL ,cum sivt super bases CO , OL aequales ob aequalitatem tempusculorum , eamdemque habeant altitudinemest etiam SOL = SOI , quia insistunt ambo eidem basiSO, et sunt inter easdem parallelas SO , LI : ergo SCOSOI. Eodem modo ostenditur triangula SOI , SIH aequalia esse eidem SIM , et proinde aequalia esse inter se ,et similiter omnes areas sequentium triangulorum aequales esse inter se et cum areis praecedentibus. Quare cumtemporibus finitis quibuscumque contineantur numeri tempusculorum aequalium ipsis temporibus proportionales, areaeterminatae polygoni perimetro et rectis ad centrum viriumpertingentibus , hoc est compositae a lot areolis triangulorum aequalium quot tempuscula respondent illis temporibus , quibus perimetri partes describuntur , eruntipsis temporibus proportionales . Cum autem id locum habeat quomodocumque augeatur numerus tempusculorum,eorumque magnitudo imminuatur , consequens est ut, ubi⇤88⊖∘∘∙∁≖↧∁↾⋅ :soc—(MIV—MIG) :90"—(i—gO"):180"—i ;proinde , denotante r radium GI, erit IG':rsin IGG':rsini , et consequenter-v":g9rsini (6).

46. Haec vera sunt de omni virium genere. Sint nuncvires acceleratrices directae'ad centrum datum: in casu,curva COIH.. ..(Gg. 27. ) jacebit in plano transeunteper rectam projectionis et per centrum virium; quod fa-cile intelligitur , cum in eodem plano agant vires omnes.Viribus ad punctum aliquod S tendentibus, radiusvector (est recta, quae ab 5 ducitur ad mobile ) descri-bet areas circa idem punctum temporibus proportionales,et viceversa.Quod spectat ad primam assertionis partem, assum-ptis tempusculis aequalibus, et ducta recta SL conside-rentur triangula SCO, SOL , SOI: est SCO:SOL,cum sint super bases CO, OL aequales ob aequali-tatem tempusculorum, eamdemque habeant altitudinem:est etiam SOL :SOI . 'quia insistunt ambo eidem basi50, et sunt inter easdem parallelas SO, LI : ergo 500:-SOI. Eodem modo ostenditur triangula SOI , SIH aequa-lia esse eidem SIM ,et proinde aequalia esse inter se ,et similiter omnes areas sequentium triangulorum aequa-les esse inter se et cum areis praecedentibus. Quare cumtemporibus Gnitis quibuscumque contineantur numeri tem-pusculorum aequalium ipsis temporibus proportionales, areaeterminatae polygoni perimetro et rectis ad centrum viriumpertingentibus , hoc est compositae a tot areolis triangu-lorum aequalium quot tempuscula respondent illis tem-poribus, quibus perimetri partes describuntur ,eruntipsis temporibus proportionales. Cum autem id locum ha-beat quomodocumque augeatur numerus tempusculorum,eorumque magnitudo imminuatur , consequens est ut, ubi89demum polygonum abit iu curvam continuam , areae terminatae arcu curvilineo et rectis ad centrum virium tendentibus sint itidem temporibus proportionales.Ad secundam assertionis partem quod spectat , sintareae SCO, SOI, aequalibus temporibus confectae , omninoaequales. Quoniam producta CO in L ita , ut existat OL =CO, est triangulum SOL = SCO, idcirco SOL =SOI; sedbaec duo triangula habent basim communem SO ; eruntigitur inter easdem parallelas, ideoque IL erit parallela rectae So. Ducatur IF parallela ad OL; motus per Ol componetur ex duobus per OL et OF , quorum prior cumoriatur a determinatione motum praecedentem continuandiper C O , certe posterior a vi acceleratrice generabitur ,quae propterea dirigitur ad centrum S.

47. Velocitas qua pollet mobile in eadem curva , estreciproce proportionalis perpendiculo e centro virium ducto in tangentem . Velocitas enim mobilis in quovis laterepolygoni est ut ipsum latus ob aequalia tempuscula , quibusunumquodque latus percurri supponimus : est autem unum :quodque ejusmodi latus reciproce ut perpendiculum quodex centro virium ducitur in latus ipsum ; siquidem idperpendiculum habent pro altitudine triangula illa exiguapolygoni , si hujus latera pro eorumdem trianguloruin basibus assumantur ; ea insuper triangula sunt aequalia , et intriangulis aequalibus debent bases esse in ratione reciproca altitudinum : est igitur ea velocitas reciproce ut perpendiculum ductum ex centro virium in latera polygoni.Sed abeunte polygono in curvam continuam , directiones lateruın abeunt in tangentes ; ergo velocitas mobilis in quovis curvae puncto erit reciproce ut perpendiculum ex centro virium in langentem demissum.

48. Denotet a areolam NSZ , et g perpendiculum SEductum ex centro S in laterculum NZ ; describetur NZ veNZ 2a ; siquidem NZ.SE=2NSZ: hinc ( 45 ) olocitate v=90789demum polygonum abit iu curvam continuam, areae ter-minatae arcu curvilineo et rectis ad centrum virium ten-dentibus sint itidem temporibus proportionales.Ad secundam assertionis partem quod spectat, sintareae SCO, SOI, aequalibus temporibus confectae, omninoaequales. Quoniam producta CO in L ita, ut existat OL:CO, est triangulum SOL:SCO, idcirco SOL:SOI; sed .haec duo triangula habent basim communem SO.; eruntigitur inter easdem parallelas, ideoque IL erit parallela re-ctae SO. Ducatur lF parallela ad OL; motus per OI com-ponetur ex duobus per OL et OF, quorum prior cumoriatur a determinatione motum praecedentem coutinuaudiper C 0, certe posterior a vi acceleratrice generabitur ,quae propterea dirigitur ad centrum S.

49. Quoniam radius vector , juxta quem agit vis continua , potest assumi ut sibi parallelus per tempusculumquodvis infinitesimum 0 , ipsaque vis ut constans per totum illud tempusculum ; ideo si mobile K incedens curvam CX ( fig. 30 ) viribus ad centrum S tendentibus describit arcum infinitesimum HN labente , ductis SH ,SN , et producto SN donec occurrat in H' tangenti HH " ,lineola recta H'N repraesentabit motum relativum mobilis K quoad ipsum Kieps per HH' sola vi praeconcepta inH. Igitur cum motus iste relativus sit unice repelendus( 5 ) a vi continuata per tempusculum e , exsistetH'N son (6").

50. Haec subiungimus .

1." Sive vires tendant adcentrum datum, sive non; denotantibus any, :coordinataspuncti materialis in fine temporis t, profecto x ,r,:peu-debunt ab ipso :; erunt videlicet æ, y, :functiones tem-peris :, ut scribi possit.——-—————.——-—-——-——.—.——...———..—91= f ( ) , y = fi ( ) , z = 12

2. • Si vocatur s arcus a materiali puncto percursustempore t, w velocitas ejusdem puncti in fine ipsius t , perinde spectari poterit ds ac si motu uniformi conficeretur ,sola nimirum velocitate praeconcepta v ; siquidem novavelocitas, dv , quae labente dt accedit materiali puncto ,est infinitesima . Propterea hic quoque ( 28 )dsdt

3.º Resoluta vi o in duas , quarum altera sesedirigat juxta tangentem , altera juxta respondentem normalem , erit ( 44) primades o cos i duษdc >dtasecunda (45 )2² ♡ sinids²r rdta

4.°# Incedente puncto materiali K per arcum s , movebuntur motu rectilineo projectiones K' , K ", K ipsius K incoordinatis orthogonalibusque axibus OX , OY, OZ ( Fig.5 ) ,eruntque ( 28 )dx dy dzdt dt dt >earum velocitates in fine temporis : , quum nempe K hads bet ( 2 ) velocitatem Vi acceleratrice dcK , resoluta in ternas P ', P " , D' ' ' iisdem axibus parallelas,. , qua sollicitatur∙ 91-x:f(t)-J:fx(t)o 2:130)-2." Si vocatur .: arcus a materiali puncto percnrsustempore :, v velocitas eiusdem puncti in fine ipsius t, pe-rinde spectari poterit ds ac si motu uniformi couGeeretnr ,sola nimirum velocitate praeconcepta v, ∙ siquidem novavelocitas dv , quae labente dt accedit materiali puncto ,est infinitesima. Propterea hic quoque (28)dsPr.—...... dt3." Besoluta vi 9 in duas , quarum altera sesedirigat juxta tangentem , altera juxta respondentem nor-malem, erit (44) prima'n'—'v—d'v-Sd": cpcost—p ,9 de dt"secunda (45) ⋅'∙⋅ "'∙ . ,,,a d;:cpsmr— r — rdt"'4."e Incedente puncto materialiK per arcum :, mo-vebuntur motu rectilineo projectiones K', K", K'" ipsius Kmcoordinatis orthogonalibusque axibus OX, Oï. OZ (Frg- 5) :eruntque (28)'de: (I)-' dzdt'dt 'dtearum velocitates in Gne temporis :, quum nempe K ha-bet (2") velocitatem? .Vi acceleratrice , qua sollicitatur

- -

K,resoluta in ternas P', P", P'" iisdem axibus-parallelas,92motus projectionis K' nihil erit aliud nisi motus relativus puncti K quoad ipsum K sollicitatum viribus dumdx taxat P " , P  ; proinde velocitas debelur soli P' ex dtdr ternis P' , P " , P " ; simili ratione ostenditur. deberi soli dtdz P " ex ternis P' ,P " , P , et soli P" ' ' ex iis 'componentidtbus . Hinc ( 28 )adx ddy adzde de dtP' ,P " , = P " , dt de dtseudex day dazdt2 P'diaP " ,di?= P " .

5. °* Si punctum materiale incedit curvam plagam,sumptis axibus v. gr . OX , OY in plano curvae , habebunturtantummododer dayde² P ' ,dia= P " .Fac v. gr. ut vis acceleratrix o sit parallela axi OY , italamen ut sese dirigat ad plagam ordinatae y negativae : eruntP = 0 , P :ideoqued2xdla 0,dydi ?Istarum prima suppeditatI92motns projectionis K' nihil erit aliud nisi motus rela-tivus puucti K quoad ipsnm K sollicitatam viribus dum-taxat P", P"'; proinde velocitas .j—f. debetur soli P' externis P', P", P'" ; simili ratione ostenditur-(g.; deberi soli"∙ ∙∙∙ dz ∙ n ∙∙ P ex ternis P', P" ∙ ∙, P , et −− soh P' ex 11s'componeut1-dcbus . Hinc (28)' ddf ddZ ddi dt dt dt∙−−− −−∶ '. ∙−−−:P. −∙∙:dt dt '"'de P 'seu'' ⊒ ∙' 'd3æ (137 d":dt" −−−∶ P'∙−− ∙−−− ∙−:P'di" P 'dt"

5."; Si punctum materiale incedit curvam planam,Sumptis axibus v. gr. OX, O? in plano curvae , habebunturtantummodo .⋅ ⋅dzæ - ddc" :")"Zïz'Fac v. gr. ut vis acceleratrix q; sit parallela axi Oï,itatamen ut sese dirigat ad plagam ordinatae] negativae :eruntideoquedh: ∙∙ d'] ∙∙∙ ∙∙dt" —0' −↲⋅≀⋅⇀≖− ?Istarum prima suppeditat93dxdt C , x =Ct +C' ;secunda, in hypothesi o constantis , praebetdy otadt ot + C ", y = 2 +0" 4 + C " :eliminato t ,yy = c" + * (** ) (* = ) .Habes itaque, in ea qua sumus hypothesi , coordinatas x ety expressas ( 10) per t; habes insuper aequationem ad curvam, quam describit materiale punctum : restat ut constantes arbitrarias C, C' , C ", C '" determinemus.Ponatur materiale punctum ex ipsa coordinatarum origine O projici cum velocitate Yo juxta rectam inclinatamad OX sub angulo h: resoluta v. in' binas, alteram parallelam axi Ox, alteram parallelam axi OY, erit illa = v , cosh,haec Vo sinh: initio motus obtinent simult = 0 , x = y = 0 ,dxdt = v , cosh,dydt = V , sinh ;igiturC = Vocosh , C = 0.C " = V . sinh , C = 0 ;et consequenter012x = vol cosh ,y = v , sinh -csinhcoshgx22v.cosh93dr.E—:C, æ:Ct-l-C,secunda, in hypothesi ? constantis , praebet' d ∙'

" 73: :,n—j-c'.7:— ∙≌⇉−−−⊦∁∥≀−⊦ ∁⋯≖ eliminato t ,

∜−⋅−−−≺⋮⋅⋅⋅⊹∁∣⋅ ("€")— −≣−≺∙≄ ;"):.Habes itaque, in ea qua sumus hypothesi, cbordina-tas æ ety expressas (1") per :; habes insuper aequatio-nem ad curvam, quam describit materiale 'punctum: re-stat ut constantes arbitrarias C, 0, C", C'" determinemus.Ponatur materiale punctum ex ipsa coordinatarum origi-ne O projici cum velocitate vo juxta rectam inclinatamad OX sub angulo h: resoluta v., in' binas., alteram paral-lelam axi OX, alteram parallelam axi Oï, erit illa:vo cos 11,haec:vo sin/1: initio motus obtinent simulda: dy .t.:o,x:o,y:o, ï

vo cosh, ?::v., smh;

igiturC: vo cosh , C': o .C": vo sin]: ,C" ':o;et consequenter 'cpt" æsiuh (pa-"2 "7— cos/1 -21Jo"cos"lt :

votcOsIt,y:vosiult—94

x tangh -9 1+ tangah2 v2.22.Recole quae diximus ( 39).

6°# Fac nunc ut, permanentibus caeteris ( 5º. ) , punclum materiale moveatur in medio resistente: poterit vis acceleratrix ex resistentia medii exprimi ( 32. 33 ) generatimper f (v ) ; per functionem videlicet velocitatis vtem , decrescentem , evanescentem simul cum v Sit \beta angulus interceptus directione motus et ordinatarum axe OY ;erunt ( 32 ) P' f (w) sin \beta , P " = -- flv) cos \beta ;ideoquecrescendar d²y : - flv )sin\beta , = -9 - flu) cos\beta ( c ) :dt2 dlainsuper ( 40)dxdtdy v sin\beta ,dt = v cos\beta (c' )quae differentiatae suppeditantd22 dy d\beta dy do d\betadt sin\beta tvcos\beta dt dt2 dt cos\beta — v sin\beta ordt dt2 .Ergodvsin \beta + y cos \betad\betadt dt : -f (v )sin\beta,doded3 cos \beta-usin \beta 0 - f v ) cos\beta: dt94x tangh .::t—ïngïhætRecole quae diximus (39).

604: Fac nunc ut, permanentibus caeteris (50.),ptm-ctum materiale moveatur in medio resistente: poterit vis ac-⋅ celeratrix ex resistentia medii exprimi (32. 33) generatimper f(v); per functionem videlicet velocitatis v crescen-tem, decrescentem,evanescentem simul cum 0Sit B an-gulus interceptus directione motus et ordinatarum axe Oï;erunt (32) P':-f(v) siuþ ∙P": −− ?−f(P) 008 p;ideoqued'ædt: :—ftv)sinþ,d —:— —f(v) cosþ (c):insuper '(40)da: . d .'at—:".lnþO £: "waþ (0)quae diB'erentiatae snppeditantdzæ−↙⊼≖−−∶−⋇⋮∐⇪ ⊣−∙≀∘∞⇪⊼ d'B. dz :d—ïcosþ— —vsinþ dþdtErgo——sin,8 −⋅⊢ vcos 5—d—-5 −∙−−−∙ —-f(v)sin,8,dvFt— cosþ—vsin B (35—:— ep —f(v) cosþ:95istarum primam multiplica per sin\beta , secundam per cos\beta,tum collige in summam; eamdem primam multiplica percos\beta , et secundam per sin\beta , cum subtrahe; habebisdy d\beta+ fv) =– pcos\beta,=Psins(c' ) .dc dtQuibus positis, haec stabilientur: cum nequeat \beta fieri > 180° ( siquidem in transitu . per 180° vires omnes evaderent verticales, motusque permaneret verticalis ) , cumque p etv existant perseveranter > 0, ob secundam ( c " ) eritd\beta constanter 0 ; proinde crescente e crescet semper an dtgulus \beta accedendo ad quemdam limitem B.In hypothesi anguli initialis \beta. (=90° - h)<90°, perget o cos \beta per aliquod tempus esse > o : sed flv ) > 0 ; igitur , ob primam ( c), per totum illud tempus erit deet consequenter crescente t decrescet v.Prima ( c" ) differentiata praebetdu< o .d2v dv d\beta gsin\beta ;dt -dea + au f '(o )seu , attenta secunda ( d ),dev dy

dia+ áf ( ) = q *sin- Bdvfacta igitur dt , emergetdev oʻsina> o.dt95istarum primam multiplica per sin 13, secundam per cosþ, ⋅tum collige in summam; eamdem primam multiplica percosþ ,et secundam per. siuþ ,t'um subtrahe; habebis∙ d d ∙⊋⋮∙∙⊣−∣↻⇝⇌− ws?- ∙⊺∙↙↙⋛−∶∶∲−−−∘∎⋮∙∂ (a")-Quibus positis, haec stabilientur: cum nequeat. þ Ge-ri )180o ( siquidem in transitu.per 1800 vires omnes e-vaderent verticales, motusque permaneret verticalis ), cum-que (p et v existant perseveranter o, ob secundam (e") erit ↭ ∣d ∙ ⋅constanter £)a; promde crescente :crescet semper an-gulus þ accedendo ad quemdam limitem B.In hypothesi anguli initialis B., (:::90() -H( 90",per-get ? .cosp per aliquod tempus esse ∘:sed iv))o'; i-gitur, ob primam (e" ), per totum illud tempus erit ⋚∶≺∘∙ et consequenter crescente :decrescet 0.Prima (e") differentiam praebet⋣≖−⊦↙↨−⋛∣≼⋅⇝⇌≡≴∊∹∾⋅≖⋅∣⋮⇋ dav d d . ∖∖ seu, attenta secunda (c' '),d'v dv ∙∙∙ ∳≖∘⋮∐≏∆⊙ ∙⊄⋮⋮⋝⊹⊋−∑ f(V)-— v '. .dvfacta igitur 22 :o, emergetdav cp'sinïþüt: ⇀−− v)0-96Inferimus ( 27. 22°. ) velocitatem v haud exsistere capacemmaximi: poterit quidem esse capax minimi ; ita tamen , utmutato decremento in incrementum, hoc neque vertatur iterum in decrementum, neque certum quemdam limitem Epraetergrediatur. Primum patet ex eo quod , posita conversione incrementi in decrementum, jam obtineret maximum:secundum ex eo quod, aucta indefinite v, augeretur indefidv nite flv ), simulque foret >0 ; id vero adversatur pri dtmae ( 6' ) .Ex ( c ") eruuntur binae20 21V2-01 ſię cos$ + fvde,B2- B;= Sosiu\beta dt ;t texprimunt N,, V, velocitates , item B , B, angulos limitibus t,2t respondentes. Faco cos\beta + v ) = f (t) ,psins = fa (t) :habebis ( 27. 18º. )V; - v.--tfittat) • B. - = falttal) ;exprimunt a et a numeros > o et < 1. Sed crescente t indefinite , vergit fi (t) ad q cosB + f (E ),et fu( t) ad qsinBEac proinde2 - -V2limes quantitatis cos B + F( E ) ,3. - 22 Olimesque quantitatissinBE96∙Inferimus (27. 220.) velocitatem v haud exsistere capacemmaximi: poterit quidem esse capax minimi; ita tamen, utmutato decremento in incrementum,hoc neque vertatur ite-rum in decrementum,- neque certum quemdam limitem Epraetergrediatur. Primum patet ex eo quod, posita conver-sione incrementi in decrementum, iam obtineret maximum:secundum ex eo quod, aucta indefinite v, augeretur indefi-nite f(v). simulque foret-(£)o, ∙ id vero adversatur pri-mae (c" ). ∙Ex (e") eruuntur binae2t∙↗−⇂↗≖ −−−∙−− ∙∣ ( ? cosþ-l- fwndz, ↾⊖≖−,B— fra-018 de;exprimunt v, , v, velocitates,' 1tem (i,, ,H, angulos limitibus !,2t respondentes. Fac9) cosB ^v):fd!) ∙∲≊∣∶∁ :famhabebis (27. 180.)'Ur—vzzf— tf1(t"l"at) ∙⇪≖−−⇪≃∶∶⊀≖↸≖⊣−⊄⋅∁⋟⋮exprimunt a: et «' numeros )b et ↿∙ Sed crescente :in-≺↿⊜∊⊓⋮⇂∊∙ ""sit fxw ad 90053 —I-f(E).et rm ad ?""B-ac proinde2! -—v

limes quantitatis :

Bos B4-f(E) ,x—Bz ↽− wir-B : .limes ue uantitatis . q q E97quoniam igiturVI - V2 lim.B - \beta ,0 lim t teruntØ cos B + f(E)= 0 ; sin BEet consequenterB = 180° , f(E )= .Ex istarum prima inferimus motum materialis puncti vergere ad rectilineum verticalemque motum; e secunda ( viribus p et medii resistentis sese in limite elidentibus, utpote aequalibus et contrariis ) ad motum uniformem , procedentem videlicet a sola vi praeconcepta.Divide primam ( c" ) per secundam (c") : provenietdxd\betasieX-XB-Brvm?;iccirco ( 27. 18º. )i\betaSpa\betaQ QBmexprimit um valorem medium velocitatis v. Haud praetergreditur ' ' m certum quemdam valorem finitum ; insuper vergit \beta ad B= 180° : ergo neque x praetergredietur finitumvalorem; ideo que materiale punctum incedet curvam praeditam asymptoto verticali. Recole, quae diximus nº. 41 .Posita ( 33. 4º. ) flv )formulae ( c) evadent k?qua 1quoniam igitur"r'—Va lim. :o, lim Bi—Ba :.0,erunt?∘∞↿∃⊣−⊀≺≖∙∶⊢− 0∙∲≕⋮⋮∶⊔∄−∙−− −−∘⊰et consequenter3:180" ,f(E):9.Ex istarum prima inferimus motum materialis puncti ver-97gere ad rectilineum verticalemque motum; esecunda(viri-bus 91 et medii resistentis sese in limite elidentibus, utpo-te aequalibus et contrariis ) ad motum uniformem, proce-dentem videlicet a sola vi praeconcepta.Divide primam (c') per secundam (e") :provenieticcirco ( 27. 180.)exprimit v,, valorem medium velocitatis,,,Haud praeter-greditur v,, certum quemdam valorem finitum; insuper ver-git B ad B: 1800: ergo neque æ praetergrediatur finitumvalorem; ideoque materiale punctum incedet curvam prae-ditam asymptoto verticali. Recole, quae diximus n".

41.Posita ( 33. 40.) f(v):SE,-2 , formulae (c) evadent.k?98dardi ?-sing,daydla 9quacos\beta : kased haec hactenus.7º. Intelligantur per coordinatarum orthogonaliumoriginem O ( Fig. 5 ) duci binae rectae 8,0" intercipientes angulum a : earum extremitatibus junctis recta d '", eritcosa =02 +02.0228 "Extremitas rectae , habeat coordinatas a ', y, z ', rectae autem o coordinatas x ", 1 " , 2 " : paullulum attendenti patebit foreõ = x's + y + 2,0% = < " + ya + z'2 ,d's = (x - x " )2 + 6 - y " )2+ (z'- z" )?;adhibitis substitutionibus ,cosa =x' x " ta'y " tz'z"8o"Sint a' , b' , c' , anguli, quos Ở facit cum axibus OX, OY ,OZ ; et a " , 1 " , c" anguli quos d " facit cum iisdem axibus: erunt 1x' = cosa' , y ' = ' cos b ', z ' = ' cosc'x " = " cosa " , y " = 0 " cosb ", z" = 0" cosc" ;rursusque adhibitis substitutionibus,98−∙−≂− −≌≝≖⋅ ∙ 99008?-sed haec hactenus.70. Intelligentnr per eoordinatarnm orthogonaliumoriginem O ( Fig. 5 ) duci binae rectae d', d" intercipien-tes angulum a: earum extremitatibusjunctis recta ö", eritö":eo" −⊦∂∣∣∶∎−∂≀∥≖ ⋅−∎ 26' a" 'Extremitas rectae ö' habeat coordinatas 0:231, z', rectae an-tem d"coordinatas x" , y", z": paullulum attendenti pate-bit fore ⋅∂∣≏−−∶∞↾≖−⋅⊦∙↗∣≖−⊢≖↾⋩∙ ∂∣⋅≖∙∸⋅∞↾∎≖⊹∕∣≖−∣−≖∥≖ ,3' ⋅≖−−−−≺∙⊅∣∙∞⋅∣⋟≖⊣⊣∙↗∣⋅∫∎⋅ )'—l-(z'-z" ),:adhibitis substitutionibns ,∙−− æ; æ"——)")'"—l-Z' zncosa ∶⋅↳ a, 6"Sint a', 6', c', anguli, quos 6' facit cum axibus OX, Oï.OZ; et a", b", e" anguli quos 6" facit cum iisdem axi-bus: eruntx':d' cosa' ,y*zzd" cosb', z':ö' cosc'æ": ö"cosa", y: ö" cosb", 2": d" cosc";rursusque adhibitis substitutionibus,−∙∙⋅∙−⋅−−⋅99cosa = cosa' cosa" -- cosb' cosb" + cose'cosc " .

  • His positis, fac ut vis acceleratrix o sese constanter dirigat ad centrum datum : constituta in eo coordinatarum ori gine O, erunt sle D 5.5 cosinus angulorum , quos cum axibus coordinatis efficit ra dius vector D; et P P " P '" P cosinus angulorum , quos cum iisdem axibus efficit . Pro pterea P X op + . $ . Þ==1 , sumpto vel superiore, vel inferiore signo , prout o nititur vel adducere materiale punctum ad centrum illud, vel ab ipso distrahere: in primo enim casu q et D faciunt angu lum a = 180° , in secundo angulum a = 0. Inde profluit ( 49) d2x Ide² dy v + D dia D daz dt2 8.• * Sumptis axibus OX, OY in plano ( 46) cur vae , quam incedit materiale punctum , erit der Q =F Ndt² on the + 5) . 99 cosa:eosa'cosa"-]-cosb' cos6"-1-cose' cosa". ∙His positis, fac ut vis acceleratrix (p sese constanter di- rigat ad centrum datum: constituta in eo coordinatarum ori- gine 0, erunt æLz D'D'D cosinus angulorum, quos cum axibus coordinatis edicit ra- dius vector D; et P' P" P'" r ' a ' ? cosinus angulorum, quos cum iisdem axibus ellicit ep. Pro- ? se P" 7 p--- ∙∙∙ ∙−−− ' D—"'ï"10 ? sumpto vel superiore, vel inferiore signo, prout ep nititur vel adducere materiale punctum ad centrum illud, vel ab ipso distrahere: in primo enim casu ? et D faciunt angu- lum a:1800, in secundo angulnm a −−−− 0. Inde profluit (40) ≕∙∙∙∙∙∙ dia: :: d'y )- ? D) *(dz : "D'l'dcz ∐↼⊦↲⋮−−≟ ⋅⋅− ⋅ 8.0 «: Sumptis axibus OX, 0? in plano (46) cur- vae , quam incedit materiale punctum , erit100 Ad exprimendamo per coordinatas polares , exhi beat 180°-W angulum interceplum radio vectore D et axe OX ; erunt De = x ? tys , x= - Dcosw , j = Dsina . Prima semel iterumque differentiata dat dDP + Dd D = xd x + ydży + dx2 + dy? ; secunda et tertia praebent dx = Dsiow cosw - coswdD . dy = Dcos wdw tsinwdD , ideoque dsa = dx2 + dyr= D -dw2+ dD2 , Hinc 2 der dia dy a D + dla D d - D dea D 2) ܪ . ac proinde la pa (d- D dla 0 ( ) ). Ad haec : P P " = P P " unde D àla D y et consequenter 1 1 1 100 Ad exprimendam (p per coordinatas polares, exhi- ' beat 1800—0 angulum interceptum radio vectore D et axe OX ; erunt Dï':a:3--l-)'2 , x: — Dcosw .szsinm. Prima semel iterumque differentiam dat dDL-l-DdzDzædïæ-l-yd'y-þdæï-l-dyz .; secunda et tertia praebent dæ:Dsinm cos co —cos ad D. dy:Dcos ædwf-sinædD, ideoque d.,- ∙−−− dx: −⊦ dyaznadæ-l—doa . Hinc dïæ a: dfy ] (PL) ? Dei?-),. ∎⊃⊣−≺∄↙⇄ ⋅∎⊃−−⇤↲⋍≖ dt " ac proinde dzD (deo)!) ∙−−∶ −− D — ? ∓ ∙ (aua dt Ad haec : P' a: P" ⋅∙∙∙∙ )» P ∙∙∙ P .;. :ï,?—q:.ü.,unde-; 7- et con sequenter ∙∙∙∎∙∎⋅∎−⋅101 • dx yd dt rady FO : de quam integrantes assequemur dr V dc dy dt C , seu ydx - xdy = Cdt. Est autem ydxxdy = Dsinud(-Dcosw ) + Dcosad( Dsinw ) Dºdw , propterea с dwla CdtD - da da de ( ) = C2 D D4 insuper AD Code : d d - D dla de dt dD da dt dt . ( dD C do D2 dt 1 . ( D ( ( d da da) da C2 D d d dw ,!... Hit C = as dt aan zoals da ? Coil 100 dwudt da . Da aby boxe parutis 1 C2 D D2 dw² Quare J 101 quam integrantes assequemnr da: dy," ⋅ ∙∙∙∙ ∙≯≀∙⊋∙↕−− ∙∙∷⊋∙⋮−−− C, seu ydæ—Jt'dj—Cdt- Est autem ydx—ædy:Dsinæd(—DcosmH—Dcosæd(Dsinæ) : D'daii , propterea ∙−− dai—C ∙ de) 3—01 ∙ ∁↙≀⇞−−∐⇟⊄∄∾⋅∙⋅⊋⊼−−−∐−≖⋅∙ (a)—"1373" insuper di? d(dD. 49) d(iD ∙⊆− ≀∄⋅∣⊃∙∙ d ∙∙∙⋅∃⊂∙−⊃⋅ 71? ∙− do) ne). dt'- d; ⋅ d:; dï- ⋪∙−⋅−⊳ ↿ ⋅ ⋯↿ 41 d(ï) d D d(B) 1101 ...-2 d, ⋅ da) ∙−↽∁⋅ ↪↼⋅−↽−⇁∁ ↜⊒⋅∶≥⇀⋍−−⋅−≤⋮∶ a d: dmwdt;,, nad-'O) . ' f" " c: ∐≖⋅↙∄∘−∎⊃−dasz102 D + ) ( 61 ). D2 dw² Fac v. gr. ut, viribus ad datum centrum tendentibus, materiale punctum incedat curvam (dicitur spiralis loga rithmica ) repraesentatam per Draw Habebis ( 27. 6.° ) . el = 2 11름 loga dw ,de 1 D% log ? a dway log.'a ; iccirco go CP D2 a log-a + b) ( logo a+ 1 ) . vis nempe acceleratrix erit in ratione reciproca triplicata distantiarum a dato centro.

9. # . Ad constantem C quod spectat, ex coordinalarum origine 0.(Fig . 19 ) intelligantur duci bini radii veclores, alter ad punctum datum a habens coordinatas xo,Yo, alter ad punctum quodvis B habens coordinatas x, y;sitque A area sectoris terminati arcu aB et radiis illis, Aarea aBca' : eritA = A +Xoyo2xy2>⇀↿∘⊋∙du-−−∶⊨ C, ...—l.).. ..,— (6) ..... i)? da: D !'Fac 9. gr. nt, viribus ad datum centrum tendentibus,materiale punctum incedet curvam (dicitur spiralis loga-rithmica ) repraesentatam perD:ac .Habebis ( 27. 6." )1 -ao 1 1T)- :a ∙↙≀−∣⋝−∙−−−−−− logadæ,d'ï-—.. ∠≀≖−∣↿⋝∙ ..a logia dei:-, :logæa ,

dm"iccirco1»ng (−∾∙∣∘⊰⋅∅⊣−∎↿⋥≻−−−∌⋮ ——(l0gi ∅−⊦1):vis nempe acceleratrix erit in ratione reciproca triplicatadistantiarum a dato centro.9011. Ad constantem C quod spectat, ex coordina-tarum origine O-(Fig. 19) intelligantur duci bini radiive-ctores, 'alter ad punctum datum et habens coordinatas xo,yo, alter ad punctum quodvis B habens coordinatas x, y;sitque A area sectoris terminati arcu aB et radiis illis, A'area cha': erit 'A—A' : æozïo ?;103ideoque ( 27. 18° )dA = dA - dxy ydxxdy2denotante praeterea i angulum interceptum tangente in Bet respondente radio vectore D, est ( 48)D sinids dA 2Igitarydx = xdy = Dsini ds,et consequenter ( 70 )C dt = D sini ds ;unde ( 20 )dsC = D sini - Du sini .dtCaetero quantitatem Dvsini esse eamdem ubicumqe suae curvae sit materiale punctum, liquet ex dictis ( 47 ) .

10 ° # Habemus ( 2º. 8° )dsde²DP dw2 + dD CPdc2 (Da dwa + dD")p4dwadD 2D2[ 11+ 9 seude103ideoque ( 27. 18o .)dA ::dA'- J222 −−−∫↙≀∞−⋍≀↨≧↩ −∫∂∞−≨⋅⇣⇃⋮↙≀∫ ;denotante praeterea t' angulum interceptum tangente in Bet respondente radio vectore D, est (48)D sini ds2 ∙(IA:lgiturydx':xdy :Dsint' ds,et consequenter ( 70 )Gde:D sini ds ;unde ( 20)CZDsini £:Dvsiü. dtCaetera quantitatem Dvsini esse eamdem ubicumqe suae cur-vae sit materiale punctum, liquet ex dictis (47).100a Habemus ( 20. 8")2(Isa 02 dGP—xl-JD':(02 da,-1- dDz) c,.— —∙∙∙−⋅ dt" ⋅⋅−⋅ dt: D4 dc.-13:∁≖dDaäirl—(5)], seude?104v2 = C2 -- [ + (3 ]( m) .11. # Quemadmoduni , data linea quam inceditmateriale punctum , innotescit q ; sic vicissim , data op , poterit sciri linea per quam movetur materiale punctumDenolante B quantitatem constantem et n numerum inteBgrum , sit v . gr. g = ; erit ( 7° 6. )D "B CP D+ )

dwa1 Bquae ,facto D = 1D' etet og h , vertetur in C2d2 D'h D ' r-2 = +diwa +D) .ChatonHaec multiplicata per 2dD ' suppeditatE12dD' dD ddw da +2D'dDdD' ) -2-2 h D'n -2 d D' = 0 ;sumptisque integralibus ,= [CD)* + D ] - 2,0-4C = 0;undedw(6,2dD'2h Dina quoad o adducentemD'2 į ad centrum ,'? – C ).∠⊢⋅⋅ ↿' 2 21 D∶∁ Exi-(a)] ("**-

↿↿∙∘∙ Quemadmodum, data linea quam inceditmateriale punctum,innotescit ?; sic vicissim , data ep , po-terit sciri linea per quam movetur materiale punctum.Deuotante B quantitatem constantem, et 11 numerum inte-grum, sit v. gr. ep:DT; erit ( 70 6.)l'l3— B 02 (...d D.. 57.— 25 .'.)* da: D⋅ ↿ B ∙quae, fama-:D et——⋜⋮−:h,vertetur tn

  • D' ≀≖≖≖⋅⋅−≖⇌⇀−⊻≐≺∡∽≖ −⊦∘∙≻⋅

Haec multiplicata per 2dD' suppeditat∶⊨≺∶≳↙⊋≞⇗∠∄−−⊣− 2D' dD')—2h D"'2dD':——o ;sumptisque integralibus ,465)" HB ]-—'— ∣⊃⋅⋅−⋅∙−⊦∁⋅−−−∘≅ n—lundeda: dD'2]; quoad ?adducentemTDV" —-D'3 —C')5 ad centrum,105dD'dw 2h quoad o distrahentem(0 –a centro :n =; D**?— D» ) *quarum integratio praebebit relationem inter w et D' , ideoque inter coordinatas polares w et D lineae quaesitae .12.°* In istarum aequationum prima sume v . gr.n = 2 ; ea sic poterit scribiD'domaVha- Cdah D'h2_C Hincw = C " + arc cos =h - D'VhCcos (6-C' ' ) ;et restitutis valoribus h , D' ,D =C2B - 1 B2 – C4 C cos (W – C") ·PoneC2 C= B (1 + €),=B' ( 1 —E) ,B-HVB2_C4 C B - V B2 - C4Cquae in summam collectae praebentBCPC B ',invicem multiplicatae suppeditant --8105&dm: dDquoad p distrahentem(C' - 36- D'""' −−∙ ∎⊃∎∌≻≩⋅ a centro :⇀n—1quarum integratio praebebit relationem inter 61 et D' ,ideo-que inter coordinatas polares &) et D lineae quaesitae .12."; In istarum aequationum prima sume v. gr.n:2 ; ea sic poterit scribi

.-n

'↶⋮≼⇂∕−−⊮−∁∙⋟dæ:- ⇂∕↿Hinc −≺⊓⋅≻≖∙∣≖≖−∁⋅G):C"-l— :COS(GO—C")i arC(cos ∙−∙−−−−h—D' h—D'⋅⇂∕∣−≖−−−⋯≖−⇀∁∙ ⇂∕∣≖≖∙−∁∙ '"et restitutis valbribus I: , D',B—l/Bz—Clt C' cos (co—C")DPoneC2 02 −−−−− −−−−−−↧≉⋅↿). −−⋅⊨−−−−−−∶ —B'(1—e). B—l/Ba—cac- ≺⊹⋮ ∌−⊢⇂∕∌≖−∁↙∣∁∣quae in summam collectae praebentc:c' B -—-−⋅⋅. B',invicem multiplicatae suppeditant106<= B' ? ( 1 —-z );habebis1 C2 C' = BB'2 ( 1B' ( 1 — 52)ProptereaD =B' ( 1 - 2)E cosWC( )(62) .113.0* Potest C' esse vel > 0 , vel < o , vel == 0;in primo casu erit B ' > o et € < 1 ; in secundo B' <o et> 1 ; in tertio B ' = et z = 1. Primum ac secundumcasum alibi considerabimus .14. * Ad tertium quod pertinet , exhibeat NI...(Fig . 25) axem parabolae ( 40. 5.º 7.º ) ; sintque NO ( 3x)et 00' ( =y) orthogonales coordinatae : designante 2p paramelrum , exsistetya = 2px .Substituto x' + ip pro x , transferetur coordinatarumorigo in focum H , eritque quoad novam originem Hya = 2px' +p .Duc radium HO =D) ; habebisNHO x'--- D cos w , y = D sin w ;et consequenterD2 sin ’ w = p - 2pDcosw .Spectatur autem D ut quantitas constanter positiva ; proinde106↿ 'a a ."ö'.:B (1—£)1habebis∙∙∙ ↿ ⋅ ∙∙∙ CaB'3(1 -a") ' B' (1—5') ⋅ProptereaB' (1 — a')D −∙− (b,) . 1— :cos (co— C")1391» Potest C' esse vel≻∘ ∙ vel (o , vel:o;in primo casu erit B' o et e ↿;in secundo B' (0 et s↿; in tertio B':eo et e:1 . Primum ac secundum⋅ casum alibi considerabimus .145): Ad tertium quod pertinet , exhibeat Nl...(Fig.25) axem parabolae (40. 5." 79); sintque NO (:.r)et 00' (: y) orthogonales coordinatae :designante 2p pa-rametrum, exsistety':2pæ .Substituto x' −⊦ ∙⇡∙↼ ;) pro æ .transferetur coordinatarumorigo in focum H , eritque quoad novam originem H7" ⇌ 2pæ' ⊣− r'-D'uc- radium HO' (:D) ; habebisNHO':61, uf:—D cos æ,y:D sin(-);et consequenterD2 sin2 01:p' −∙∙ 2pDcos co .Spectatur autem D ut quantitas constanter positiva; proinde107DE P cosa+ VV pa pacos w_P(1 ~ cos )sin? W sin? W sin4 w sin' wSed sin? w = 1 - Cos w = (1 — cosa) (1 + cosw ) : igiturPD =1 +cosa (63) .Designata nimirum quantitate B '(1 - 6 ) per P , et assumptaC " = 180° , recidet (62) in (63) ; unde consequitur illud :iribus ad centrum datum tendentibus in ratione reciprocaduplicala distantiarum ab ipso centro , poterit materialepunctum describere parabolam habentem suum focnm incentro illo .15.0# Quoad parabolam ( 14º. ),(* )sinaw 1 1 +cosw cosa aCOSpa da P р2 1 2 CM 1 1DOHinc ( 90.m) va - .рDPDSit E altitudo debita velocitati v ; erit ( 12º. 14º. )2C E 2C?v2 = 20E =2BED2EBD2 ' ( 1 -62 ) D2 pet consequenter2C2 E 2C 1 ED

unde D2 D

.р PInferimus illud : si in distantia D a centro virium proji .citur materiale punctum , haud describetur parabola nisi107D:∙∙∙ ;) cosa) ∙∙∙⊦ Vpa .l.-paene: c.)—p(l—cosï≖⋮∐⇄∙a) s1na a) sint! ea sin' 6)Sed sinit.):1−cosa a:(1— eos a)) ('l-l- cos a) :igitur∼ PD:1—i-cosm ∅⋮⋝⋅ ⋅Designata nimirnm quantitate B'(1-- 6") per p , et assumpta":180o , recidet (b,) in (63) ; unde consequitur illud :viribus ad centrum datum tendentibus in ratione reciprocaduplicata distantiarum ab ipso centro, poterit materialepunctum describere parabolam habentem suum focum incentro illo .1530 Quoad parabolam (Mc,),∙∙−−− — ∙−−−d'⋅( D) sin'm 1—cosaæ—1—l-cosæ 1—cosa1df" P" ?' p P2 ↿ ↿ ∙ 2c- 1

∙ D ∙∙∙ DQ. Hlnc (90.m) 02: ∙∙∙∎∎∙ ∙ö∙Sit Ealtitudo debita velocitati «a; eri; (1241. 14o.)2311: 20» E∙∙∙∶≿∁∶Eng—ZQE— Da —B'('l—-£3) ∙ [P p . 02 ,et consequenterzcn E—zc: '-dE-1p.Da—p.D,uneD—. .Inferimus illud :. si in distantia D a centro virium proii-citnr materiale punctum , baud describetur parabola nisi108eidem distantiae D fuerit aequalis altitudo illa , per quammobile vi acceleratrice vigente in puncto projectionis cadendo motu uniformiter accelerato acquireret velocitatemipsius projectionis.

51. Hactenus de motu curvilineo libero, quum nempe nihil obstat quominus mobile obtemperet viribus; fac nunc ut materiale punctudi, cujus massa = m, moveatur motu impedito, sollicitatum videlicet vi acceleratrice q adstringatur moveri vel in data superficie vel in data linea curva. Quoniam ejusmodi superficies et linea nihil praestant aliud nisi exercere in puncto materiali resistentiam m ç sibi perpendicularem, ideo motus perinde fiet ac si punctum materiale esset liberum viribusque acceleratricibus et d', seu quod eodem redit viq " inde resultanti libere obtemperaret.

Pone quod motus impeditus in data linea debeaturunice vi praeconceplae et vi gp' ut sit 9habebisq " = 0 ; i = 90 °; et consequenter ( 45. b)0 :2,2( 6' ' ' ) ;my?Precisa nimirum q , exprimet ( 28 ) pressionem exercitam a puncto materiali in lineam illam , atquehuc spectat vis centrifuga ; pressio videlicet a puncto materiali exercita in eam lineam , orta e sola inertia ad praeseulem velocitatis siatum contracta.Ad haec : in eadem hypothesi vis acceleratricis ♡facile colligitur ex dictis ( 36) motum impeditum fore uniformem .!108eidem distantiae D fuerit aequalis altitudo illa , per quammobile vi acceleratrice vigente in puncto projectionis ca-dendo motn uniformiter accelerato acquireret velocitatemipsius proiectionis.

De vi acceleratrice in motu circulari, existente centro virium in centro circuli.recensere

52. Ex demonstratis (47) patet istiusmodi motum esse uniformem. Sit R radius circuli, per cujus peripheriam incedit mobile: in ( b: 45 ) erant r = R, i = 90° ; in ( b' : 48) vero D =9 = r = R; et denotante A lotam circuli aream, T tempus periodicum, quo nempe mobile conficit integram circuli peripheriam, in eadem ( 8' ) erunt quoque A = n R?, = T. Hinc ex ( 6)1ROet ex ( 6 ) ( c )4 762 RT2

53. Haec facile punc stabiliuntur.

1º. mobile velocitate quadam projectum in distantia R a centro virium von describet circularem curvam nisi velocitas illa tanta sit quantam mobile ipsum acquireret cadendo per { R motu uniformiter accelerato et vi acceleratrice, quae viget in projectionis puncto; siquidem prima (c) suppeditat v = 2 0.4 R.

2º. In circularibus peripheriis eodem temporedescriptis vires acceleratrices sunt ut respondentes radii: patet ex secunda (c).

3º. Ex eadem secunda (c) inferimus vires acceleratrices fore in ratione reciproca duplicata radiorum quotiescumque quadrata temporum periodicorum fuerint ut radiorum cubi.

54. Obiter haec notamus.

1º. Ex circulari telluris rotatione circa suum axem oritur vis centrifuga (51) in materialibus punctis tam apud aequatorem quam apud circulos aequatori parallelos, generatim expressa per et quia rotatio illa fit motu uniformi, ideo

Tempus periodicum est ubique idem; vero decrescit ab aequatore ad polos; in eadem ergo ratione ab aequatore ad polos descrescet vis centrifuga.

2º. Exhibeat R , radium aequatoris terrestris (Fig. 31) et a geographicam latitudinem, cui respondet circulus aequatori parallelus habens radium R, erit R =R cosa , et consequenter R , cosaT2Resoluta q' in duas, quarum altera sit verticalis, altera horizontalis, existet illa 402R , cosaD'cosa=T2et quoniam q' cosa est vis contraria gravitati, inferimus gravitatem imminui magis semper a polis ad aequatorem, ejusque decrementum fore ut quadratum ex cosinu latitudinis, spectata videlicet tellure instar sphaerae.

3º. Exprimat s altitudinem debitam velocitati rotationis; erit ( 30) 2gs = v ?, ideoque ( 10 ) 2gs = q R, etconsequenter8soliaR.2s110mg': mv"R; )et quia rotatio illa Et motu uniformi, ideo27rR et ∙∙∙∙∙ ∢∏≃∣≹T ' ?" Ta.-

ecosa: Tat quoniam cp' cosa: est vis contraria gravitati, inferimus gravi-tatemimminui magis semper a polis ad aequatorem, ejusquedecrementum fore ut quadratum ex cosinu latitudinis ,spectata videlicet tellure instar sphaerae.

111Hinc innotescit ratio inter gravitatem et vim centrifugam : sic apud aequatorem invenitur8R,= 288 circiter;2s1inde sequitur quod gravitas sub aequatore in hypothesi telluris immotae esset == 1880' + q = 289 .

De vi acceleratrice in motu elliptico, existente centro virium in foco ellipsis.recensere

55. Haec praemittimus:

1 °. si ex puncto quovis M (Fig. 32) ducuntur duae rectae MN, MS tangentes sphaeram SN .. , erit MN = MS: ductis enim ex centro C radiis CN, CS ad contactus puncta N et S; itemque CM ad punctum M, triangula CMN, CMS rectangula in N et S habebunt latus CM commune, latera vero CN , CS aequalia; ideoque etc.

2°. Si per tangentes MN , MS ducuntur plana tangentia NMT , SMT ad sphaeram SN .... sese muluose.cantia juxta rectam MT, angulus NMT aequalis erit angulo SMT: nam ex C , N , S ad punctum v . gr. T rectae MT, ductis CT , NT , ST, quoniam NT et ST jacent in planis tangentibus NMT , SMT , iccirco in triangulis CTN , CT'S anguli CNT, CST erunt recti; latera in.super CN CS sunt aequalia , et CT commune: proindeNT = ST. Triangala igitur MNT, MST exsistent ( 1 ° ) invicem aequilatera; ideoque etc.

3º. Si denotat p projectionem lineae rectae l inplano quovis , et a angulum , quem efficit I cum eo plano , erit

: patet ex Trigonometria.4º. Si denotat P projectionem mn (Fig. 33) areae planae cd ( = A ) in plano quovis gr , et i angulum ,quem efficit A cum gr , erit,P = A cosi .Ducatur enim planum mg parallelum areae A, in quoddemittatur ex d perpendiculum dK ( = x ) ; ducantor quoque plana gh , de parallela plano qr; ponaturque dg = y .Quisque videt prisma vel cylindrum md aequari prismativel cylindro ge: propterea Ax Py ; unde P A ; estautem -sindgK = cosi ; igitur etc. yу

5º. Secetür cylindrus rectus aB ( Fig. 34 ) planoad circularem ipsius cylindri basim inclinato; sectio AMBLdicitur ellipsis ; punctum C, ubi planum secans occurrit axicylindri, vocatur ellipseos centrum; punctumque S, ubi secrio illa tangit sphaeram sambl cylindro inscriptam , appellatur ellipseos focus; pro cylindri base sumimus circuluin transeuntem per centrum c sphaerae inscriptae; inde fit, ut baseos peripheria sit linea contactuum superficiei sphaericaeet superficiei cylindricae.

6º. Si per C ducitur linea quaevis recta LM terminata ad ellipseos perimetrum , ejus projectio in cylindribase erit ipsius baseos diameter lm , ita at lc sit projectioportionis LC, et mc projectio portionis MC. Sed lc mc ;ergo ( 30 ) LC = MG: lineae videlicet rectae transeuntes perellipseos centrum , et ad ellipseos perimetrum terminatae ,dividuntur omnes bifariam in eodem centro.

7º. Per extrema puncta 1 et m diametri lm ductis ad circularem cylindri basim tangentibus lh et mt ,hae utpote perpendiculares ipsi lm erunt parallelae; rectaequoque IL , mM utpote cylindri basi perpendiculares, eruntparallelae; ergo plana hll , ImM cylindricam superficiem11240. Si denotat P proiectionem mn (Fig. 33 ) a-reae planae cd:( A ) in plano quovis qr ,et t' angulum ,quem eliicit A cum qr', erit,P:A cost'.Ducatur enim planum mg parallelum areae A, in quoddemittatur ex d. perpendiculnde ( −−∶ æ ); ducantur quo-que plana gh, de parallela plano qr; ponaturque liga:-7.Quisque videt prisma vel cylindrum md aequari prismativel cylindro ge: propterea Aa: −−∶ Py: unde P:.i.-A; estautem −⋅↕⇣∙ ∶−− siudgK :cosi; igitur etc..720. Secet'ur cylindrus rectus aB (Fig. 34 )planoad circularem ipsius cylindri basim inclinato; sectio AMBLdicitur ellipsis; punctum C, ubi planum secans occurrit axicylindri, vocatur ellipseos centrum; punctumque S, ubi se-ctio illa tangit sphaeram sambl cylindro inscriptam, appel-latur ellipseos focus; pro cylindri base sumimus circulum trans-euntem per centrum c sphaerae inscriptae; inde fit, ut ba-seos peripheria sit linea contactuum superficiei sphaericaeet superficiei cylindricae.60. Si per C ducitur linea quaevis recta LM ter—minata ad ellipseos perimetrum, ejus proiectio in cylindribase erit ipsins baseos diameter lm, ita ut lc sit projectioportionis LC, et me projectio portionis MC. Sed lc :: mc;ergo (30) LC: MC: lineae videlicet rectae transeuntes perellipseos centrum.et ad ellipseos perimetrum terminatae.dividuntur omnes bifariam in eodem centro.

113tangentia existent parallela inter se; et couscquenter intersectiones quoque LH, MT istorum planorum cum elipseosplano exsistent parallelae. Liquet autein intersectiones illas esse tangentes elipseos in L et M; ellipseos igitur langentes ductae per extrema puocta cujusvis rectae, quae transeat per centrum , quaeque terminetur ad curvae perimetrum, erunt inter se parallelae.Recta LM secat bifariam ( 3º ) chordas omnes parallelas tangentibus LH , MT; ejusmodi enim chordarum projectiones nibil sunt aliud nisi circularis baseos chordae parallelae tangentibus lh, mi, atque ideo perpendiculares diametro lm , a qua proinde secantur bifariam : inde fit , utLM dicatur ellipseos diameter.

8º. Ex M ad focum S ducatur MS; rectae MS ,Mm tangent ( 50 ) sphaeram, altera in S , aliera in punctum lineae contactuum superficiei cylindricae et superficiei sphaericae: ergo ( 19. ) MS = Mm. Simili modo, ex L ad S ducta LS, erit LS = LI.

9º. Plana TMS, MMT et transeunt per rectas MS,Mm tangentes sphaeram , et sphaeram tangunt, et sese mutuosecanı juxta MT; ergo ( 2º )anguli TMm, TMS erunt aequales :simili ratione ostenditur angulos IILS esse aequales.

10º. Denotet a rectam Cc jungentem centra Cet c: trapezium LMml suppeditat Ll +Mm 2a ; igirur i 80 )SL + SM 2a . Variala utcumquc positione diametri LM ,non ideo variabit recta Cc , sed mavebit cousians in eadem ellipsi ; ergo summa rectarum SL et SM, quae in eadem ellipsi ducuntur a foco ad extrema puncta cujuscumque diametri LM, erit quantitas constans. Ad haec: rectaeSL, SM efficiunt cum tangentibus LH , MT avgulos aequales SLH, SMT; cum enim LH et MTsint parallelae ( 7 °) ,itemque Ll et Mm parallelae , angulus HLL aequalis eritangulo TMm; proinde ( 99) etc.

11º. Revolvatur diameter LM donec transeat per focum S, sicque evadal AB: rccidet SL in SA, et SM in113tangentia existent parallela inter se; et consequenter inter-sectiones quoque LH, MT istorum planorum cum elipseosplano exsistent parallelae. Liquet autem intersectiones il-las esse tangentes elipseos in L et M; ellipseos igitur tan-gentes ductae per extrema puncta cuiusvis rectae, quae trans-eat per centrum, quaeque terminetur ad curvae perime-trum, erunt inter se parallelae.Recta LM secat bifariam (30) chordas omnes parallelas tangentibus LH, MT; ejusmodi enim chordarum pro-jectiones nihil sunt aliud nisi circularis baseos chordae pa-rallelae tangentibus lh, mt, atque ideo perpendiculares dia-metro lm, a qua proinde secantur bifariam: inde fit, utLM dicaturo ellipseos diameter..Ex M ad focum S ducatur MS; rectae MS. Mm tangeiit (50) sphaeram, altera in S, altera in punctom lineae contactuum superficiei cylindricae et superficici sphae-ricae: ergo (10. ) MS :Mm. Simili modo, ex L ad S du-cta LS, erit LS:LI.90. Plana TMS, mMT et transeuntper rectas MS,Mm tangentes sphaeram, et sphaeram tangunt, et sese mutuosecant iuxta MT; ergo (2")anguli TMm, 'I'MS erunt aequales:simili ratione ostenditur angnlos HLS esse aequales.

12.• Aa est minimum , Bb est maximum omniumperpendiculorum Ll , Mm , ... quae ex perimetro ellipseosdemittuntur in cylindri basim ; ergo ( 89) SA erit minima ,SB erit maxima omnium rectarum , quae ex foco S ducuntur ad ipsam ellipseos perimetrum .

13.• Punctum S' ita determinatum in axe transverso AB , ut sit CS' = CS , dicitur alter ellipseos focus.Jam si ex S' ad M et L ducuntur rectae S'M et S'L , quoniam SC = S'C et ( 69) LC = MC , iccirco SL et SMerunt aequales et parallelae ; igitur ( 109)SL + SM SM + SM = SL + SL = 2a .Praeterea angulus SLH aequatur angulo SMR ; ergo( 10 °.) angulus SMT aequabitur angulo SMR.

14°. Producatur MS donec tangenti LH occurratin H , erit ( 30. ) angulus LHS aequalis angulo SMT. Sed( 109. ) SMT = SLH ; ergoò LHS == SLH , ideoque SL=SH:hinc ( 13. ) HM = 2a .56. His praemissis venio cum D " o Arpere ad quaestionem propositam de invenienda vi acceleratrice o in motuelliptico , exsistente centro virium in ellipseos foco S. Concipiantur duo radii vectores SM , SN intercipientes anguluminGnitesimum MSN , et producatur SN donec occurrattangenti TM ... in R ; erit ( 49 , 6 " )Q2 NR62Binae NR , MH babendae sunt pro parallelis , eruntque114SB; ideoque (100) AB:Za. Quoad alias positiones diame-tri LM habetur semper LM (SL ∙−⊢ SM, et consequen-ter (100) LM 2a; igitur AB est omnium diametrorummaxima: AB dicitur axis transversus ellipseos; diameter per-pendicularis axi transverso dicitur axis conjugatus.

140. Producatur MS donec tangenti LH occurratin H , erit (70.) angulus LHS aequalis angulo SMT. Sed(loo-) SMT:SLH ; ergö LHS:SLH ,ideoque SL:SH:hinc (139) HM:20.56. His praemissis venio cum D'" Atnpere ad quaestio-nem propositam de invenienda vi acceleratrice ep in motuelliptico , exsistente centro virium in ellipseos foco S. Conci-piantur duo radii vectores SM , SN intercipientes anguluminfiuitesimam MSN , et producatur SN donec occurrattangenti TM...in R; erit (49. b")2NR∙∙∙⇀−−∙ −−⇀∙∙62Binae NR , MH habendae sunt pro parallelis , eruntque115proinde ( 55. 3. ) ut respondentes projectiones nr , mh incylindri base : hinc ( 55. 14º.)nr . MH NR =nr 2amh mhSit T tempus periodicum , quo nempe materiale punctum totam percurrit ellipticam orbitam ; erit ( 46) ellipseosarea ad aream MSN ut Tad 0 : istae areae sunt ut respondentes projectiones ( 55. 4º. ) in cylindri basi , nimirumut ipsa cylindri basis ambll =mila et area msn : adhaec ; demisso perpendiculo st ex s io tangentem mt ,eritmsn = j st , mr = 1 st (nr . mg) : quare( mza)712 14ml16 T22SCnir , mget consequentermi ml 62T2 .nr T2 2st mgTriangula mlh , mlg sunt rectangula , alterum in l ,alterum in g ; habent insuper communem angulum in m :iccircoml"= mh .mgAnguli mhl et hmt sunt ( 55. 7. " ) aequales ; proptereatriangula mlh , stm rectangula in l ac o dabunt (55.30. 14º.)115proinde (55. 39) ut respondentes proiectiones nr, mi: incylindri base : hinc (55. 140.)nr . MH nr

2−∙− ∙ NR mh (: mhSit T tempus periodicum, quo nempe materiale pun-ctum totam percurrit ellipticam orbitam; erit (46) ellipseosarea ad aream MSN ut T ad 9: istae areae sunt ut re?spondentes projectiones (55. 40.) in cylindri basi , nimirum∙ ∙ ∙ ∙ ↿≖ −∎⋅↴ ut ipsa cylindri basis ambl(:-Z - ml") et aram nim: adhaec ; demisso perpendiculo st ex .: in tangentem mt, eritmm:&st,mr:äst(nr.mg)iï:quarel ml ml: 62nr ∙−−− ∙∙ T! :,- '—-- '"rf"; 'st2 mgTriangula mih , mlg sunt rectangula , alterum in I,alterum in g; habent insuper communem angulum in m :iccirco 'tl,— z'mll.Anguli mi:! et hmt sunt (55. 73) aequales; proptereatriangula mllt ,stm rectangula in 1ac :dabunt (55 . 30. 140.)116Im mh MH 2aSC si SM SMNon pluribus opus est , ut assequamur47' a3 1( h) ;T2 SMvim nempe acceleratricem in ratione reciproca duplicataradii vectoris .Quoad aliam ellipsim4 R² a ,1T ;iS, MI 2hinc si1 1a3T2a ,T

erit op :

2 SM 2S, M ,Si nempe in diversis ellipsibus quadrala temporum periodicorum sunt ut cubi semiaxium transversorum , viresacceleratrices tendentes ad respectivos focos erunt in solaratione reciproca duplicata respondentium radiorum vectorum .

57. Haec subjungimus .

1.º Fiat CSCACS seu a€ ; numerus & K1 ) dicilur excentricitas : ex L in axem transversum ducatur perpendiculam Li , et ponantur Ci = x , Li = r ; eruntSL = y2 + ( x — $ a) 2, S'L ' =y2 + ( x + ε a) 2 ,et consequenter ( 55 , 13º. )↿16lm mh MH 212∙−−∙∙−−− −∙∙sm SM SM .

Non pluribus opus est, ut assequamur47:303 1−− ∙∙∙ lt ; ? Ta sit-r, (vimnempe acceleratrieem in ratione reciproca duplicataradii veetoris.⋅ Quoad ≘∣⋮∘⊡↾ ellipsim∙− 4 123 a,3 1ut ?! Tla 5! M :hinc si .?- gz.. −↿− ↿⊽↓⊽∶⊺∣≖∙∁≖∣⇂∲∙∲∎⇌⇋⊤⊡∶Si nempe in diversis ellipsibus quadrata temporum pe-riodicorum sunt ut cubi semiaxium transversorum, viresacceleratrices tendentes ad respectivos focos erunt in solaratione reciproca duplicata respondentium radiorum ve-ctorum.

57. Haec subjungimus.CS

↿∙∘ Fiat äseuï :8: numerus :((1) dici-tur excentricitas : ex L in axem transversum ducatur per-pendiculum Li,et ponantur Ci:æ , Li:7; eruntST." :y2 −⊢ ≼⋅⊅−−∙⋮∠≖≽⇄⋮ ST]? :]! −⊢ ≼⋅≈⋅−⊢⋮∘≻≖ ,et consequenter (55.130.)117Vym + (x - ea) + V y2 + (x + ea )2a ; !undeye + ( x – sa )2 + 2V 99 + (2 - a) Vya + (xta)ty: + (x + a ) = 4aº ;ac proptereaV12 + (x - a)2 V y2 + (x +-a)? = 2a? —yox? - ?o ?ex qua obtineturya = (1-2) (a? – x2) ( o) ;aequatio ad ellipsim inter x et y computatas a centro C.

2. ° Facta x = o in ( o ) , valor y inde proveniensnihil erit aliud nisi valor semiaxis conjugati ( 110.) : hinc ,denotante 6 istiusmodi semiaxem , exsistet262 CS seu ( 10.) 1 -62 ideoque CS' =a2-6.

al'a a2Inferimus distantiam inter focum et punctum illud ,in quo semiaxis conjugatus occurrit ellipseos perimetro ,acqnari semiaxi transverso .39. Loco x substituatur a - ain (o) : emergety2 = ((1 — 82 ) ((2ax - x2 ) ( 0' ) ;aequatio ad ellipsim inter x et y computatas a vertice A.Jam vergente e ad 1 , simulque crescente a indefinite ver117Vr-l—(æ—eaP-l- l/Ja-l—(æ—l-eaPr-h? ⇥'nndey' −⊦ (æ −∙∙ id? −⊢ 21/7' ∓−⋅⋜∞∶∽≻∙ Vy' −⊢≺∙↿⊏⊹∽⋟≖−⊦↗≖ −⊦ (..-'.]. ..). ∶−− ta:.EC proptereaVm VW:2(:* —y2—æ2—s*a'ex qua obtinetur]" −−−−−− ≺↿∙−∊≖≻ (a' --.r*) (a):aequatio ad ellipsim inter se et] computatas a centro C.2.(, Facta a: o in (a) , valor ]inde proveniensnihil erit aliud nisi valor semiaxis coniugati (HO.) :hinc ,denotante b istiusmodi semiaxem , exsistet—2 b' CS &" ∙..... 1−−∊≖−∙−∶ 23, seu (1 0,)1 ...—a—z- ;; ;1deoque CSa −−∶∅⇄∙− ∂≖⋅Inferimus distantiam inter focum et punctum illud,in quo semiaxis conjugatus occurrit ellipseos perimetro,aequari semiaxi transverso.

30. Loco a: substituatur a— a: in (0) :emerget

(1—82) (2aæ—æ2) (0') :aequatio ad ellipsim inter se et y computatas a vertice A .Jam vergente P. ad 1, simulque crescente a indefinite ver-118gat 2 (1 — ?) a ad limitem quemdam finitum B : aequatio( 0 " ) verget adyö = B x (o " ) ,et consequenter , precedente foco S' indefinite a vertice A ,ellipsis repraesentata per (o' ) ad parabolam repraesentatam( 40.70. ) per (o " ) .Inferimus illud : si a quovis parabolae puncto ducuntur binae rectae altera ad focum , altera axi parallela , eae cum tangente per idem punctum ducta aequales ( 55. 130. ) hinc inde continebunt angulos.

4.• Pone conjugatum ellipseos axem fieri imaginarium ; adhibe nempe 26V - 1 pro 26 : fiet22 1-62 = , ideoque e > 1 .Q2Aequatio nimirum ( 0) novam curvam repraesentabit,quae dicitur hyperbola , quaeque secat abscissarum axemin distantiis CA ( = a ) et CB ( =-a) ab G ; inde in infi .nitum excurrit cum quatuor ramis ab axe illo magis semper recedentibus , quorum bini respiciunt partem positivam , bini negativam , habet insuper centrum in C ,focos in 0 et O' , exsistente CO = CO ' = ɛa .

5. ° * In aequatione ( o) substitue x' + sa pro x;habebisya=( 1—62) ( a2 -x'tea) )ad ellipsim vel hyperbolam prout << vel > 1 , exsistente coordinatarum origine in respectivo foco S vel 0. Assumptis nunc ( 7.9 )x = Dcosw , y = Dsina ,118gat 2(t-—£*)a ad limitem quemdam finitum B :aequatio(a') verget adJ'2Bæ ⋅ (a").et consequenter, recedente foco S' indefinite a vertice A ,ellipsis repraesentata per (a') ad parabolam repraesentatam(40. 70.) per (a").Inferimus illud: si a quovis parabolae pnncto du-cuntur binae rectae altera ad focum, altera axi paral-lela, eae cum tangente per idem punctum ducta aequa-les (55.130.) hinc inde continebunt angulos.

4. 0 Pone coniugatum ellipseos axem fieri imagi-narium; adhibe nempe ⊋∂⇂∕∙−−−−↿ pro 26 :iie't↿∟∊≖−−∶−⋮⋮ ideoque : ↿∙∙Aequatio nimirum (o) novam curvam repraesentabit,quae dicitur hyperbola , quaeque secat abscissarum axemin distantiis CA (:a) et CB (:—a) ab C; inde in inli-nitum excurrit cum quatuor ramis ab axe illa magis sem-per recedentibus , quorum bini respiciunt partem posi-tivam, bini negativam, habet insuper centrum in C,focos in O et O' , exsistente CO:CO':sa.

5.0 11 In aeqnatione (o) substitue x' −∣− Sa pro a:;habebis ↼⋅J*-——(1—8*)(a—(x'-l—w)2)ad ellipsim vel hyperbolam prout :( vel)1, exsisten-te coordinatarum origine in respectivo foco S vel 0. As-sumptis nunc (7?)x': -- DCOSGJ,yzDsinm ,119eritDasin 6) = (1-2)( a ) - (ea - Dcosa)) ") ;quae traducitur adDa 2 ea ( 1-2) cosa a ' (1-2)D =1-6 cos26 1 - & cosaunde cD :a (1-2) ( ECOSW +1 ) .18? cos26 1Habetur D pro positiva quantitate ; sumpto itaque superiore signo quoad << 1 , emerget in ordine ad ellipsimDal 1-52) ( 1 t-scosa )( 1 +acosw) ( 1 -ecosw)a ( 1-2)1 -ECOSW ( h) ;sumpto inferiore signo quoad >1 , prodibit in ordine adhyperbolama (1-2) ( ECOSW - 1 ) a (621)D =( 1 + scos ) (1 - Cosw ) 1 tecosw(h' )Non pluribus opus est ut intelligamus in primo ex casibus alibi ( 50. 13.° 14. ) consideratis descriptum iriellipsim , in secundo hyperbolam , exsistente focorum altero in centro virium : quoad ellipsim , B= a; quoad hyperbolam, B' = - a.6. # Ex ( h)119eritDidone-:( 1—s*)(a'—-(ea—chsæ)3) ;quae traducitur ad25a(1—s*) cos 6) D∙∙− a'( 1Da −∙∙ −∊≖≱≖ .1—szcos2ca 1—e*cos*c.1unde∙∙∙ ⇩≺↿∙−⋮⇄⋟ (scusa) :bt)1----ea cosa:»D1Habetur D pro positiva quantitate; sumpto itaque su-periore signo quoad e(1, emerget in ordine ad elli-psim '3( l—sï) (1—l—scosa1) —a(1 —e')D—(l—l-Ecosw) (1—äcosm) 1—scosc1(71) :sumpto inferiore signo quoad s)1, prodibit in ordine adhyperbolam∙∙ -a(1—e*)(scosca——1) —a(sï—1)(1—I—scosa1) (1—scosm). 1—I—ecosctNon pluribus Opus est ut intelligamus in primo ex ea-sibus alibi (50. 13.014.0) consideratis descriptum iriellipsim ,in secundo byperbolam , exsistente iocorum al-tero in centro virium :quoad ellipsim, B:; quoad hy-perbolam, B': — a.69.Ex (h)∙−− .n..- ∙∙ -" ∙∙∙∙∙∙∙−⋅↖∙∙∙− '.1201 2a ( 1-2)sasin 'ECOSA= 1€2-82cos ?Ꭰ . dw al( 1 - E22 a-(1-6 )a (1— $ 2) 2( 1 - ")a (1452)2 1 1 1a (14 € 2 ) Dbi a - 1—62)D2proinde ( 50. 9.º )02 2C2a (1-2)G- ) ( h " ).Ex ( h' )€2sin ?ECOS W =a( 82-1 )D( a2( 1–82) 2–1).€ 2 .a ( 821)& 2 - cos26 D42( 1-2)2 1 .a (21) Da’( 1-62) 21 1a2 ( 2-1) Da,ideoque ( 50. 10.)V22C2a 2-1 ( + za) ( 17").120∣a(1-52) d 0 eisinïæ sï-sïcosza)o ' −⋅' ⇀−∙∙∙∙−∙ ∈∁∘⊱∞∶ ↿∙− −∙∙czu-e*)a czu-ez):proinde ( 50. 99 )vï— 202 (1 '1 )h"∙ (tU—83) D 20 ( ).Ex (h')

8003 6) a(83—1) ;(ï) ∙∙∙ £2sin26)−− 'dcc D aï(1—82)2. &:e* (cuï—1) 1)2 −− ∊≖∁∘⊱≃∾∙∙∙ D?2 1uzu—w?)a tczu—ez? a(e*—-1) D↿ ↿ ∙↙≖≖≺∊≖−↿⋟ ⋅−⋅ ⋅↧⋅⊃−≖∙ 'ideoque (50. 100.)202 1 1),,, ↗⇩≕−− an:—1 )(D 'l'ïiz (h)121Sit E altitudo debita velocitati v; erit ( 50. 12º. )2BEv=2qE=Da2C EB (1-82) D2Igitur in ellipsi1 E1B ' D (ó -za),2seu ( 50)oltEDD2a ( h " );in hyperbola1B'EDa - ( + za)seu ( 5 )E = 1 + (tha")Ex (h " ) et ( h ) consequitur, si in distantia D a centro virium projicitur materiale punctum, haud descriptomiri ellipsim vel hyperbolam nisi respectu ejusdem distantiae D fuerit minor vel major altitudo illa , per quam mobile vi acceleratrice vigente in puncto projectionis cadendomolu uniformiter accelerato acquireret velocitatem ipsiusprojectionis.7 ° * Quoad ellipsim ( 50 , h. 6° )9∙121Sit E altitudo debita velocitati v.; erit (a 50. 12'.)2BE— zcn ED: B'(1-e*) ⋅ï; ⊍≖∶∃∲⊡∶−∙− ⋅Igitur in ellipsi1'Efn'1 1" 1) B"Dï—-a(o za'seu (50)in hyperbolaseu (50)E -D,⋮−⇂∃⇌−−⋅⊳⊣−⋅⇄−∅⋅⋅≺≀⋅⋟⋅ ∙ lEx (II") et (h') consequitur, si in distantia D a cen-tro virium proiicitur materiale punctum, baud descriptumiri ellipsim vel hyperbolam 'nisi respectu eiusdem distan-tiae D fuerit minor vel major altitudo illa, per quam mo-bile vi acceleratrice vigente in þuncto projectionis cadendomotu uniformiter accelerato acquireret velocitatem ipsiusproiectionis. -70t Quoad ellipsim (50. I:. 60)1227a 옘 E COSQ ) 1dw² a ( 1-2) Q ( 1-22) - 5hinc ( 50. 8º. b .)goCaa ( 1-62 )1Daareo ds D sinidsEst ( 50. 9º . ) C =D sini.

exhibet

dt 2lam a radio vectore D descriptam tempusculo de : denotante igitur A totam ellipseos aream, T tempus periodicum, habebiturds C = D sini dt2ATEst ( 27. 18º. )aA = 2V 1-* [Vaº-x:dx ;exprimit 2 | Va?-xă de circularem aream , cujus radius= a , et consequenter 1A = Tla ? VT-Propterea1C2 4 A2T24772 24 (1-2)T242 a3et p =Ta09 D2122≖↿ ⋅ *

cosa) 1 1dm" −⇩≼↿∙∊≖⋗⊽ ⋅⋅∙↽∙↰↿∙∊≖≽∙ D 'liinc ( 50. 80. b,.)∙−− ∁∙ ↿,? ↼⇀ (tU-e")- ⋅⋅∎⋝≖⋅∙Est (50. 90.) C :D ciuili-f.; exhibet Egit-If. areo-£iam a radio vectore D descriptam tempusculo dt: deno-tante igitur A totam ellipseos aream, T tempus periodi-cum, habebitur "⋅∙ ∙ ds 2AC—DSID! 'a'ï—T ∙Est (27. me.) fZl/l-Ez l/a'-æ' dx;

∽ ∘exprimit Zf Vaz- ac2 dx circularem aream , cujus radiuso∙−∙−−−∙− a , et consequenterA −−∶↿∽≖ ⇂∕↿ ∙a" ∙Propterea4A3 47taa4(1-s*) 41:303 1 ∙Ta" TTL ∅∘⊔⊢−'1'» C*.—. 'ne'123prorsus ut supra ( 56).

8º. Obiter notamus illud: si materiale punctummotu elliptico movetur viribus ad ellipseos centrum lendentibus, eae erunt in ratione directa distantiarum ab ipsocentro . Assertionis demonstratio eruitur ex dictis ( 56) : sintenim duo radii vectores CM ', CN' sub angulo infinitesimoM'ON' , et producatur CN' donec occurrat tangenti M'Tin R' ; erit ( 49. 6' ' )2N'R'♡ 02binae N'R' , M'C censendae sunt parallelae; proinde ( 55.3º. )m'c : n'r' = M'C : N'R'M'C . n'rm'carea insuper ellipseos ad areolam M'ON' ut tempus periodicum T ad tempusculum 6 ; quae areae cum sint ( 55.4º. )ut respondentes projectiones in cylindri basi , nimirumut ipsa cylindri basis ambl ( = 76. cm ' ) et areolacm'.r'm' cm 'm'cn'V r'n'. 2 cm ) , iccirco 2 2 m'cm'r'n ' . 2cm4 02 unde r'n'762.cm272. cm' ; 1 4 T2 T2

et consequenterM'C . 27. cm'T2N'R'cm'Ta 272. M'C..--123prorsus ut supra (56).80. Obiter notamus illud: si materiale punctummotu elliptico movetur viribus ad ellipseos centrum ,ten-dentibus, eae erunt in ratione directa distantiarum ab ipsocentro. Assertionis demonstratio eruitur ex dictis (56): sintenim duo radii vectores CM', CN' sub angulo infinitesimoM'CN' ,et producatur CN'donec occurrat tangenti M'T'in B'; erit (49. b")2N'R'? ∶−⋅− ⊖≖ binae NZR', M'C ceusendae sunt parallelae;proinde (55.30.)m'c:n'r':M'C:⋅ 'C. " N'R'-— M nr :m'carea insuper ellipseos ad areolam M'CN' ut tempus pe-riodicum T ad tempusculum 9; quae areae cum sint (55.4".)ut respondentes proiectiones in cylindri basi , nimirumut ipsa cylindri basis amb! (: Tt. 27:23 et areola, .cm'.r'm' cm ∙∙ ∙2...—3CI". I o,—— - n .Zcm - 4 9: . .∙ 9: a , .32. cmlb :T2;undern :::-'F. 212. em,et consequenter9:MC. ∙⊤↓⋅↴∙⋮−⋅∙ ⇄∏≖ cm

NR −− ∙ ∙−−− -;'21t'.M'C.cm124Propterea. M'C :vis nempe acceleratrix Q directe ut distantia M'C ab ellipseos centro

  • Etiam sic : in ( o. 1º. ) fac

XDcosw y = Dsinw ;prodibil aequatio inter coordinatas polares ab ellipseos centro computatas, nimirumav182Dsin ? w = (1-2) (a² - D2cos w ), unde D= V 1-8? cos26Hincat 2d:2 av1 (via1-2003 (1-8? cosaw ) V 1-2coscostiD3 1a* ( 1-2) D.ac proinde ( 50. 8º. 3 , )CPa4 ( 1482 )D :quae ad superiorem expressionem traducitur; nam ( 70. )4724 (1-2)C2 =4A2T2 T2124Propterea4 ita?

0132 ∙ M'C;vis nempe acceleratrix go directe ut distantia MC ab el-lipseos eentro.& Etiam sic: in (0. 10.) fac'∶−∙−− -Doosa) ,y−−−−− Dsinæ;prodibit aequatio inter coordinatas polares ab ellipseos cen-tro computatas, nimirumal/1— eiDsin2 a): ( 1—53) (aa.-ul)2 cosm), unde D—Hinc([21 «⋅') ? cos-36) sium113" (zl/1—ea ⇂∕ ↿−⋅⋅∊≖∞≘≖∾ ≼↿∙∊≖∘∘≘≖∾⋟⇂∕↿−⋅⋮∅∾∙≖∞≻ ∙∙∙ D3 1−− a4(1—£2)—ï '' ⋅ ac proinde ( 50. 823, )Ca?∙−− a4(1—-s2 )quae ad superiorem expressionem traducitur; nam (72)Ca— 4A' ∙∙∙ 4n304(1—£2lT2 T:⇂∕⋅↿ ∙⊽∊≖∞⊱≖∾ .125

De motu relativo punctorum materialium, tendentium in se mutuo viribus acceleratricibus quae sint directe ut massae in quas tenditur, et reciproce ut quadrata respondentium distantiarum.recensere

58.* Sint m, m ', m , ... punctorum massae; a, b, c coordinatae orthogonales puncti m in ordine ad axes OX, OY, OZ (Fig. 8); x ', y', z' , x " , y ", z " , x '" , ... Coordinatae reliquorum punctorum in ordine ad novos axes et parallelos axibus Ox, OY, OZ, et habentes originem in m. Factis compendii causa ( 50. 7.0)x ' ty's tz's =k ?, x " ty's t-z" = k " , etc ...erunt ( 50. 4.0) quoad motum puncti mde a m ' x' m' ' Qc " d²b m'.g' , m " g+k'" " ) dc2 k2 k' k " 2 hitd12 ka kitad2cm' z'k'm "k' ' ?.dc2 ti to...,seud'a d26dc2m'x m'z 'Σk'3niy'Σdcdca > ( o ) .dt2 k'3Nunc quod spectat ad aliud punctum v . gr. mi' , pone ( 50.70. )(.x " —X')2 +6 " -Y')2 + (z" -z") = 002 ,( z" " ' —x' ) 2 + 6 — ')2+ ( z' — z ")2 = ' ' , etc... ;exhibebunt


126t ... The **** +en +++m " yy'+d'a + ... ,+ ..vires acceleratrices ab m " , m ' exercitas in m' , novisque axibus parallelas : denotantac mj'k'a k'. Ck'a ' ki k'2 k'vires acceleratrices ab m exercitas in m' , iisdemque novisaxibus parallelas ; sunt insuper ata , bty' , cta' coordinatae puncti m' in ordine ad axes OX,OY,02; facto igiturm " m '"+ .. =assequemur quoad motum puncti m'20 dQ d'a+x' )dtamx' d2(6 + y ')k3 dlamy'k'3 dx 'dy 'dQ mz' dºlc + z )dia dzi k'3d²a d2bSubstitutis valoribusdacex ( 0 ) , prodibunt dca dla dt2daxi dl mx' m'r'dxc '.day' d my'dc2 dym'y'Σdea k'3k3k3 k'3126m" .v"--.r' a"; 7 '—:7' F∙⋅⊱∷−∎∙−⊦∂⋅≖ a ⊣−∙⋅∙∙vires acceleratrices ab m", m'", ,..exercitas in m', no-visque axibus parallelas: denotantut se' m y' m :"F' la"—k" k""'1?'-"£'vires acceleratrices ab m exercitae in m',iisdemque novisaxibus parallelas ; sunt insuper a-l-z' , (Hl-y' , e—l—e' coor-dinatae puncti m' in ordine ad axes 0X,OT,OZ; facto igitur"mm m 37 −∂∙−⋅⋅ −⊦ −−∶9-assequhmur quoad motum puncti m'd'(a-[-æ') ∙∙∙ dQ mx' d3(b-l-y') ∙∙∙ dQ my . d,. dx" k-a de dy' k'3(P(e-l-z') .... di) me'dt' dz' k'3∙ ∙ ∙ dia d'b die ∙∙⊱∎≖∣⋯⋅⋯∎⋯ valonbus dt" ∙ dt' ∙ dt? ex (0) , prodibuntg'æ/ dQ -mæ' zm'x' d'y' dQ my' zmiy'dt' dæ' 163 It'3'dt2 dj'- k'3- It'3127daa' d2 mz'K'3m'z'Σdta dzi k3formulae determinantes motum relatiyum puncti m' quoadpunctum m . Quoniam00 mx' m'xk'3mtm x +k'3 dx ' k'3zel2 Xm "come-ac '813 -) +mi"xck3V3 k'3) +... ,dQ,- - monte +-" * 7- ) + m.A-A ) +...en e -maile +) " V +d2 mz'-Σ dzi k3m "tom "t ... ;03 k3hinc factoR = m ".6. – +) +(5--**" +jx +e*e")+ - ( " ),m "formulae ( 0' ) vertentur in127∙⇌⋅⋮⋅⋮⋅≕↙⇣≴⋅≖−−−∶↗−⋅⋮−−− ∑∶≀−≖⇣ (.,-,,dt: dzï lt'3 k'3formulae determinantes. motum relativum puncti m' quoadpunctum m . QuoniamdQ ⋯⋅∙∙∙∑∽∙∙↼∙⋅⋅≈∙↾−∙ m—I-m' .⊋⊑⋅∙⋅−⋅⊼∙∶⊤∣ k'3 −−−⋅∎−∎ ↗⊏∙⋮∣ æIII I'll.. ∞⋅⋅−−⋅↕∙⇗ æ" ,,, æ —x' x ≺−−⊽⋮−−−⋅−↗⋮⇁⋮⋮−≻ ⊹≖⊷ ⋯⋯≻⋅⊢ df———— —— k'3 ∙−− 72— k"3" yn ∙ yl! " yon—70 ..- 70"."' (a"? ≀⊏⊤∍≻−⊦∽ ↾≺↴↼⋮⋅−∣⋮∎∎ ≀∎⊄−⋅∣∎⋅⋮≻∎⊦⋅⋅⋅∙(19 Mi z m'x' m—l-m' zo ∙⊦dQ my' Z mfy' m-l-m'y. ∙∙⊦⊋∎≖∎⋅∎∎∎∎ k'3 15"— ⋅∎∎∎ ↗⊏⋅⋮⇂ a'.—Z" z" "' zIIO—zt all-l ."'" ea ""17'5) "'""«W ":?75) ⊹⋅⋅⋅⋅ hinc facto1 æoæn ⊣∙∙ o n

, z'" B: m" (y'—W) ∙∙∣∎∙

1 me xlv ' '" zl zh, "mm (öt—or— J—æO—ïä—L) ⊣∎∙∙∙∙ (O 2, .formulae (o') vertentur in128daxde2m -tm '+ x's K'3dR day 'dx ' ' demtm+k'3gmtmdR daz' dRdy' 'dit de k'3dzPorro , cum habeamuska + k "? – 02x ' x " ty'y " + =' z" =2k'2 + k ' ' ?d2x' x'" ty'g '" +z'z' " etc... ;2poterit (o" ' ) scribi etiam in hunc modum(R = m k'o + k" — 0° ) +22in '" . k'2 + k 22k " 2 3* 2) + ... ( o " ) .

59 * Fac at systema reducatur ad duo tantum puneta m et m' ; habebis R = 0 , et consequenterder mm x+k'2 k'day' mtm +dia K2 K>dta

  • 3". d2 z' mtm

dt2 +k'2 kRelativus videlicet motus puncti mi quoad m provenietm +m: (50. 4. 20. ) a vi acceleratrice tendente ad m : pro.k' ?⋯⊣−⋯⋮↨↾ '(0 ∙∎∣).klö ,d—l;dR dïz' m—I—m'z, dR ∙«(y' dc2 k'3 dz'Porro, cum habeamus" k': k": ∙∙∙ ∝↭⊹⊔↤⇥⋠−−⊦⊇ ∂∣∣≖ ⋅-k'jl −−⊢ k'"a — ö"" x'M* x'" "' z'e ""— 2 ∙ etc... :poterit (o") scribi etiam in hunc modum!, k.: kn; −∙− ux.,, ∂∜≖.).21./"a↿ ⋅ ra −⊦∣⊏⋯≖ −⋅∂∣∙⋅≖⋅≻ ..∙−∂⋅−∣⋅∣∣ . ka2" .l.-"' (0 )- mllt59; Fac 'ut systema 'reducaturad duo 'tantum pun-cta m et m' ;habebis R ∙−−∶ ∘,et consequenterd'x' m di' ''−⊦⋯P',—mi −⊢⋯⋅−⊣⋤↾⋮⋡−∙≛ −−−−−∘∙ (it—T k'3 k dca k' k'da z' ∙ ⋯⊣−⋯∣ .'d:: [ kl; 'kl :::-"'o.Relativus videlicet motus puncti m' quoad m proveniet(50 . 40 . 70.) a vi acceleratrice mt;". tendente ad m :pro.129> 7pterea ( 50.13º . 140.57.50. ) describet m' motu relativovel parabolain , vel ellipsim , vel hyperbolam , existente foco in m .dR dR dR 60# Secunda membra formularumdx' ' dy' ' dz( o " ) exhibent ( 50 , 4.:) vires turbantes relativum motumpuncti m' determinatum per formulas (o ") . Hinc si membrailla manent constanter tenuissima , ita ut (o ' ') et ( o") differant in terminis exiguissimis , turbationes quoque indeprovenientes manebunt tenuissimae ; lineaque ab m descripla circa m poterit adhuc spectari tanquam vel parabolica ,vel elliptica , vel hyperbolica ; ita tamen , ut gaudeat ele mentis continue mulatis .

61 * Datis tribus punctis m , m ' , m " ( Fig. 35 ) ,demissoque ex m' in mm " perpendiculo m'A , sintx' = mA , y' = m'A , X " = mm " , z' = 0, y = 0, z " = 0.Erit ( 58)a' x1R m'(-- = m "k3ha( x" —x'to) 2ty'a )unde prodeunt vires distrahentes m' ab m juxta directionesx' et y' , nimirumdR x " — x 1dx = m "[(x" — x'ja traj. DRdy 'm "[(x“ — x'ja + y'a ] }Denotet h angulum m'mm " , et D distantiam mm' ; eruntx ' = D cos h , y = Dsinh , et consequenter129pterea (50 . 130. 14" . 57 . ö".) describet m' motn relativovel parabolam , vel ellipsim, vel hyperbolam , existentefoco in m .dR dR dRdæ' , d)" , dz'(o"') exhibent (50 . 40:) vires turbantes relativum motumpuncti m' determinatum per formulas (a').Hinc si membrailla manent constanter tenuissima ,ita ut (o"') et (a') dif-ferant in terminis exiguissimis , turbationes quoque indeprovenientes manebunt tenuissimae ; lineaqne ab m' descri-pta circa n; poterit adhuc spectari tanquam vel parabolica ,vel elliptica, vel hyperbolica; ita tamen ,ut gaudeat ele-mentis continue mutatis .

130[ ( x " —x ) 2 + y'r] - = ( x " 2—2D.x" cosh + Daj - -mi [1+ (13–2cori)]- *

  • " [ - P2-2.5k)+3 . ) 6–2 cos )"

- 2.7 CM) 6-2005 )'+ ]Propterea , si D est ita parva prae aut possint omituitermini includentes factorem exsistet(2 )",[cº= 2') + s] =1+3 D cos h73 "4ac proindedRdx = m '3 D cos h 3 D2 cos2 hx3=2 2:14X

m

  • +357 Dosh )

( -Doutmi ( Doco 4-3C )*.)China + 202 )=2 m D cos hdR 3 DP sin h cos hdy.m "241303∐∙↧⋅∥−−∙↧⋅⋅⋟≖⊹∫⋅≖⋮∣ −'i;:[£&—2th cosh-l— D'] −⋅⋮∎∎ :∙∙ 3æ" :[130 2, äl—Zcosh)]— 7:.'! 30 D 3.5 D): D) a': ∣∶↿⋅−⋮⊸⋅⊋∙−⊤≺⋤−∣ 2—-cosh)-i—m (;" (;,—2005"−∶≣⋅−≣−−∶≟≺⋚⋛∥−≻ ≺−⋅⋅⋅⋛⋮⊽∙−⋮∞≖↗⋮≻⋮⊣−⋅∙∙∃∙PrOpterea, si D est ita parva prae æ" ut possint omitti. . . termini D . . includentes factorem (F) ,exsistet[(. ' BD-io-sh. «J)- −⊦∂∣≖∃−⋮⋅↼−↿ −−∽ ↽⊦−−−−−−ac proindedR ,, a.,—a." æ"—æ' 1ævo, a'./3" −⊦ [[[. ∎∎∎∎∎ IIa: .r.-3 ,,(1 Dcosh BDcosh— BD'cosïh 1)., 2 D cOs '! (D : cos: !: 2m" Dcos]:m -—-3 −−∙ ,, −− ( æ... .) .: .r., a−∉⋮≹∙∙∙ ∣≺∐∘⋮∐∣⇂⊹∍∘∙∙⋮∐∣≖∞≖∣≖ −∙∙dy —--—m ∙↿∙∙∦⋮ æ"], )—131sin h cos m"-D sin h3 +3 m" D sin hm

62. Bonum erit alia ratione nonnulla hic stabilirecirca vires in praefato motu relativo .

↿∙∘ Sint duo punctaT , P (Fig. 36.), quorum massae m, m', distantia vero TP(: k');et "veniat determinanda vis acceleratrix in moturelativo puncti P quoad T . Ex hypothesi P tendit in T viIacceleratrice . m . . m

— ;et T in P v
acceleratrice ∙−−∣−−≖ sive au.

] 3Item T sollicitetur .. vn. m . m .−− ∣−⋮∣−≖− et Pv: 17; , sive T quiescat et PIsollicitetur vili—ïm]— &, idem in utroque casu (5) habeturmotus relativus puncti P quoad T; vis ergo acceleratrixin istiusmodi motu erit

2." Praeter P , T detur et tertium punctum S ,cuius massa m" , ut determinentur vires iude provenien-tes, quibus turbatur motus relativus puncti PquoadTortus ex vi (0) . Ducta ST, completoque parallelogrammo.. STPP' , exhibeat diagonalis SP (: 8") vim g.: , qua sol-licitatur P versus S:resolvatur vis ista in duas, quarum al-tera (: ?') sese dirigat iuxta PT , altera (:f) iuxta PP';exhibebitur illa (8) per parallelogrammi latus PT (: k').haec per latus PP':ST (: k"); eritque 'm" .,

n ⇀
m" IC, '

m" k, ≒≀−∣−⋮∙⊊≱⋅∙∣⇆∶∂ ∶∣⊄∙ ]; ,unde 93:77sz "3 ⋅132m' 'm "Sollicitatur T versus S vi ; et attentis f et i motus k2relativus puncti P quoad T eodem prorsus modo fiet ( 5 )sive T quiescat et P sollicitetur vi fm 'sive T sollicite k'2m "tur vi et P vi f. Propterea vires provenientes ex S ,et perturbantes motum relativum puncti P quoad T , altera juxta PT altera juxta PP' parallelam rectae ST , exprimentur perk " 2ø=73m " k"g = f mi"" Cess )( c' ) . k's3.° Ex puncto S demittatur perpendiculum SS'( =i) in planum curvae , quam describit P motu relativo quoad T; ab S ad T ducatur recta ST ( =n ) , sitqueangulus STP = a : vis q" agens juxta directionem paralle.lam rectae ST resolvetur in duas, quarum altera q"cosSTSseu q " . ! existet parallela rectae ST in plano curvae , altera q " sinSTS' seu o" . perpendicularis eidem pla k "resolvetur in duas quarum altera o "no: rursus onkcos aaget in curvae plano juxta TP , altera om. sina in eo k "dem plano normaliter ad TP. His positis , quisque intelligit vires perturbantes motum relativum puncti P exhiberiposse per132SollicitaturT versus S vi "'

et attentis f et −∥↼↕−∙ -, motus 1."» 1."

relativus puncti Pquoad T eodem prorsus modo fiet (5)sive T quiescat et P sollicitetur vi f— 'I—N. ,∣∣≖ sive T sollicite/-et P vi f. Propterea vires provenientes ex S ,∙ m tur '! k"-et perturbant'es motum relativum puncti P quoad T , al-tera juxta PT altera juxta PP' parallelam rectae ST, ex-primentur per' mllko " "zl! " kl! 1 'Pf"??- ⊕−−⇌↾−−⊺⋇⊽≏∶⋯ (Fa-"' ia") "'

3." Ex puncto S demittatur perpendiculum SS'(::t') in planum curvae , quam describit P motu relati-vo quoad T; ab S' ad T ducatur recta S'T (::n), sitqueangulus S'TPr-at: vis 9" agens juxta directionem paralle-lam rectae ST resolvetur in duas, quarum altera 9"cosST5'seu 9"? existet parallela rectae S'T in plano cur-vae, altera 9"sinSTS' seu q;".grperpendicularis eidem pla-no: rursus ?"]?- resolvetur in duas quarum altera ⊄∙⊅⋅⋅∙⋮∙− eos ::aget in curvae plano iuxta TP , altera ?")—;.sinat in eo-dem plano normaliter ad TP. His positis, quisque. in? telligit vires perturbautes motum relativum puncti P exhiberiposse per133COS Q = cosa ,9 =porn o--" (* - ) .comPa = e" sin æ == mm " (- ) snæ ,93 = ml - )( c )i

9 , et Q2 agentes in curvae seu orbitae plano ipsam orbitam turbant ; 93 perpendicularis plano orbitae turbatipsius plani positionem .4. ° Pone S , T, P esse constanter in uno eodemque plario ; erunt i = 0 , n=k", a=S'TP=STP(=h) :proindePIm "8'3 -m"( )cosh ," sink ,}( cm)Q2 , 93 = 0 .Pone insuper ST, SP ita magnas prae TP ut , ex P duclo perpendiculo PQ in ST, assumi possit absque sensibili errore SP=SQ , nimirum d" = k" -kcosh ; erit1js =(k“" —k'cosh)-3 = 13 +3k'cosh+Hinc proximem "m'k ( 1-3cos'h= ( 1 +3cos2h) ,k " 3 2K3( c" )3mK'sinhcosh 3m'k'sin2h92 k"32k'3133

n" muli, " k" ! n 913? —Q ?

eos a:ïïï —m 673 k,,a k,, 0082,."k ⋅,93——9 ",;— Blna :m "(ä-3- It.—741) ,——,- sin a ,- (c)]. LII-. [i93:907?sz −−⋮ ⇁≖⊼↗ ;4). et (p, agentes in curvae seu orbitae plano ipsam orhi-tam turbant; (pg perpendicularis plano orbitae turbatipsius plani positionem.4." Pone S, T, P esse constanter in uno eo-demque platfo; erunt i:o, n.:k", a:S'TP:STP(:h):proindemrlk' " kn'(Pr −−∶ 7873- −−⋅ m⊱∣−⊵∙−− F,.)COSII,(e")?::m"≣∶⋅⋅⋮∙−⋅ -—k,,,)smh , 93:30.Pone insuper ST, SP ita magnas prae TP ut. ex P du;cto perpendiculo PQ in ST, assumi possit absque sensi-hili errore SP:SQ , nimirum d":k"—k'cosh ; erit1I,, −∙∙ BkCOBh ∙≦↜−∽⋮⋅−−−−−≺↗⊏ —kcosh) ∍≔−−↼−−⊺⋮−−∣−−−−k", −⊦,∙∙Hinc proxime∙ ?: 2773— (1—3cosïh):— (1-1—3c092h) ,z—kHS .(e")—3m' "ksinhcosh —3m "k sinZh1345,9 Fac ut orbita puncti P sit circularis , ipsum .que P moveatur ad partes N : sive spectentur formulae( 6 ') , sive (6 ") , sive ( c " ), aget 92 juxta orbitae tangentem contra motus directionem : ejus proinde valori eritpraefigendum signum negativum.

De pendulis; deque gravium descensu per arcus cycloidales.recensere

Pendulum

63. Pendulum constat filo tenui secundum alteram sui extremitatem fixo, quod tamquam linea recta et gravitatis expers concipitur, ex quo suspensum punctum ponderosum a directione verticali dimotum potest huc et illuc circum punctum illud alterum extremum fixum in motum circinationis per arcum excurrere. Excursio penduli ab uno arcus, quem describit, extremo (Fig. 37) ad aliud extremum dicitur vibratio seu oscillatio: accessus ad verticalem directionem ex in punctum infimum , vel recessus ex in dicitur semivibratio. Si unicum ponderosum punctum pendeat e filo, pendulum dicitur simplex, si plura in diversa a suspensionis puncto distantia pendeant, dicitur compositum.

Illud facile quisque intelligit, pendulum circa punctum fixum eodem motu arcum circuli descripturum ac si, sublato filo, in superficie sphaerica perfecte dura et levigata punctum ponderosum moveretur motu impedito. Sicut enim adducto puncto illo ad praedictae superficiei punctum , et exinde demisso, gravitas horizonti perpendicularis resolveretur in duas vires, quarum altera ad tangentem normalis insumeretur in premenda superficie, altera expressa ab ipsa sollicitaret punctum ponderosum ad motum per tangentem infinite parvam, ac deinde per aliam atque aliam subsequentem, et sic deinceps per reliquas omnes numero infinitas et infinite parvas tangentes, quibus constare arcus descriplus concipitur; ita a filo resolvetar gravitas eodem prorsus modo , nempe partim in trahendo filo insumpta, partiin ad singulas arcus circularis tangentes infinite parvas subinde determinata, qua deducetur pendulum per arcum circularem motu omnino simili, subeunte filo vices curvilineae superficiei: hinc sicuti punctum illud ponderosum propter suam gravitatem, postquam descendisset ex in , cogeretur ascendere ex versus , ita ob rationem similem pendulum post descensum ex in ascendet ex versus . Rursus quemadmodum ponderosum punctum in praedicta superficie ascendere inciperet per arcum cum eadem velocitate, quam acquisivisset in puncto infimo , et ideo ad eamdem altitudinem, ex qua descendisset, perveniret, nempe usque in , ubi extincta omni velocitate, iterum gravitate sua inciperet descendere, et in puncto priori velocitate rursus acquisita, cum ea ascenderet iterum in , atque ita porro ascendendo et descendendo perpetuas et aequalęs in peripheria excursiones perficeret, ita ob eamdem rationem penduli oscillationes aequales essent natura sua et perpetuo duraturae, nisi ab aeris resistentia et frictione aliqua circa sustentationis punctum inaequales primo redderentur, ac denique extinguereatur; adimentibus scilicet ejusmodi causis in singulis oscillationibus aliquid de illa velocitate, quae producitur a gravitate.

64. Velocitates et in puncto infimo B acquisitae a gravibus per arcus descendentibus sunt ut ipsorum arcuum chordae.

Per concipiamus duci tangentem et in eam ex et demitti perpendicula et : denotante radium et denotantibus arcus quoad radium 1 similes arcubus , erunt

et quoniam (30: 36)

propterea

ideoque etc.

65. Pendulum, quod incipit descendere ex , percurrat arcum tempore ; sitque arcus quoad radium 1 similis arcui : erunt ; et designante velocitatem in puncto , exsistet

Si arcus est ita exiguus, ut possit absque sensibili errore substitui respondenti sinui, habebimus et consequenter (28)

unde

est arcus quoad radium 1 similis arcui infinitesimo Mm( = ds ). Nunc centro H ( Fig. 38) et radio HD ( = k) describe circulum DED' ; sume HN : Ν »B; duc perpendicula Ne, ne super HD: et Ey parallelam radio HD. Triangula similia HEN, Eey rectangula in N, y praebent

∙∙∙⇀ ,4þf - ⇀∙⋅∙∎∙ .. ⊸∙⋅⋅⋅∙∎∎∣∙ 4.-∙−..137Ey: EN = Ee: HE, seu B: V R2-42 = Ee: k :hincBEe 8dt ;V R2-42 ket consequenterEe dtkVtempusculum videlicet dt impensum ad percurrendumseu Nn, obtinetur dividendo respondentem arcum Ee perkV § . Inferimus tempus t impensum ad percurrendum ka seu ND, obtineri dividendo respondentem arcum ED per kV ; nimirumED자름kQuareVED –are(com);ideoqueVare(cový = ) <( a ) .10137Ey:EN :Ee: HE, seu ,8: V kï-aï: Ee: h:hinc∙!Ee .... B ∙∸−⋅⋅ :: Vii. dt ;VIR-æ ]: 'ret consequenter⋅↙≀↥∶∎∙−−⋮∶∶⇣∶⋮ *Ve-tempusculum videlicet dt impensum ad percurrendam þseu Nn, obtinetur dividendo respondentem arcum Ee per]; Vi .Inferimus, tempus :impensum ad percurren-'.dum ]:-ut seu ND, obtineri dividendo respondentem arcum ED per kI/ £.; nimirumrt ∙∙∙ EDl.V-f,- .Quare ∙.yz... −∙−⊡∍ ......«.rf- k —- (eos:.k),ideoque≀⇌⇂∕∑− arc (eo: &) (a) ∙510138Iam vero in puncto infimo B (Fig. 37) exsistit a = 0 ;erit igitur tempus semioscillationisTTtiV28tempus integrae oscillationis ( a ' ).t2 =Vquas formulas cum non ingrediatur initialis angulus k, patet oscillationes ejusdem penduli, vel plurium pendulorum aequalis longitudinis r per arcus satis exiguos utcumque ceteroquin inaequales, fore ad sensum isochronas seu aequidiuturnas.Idipsum facile demonstratur hac alia ratione: angulus GCT= 90° BAC; hinc vis acceleratrix CG , ex qua sola repetendus est penduli descensus, exhibebitur per gsing: in hypothesi nimirum arcuum satis exiguorum spectari poterit CG tamquam proportionalis distantiae a puncto infimo B, computatae in arcu BC. Ergo ( 29. 4°) etc.... Etiam sic: est ds = d rík - a ) rda ;et consequenterrda dadtV rg (k -u?)-Vivok²-u?factaque integratione ( 27. 13º. 14° ) prius ab a kada =0 , dein ab a = k ad a = -k, emergent binae (a' ) .

66. Haec notentur:

1º: secunda ( a' ) dat77 r8 ( a );taatque inde innotescit gravitas g.138Iam vero in puncto intimo B (Fig. 37) exsistit «:o;erit igitur tempns semioscillationis. "∙−∣⋍⋅∶−−−−⇄⋅−∣∕−≦−∙tempus integrae oscillationis (,,-)−∣−∙−ta:T! −∙− ∣∕ :,quas formulas cum non ingrediatur initialis angulus k, patet oscillationes ejusdem penduli, vel plurium pendulorumaequalis longitudinis :- per arcus satis exiguos utcumqueceteroquin inaequales, fore ad sensum isochronas seu aequi-diuturnas-Idipsum facile demonstratur hac alia ratione: angulus GCT

900— BAC; hinc vis acceleratrix CG, ex qua sola re-

petendus est penduli descensus, exhibebitur per gsinat: inhypothesi nimirum arcuum satis exiguorum spectari poteritXCG tamquam proportionalis distantiae a puncto infimo B.computatae in arcu BC. Ergo (29. 40) etc....Etiam sic: est ds:dr(k— a):-— rda;et consequenterrdat datdt −∙− ↵−− '"VrgUe-æ .? sz-az :factaque integratione (27. 130. 140 ) prius ab et: I: ad«:o, dein 'ab a: ∙−−− I, ad ac ∶−−⋅ —-k, emergent binae (a')-

2º. Etsi ponderosa diversae materiei puncta permissa sunt oscillare, attamen idem semper prodiit valor g in eodem terrae loco: rursus ( 17 ) igitur devenitur ad proportionalitatem inter corporum massas et respondentes gravitatis vires.

3º. Constat observationibus longitudinem pendulisimplicis oscillationem absolventis intra mioutum secundumeo esse minorem, quo magis ad aequatorem acceditur: quoniam ergo, haud variato tz, gravitas est ut longitudo illa, minuetur gravitas a polo ad aequatorem usque ( 30) .

4º. Apud nostras regiones praefata penduli longitudo cum sit = 3ped opol glin, 38 = 440lin, 38, factisin ( a " ) tz = 1 ", r = 440lin , 38, prodibit respondens gravitatis valor g = 30ped , 183 alibi (30) indicatus.

67. Quod spectat ad pendulum compositum concipiamus (Fig. 39) puncta ponderosa B, B. , B2 , . . filo appensa: invicem disjuncta conficerent haec puncta temporibus inaequalibus oscillationes suas; punctum nempe B, citius (66) quam B, punctum B, citius quam B, etc: invicem ergo conjuncta agent ita in se mutuo, ut quae, minus distant a puncto suspensionis A retardentur ab iis quae magis distant, et quae magis distant a suspensionis puncto accelerentur ab iis quae minus distant: fiet propterea oscillatio penduli compositi tempore quodam medio inter minimum ac maximum praedictorum temporum inaequalium. Hinc sequitur fore in AB punctum quoddam B.,m suas conficiens oscillationes perinde ac esset solitarium, nulloque nexu caeteris punctis uuiretor: Bm dicitur centrum oscillationis, cujus centri distantia a puncto suspensionis est longitudo penduli simplicis suas perficientis oscillationes eodem tempore ac pendulum compositum. Inferimus oscillationes pendali compositi, et ipsas fore isochronas; modo tamen exsistant satis exiguae.

68*. Facile intelligimus ( 50. 3º. 6° : 66 ) motum penduli simplicis in medio resistente determinari generatim per aequationem

140dasdi?= gsing -f(v ) .derka( )di Ob dc2dradt2 et ( 27. 29º . ) sing232.3 +aequatio illa eyaditcreat + s ( « - +...)-fo) =Pone fv) = cv ; et angulum a ita perseveranter exiguum,ut ejus tertia potentia absque sensibili errore negligi possit : habebisda с+dlaola0 .ds Est autem v =dtdrak -a)dtdadt ; igiturd2C dadt2 to dt + baro:quam integrantes in hypothesi c constantis assequemur( 27.270. )... [ :V546.-V21( 6),In experimentis, quae pendulorum ope solent institui ,r est multo minor quam g; item densitas penduli, et consequenter ( 33 ) c fractio admodum parva. Fac ergo140tiis ∙de'-* :gsmat —f(v)d': d2r(k—a) (lioc↽⇁−−− −∙−' Ob daz dtz 27. 290. .:rdtï, et ( ) stna'a3 . '11 d'rdzatdta-l-g(at—-— ...):fþv) :0.Pone f(v): cv; et angulum ac ita perseveranter exiguum,ut ejus tertia potentia absque sensibili errore negligi pos-sit: habebisdza g cdia—FTa—Tv—o.Et :−−∠≀≖∙∙↙≀↗≺∣≖⋅⋅∝≻∙− ∎∠≀∘⊏∙⋮ ⋯⋅⋅ s auem'v— dt— dt rd , g1quam integrantes in hypothesi c constantis assequemur(2 7.2 70.)" til "'i-i.]c) —l ! —-..—.2:32 [CG 4r—l—C'f—Bln expetimentis, quae pendulorum Ope solent institui,r est multo minor quam g; item densitas penduli, et con-sequenter (33) c fractio admodum parva. Fac ergo141VSut sit VA = iVT ;4 .vertetur ( 6) inti V = 1 -til+C'e 2 -" ]U = eseu ( 27. 30° )3 [e] ;C " sin it +C ' ' cositundecositdata o - [( c'i - )(c": + * ) ainit ]daIn joitio motus t=0 , a= k , 0 ;dipropterea C " " k, C 'ck21 ; et .= ke - - [sin it + cosit ] . )2i( 6 )dandt = -ke- Ź [ ita sinic.141'. . ∙c' a . .ä-ï': - utsit V—--€- :::tl/ −−↿ ∙r 4 4 :-vertetur (b) in−−−∘⋮−≀ — tiV—1 -til/—1at:6 2)C'0 v380 ( 270 300 )↴c ↼a:∘−−≖− '[C" sinit ⊣−∁⋯ cosit] ;unde∘⋮ C'"↙⋮⋮∶∶ .∘∙⋅−

t [( C'i— 20) cosa
-— dt ∙

Cnc . .(0" i −⊢ —2 )sunt ].dat ∙∙∙ ∙In initio motus t—:o, at:— ]:, "dt −∙− 0-∙∙∙ k': propterea C Ck et −−−∙−− ∙∙−− 21' ∙142сEx.Vihabemus zi 11llHlacinc2V Cit =-Vrc?4g >2V EVrc2 1481i +VE ;factoigitur Vcr2 =c,43" Vi ro24gbinae ( 6 ) sic poterunt exprimia = ke

  • IVE Vētowi.V ]

1.)(6 )dm-- .- iv E sinórV.In fine cujusque oscillationis est dadt = 0; proinde, ob= 0: inferimus in fine primae secundam (3"),since V12 풍VV2.Voscillationis fore t = > in fine secundae8271 376 in fine tertiae t =T88gulae itaque oscillationes absolventur aequali temporeE ,inV, elc.. .. ; sin . сg. ∘ Ex ::i habemus 21. ∶∶ − c —- .∙∙−−−−−−−I/ ⇂∕−−−⋅↿rcc ⋅ :! −⋮↓−≔⋤⋅ acr" ,. CZ .g 1;factoigilur V1—-- :c, ↓⊣− ' ⋅ −−∶ ⋅binae ( b') sic poterunt exprimi£(sz 2 inc't cosc' gc[hc V—s Vg ∙−⊢ ::ll/:](ö")(E;—..., ""T-V—sinc't 5-dt :-/In fine cuiusque oscillationis est ≤−∝⋮∶∶∘⋮ proinde, obsecundum (b"), sinc': Vi:o: inferimus in fine primae!'1:osc1llat10n1s ∙ ∙ ∙ r ∙ fore :

−⋮⇆⊤ V—3,in fine secundae271 .⋅⊤ −∙,in fine tertiae :−−−−−∣−−− ,etc.. -sm-gulaec itaque goscillationes absolventur aeqnali tempore143و=ا( 6 ) .8In primo substitutis valoribus 0, 20 , 30 , ... nopro t , emergeQu - ke 2 A2 = ke ->929as= -ke- 30Q. = 1–1 y" ke – nohinc successivarum oscillationum amplitudines02음k + ke ke - 9 +ke - 2-ke 39 -2/220thekeseu1(1 +-2), ( +-3, -2,

  • (170-99 . -Ź- 42329......

Decrescunt igitur amplitudines istae in progressionegeometrica : quod cum confirmatum sil experimentis pendulorum in aere oscillantium per arcus satis exiguos, haudmajores v . g. tertia parte unius gradus, licebit quoad ejusmodi oscillationes assumere aeris resistentiam tanquamproportionalein simplici velocitati.143n −−−∽−∣∕∙⊂− (B")- 0

6In prim: (. ⋮⋅ substitutis valoribus 9, 29 , 39 , ... 719pro :, emerge f⋅∙⇁− -∙1- 029 ⋅ Ca;:— ke 2 ,agzke 2 ,a3z—ke 2 39C119 a.::(—1)" ke −⋮⋅ :hinc successivarum oscillationum amplitudines.c ⋅∙⋮∙∙ ...—£k-l—Re— i.e.]:e— 294-ke ∙229"ke −⋅⋮⋅⋮∂−⊦∣∥⋝ 239,. ;seu.- e ∘9−−∘ &Decrescunt igitur amplitudines istae in progressionegeometrica : quod cum confirmatum sit experimentis pen-dulorum in aere oscillantium per arcus satis exiguos, haudmaiores v. g. tertia parte unius gradus, licebit quoad e-jusmodi oscillationes assumere aeris resistentiam tanqnamproportionalem simplici velocitati.144Experientia insuper docet decrementum illud graduadmodum lento procedere : sic D. Borda expertas est nonnisi post 1800 oscillationes valorem en converti in k .Hoc posito, existet211800c7V.18000 e 22 2c seu ob (6 ' ') e3اندبهet consequenler1800CTE= c'log. 13 == c (o , 40546) . 2( 1800)? c ?72. "= 1 - c '? , ideoque 84gro2 Sed4= (1800 ) 2772 /1— 2) ; igitur ( 1800)277 ?(1 — c'2)= c (0 , 40546 ) ; undec' ?( 1800 )2772 1(1800 )222 I.(0,40546 )> et eV+180071+0,40546121800761quam proxime.guaSi ( 33 , 4." )poneretur f (v )terminandum exsisteretad penduli motum de144 *Experientia insuper docet decrementum illud graduadmodum lento procedam : sic D. Borda expertus est non-. . , 1118! ∙ ⋅ ∙ ∙ 2 post 1800 osmllattones valorem ac,, com-cru mes-k.Ilnc posito, existet'u1eöocn VL..'5.20'≀∙ ⋅....—18009 2e 2 −−∙−−− −∙− , seu 01) (b"') e⊏⋅⋮− ,. 5 ⇁3(!l. 000 sequenter

.—c'(o ∙⇁ '40546) b. " .

1800072l/L .2 g :c'lo'.(1800≻∖⋅:0:712.— gPC: '∙'Sed −−−−−↿ ---c2, 1deoque 45⇌≺↿⋅∂∘⊙≻≃⊺≖≖≺↿−⋅≺∶∣≏≻⇋ igitur ≺↿∂⊙∘≻⇄∏≖≺↿−∘∣≖≻

c'5(o, 4054673; unde

(1800)??? - -, 1, ↼−−≺↿ et -c':≨∃⊙∘⋟≖⇃∙≖⋍⊣−⋅⊏∘∙∠↥∘⋦∢⊖≻ ↼↼'3Vl—l"(7'g55; o.4(l546)z≖≖−−−↿ quam proxime.↓2 '51 (33. 41.") poneretur f(v) ∶−−⊸∙⋮⊥⋮− , ad penduli motum de-02termiuandum exsisteret145desdt?gsing gu2 d ?seu de2 + sine —8r /dala2= 0 .c²ldeHaec prias multiplicata per 2du , ac dein integrata suppeditat' dala Idalaca ldt2gCOS Oseu facto Slaa) dx = y , ideoque Coupe ( )dydady282gr COS Qda y = 0 ;cojas integratio traducitur ( 27. 26 °.) ad integrationem functionis2g cosada2grac2 reJamvero , facto compendii causa 2gr= m , habemus c2dem sina ) coso, da Sema-mu m e sing da ,d ( e-ma cosa )-ma sina da - me COSQ da :igiturſe-ma cosa da e -ma sina tm se-ma siac da ,ſe-ma sina du = me-ma cosa m ſe-me. cosa da ;ex quibus145d's— ∙ g.": dia g ⋅⋅ . gräzäfgsma— Z;- , sendt: da)!— -[-r sma 02 22 —--0.Haec prius multiplicata per Zda , ac dein integram suppe-ditat -(&)2— dt ∙−⊋∊∁∘≘∝−⋅⋮⋚⊆∫≺≦− rf:) ↙≀⊄∶∘∙∙∙dat ∙∙∙ ∙ da: a... 47"seu facto f(ä—t) fia —J—, ,1deoque (22) −∙− ä; ,≝⊻−≟≝∁∘⊱⊄≉≣≝⋅∫∶∘⇋ . datcuius integratio traducitur (27- 262) ad integrationem fun-ctionisZg cosadat ∙⋅2grat .∘≖ . re :∙2 r'Iamvero ,facto compendii causa −⋚−⋅:m ,habemus02,! (.;-""" since ):e'ma cosa: d-a −∙∙ m e'm' sinat da,d(e'macosat):-e'm ∋⋮∘⊄↙∄∝−⋅⊪∘⋅⋯ "cosada:igiturfe'm. cosa da::efm sinat—lfm fe'm sinat dat,fe'm sinat daz ⋅⋅−−− −−∶ e'm cosa: — m fe'm- cosa daz ,-ex quibus146ſen-Ma cosa da e -ma sina — те cosa -m2ſe-mecosadu 7,et consequenter2gSce-ma cosa da2g ( e -ma since me- mu cosa)r ( 1 + m2)Erit itaque (27. 26 °.)y = Cema +2g ( sing - m cosa )r ( 1 +ma )ex qua differentiata quoad & cum emergatdydaCmema + 2g (cosx + m sina )r ( 1 +m2)restituto valore dyda habebimuscadal 2g (cosa + m sina)= - Cmema +r ( 1 +m2 )daIn initio motus a = k , = 0 ; hinc dtCm 2g ( cosk + m sink) e-mkr ( 1 + m2)propterea-m (k - a )Cate)dal 2ldt29r ( 1 +m2)cosa + msina - cosk + msink)e ( h).Facto a = o in ( h) , prodibit inde velocitas penduli in puncto infimo B ( Fig. 37.) : ascendet pendulum cum velocitate146fe'm" cosa da: e'm" sinat —me*mcosoc −∙∙ ⋯≖∫∘⋅⋅⊪∞∽∡∠≀∝ ∙et consequenter2g " 2g (e-"W- sinat −∙∙ rne-ma cosa)∙−∙∣ (.'-'"" cosa dat:⋅'r(1 −⊢ ⋯⋅≀≽ Erit itaque (27 . 260.)2g (sinat —m cosa)y.:Cama'i' r(1-l—m') :ex qua differentiam quoad a: cum emergatdy ∙− M Zg (com-[- m 5213.)-da :Cme r (1 —f-m3) '∙d' ∙ resututo valore 1, babebmus ⋅de:((!—S :Cma'" "I" 25 (cosa: ∙⊢ 11: sind:? ∙.. dt r(1-l-m3)∙ ∙ ∙'da ∙In 1n1t1o motus a:k −∙− −−−−∙ o ; bmc 'dt2g (cosk −↿− m sinit) er:-""* ∙Cm: r(1—l-m2) ..propterea(de!)2 28 "[COSa-Hnsina—(cosk-i'msïnk) e-m(k-a)] 32 :r(1—i—m2) (73)-Facto a:o in (I:), prodibit inde velocitas penduli in pun-cto infimo B (Fig. 37.) :ascendet pendulum cum velocitate147ista versus D , conficietque arcum , cui respondebit — Q,; etquoniam in extremo puncto illius arcus extinguitur tota velocitas , iccircoCOS - m sina, · ( cosk + m sink) e -m (4+ 1) = 0 ,seu(cosa,m sing , emai (cosk +m sink) e-m * = 0( h ' )....mk .maa ,Sunt ( 27. 29.° ) emas = 1 + m « . + +2mak ?=1 -mk+ -... ; est insuper m fractio admodumparva ( 33) : neglectis igitur terminis , ubi invenitur mº ,traducetur ( h ) ad2>cos@g - m (sina, cosax) = coskt m (sinkkcosk ) (h " ).Denolante o differentiam inter valores a, et k ut sit Q= k -0 ,certe ð erit fractio tenuissima : hinc substituto k- locoQy in ( " ) , sumpto 1 pro cosd et à pro sind , missisqueöz et mo , assequemur2mOsink = 2m ( sink - kcosk) , d = 0sink (sipk- kcosk ) ;undeUy= h2m(sink-kcosk) .sin kSi popimus k ita iguum , ut ejus quarta potentia praetermitti possit , obtinebimus (27. 29.° )147ista versus D, "conficietque arcum , cui respondebit — at,; etquoniam in extremo puncto illius arcus extinguitur tota ve-locitas,iccirco111 cosa:, −∙∙ m sinatl — (cosk −∣− m sink) e" (b'-3 1): o ,seu(cosa, ∙− 11: sind,) a'"! — (cosk —-msink)e""'* :: o (b').Sunt (27.29.0) erat: mna? ↿−⊦⋯⊄≖−⊦2 −⊦ ∙ ∙ ∙∙ ,∙⋯⋆⋯≖⇂∙∙≖ ⋅ ∙ ∙ ⋅

i —mk—l—-—2—-— ...; est 1nsuper m fract1o admodum ∙

parva (33): neglectis igitur terminis ,.ubi invenitur m',traducetur (h') adtuom,—m (si na,—aleam,:cosk—l-müi nk—kcosk) (h").Deuotante ö differentiam inter valores a, et k ut sit ac,: k-ö.certe d erit fractio tenuissima : hinc substituto k—ö locoa, in (II"), sumpto 1 pro cosd et 6 pro sind. missisqued' et md , asscquemurösinkz2m (siuk—kcosk) , ö: ET- (sink—kcosk);. sink-nnde2msin lt at:-k— (siïnk—kcoslc) .Si ponimus !: ita exiguum , ut eius quarta potentia prae-termitti possit , obtinebimus (27. 293)1482m 2m- (sink - koska gink k21 k2 12.32m 2m ka ( 1k22.3 h2 ,3ac proindeQ = k2m3k2 :quemadmodum valor a, deducitur ex k , sic ,yalor d, exvalor az ex la , atque ila porro ; erunt nempe2m Aa =2.1 az ?; 3=0,- 313, etc...| Patet illud ; si vis acceleratrix ex medij resistentia sumitur proportionalis quadrato velocitatis, haud subsistet superior lex, experimentis confirmata, de oscillationum amplitudinibus in progressione geometrica decrescentibus.

69. ° * Aliquid subjungimus de gravium descensu per arcus cycloidales. Circulus A'D ( Fig. 40 ) tangens rectam A”E in A" revolvatur super ipsa A”E ita, ut eam pergat semper tangere. Punctum A" circuli regredietur ab A" in E, lineamque curvam describet, quae appellatur cyclois: circulus ille mobilis vocatur cycloidis genitor, recta A ” E basis, diameter AB perpendicularis mediae basi dicitur axis, punctum A vertex; patet autem quemvis circuli genitoris arcum B’A' aequari rectae A'B, quae intercipitur duobus punctis A " et B', in quibus extre ma puncta ipsius arcus tanguntur ab A'E; et totam basim AE aequari peripheriae circuli genitoris. Ducantur14822," (siuk—kcosk)-— "' .↗⋮∍ mnk ]: (kz 3 2.) ⋅ac proinde2m'k 3kquemadmodum valor a; deducitur ex 1: , sic.valor ag, ex'a, , valor 013 ex ac, , atque ita porro; erunt nempea—a—ïaa' a—a—zma' etc - 2—1 31, 3—3 T;, ∙Ducantur149jam ex cycloidis puncto v. g . A' perpendicula A'rl= y )et A'C , alterum in basim AE, alterum in axem AB ;sit A'r = x ; diameter circuli genitoris dicatur 2a; exhibeaturque per & arcus quoad radium -- = 1 similis arcui A'B' .Eruntx = A'B - B'r - A'B ' - AM = a5 - asins ,y = B'M = asin.v.zza( 1 - сoss) .ex istarum prima assequimurdx = ads - acoss ds = a ( 1 - cos )de ;et dividendo per secundam.dcde .yEst autem arc sin=are(sin = AMM))—are (sin V Zay —ya )aIV2ay - y2et consequenter de 22ay - yaadyZay - y ?dyV2ay - y2 ; ergo2ady = dx V?(at ) ;y149iam ex cycloidis puncto v. g. A' perpendicula A'r(:y) ⋅et A'C, alterum in basim A"E. alterum in axem .AB;sit A"r:æ; diameter circuli genitoris dicatur 20; exhibea-turque per & arcus quoad radium −∶∙−↿ similis arcui A'B'.Eruntæ:A"B'——B'r—-A"B'—-A'M:ae-—asins ,y:B'M:asin.v.:a(1—coss) ∙ex istarum prima assequimurdæ:ada—acoss de:-au -cose)d£ ;et dividendo per secundam.d-—æ-- :de ∙ 7,Est autem :arc(sin: M):arc (sin ∙−−∶ ∣∕⊋∅∫−↗↾≖a a ),et consequenter de:.a— ∙ a): ∣∕ ↿−− 5351-02dl/Zay—yz dfa—y VZaJ—yi 'ergo150aequatio differentialis ad cycloidem , computatis coordinatis a baseos initio A ", Quod si computentur a verticeA , ut novae coordinatae sint AC ( = x ') , et A'C ( =y' ) ,cum habeamus x = an — y , y = 2a — x', prodibit-dx'adyVx'2a- , seu dy = dxV2a - xxช่ (a ") .Nunc ad gravium descensum quod pertinet per ar.cum quemvis cycloidalem , cujus vertex in puncto inſimoB ( Fig. 37), sit C initialis positio puncli ponderosi , quumnempe t =0 et v = v = 0 , M positio in fine temporis 1;quibus positionibus respondeant altitudines c et ac' suprahorizontalem rectam transeuntem per B , ut in Mhabeatur v = V 2g(c-x') : denotantibus h , se s' cycloidalesarcus CB , CM , BMBM ,, erit erit dsds== dhd (h -- ss)) = - ds'; undedsdids'dt = V2g(c -x '), ex qua obtinelurds'dtV 28(c — x ')Formula ( a" ) praebet ( 27. 19.0)2a -xdo = Vdx =+ody"a= dx V17 = dx '

xhincda - cadt dx'V. 8 V cx' — x'2 -VaGVFECITATE150aequatio diti'erentialis ad cycloidem . computatis coordina-tis a baseos initio A" Quod si computentur a verticeA , ut novae coOrdinatae siut AC (:æ') , et A'C (:y'),cum habeamus x:an'—-7, 1:20—æ', prodibitIZa—æ ∙−−−, seu df:dx I/ æ, (a') .Nunc ad gravium descensum quod pertinet per ar-cum quemvis cycloidalem . cujus vertex in puncto infimoB (Fig. 37), sit C initialis positio puncti ponderosi, quumnempe t:o et ⇂↾−−∙∶⇂↗∘∶∶∘ , M positio in fine temporis :;quibus positionibus respondeant altitudines c et æ'suprahorizontalem rectam transeuntem per B , ut in M ba-beatur :»:V Zg(c-x ':) denotantibus ,: .s, s' cycloidalesarcus CB, CM, BM , erit ds:d(h—s'):—ds'; uudeds di' .v −− dt— dt —l/2g(c-æ'), ex qua obtmeturds'dc ∶−∙−− − ⇂∕−−−−−⇄∊≺∁−−⋅↿⊏⋅ )Formula (a') praebet (27. 19!)d.;— −−∙ ⇂∕∎∎−−∎∎−∎∎∎ ↙↙∙≖⇌ ≖⊣⊸↙↿∫−hinc(1".—— a flx' ;.(ll:∙−∙ V∙−− ∙−− Va .; 20 .l—— g J/Fæ—æ'z ∙ g∣∕↿ ∙↕⋅∎⋅≩∁≻≖⊽151sumptisque integralibus ( 27. 9,9 ) ,= c +Vare (co== **)

in positione initiali est t=0, simulque x' =c; igitur C = o, etVore (rosa ).Facta x=0, prodibit tempus descensus usque ad punctuminfimum B, nimirum11 =TVOubi cum non inveniatur c , patet , ex quocumque cycloidis puncto demittatur grave, eodem semper tempore perventurum ad B. Hanc cycloidis proprietatem posteaquamdetexit Hugenius , cycloidem ad pendolum adhibere caepit : quod qua ratione fieri possit , ostendit in parte 3. “Horologii oscillatorii.

De attractione corporum in hypothesi attractionis agentis in ratione directa massarum, et in reciproca duplicata distantiarum.recensere

70. Pyramis AH (Fig. 41) habens basim GH infinitesimam secetur superficie sphaerica, cujus centrum in A , et radius AZ ( = r ); sit Ky = B ) projectio intersectionis VZ ( = ) in plano AB; supra basim Ky erigatur prisma KyE altitudinis CH ( =x): exprimet KE AZ sumptisque integralibus (27. 93) ,↥⋅∶∁⊹ lV— a1c (eo: 200) ;in positione initiali est t:o. simulque æ':c; igitur (l:-o, et

  • x −−∶−∁

Facta x':o. prodibit tempus descensus usque ad punctuminfimum B, nimirumaII:" V— :g .ubi cum non inveniatur c , patet, ex quocumque cycloidis puncto demittatur grave, eodem semper tempore perventurum ad B. Hanc cycloidis prOprietatem posteaquam detexit Hugenius, cycloidem ad pendulum adhibete caepit: quod qua ratione fieri possit, ostendit in parte 3.'Horologii oscillatorii. ⋅

lit-F.AZZ152vim attractivam ( p) segmenti CG in punctum A juxta directionem perpendicularem plano AB. Intelligatur enim segmentum CG secari sphaericissuperficiebus numero infinitis , quarum centrum in A , etr2 , 7* 3 sintque eoz , A2 , A3 intersectionum areae. Eritradii rs .din 23

2

2 r2 3 p2vis nempe attractiva cujuscumque areolae Qy , da , .aequabit vim attractivam areolae A. Ex punctis Z, C,ducantur in AB ... perpendicula Zy ( =n) , CB ( = n ) ...:singulis viribus resolutis in duas, quarum altera sit parallela , altera perpendicularis plano AB , componentes perpendiculares repraesentabuntur perni na n2ri raet quiani n2 n72iccircoli ni 0.2 п,=a n.t'i p22 rahis positis , quisque videt forenf152 .vim attractivam (:f) segmenti CG in punctum A juxtadirectionem perpendicularem plano AB.Intelligatur enim segmentum CG secari sphaericissuperficiebus numero infinitis. quarum centrum in A, etradii r; , r,. rg.... sintque at,, at,, ata ...inter-—sectionum areae. Erit«! a; «3 ∙. ar,: fa, rna ra.∙'vis nempe attractiva cujuscumque areolae at,, at,, ∙∙∙aequabit vim attractivam areolae at. Ex punctis Z, C,...ducantur in AB... perpendicula Zf (:n), CB (:m) ...:singulis viribus resolutis in duas, quarum altera sit paralflela, altera perpendicularis plano AB , componentes per-pendiculares repraesentabantur pera! "[ a:; "a a n. , ∙ , ∙ ∙ . ∙−−− .—,. r,2 r, rf r, :-a ret quia—:"! "2 n∙−− ∙ ∙ ∙ :∙—;r, r, riccirco«! "r a: n, a n∙∙−−∎ ∙ ∙ ∙ ∙:∙∙−∎ ∙ ∙∙∙∙ :rl: rl ,.22 ", ", r153Jamvero (55.4. )\beta= cosyZA 3igitur >nelaBslioliaet consequenterBxr?KyE fAZ

71. Singula corporis cuiuscumque KGDH (Fig. 42) puncta trahant punctum C positione datum. Centro C etradio quolibet CM describatur sphaera MBN; in eiussuperficiem incurrat in A recta quaelibet CG permeanscorpus KGDH iuxta DG ; demittatur ex A perpendi-culum AQ supra planum MCN; capiatur in- AQ parsTQ aequalis segmento DG intra corpus KGDH demerso;quod si plura fuerint huiusmodi segmenta, pars in per-pendiculo accepta sequetur omnium summae, Si per GM?dividitur solidum ïTXV, quod continetur plano MCNet superficie ab omnibus punctis T determinata , expri-met quotus vim, qua totum corpus KGDH trahit punctumC perpendiculariter ad planum MCN.Prodeant enim ex C infinitae numero pyramides, qua-rum segmenta DG impleant totum corpus KGDH; pote-runt totidem respondentia (69) prismata TQ concipi , quaetotum solidum ïTXV impleant; ergo etc.Quoniam vires omnes sollicitantes punctum Cpossunt traduci ad ternas, quarum directiones congruantcum tribus rectis se mutuo ad angulum rectum secantibus in ipso C; ternae vero istiusmodi vires in unam com-↿↿154positae dant resultantem ex illis omnibus , inde fit quodubi determinentur (70) ternae vires corporis KGDH respective perpendiculares tribus planis orthogonalibus perpunctum C traseuntibus , eae in unam contractae suppeditabunt et directionem , et intensitatem illius vis , quae resultat ex omnibus viribus punctorum constituentium corpus ipsum KGDH.Si punctum C intra - corpus trahens collocareturaccipienda esset TQ aequalis differentiae inter distantiasipsius C ab extremis D et G rectae DG transeuntis perC. Hinc si C fuerit situm intra ejusmodi crustae cavitatem , ut per C ducta quavis recta , aequales hinc inde parles illius rectae intra crustae crassitiem intercipiantur, evanescentibus omnibus TQ , evanescet etiam omnis vis plano cuicumque perpendicularis , et punctum C in aequi.librio consister.

72. • * Coordinatarum originem O constitue inquovis corporis puncto ; sin que x, y, z coordinatae puncli altrahentis ; a , b , c coordinatae puncti allracti ; 'distantia inter punctum attrahens et punctum altractum :exprimentb - rCZba 몇7A'Acosinus angulorum , quos a continet cum axibus coordinatis OX , OY, OZ. Quare denotantibus Hc , H,, H,componentes iisdem axibus parallelas , in quas rosolviturattrahens totius corporis vis H , et dm elementum massae,erontH,- Som dm , 1 , = Sabah dm(o)H , Set dm :A3154positae dant resultantem ex illis omnibus; inde Et quodubi determinentur (70) ternae vires corporis KGDH re-spective perpendiculares tribus planis orthOgonalibus perpunctum C traseuntibus, eae in unam contractae suppedi-tabunt et directionem, et intensitatem illius vis, quae re-sultat ex omnibus viribus punctorum constituentium cor-pus ipsum KGDH. ↴Si punctum C intra -corpus trahens collocaretur ,accipienda esset TQ aequalis differentiae inter distantiasipsius C ab extremis D et G rectae DG transeuntis perC. Hinc si C fuerit situm intra eiusmodi crustae cavita-tem, ut per C ducta quavis recta, aequales hinc inde par-tes illius rectae intra crustae crassitiem intercipiantur, eva-nescentibus omnibus TQ, evanescet etiam omnis vis pla-no cuicumque perpendicularis. et punctum C in aequi-librio consistet. ⋅⊽∑∙∘∙ Coordinatarum originem O constitue inquovis corporis puncto; sintque x, ],:coordinatae pun-cti attrahentis; a, b ,"c coordinatae puncti attracti; A'distantia inter punctum. attrahens et punctum attractum:expriment⊄≖∙∙−−∙∙−−∙⋮≖ b—gr c—z∆∣∙'∆∣'∆∣cosinus angulorum, quos ∆⋅ continet cum. axibus coor-dinatis OX , Oï, .OZ. Quare denotantibus H, , H, , H,componentes iisdem axibus parallelas, in quas rosolviturattrahens totius corporis vis H ∙ et dm elementum massae,erunt ⋅a—æ "bf—7 ⋅ ∏≖∶∶∫ ∆∣⊰ dm,⊟⋮⇌−∽∙∣∙−⊒↙∙⇁⋮⇀≀≀≀↿∙ .-(0),:szjä-äfdm:155integralia se se protendunt ad totam corporis massam M.PoneQ = Sam( o ')habes quidemA2 = (a — x )" + ( my) + cz( )" ;sed quia integrationis limites non pendent ab a , b , c ,ideo ex prima ( o' ) eruesdQda ſdm ,dQdbdenES ,do dmdQdc -dm ;dasecunda vero (o' ) praebet /a 영 1 dA a -X aA' ? dabda 4'3db A'3엷slotdc 4'3traducentar itaque ( o ) adH=dQda H ,dodb H,dQdc ( o " ) ,componentesque H , H ,, H, pendebunt ab unico integralil. Fiata : + 62 + c = A2 ,155integi-alia se se protendunt ad totam. corporis massam M.,,Pone≺≀⇌⇀⋅ dm −∙−≃habes quidem (O,)∆≏⇋−∙≺∅∙−∞≻⋍⊣−≼≀↗−∫≻≔⊣⊣∘∙−≖≻⋅ ;sed quia integrationis limites non pendent ab a, b , c ,ideo ex prima (a') erues⋛≣∎∶∆∼∣↙≟ dm' ∎−⋅∫↲∂↙≀⋯⋅−−−−∫ "'"-('m-secunda vero (a') praebet↿ ↿⊄∄−−−↽∆∙ ↿ siA—, a—æ (LA-7 b—rde'" A'da A'3 ↞∙ ∠≀∣⊃−−⋅−−−−∆⋅≀∙ '↙≀∙∙↿⊽ ac..... de −⋅⋅ ∆∣∍traducentur itaque (a) addQ dQ dQ−⊋⋤−∙ Hic—2? ∙ Ha ≔−⋅⊋⊂∙∙− (O") 1

componentesque H, , H,, H, pendebunt ab unico integraliQ. Fiat ⋅∁≖⊹∂≖−⊦∁∶≖−−∆≖ ∙156ut secunda ( o ' ) scribi possit in hunc modumA ' = 12—2(axtby tcz) + wa + ya + z2 ;erit1-[ 12—2( ax + by + cz) + xa + ya + za = ++2(ax + by + cz) xtya taza)+24312(ax + by + cz)2- [ 12 (ax + by + cz )-3(x2 + ya + za) ][ x ? tye + z")845+.unde, ob prinam ( o' ) ,mQ

  • ++ ſ(ax + by+ ca)dın

25 /(x +y +z")du + z flar+ by +czydom.co".Sit coordinatarum origo in centro gravitatis massae attrahentis; erit ( 20. b )143Slax ( ax + by + cz) dni = ta fædm +bſydm + ſzam ] = 0 ;ideoque vertetur ( o '"') in156ut secnnda (o') scribi possit in hunc modumA"::A3—2(aæ—-l-bj-l—cz)*æï-þyl-l-z' ;erit−↙∃≃∙⋅⋅ −−−−−[∆⋅−≆≺∾↼⊦∂∫⊣⊸≉≻⊣−↕⋅⇀⊦∫⋅−⊦≖≖ ⊐⋅− *↽−⇌−↿≴↸ ⋍≺∅↕⊹≀↗∫⊣⊸∡≻−≺↕∙⊣⇀∫⋅⊹≖≖≻2A312(aæ-l—b.7—l-Cz)'-[1 ⊋≼↙⇂∙↿∙∙⊹⊘↾⊣⊸∅⊢∃≼∞≖⊹∫≖⊹≂≖≻∃ ∣⋮∙∙∁≴⊣↰↾⊣∎≖∶∣∙8A5 ''-I-..;unde, ob primam (a')-. 11Q ∙∙∙ Z∙∣∙− A3](aæ-l-bJ-l-czkim—1- 3 "555] (x'-l'f' ∙⊦≖≖≱ dnl-l— üïf(aæ'l'lïï'*l'cz)'dm-n-(0 ').Sit coordinatarnm origo in centro gravitatis massae"'trahentis; erit ( 20. b). ↿ ∆↿−⋮∫≺∘∞⊣−≀≀↗−⊢∞≻↙≀⋯∶ 33— ta xdm-i-bjïydm ⊣− rfzdm ]: 0

ideoque vertetur (o"') in157M 1QΔ 243f\ x3 + y* +32) dmt3245 (ax + by + cz)-dm-, .. ( 0 " ").ca73. Corpus KGDH Sit sphaericum , ejusque centrumin puncto extremo B radii CB (Fig. 43) inveniatur ; ipsi corpori occurrat QA in T. et Q '; ducto perpendiculo BEsupra CA , triangula rectangula AQC, BEC propter latusAC=CB , et angulum QAC=BCA , erunt aequalia , adeoque QC=BE ; chordae nimirum SD,CT aequidistabunt acentro B; erunt itaque inter se aequales , ac proindeOʻT ( Fig. 43 ) , aequabit QT (Fig. 42): quod cum ubique contingat, erit area KGDH (Fig. 43) sic .aequalisareae XYC (Fig. 42) , ut solida genita ab his areis cirsuos axes revolutis aequalia sint inter se. Vim proinde , qua punctum C tendit in sphaeram KGTH ( Fig. 43 ) exprimet ipsa sphaera divisa per CM (=CB) seu perquadratum distantiae puncti C ab ' ipsius sphaerae centro; siquidem aliae duae componentes (71) evanescunt:Sed si sphaera ita condensaretur , ut coiret in centrum ,eodem prorsus modo exprimeretur ejus attractiva vis; ergo punctum extra sphaeram situm eadem omnino ratione in ipsam tendit , ac si omnia sphaerae puncta in centro compenetrarentur.Haec vera sunt , licet corpus non sit omnino homogeneum , modo tamen sint ubique bomogeneae ejus partes a centro aequidistantes ; quod notandum etiam in sequenti assertione.


73. Corpus KGDH Sit Sphaericum. eiusque centrumin puncto extremo B radii CB (F ig, 43) inveniatur; ipsicorpori occur1at QA in Tet Q'; ducto perpendiculo BEsnpra CA , triangula rectangula AQC, BEC propter latusAC;-:: CB, et angulum QAC:BCA ,erunt aequalia, adeo-que QC—BE- , chordae nimirum SD Q' T aequidistabunt a«centro B; erunt 'itaque inter se aequales , ac proindeQ'T (Fig. 43) aequabit QT (Fig. 42): quod cum ubi-qne contingat, erit area KGDH (Fig. 43 ) sic .aequalisareae XTC (Fig. 42) , ut solida genita ab his areis cir-ca suos axes revolutis aequaha sint inter se. Vim proin-de ,qua punctum Ctendit in sphaeram KGTH (F 1g 43)exprimet ipsa sphaera divisa per ∁∾∙≖ (:CB') seu perquadratum distantiae puncti. C ab ipsius sphaerae een-tro ; siquidem aliae duaeïcomponentes (71) evanescunt,:Sed si sphaera ita, condensantur,, ut coiret in centrum,eodem prorsus modo exprimeretur eius attractiva vis; er-go punctum extra sphaeram situm eadem omnino ratio-ne in ipsam tendit, ac si omnia sphaerae puncta in cen-tro compenetrarentur. ⋅ ⋅Haec vera sunt,lieet corpus non sit omnino ho-mogeneam, modo tamen sint ubique homogeneae eius par-tes a centro aequidistantes; quod notandum etiam in se-quenti assertione.

74. Si punctum materiae locetur intra crustam sphaericam, sive intra orbem sphaericum intus cavum terminatum binis superficiebus sphaericis concentricis, id punctum, destructis viribus consistet in aequilibrio. Sint ( Fig. 44) NEQ, MFP superficies illae concentricae , punctum vero materiae sit O. Ducta per 0 quavis chorda MNEF, et ex centro K demisso perpendiculo KC supra ipsam chordam, erunt CM=CF, CN=CE;igitur MN = EF , ac proinde ( 72 ) etc:

75. Ex dictis ( 73. 74 ) sequitur:

1º . punctum in superficie duarum sphaerarum positum gravitare in ipsas sphaeras in ratione radiorum directa: nam sphaerae sunt ut radiorum cubi, quibus per eorumdem quadrata divisis, prodeunt radii simplices:

2° . gravitatem puncti intra globum homogeneum pergentis a superficie ad centrum decrescere in ratione directa distantiae a centro ipso.

76. Haec notentur. 1º. materiale punctum valde distans a corpore attrahente, utcumque se habeat forma corporis, ea proxime ratione tendit in ipsum corpus, qua tenderet si corporis partes in centro gravitatis compenetrarentur; patet tum ex dictis (12: 20) , tum ex eo quod in casu vires attrahentes punctorum constituentium corpus considerari possint tamquani proxime parallelae et proportionales ipsorum punctorum massis.

  • Patet etiam ex ( 0 " . 01 .: 72 ) ; nam si A est ila na

gna , ut, retento primo termino in ( o " ), possint caeteripraetermitti absque sensibili errore , sicque habeaturMQexsistentM CHMA2 ., HH ,M 342 : AHac proindeMHViH + H ,* + H , +158Sint (Fig. 44) NEQ, MF P supetticies illae concen.tricae, punctum vero materiae sit 0. Ducta per 0 qua-vis chorda MNEF , et ex centro K demisso perpendicu-lo KC supra ipsam chordam, erunt CMr—CF, CNzCE;igitur MN— EF, ac proinde (72) etc:

75. Ex dictis (73. 74) sequitur: 10. punctum in su-perficie duarum sphaerarum positum gravitare in ipsas sphae-'ras in ratione radiorum directa: nam sphaerae sunt ut ra-diorum cubi, quibus per eorumdem quadrata divisis, pro-deunt radii simplices: 20. gravitatem puncti intra globumhomogeneum pergentis a supe1ticie ad centrum decrescere in ratione directa distantiae a centro ipso.

76. Haec notentur. 10. materiale punctum valde di-stans a corpore attrahente, utcumque se habeat forma cor-'poris, ea proxime ratione tendit in ipsum corpus , quatenderet si corporis partes in centro gravitatis comPe-netrarentur', patet tum ex dictis (12: 20), tum exeo quodih casu vires ,attrahentes punctorum constituentium cor-pus considerari possint tamquam proxime parallelae et pro-portionales ipsorum punctoruin massis.' ea Patet etiam ex (a" . o" 72); nam si∆∙ est tta ma-gna , ut, retento primo terminogin (o'f ), possint. caeteri praetermitti 'absque "sensibili 'et-rore , sicque habeatur.'. - «. ∙⋅r ↾1' I.. M. 11"≺≀⇌⋅⊼−↿⋅ ⋅exsistent '1-- --M 0'M 6"' M∣⋅∏⋍−⋅−− −−∶∙−−⋅∙−− ...—...; .' AaA'H' ArA'H': ∣⋅∙↘∆∙ac proinde−−−∙∙−−−−−−∙∙∙∙−−∙ MH:: l/Hil'i'nya'i" He's-A"?1592º. Non pluribus opus est , ut stabiliatur illud: ubi dimensiones corporum quorumcumque se matuo attrahentium in ratione directa massarum, et reciproca duplicatadistantiarum sint admodum exiguae prae distantiis, quibusipsa corpora disjunguntur, eorum alterum tendet in alterumperinde ac si essent 'ambo in suis gravitatis centris compenetrata . Dicantur enim M , M' massae duorum ejusmodicorporum , m, massa cujuslibet puncti spectantis ad M , etA distantia inter m, ac centrum gravitatis massae M ; exMm ,primet vim attractionis motricem ( 28) , qua m, len.dit in M, simulque ( 7 ) vim attractionis motricem, qua M tenditin ma; ideoque merit vis attractionis acceleratrix, quaM tendit in mo . Atqui hoc pacto M tenderet in mo, si tola massa M compenetraretur in suo gravitatis centro ; ergo M revera tendit in mi, id est in singula puncta massae M' , perinde ac si tota M foret in suo gravitatis centro compenetrata: cumque ob paritatem rationis idem contingat massae M' quoad M , jam patet veritas assertionis.

3º. Quoad sphaerica corpora, quorum partes aequidistantes a suis centris sans homogeneae, obtinet assertio, utcumque caeteroqui se habeat intercedens distantia.

De gravitatione universalirecensere

77. Quae de coelestium corporum motibus, ex astronomicis observationibus hic subjicimus, ad ipsorum gravitatis centra respiciunt.

1º. Areae, quas circa solem describit radius vector uniuscujusque planetae sunt respondentibus temporibus proportionales: idipsum obtinet quoad areas descriptas a radio vectore uniuscujusque satellitis seu planetae secundarii circa suum planetam primarium.

2º. Convertuntur planetae circa solem in orbitis ellipticis ita, ut singularam ellipsium alterum focum occupet sol: convertuntur planetae secundarii circa suos planetas primarios in orbitis ellipticis ita, ut istarum focum occupet respectivus planeta primarius.

3º. Quadrala temporum periodicorum sunt in diversis planetis ut cubi semiaxium transversorum: idipsum obtinet quoad diversos satellites circa respondentem planetam primarium.

78. Hinc

1º. planetae urgentur vi acceleratrice tendente in solem; itidem satellites urgentur vi acceleratrice ad respectivos planetas primarios tendente: plauetae, nimirum gravitant in solem, satellites vero in planetas, quibus adhaerent.

2º. Unusquisque planetarum (56) urgetur in solem vi gravitatis, quae sequitur rationem reciprocam duplicatam distantiarum ab ipso sole: idem dicendum de unoquoque satellite in ordine ad suum planetam primarium .

3º. Collatis inter se viribus acceleratricibus, quibus diversi planetae urgentur in solem, eae erunt (56) in sola ratione reciproca duplicata distantiarum a sole ipso; praecisa igitur projectionis vi, si diversi planetae in aequalibus a sole distantiis constituerentur, aequali tempore in eum descenderent. Idem obtinet in satellitibus quoad respectivos planetas primarios.

79. Planetae secundarii una cum primariis, quibus adhaerent, in solem urgentur eadem gravitatis lege. Nam corpus omne, quod circa corpas alterum utcumque motum describit areas temporibus proportionales, urgelur duplici vi, altera tendente ad corpus illud utcumque motum, altera utriusque communi (5:46): cum igitur planetae primarii gravitent in solem, cumque planetae secundarii circa suos primarios describant areas temporibus proportionales; propterea etc.

80. Gravitant in se mutuo corpora omnia, ex quibus coalescit planeticum systema. Planetae siquidem omnes cum primarii tum secundarii vi gravitatis urgentur in solem; ergo sol in planetas omnes vi ejusdem gravitatis (7) urgetur: atque hoc argumento ostendes terram gravitare in lunam (id confirmant phoenomena marini aestus) caeterosque planetas primarios in suos satellites. Quod autem planeta quilibet in alium quemvis gravitet, satis e sola comprobaretur analogia, etiamsi nulli essent effectus, ex quibus haec gravitatio immediate detegi posset. Sed ejusmodi effectus non desunt: perturbationes videlicet, quae in recensitis motibus (77) observantur, quaeque per mutuam coelestium corporum gravitatem optime determinantur (62*60). Sic cum lunae motum ad regularis calculi normam ex observationibus exigere se posse Astronomi desperarent, tandem postquam ejusdem perturbationes ex mutua corporum coelestium gravitatione investigare coeperunt, tabulas lunariam motuum potuerunt conficere, quarum tantus est cum coelo consensus, quantum sperare ex observationibus nemo potest.

81. Praecisis perturbationum causis , urgebitar luna in tellurem vi acceleratrice (56):


denotat tempus periodicum = dieb. 27 , 322 = minut. secund. 602. 24. 27 , 322; semiaxem transversum orbitae lunaris, radium vectorem ipsius orbitae. Iamvero mediocris radius terrestris = 16931100[2] ped., mediocris parallaxis lunaris 57' + 11", unde facto igitur , gravitatis vis qua luna urgetur in terram evadet in ipsius terrae superficie

qui valor cum sit proxime 30,2 ped., inferimus gravitatem qua luna urgetur in terram nihil esse aliud nisi gravitatem ipsam terrestrem imminutam in ratione reciproca duplicata lunaris distantiae a terrae centro.

82. Vis gravitatis, qua lapis v . gr. urgetur in terram, est (80) ejusdem speciei cum illa gravitatis vi, qua corpora mundani systematis in se mutuo tendunt; ergo idem in utraque erit agendi modus. Atqui vis qua totus lapis urgetur in terram resultat ex viribus, quibus singulae lapidis particulae in eamdem nituntur; igitur et vires, quibus corpora mundani systematis gravitant in se mutuo, resultant ex viribus, per quas singulae ipsorum, particulae se mutuo petunt. His positis, stabilietur illud: gravitas ita materiam afficit, ut singulae ejus particulae in alias omnes et singulas gravitent in ratione directa massarum, ad quas tenditur, et reciproca duplicata distantiarum alterius ab altera. Recole quae diximus (76.2º.3º); etenim coelestia corpora et habent dimensiones admodum exiguas prae mutuis distantiis, et induunt formam prope sphaericam.

83. Bonum erit nonulla hic annotare.

1º. designantibus et solarem et planeticam massam, ex dictis (56.k, 62.c) eruitur

ratio igitur inter cubum semiaxis transversi et quadratum temporis periodici, utpote pendens a massa planetica, nequit esse accurate constans quoad diversas planetarum massas. Atqui tamen ex astronomicis observationibus infertur rationem illam, sin minus accurate, certe esse quamproxime constantem: concludendum itaque planetarum massas admodum exiguas esse, ubi comparentur cum massa solis.2.º Eodem modo ostenditur, si lunam excipis, satellitum massas fore et ipsas valde parvas prae massis planetarum, quibus adhaerent.

3.° Quae quantitates sunt designatae per quoad planetam , eae designentur per quoad satellitem; erit

Hinc (1°)
praetermissa ( 19. 20. ) in numeratore primi membri, itemque m in denominatore , et facta M = 1 , prodibit.T2TOa'siquae formula suppeditat rationem inter solarem massamhabitam pro unitate , et massas planetarum ( tellurem excipe) , qui satellitibus stipantür.


4.° Quod spectat ad tellurem consideratam instar sphaerae habentis radium R , et massam m , sit & gravi .tas prope ejus superficiem , erit (73) 8 =R. , ideoque (10. )M +m4 712 a3& R2Tet praetermissa ( 19. ) m in numeratore primi membri , factaque solari massa M = 1 , emerget1632! Eodem modo ostenditur ,si lunam excipis,satellitum massas fore et ipsas valde parvas prae massis planetarum, quibus adhaerent .-l ⋅

41:2003 -∙∙ ↶↿ m-4—m' £S.-"IW.,Hï'n'c (10)⇀...m -- in'. T., a'-3-- - M,-—-.nsl ≔−⋅⋅∙−∙− ∙ ∙∙∙ : T'a ::"praetermissa (.10 20. ) tu' in numeratore primi membri ,itemque ut in denominatore ,et facta M— −∙− ↿, prodibit.⋅ 1 ↴− ⋅↧⇁≖ -a ∙−⋯∙↽↽⊽ ...;3, .'∙⊾⊺⋅⋅quae? .fottmule- suppeditat rationem -intcr. solarem^ massamhabitam pro unitate ,et massas planetarum (tellurem ex-cipe) , qui satellitibus .stipantur.'i-o Quæ-Spectat ad tellurem' consideratam in-star sphaerae habentis radium R , et massam 111, sit 3gravi-tas prope eius superficiem ,erit (73) gr ≖⋅⇁⋅∙−⋮↾−⋮↾− , ideoque (10.)IUI—tm,— 4 11:303.,gRQTi'et praetermissa (10.) »: in numeratore primi membri, f.-ctaque solari massa M ∙−⇁−−−∙ ↿, emerget ⋅164& R2T24 Ti ? a3PE

5° Media telluris densitas ( = M) determinari potest ex penduli aberratione. Sit CB (Fig. 45) pendulum; a longitudo rectae CB, quae nec distendi possit nec inflecti; S centrum massae sphaericae ( = m' ) ad se trahentis punctum ponderosum B , r radius , M densitas; b recta CS; CD posilio penduli digressi a recta verticali CB;& angulus BCD; h angulus BCS; k recta SD: centro insuper C et radio CB intelligatur describi circularis arcusBD , et per D duci tangens nn' . In D sollicitatur materialem'punctum viribus acceleratricibus g et altera juxta ver katicalem DD' , altera juxta rectam DS ; anguliSU1D'Dn = CnD = 90 ° — E , SDn ' = # (CDS - 90° ) ,toet consequenterb sin (h — 5)cosD'Dn sins , cosSDn ' = sinCDS =kVires igitur motrices respondentes praefatis viribus acceleratricibus sese librant in D quotiescumque fueritquebasbitha m'23 gsine b sin ( h - €) .sedPone longitudinem penduli ita exiguam prae distantia CS ,ut absque sensibili errore sumi possit k = b ; traducetur aequilibrii conditio adgb2 sin é = m ' sin (h - ) ;met substitutis ( 4º . ) valoribus 8 T RH, mR? 3490paris 75 1'3 je , prodibit164g R*T3m— 4 723 (1350 Media telluris densitas (:: p.) determinari po-test ex penduli aberratione . Sit CB (Fig. 45) pendulum longitudo rectae CB, quae nec disteudi possit nec inflecti; S centrum massae sphaericae (: m') ad se trahentispunctum ponderosum B ,r' radius, pf densitas ; 6 rectaCS; CD positio penduli digressi a recta verticali CB;a angulus BCD :]: angulus BCS: k recta SD: centro in-super C et radio CB intelligatur describi circularis arcusBD , et per D duci tangens nn' . In D sollicitatur materialepunctum viribus acceleratricibus 3 et ?; , altera juxta ver-ticalem DD', altera juxta rectam DS : anguliix)-D'.. ∙∁∥↧⊃ :. 90o −−∙ e, sna':∶↿≐ (CDS — 900).et ⋅ consequenterbsinUt—s) ——k .Vires igitur motrices respondentes praefatis viribus ac-celeratricibus sese librant in D quotiescumque fuerit! r ' ,!'cosD'Dn :: sins, cosSDn' ∶∙ sinCDS −−−−⋅−gsins:£;- b sin( h — £) .liane. longitudinem penduli ita exiguam prae distantia CS ,ut absque sensibili errore sumi possit 1::6; traduce-tur aequilibt'ii conditio adgbï sin ; −−∶ m' sin-(h — a) ;et substitutis (40.) valoribus g: €; ∶∶ £- 11 R p., m' −∙−∙−−4,, ,'∙⋅ ; " . .⋅∙⋅⋮↿∏⋅ p. , prod1h1t!'I151sitlla1651b- Rue sin{= 13M' sio(h-E)

undeip3y sinh rº( sinh– coshtang :)1langE=Ruba tospicosh ji Rba lang

Permanentibusr' et', valoresb=r' eth= 90° manifeste suppeditant maximam penduli aberrationem&, ut quoadistiusmodi aberrationem sintSere tang R pe3/3RtangsDensitas fl, prout colligitur ex aberratione penduli, censetur quater vel quinquies major quam densitas aquae. 6. ** Eadem u determinatur etiam experimentis institutis in libra torsionis. Sit( Fig. 9.) HH(=2a') positio vectis horizontaliter librati

E punctum medium, in quo vectis appenditur filo metallico verticali HA circulus horizontalis centroE et radio EH=a')

SS

( 26)recta similiter horizontalis, transiens perE, ibique sectabifariam

sint

S etS centra sphaerarum inter se aequaliam et quoad volumen, et quoad massam(=m), ad setrahentium massulas sphaericasm' etm" inter se pariteraequales, quarum centra inH etH'. Movebitur vectiscirca punctumE immotum, motusque iste repetendus abattrahente sphaerarum vi juxta circuli tangentem, cui vijugiter adversatur vis lorsionis ex filo metallico verticali

et quoniam corpusculam' etm" eodem prorsus donanturmotu circaE, satis erit alterum dumtaxatv. gr.m' considerare. Dicatur itaqueh datus angulus HES

& angulus,quem in fine temporisi continet vectis cum initiali positione EH

k distantia interS etm' in five ipsiust

sol

licitabiturm' juxla circuli tangentem vi attractiva!)- a16563 Bpain :::/3 (fimul—15);undetan E' ∙∙∙⋅ r'3 pf sin 11 p. 'r'3 (sinit −⋅ coshtang &)∙g −⇀ nubi-l- r'3 picas/1.pf ⇀−− lib2 teng& .Permanentibus r' et p!, valoresb

r' et 11
900 manife-

ste suppeditant maximam penduli aberrationem

, ut quoadistiusmodi aberratiouem sinttangi—£".! P',—.r −⇁∙p p. Btang& ,Densitas p., proutcolligitur ex aberratione penduli., cen-setur quater vel quinquies maior quam densitas aquae.

6?- Eadem p. determinatur etiam experimentis in-stitutis in libra torsionis. Sit (Fig.'9*.) HH' (:Za') posi-tio vectis horizontaliter librati;E punctum medium,inquo vectis appenditur (ilo, metallico verticali; HA circu-lus horizontalis centroE et radio EH (:a'); SS' (:26)recta similiter horizontalis,transiens perE,ibique sectabifariam

sint

S et S' centra sphaerarum inter se aequa-lium et quoad volumen,et quoad massam (:m), ad setrahentium massulas sphaericas m' et 111" inter se pariteraequales, quarum centra inH et H' ., Movebitur vectiscirca punctumE immotum, motusque iste repetendus abattraheute sphaerarum vi juxta circuli tangentem, cui vijugiter adversatur vis torsionis ex filo metallico verticali

et quoniam corpuscula tu' et m" eodem prorsus douanturmotu circaE ,,satis erit alterum dumtaxat v. gr. m' con-siderare. Dicatur itaque ]: datus angulus HES

& angulus,quem in fine temporis

continet vectis cum initiali po-

sitione EH;k distantia inter5 et m' in line ipsiust

sol-

licitabitur m' iutta circuli tangentem vi attractiva-166bhak sin (h — e), eritque kº = a's - 2a'b cos (h --- e) + 6+;experimenta insuper praebent vim torsionis proportionalemangulo e , et consequenter expressam per ce : quoniam igitur labente e describit m' arcum ás , iccirco ( 50.3º. )áre mbsin (h -€)dta k331aequatio ad motum corpusculi m' . Ob angulum & valde exigaum , sin (h-5~s)) = sin h - e cos h , k - = [ a's -2a'b ( cosh+sinh) + ] := k +. 2a'besio h ]R33a'b esinh+ubi denotat k , valorem k respondentem initio k.molus , quum nempe E = 0 ; proindesin (h-E ) sinh23E COS h 3abe sin’h+k.k.sinhk.k .£ k cosh 3a'be sinh sinh+kb.K.her )[ (a's tabo) cos hk . k5.sinh 2a'b cosah — 3a' b sin : h][laat69)cosh- 2db -a'b sinä h] :et factis compendii causamo[ la'a + b ) cosh — 2a'b – a'b sinºh] +c = g' ,166m 1).'.F.∙∣⋮∙ nuUi—s) ,entque ka: a'a— 2a'b cos (71—5)-1—63;experimenta insuper praebent vim torsionis proportionalemangulo :,et consequenter expressam per et: quoniam igi-tur labente :describit m' arcum a's, iccirco (50.?)0.),d'38 mb ∙aa;-a.- Fama—Q—ctaequatio ad motum corpusculi m'.Ob angulum :valde exi-guum ,sin (It—s) :sin h—s cos 11, k'3: [a" −∙∙ Za'b (cos):3 . 3-i-ssinh) ⊣−∂∙∎∙∣− 'a': [le, −∙∙ Za'besin H's—:i?⊣⋅− a.:-s;": h, ubi denotat k, valorem k respondentem initiomotus, quum nempe s.: o ; proindesin (I;—s) sin 11 :cbs Il 30'68 sin'h sin ls∙−−−⋅∙≖∙−−∙− ∙∙∙⋅ ks' """" k3, −∎⋮∣⋮∍∙ fl", P, P,sit' eos]: l Bez-'besin'h sinh : .

5,wcos-1. −−⋅ adb sin-t.] :822" −⋅⊼⋮−⊏≺∘⋅⋅−⊦∂⋅↗ coslt∙∙∙⋅ ⊋∘∣∂∙∙− a'b sin' &] :.et factis compendii causaiii- [(.-a ⊣⇁ 61) cos h—w—a'6 .i..- h]∙⊦≖⋅∸ −−∶z'-167mô sinhwg'23.aequatio ad motum corpusculi m ' vertetur indo ea' ó (0) -- s ) ;de²ex cujus integratione ( 27. 28º. )(9)*va' @'ri{ = w + Ce + CeSunt autem ( 27.300. ).vacos (9 )* + v = on e(2), - ) vicose ( ) -va sine ( 2)proptereaszaf1CTC") cos( ) +(c —c )V= sine ( :sumptisque C +C' =C.cos C,, C — C = CV -ī sincs,= - + 6, co [4 ( 4 ) + c ]Minima vectis declinatio , í = u - C , ab aequilibrii positio167mb sinh−−∣−∣⋮−≣∶−−≂−↩∾⊰aequatio admotum c0rpusculi m' vertetur-in,d'l(: -d—t;:::g (6)—S):ex cuius integratione (27 . 280.)⋅⋅ .

..'.t ⋅↴∶≖−↽−−−⇀↠∾−⊦∁∊ :(?) [l:—[— 08 "(ä-') V..Sunt autem (27 .300.).;.propterea "∙⋐⋅∶∶⊙−⊦≼∁−⊢∁⋅≱ ∾≘↙≺−⋚⊑⋅≻⋚⋅⋅−⊢ ((i—C' )(V:; sint (?);;sumptisque ∁−⊢ ∁∙∶∁≖∞∙ c, , ∁−∁∽−↽⇌∁≖⇂∕∙⊺∘⋮∥∁≖∙⋅⋅ ∸ g' ?≘−∙−−∙∾−⊦∁∙∞∘∣↣⋮≀ ≼⋮⇉⋟ −⊦∁≖∃∙Minima-vectis declinatio ,(:o)—G. ab aequilibrii pocitio-168ue H'H respondet valori ( ) + Cs = ( 2n – 13 ;ma= + c = 212nt : determinatisitaque per observationem i'et s" , eruetur indete"et ducta 00 ita , ut sit angulus HEO = w , perget vectismoveri instar pendali horizontalis circum EO , impendetque tempus tz = " - t ad integram conficiendam oscillationem , nimirumty=TVAg'Sit nunc a longitudo penduli simplicis ( 66) , quod intraidem tempus t absolvit oscillationes suas : cum habeamusty = TO Vanaerit 8 et denotante si densitatem sphaerae m ,

a'r radium , substitutisque valoribus ( 5.0 )4пRр .8 3mbsinhwk3471p3 M'bsinh3wk. 3proveuicaRuwk3 рp3M'bsinhaunde ar3bsinha'Rwk.3 1Densitas pe sic determinata censetur esse adtatem ut 5,48 : 1 .aquae densi168ne H'H respondet valori t'(g——,)ä -I-C,:(2n-1)1r; ma-xima ⋮∣↾∶∶∾⊹∁≖ valori :.(gwik) ⊹∁≖:2mr: determinatisitaque per observationem eet :" , eruetur inde−−≘⋮−⊢⋮⋅∣∙ −− ⇄ ∙et ducta O'O ita,ut sit angulus HEOzzæ, perget. vectismoveri instar penduli horizontalis circum EO, impendet-que tempus :::-:i "—t' ad integram conGciendam oscilla-tionem , nimiruma'" Vf- ∙

5Sit nunc a longitudo penduli simplicis (66), quod intraidem tempus :, absolvit oscillationes suas: cum habeamus(3:11 V? .. g a '∙erit?-;? ; et denotante p. denutatem sphaerae m ,

- radium

. substitutisque valoribus (59)∙∙∙⋅ ∙≤∙ nR ,— mbsinh— 4nr39'bsinh ∙ ∙o ∙−−− 3 p. ,g 01:03 30 1:03 ,provenit...Rpali-03 a p. arabsinhr3p'bsinh—c7 'unde ∙∥∙∽ a'Rmkoï'l 'Densitas p. sic determinata censetur esse ad aquae densi-tatem ut 5,48:1.169

7. ** Ex mariui aestus phoenomeno deduci polest ratio inter massam lunarem m " et terrestrem m. Sitm' ( Fig. 35 ) quodvis terrae punctum ; lunares vires distrahentes punctum mé juxta mm" et Am exprimuntur ( 62) per2m " Dcosh m"Dsinh(0) ,( 0' ) :. x'3X :' 3quod in ordine ad lunam est h , x" , in ordine ad solem sit H , X " ; prodibunt consimiles vires solares2MDcosH MDsindX " 3( a ) , ( a ').X'3In casu angulorum h et H aequalium habemus( 0) m"X "3(a)-- ( 0 )M.2'3 ( a' )caeteris vero paribus , ratio inter lunares et solares vires est eadem ac ratio inter respondentes aquarum elationes ; denotante igitur p hanc secundam rationem , eritX3Mрm 'Mm'unde m= P3x "' 3X " 3Observationes praebent p = 2 , 35333 : vide mechan, coel.vol , 5. pag . 206.Aliquid notatur de motu punctorum materialiumutcumque inter se connexorum .

84.* Vires motrices P, P , P" , ... sollicitantesistiusmodi punctorum massas m ,mi ,m' 0 resol121697." Ex marini aestus phaenomeno deduci pot-est 'ratio inter massam lunarem m" et terrestrem m. Sitm' (Fig. 35) quodvis terrae punctum .; lunares vires distrah-entes punctum m juxta mm" et Am' exprimuntur (62) per2m"Dcosh m"Dsinh (0) ∙ ∙−−∙↕∙−∙⋅∃−−⋅ (O,)xara ⋅quod in ordine ad lunam est h , a:" ,in ordine ad so-lem sit H , X"; prodibunt consimiles vires solares2MDcosH' ⋅ MDsinHW (a), ∙∎∎ Xl/3 (a').In casu angulorum I; et H aequalium habemus(o) -m"X"3l-(o') ∙(a) Mx"3 X(a') ⋅caeteris vero paribus,ratio inter lunares et solares vi-res est eadem ac ratio inter respondentes aquarum ela-tiones ; denotante igitur p hanc secundam rationem, eritX"3 d m" M a:"3∙ "";- un B −−∶ ∙ ,. x' 3' m ? m X'3 31 ≊⋅∙ p:Observationes praebent p——:2 , 35333 : avide machen. coel.vol. 5. pag. 206.Aliquid notatur de motu punctorum materialiumutcumque inter se conus-xarum.

843: Vires motrices P, P", P", ... sollicitantesistiusmodi punctorum massas m , m', m" , ...resol-12170vantur singulae in ternas coordinatis axibus OX , OY ,OZ ( Fig. 8 ) parallelas ; designentur per X , Y , Z, X',Y , Z ' , X " , . . componentes inde ortae ; sintque x, y,3 , x ', y ', z' , x " • punctorum coordinatae respondentes temporit , ut ( 50, 1.º ) perx == f (1 ), y = f(t), 2 = F (t), ' = fi (t), y = fz(t ), == F ,(t)x ' = fale) ,y" =f(e), z" = F.(6),7: " = f5e) , ... ) co)exhibeantur aequationes ad actuales molus ; ad eos nempe motus , quos reapse concipiunt massae m , m' , m " ,ob actiones virium P , P' , P ", ... Quoniam materialiapuncta , etsi mutuis nexibus liberala , viribusque ( 50. 4.0 )dºx dz mdạyde² md²xdla m . dia dla dead2z 'dca dc ?sollicitala , adhuc tamen conciperent motus ( 0 ) ; ideo ,attentis nexibus , consistent in aequilibrio viresdez X - md2xde2 Ymdạydi?2m X'der'di2 >7dt2Y - md²ýdt2daz'Z ' - m '?dt²X " -m.dºx":.dt2Conditiones ( a " 13. 8. ) includuntur in conditionibusaequilibrii quoad liberum punctorum utcumque connexoum systema : liquet enim varians systema, semel libratum , adhuc permansurum in aequilibrio , etsi ejus puncla rigidis lineis immutabiliter connectuntur. Propterea170vantur singulae in ternas coordinatis axibus OX, Oï,OZ ( Fig. 8 ) parallelas; designentur per X, ? ,- Z, X',1", Z' , X" , . . . componentes inde ortae; sintque x,],

, x', y', z', æ" , ... punctorum coordinatae responden-

tes tempori t, ut (50. 19) perx:f(t), 7:112) ,z:F(t),.r ':f,(t),y ':f (t), z':F,(t),(0)x":-f.(t).y":f.(t).("zl-".m. m"':--f3(t).∙ ∙ ∙exbibeantur aequationes ad actuales motus; ad eos nem-pe motus, quos reapse concipiunt massae m , m', m",ob actiones virium P, P', P", . . . Quoniam materialiapuncta , etsi mutuis nexibus liberata, viribusque (50. 49)da.. mdzy de.⋯∽∣↙≀≄∙↿∶ ∙↙∄≖∫⋅"B'—'— m-——- m— d,.' md:2 '. d?'md? ' dta ',dzz, ad:-I?" m d£2 '.. m dt:- '∙ ∙ ∙sollicitata, adhuc tamen conciperent motus (a); ideo ,attentis nexibus, consistent in aequilibrio vires(P:: (P] daz ,dzæ'X⇁∎−−∙ —p ⋅⋅⇁ ∙∙∙∙ ∙−−− '"sz '?"'d'T'z' Z ""da: X "'de '≀∠⋮⊺ "rad :"rnnndaæ ï'-——-—m '...dtï' ,..—z ⋯∠↙⊤ 'X— dtz'Conditiones (a"f' 13. 8.0) includuntur in conditionibusaequilibrii quoad liberum punctorum utcumque connexa-rum systema :liquet enim varians systema, semel libra-tnm, adhuc permansurum in aequilibrio, etsi eius pun-cta rigidis lineis immutabiliter connectuntur. Propterea171(xam )=o, 3(1— )= 0, $ (2- -o,=[+ (rad ) – (xrm ) ] = o,

  • [> (2 mm ) -- ( - ) ]

0seudaz ΣΖ - Σηde² EX = sme , Y =sme > ( 0 )$( wYyX) =Em ( -e)3(y2=-1)= sm (voeding - :)Eml1Zdayde2 (0')(2X == Z ) = 2m Zdaxdta -dazdea :formulae (o ') spectant ad translativum punctorum motum,prima juxta OX , secunda juxta OY , tertia juxta OZ ;formulae ( o“) ad rotatilem punctorum motum , prima circa OZ , secunda circa OX , tertia circa OY ; eaedem vero (o " ) simul , ad punctorum motum circa fixam coordinatarum originem .Haec facile nunc stabiliuntur. 1 . ** Habemus (20. 6.)seuæ ,dþ- ∙−−∠∄≖⋍ ,day d3æ ?−∙∙ − ..(æy—yX) Em («: Tt" ]—dt3 ).- ∑ dan: daz (zX—æZ): Zm( :217; — æ—) :formulae (c')/spectant ad translativum punctOrum motum,prima juxta OX , secnnda juxta Oï, tertia juxta OZ;formulae (a") ad rotatilem punctorum motum, prima' cir-ca OZ , secunda eirca OX , tertia circa Oï ; eaedem ve-ro (o") simul , ad pnnctorum motum circa fixam coor-dinatarum originem.Haec facile nunc stabiliuntur. ↿∙∘⋇ Habemus (20. b.)172darEm dea dex,dladay Σm.dt2Emdaz,dc2da ,Em dlaEm >Em: dt?Hinc >, ob (o' ) ,der ΣΧ daz,deΣΥEm ' dt2ΣΖΣm (o' ' ' ) : Am dlamolo videlicet systemate punctorum m , m' , m " ,perinde ( 50. 4. ) movebitur gravitatis centrum ac si , coeuntibus punctis in ipsum centrum , applicarentur centroeaedem vires P, P , P " , ... cum iisdem directionibus , quibus puncta illa sollicitantur .2 . '* Fac ut vires nihil sint aliud nisi punclorum actiones mutuae : denotante A actionem puncti v.gr. m in aliud quodvis v . gr. m' , et A' actionem puncti m'in m , erit ( 7 ) A=A' ; et expressa per D distantia interutrumque punctum , resolvetur A' in ternas coordinatisaxibus parallelasx' #A DTAEA ;ilem A in ternas iisdem axibus parallelas ( o'r )ŁA to ,EA D po', -A Dsumpto superiori signo si A , A' sunt vires attrahentes,inferiori si repellentes . Quare EX =0, EY=0 , &Z=0, etconsequenterdér,=0,adi ?day1di?dz,-0,=O ;di?in ea scilicet qua sumus hypothesi nullis viribus acce↙≀⊴⋅↕⋮ d'), inuia—z- 'd'æ, dta (if/y. md:2 dïz, dtadtz— Em 'dt: Em 'du ïmHinc , 06 (o') ,d'æ, EX (Ph- Zï diru— ZZdF—Zm' dt" "Zm dt2 −∑⋯ (0 ):moto videlicet systemate punctorum m , m' , m , . . ,perinde (50. .f.") movebitur gravitatis centrum ac si, eo-euntibus pnnctis in ipsum centrum, applicarentur centroeaedem vires P, P', P" , . . . cum iisdem directioni-bus ∙ quibus puncta illa sollicitantur.294: Fac ut vires nihil sint aliud nisi puncto-rum actiones mutuae :denotante A- actionem puncti v.gr.m in aliud quodvis v. gr. m', et A' actionem puncti m'in m, erit (7) A:A'; et expressa per D distantia interutrumque punctum, resolvetur A' in ternas coerdinatisaxibus parallelas3."—æ ∙−⇠ 7—7 ...-,: z—z .drA U , A D A Ditcm A in ternas iisdem axibus parallelas (o")æ—x' J—y' z—z' ∙sumpto superiori signo si A, A' sunt vires attrahentes,inferiori si repellentes. Quare XX :0, ∑∟ -o, ZZ:o, etconsequenterin ea scilicet qua sumus hypothesi nullis viribus acce-173leratricibus agetur gravitatis centrum , nulloque ob mutuaspanctorum actiones afficietur motu. Huc spectat principium de conservatione centri gravitatis.3.°# Super planis XOY, YOZ, XOZ fiant projectiones a, b, c, a' , b' , c' , a " , 6 ", c " , a ' , , . . arearumdescriptarum a radiis vectoribus punctorum m, m' , m",computatis radiis ab origine coordinatarum : erunt ( 50. 8. )xdy — ydx Σmda = Σm ydz - zdy και Σmdb = Σm 2 2zdxxdz Σmdc = Ση 2 undedaa 2Em -Σm α2dta dt22m d2bdtadazу

= Em (:dla e )

)

dec dex dez 2Σm -Σm dt2 sm(20de?et consequenter ( o " )d'a 22m dt² 8(xY4yX), 28mmdla = Eby2 — zY),( 0 )dac 2Em =E( zX-xZ) .dta4.0 # Si vires consistunt in mutuis punctorum actionibus , erunt ( 2.º o " )173leratricibns agetur gravitatis centrum, nulloque ob mutuaspunctorum actiones afficietur motn. Huc spectat princi-pium de conservatione centri gravitatis.3."; Super planis XOï, ïOZ, XOZ fiant proie-ctiones a, b, c, a', b'. c', a", b", c' ', a'", ∙ ∙ ∙ arearumdescriptarum a radiis vectoribus punctorum m, m', m" , .. .computatis radiis ab origine coordinatarum : erunt (50. 8.")∑⋅↾⋅⊿↙↓⋅−−≔−∑⋯⊔−−−−∫−≌∙∑⋯↲≀⊨∑⋯⇅−−−≖−≗↶∙ d d d—d2 ∙ 2Emma.—zn. fix—?? ,unde22m ⋛∙∶−≧∶−−⋅∑⋯≺⊰≵ :::-£v:— 7id?-:?) ∙ ⋮⋯∶⊜≀≀∶≖∂−↽−−≖⋅⋯⋅↗≺ :: −− ::z ⇋d'c— d:.r ædazet consequenter (o")ZZm −⋛⊴⋮↥⋮−⇌∑≺∞⊺−∜∑⋟ ,ZZmäï—b- :Zþ'Z—zï),d (a')220: ⋅⊋≖−∶∶ :2(zX—-æZ).494: Si vires consistunt in mutuis punctorum actio-nibus, erunt (2.o o")1748 (xY - 7X ) = 0 , (yz - zY) = 0 ; $ (zX -- XZ) = 0;ideoquedra dc Emdl2d2b Σm dc2 Emadt²}et computatis areis ab initio temporis t ,Ema = Ct , Emb = Ct, Emc = C " ! (0 ) :huc special principium de conservatione arearum. Formulae ( o " ) adhuc obstinent , etsi in systemate invenitur punctum fixum , modo tamen in pancto illo collocetur origocoordinatarum : siquidem vigent in casua equationes ( o" ' ' ) ,unde profluunt ( o " ).5.0 * Si arcus s refertur ad tres axes orthogonales , ejus incrementum infinitesimum ds poterit spectaritanquam diagonalis parallelepipedi rectanguli sub laterculis dx , dy , dz : hinc.dsa = dx2 + dyz-tdz?, et consequenter ( 50, 2.0 )v2= dx2+ dyatdzdlaErit itaqueEmvdv = Emderde²d'Iaytar- .ac proinde (0 )Emvdv = E (Xdx + ydy + Zdz) ( o" " ' ) .Fac ut E (Xdx + Ydy + Zdz) exsistat differentiale exactum ,!174 .£(xï—77X):o , ZUZ—zï): :X(zX—xZ):o;ideoqued'a 'dzb (130dt2?et computatis areis ab initio temporis :,2ma:Ct , 2mb:C't, ch:C"t (o"):huc spectat principium de conservatione arearum. Formu-lae (ov') adbuc obstinent, etsi in systemate invenitur pun-ctum fixum, modo tamen in puncto illo collocetur origocoordinatarum: siquidem vigent in casua equationes (o"'),unde profluunt (o").594: Si arcus :refertur ad tres axes orthogona-les, eius incrementum infiuitesimam ds poterit spectaritanquam diagonalis parallelepipedi rectanguli sub later-culis dx, dy , ds :hinc.ds':dæï-l-df3-l-dz3 ,et consequenter (50, 2?)daga—.dyzudzzdt2⋅02.—Erit itaqueda a :Zmpdu:2m(d£fdx : (iyd): ↿ dzdz) .ac proinde (o') ∙vadv :!(de ⊣− ⊺⊄↴⋅⊺∫ ⊣−∅∠∄≂≻⋅⋅(o"').Fac. ut XXdæ—fïdJ—l—Zdz) exsistat differentiale exactum.175prodeat nimirum ex differentiatione cujusdam functionisF (x , y , z, x ', y , z, x " , ... ) ; habebisEm (u2 — V.2) = 2F (x ,y ,z,x',...) —2 F (xo,9o , zo , x '. , ... ) ;quantitates v. , xo, Yo, Zo, x'o, ... respondent initio motus. Consequitur, quod, redeuntibus iisdem coordinatis, eadem quoque redibit summa virium vivarum : huc spectatprincipium de virium vivarum conservatione.

6. °* Denotent coordinatas punctorum in ordine ad novos axes, qui et paralleli sint axibus et originem habeant in communi gravitatis centro; eruntx = xrth , y = yiti , z = zetk , x' =xith' ,y = yiti, z= z+k ', w " = xrth " , ... ;quibus valoribus substitatis in ( o " ) , attentisque aequationibus ( 20)dah deh , dai dai Σm Σm=0, Σ . Σm=0dcz dta des dt2 =dek Σm-dtdakı Em=0dc21nec non aequationibus ( o "" ), prodibuntdai dah2 ( XiY) = Em ( h TI dea dt2E ( iz - kY) = Em(ala dih),(- ) com(akone )( o " )dahElkX_hZ) = Em ( k dt2175prodeat nimirum ex differentiatione cujusdam functionisF(x,y, :, x', y', z', æ", ...) ; habebisM(æ—voz):2F(æ,7,z,æ',..-) -2 P(æo,yo , zo , x', , ...);quantitates v,, æ., y,,zo, æ'o,... respondent initio mo-tns. Consequitur, quod, redeuntibus iisdem coordinatis, ea-dem quoque redibit summa virium vivarum: liuc spectatprincipium de virium vivarum conservatione.-604: Denotent h, i, k, h', i', A', I:" .. . coordi-natas punctorum m, m', m" , . ..in ordine ad novosaxes , qui et paralleli sint axibus OX, Oï, OZ,et ori-ginem habeant in communi gravitatis centro; eruntr—æl-i-h ,.szl-ï-i !≖∶∅∎⊹∣⊂ 'x':xx-Fll' ,f:.yg-I-i', z':z,-l—k', x":æ,-l-h", ...;quibus valoribus substitutis in (a"), attentisque aequatio-nibus (20)d'h dïb, dii dïi,EMzzï—an—O, zmcïS—dtï Zm--o ∙d']: dïk,ZmäF—äz; Zm—o ∙nec non aequationibus (o"'), prodibuntE(hX—-iï):2m(hää—ci £b) ∙ dr2⋅ ∙ dq: ti*i z(iz—mzn. (.&? −:. $) ∙(o....)d.,, dal. ∑≺⋌⊔∅≻⇌∑⋯≺∣≂−∂−↙⋮−−∣⋅⋮⋮↙⇆⋟∙ .176Formulae (o " ) se habent ad commune gravitatis centrum prorsus ut formulae ( o " ) ad fixam coordinatarum x ,J, 2, x' , ... originem 0 , respiciuntque relativum systematis motum quoad ipsum gravitatis centrum:

7. • * Relativus rigidi liberique systematis motusquoad gravitatis centrum determinatur per ( o " " " ) ; motusvero ipsius centri per ( o' ' ' ) Ad haec : si resultans ex omnibus viribus systemati rigido applicitis transit per gravitatis centrum , nullus inde orietur relativus systematis motas quoad ipsum centrum : etenim quoad istiusmodi motum similiter procedet res ac si resultans illa exercereturcontra punclum fixum ( 6." ). Eadem de causa , accedentibusnovis viribus , relativus systematis motus quoad gravitatiscentrum nullo pacto turbabitur , ubi eae resultantem suppeditent transeuntem per centrum illud.85.& Pauca subjungentes de motu rigidi systematis circa axem fixum praemittimus illud: praeter orthogonales axes ( Fig. 9 ) sint alii tres axes similiter orthogonales On, Op, Oq, quibuscum ii angulos efficiant designatos per ( xn) , (xp ) , ( aq) , (yn) , ( yp ) , (99) , (zn) ,(zp ), ( z9 ) . Si panctum E, quod referebatur ad axes OX,OY, OZ , referendum sit ad axes On, Op , Og , quaeritur relatio inter veteres coordinatas x , ynip , q. Ponatur OE = a, et per (ax ), (ay ) , (az), ( an ) ,(ap) , ( aq) exhibeantur anguli , quos OE facit com axibusOX , OY , OZ , On , Op , Oq: erunt ( 50. 6º . )maz et novascos (ax) =cos (an) cos ( xn) +cos ( ap) cos (xp) +cos (aq) cos (xq) , cos (ay ) =cos ( an ) cos (yn ) +cos (ap) cos (yp) + cos (aq) cos (79) , cos (az)eos ( an) cos ( zn) * cos(ap) cos (zp) + cos ( aq ) cos ( 29) .176Formulae (o"") se habent ad commune gravitatis cen-trum prorsus ut formulae (a") ad fixam coordinatarum æ,y, 2, æ',.. . originem O, respiciantque relativum syste-matis motum quoad ipsum gravitatis centrum:73»: Relativus rigidi liberique systematis motusquoad gravitatis centrum determinatur per (o""); motusvero ipsius centri per (o"') Ad haec: si resultans ex omni-bns viribus systemati rigido applicitis transit per gravi-tatis centrum. nullus inde orietur relativus systematis mo-tus quoad ipsum centrum : etenim quoad istiusmodi mo-tum similiter procedet res ac si resultans illa exercereturcontra punctum fixnm (S."). Eadem de causa , accedentibusnovis viribus, relativus systematis motns quoad gravitatiscentrum nullo pacto turbabitur , ubi eae resultantem suppeditent transeuntem per centrum illud. '853 Pauca subiungentes de motu rigidi systematis cir-ca axem fixum praemittimus illud: praeter orthogonales a-xes OX, Of, OZ (Fig. 9) sint alii tres axes similiter or-thogonales On, Op, Oq, quibuscum ii angnlos efficiant de-signatos Per (æ")s (æpl- (xq) :(f") , 07)» (f?) :(znls(zp), (zq). Si punctum E, quod referebatur ad axes OX,OV, OZ, referendum sit ad axes On, Op, Oq , quaeri-tur relatio inter veteres coordinatas æ , y , :. et novasn , p , q. Ponatur OE :a, et per (aæ),(ay) ,(az), (an),(ap), (aq) exhibeantur anguli, quos OE facit cum axibusOX , Oï, OZ , On. , Op , Oq: erunt ( 50. 60.)cos (aæ):cos (an) cos (xn) —-[-cos (ap) cos (æp) −⊢ ⋅cos (aq)cos (xq) , cos (ay) :cos (an) cos (yn) −∙⊢cos (ap) cos (yp) ∙−⊢ eos (aq) cos (rq) ∙005 (az) −−∶eos (an) cos (zn) —,l-cos(ap)cos(zp)-—- eos (aq) cos (zq).3751177Sed cos (ax ) =a , cos(ay) = cos(az ) = acos (an) =, cos ( ap ) = .. cos (aq ) == 9aadhibitis igitur substitutionibus , provenientx = ncos( an) + pcos (xp) + qcos(xq) ,y = ncos(yn) + pcos (yp ) + acos(yq) ,x = ncos( zn ) + pcos(zp) + qcos(zq) ;formulae praebentes quaesitam relationem .Nunc 1 . ** Sit OX rotationis axis, datumque systematis punctum reperiatur constanter in plano YOZ: si per OXet per punctum illud ducitur planum occurrens plano YOZ,satis erit determinare situm intersectionis istorum planorum ut innotescat systematis positio. Concipiamus itaquenovos axes orthogonales On , Op , Oq sic constitutos , utfirmiter adhaereant systemati , primusque incidat in OX ,tertius in intersectionem illam ; erunty= pcos(zq ) + qsiu(z9) , z =qcos (29) — psin(zg) :adhibita substitutione in secundo membro secundae ( o " .84)animadvertendo quod variato e non ideo variant novae coordinatae , factoque2 m ( p2 +9 ) = B ,provenietd ' (29 )di2 - $ (72—28 )(o'r) :∙∙∙⋅ 177& Sed ∾⋇≺⊄∣∙↿∶≻∶−−⊶⋚ ,cos (ay): a , c08(az):ä— .']...(an):⋮⋮−∙ costam: g.... (aq) ⇌⋅−− −↙⋅↓−.adhibitis igitur substitutionibus , provenientx:ncos(æn) -l-pcoa (æp) ⊣− 9005(-qu :)»:ncosU'n) pcos (ïp) −∣⋅− ⊄∾≘∩⊄⋟ '

"cos(zn) −⊢ pcos(zp) -I-— qcos(zq) :

famulae praebentes (quaesitam relationem.Nune ↿∙∘∙ Sit OX rotationis axis, datumque systema-tis punctum reperiatur constanter in plano ïOZ: si per OXet per punctum illud ducitur planum occurrens plano ïOZ,satis erit determinare situm intersectionis istorum plano-rum ut innotescat systematis positio. Concipiamus itaquenovos axes orthogonales'.0n, Op , Oq sic constitutos, utfirmiter adhaereant systemati, primusque incidat in OX ,tertius in intersectionem illam; erunt7: pcos(zq ) ⊣−⊄⊗∃∥≺∅⊄⋟ :3 −−∶ quos(zq) --psiu(zq) :adhibita substitutione in secundo membro secundae (o".84)animadvertendo quod variato :non ideo variant novae co-ordinatae, factoque. Zm(p'-l-q3)-——-B.proveniet(P(zq)- dt2z.. 1-B— ZUZ—zï) (o"):178d (29 )velocitas ( 50. 2º BE . ) respondet radio 1 , diciturque dlavelocitas angularis: binomia patq , p'? + 92.. nihil sunt aliudnisi quadrata perpendiculorum ex m , m' , ... in axem On demissorum ; summa productorum ex massis m , m' ... inquadrata respondentium perpendiculorum , seu m (pa+92) +m ' ( p2t 92) + . . . vocatur momentum inertiae systematis m , m' , .... quod axem On .2. °# Ponamus vires acceleratrices consistere in sola gravitate g, axesque Ox , OY jacere in horizontali plano: erunt Y = 0, Z8 , et consequenter7de( 29 )1 1dla B& Emy =1g Em [ p cos ( zq) +qsiu ( zq ) ] E& [cos(zq) . Emp + sin ( zq) . Emq).Fac ut illud systematis punctum , quod posuimus ( 10.)reperiri constanter in axe Oq, sit gravitatis centrum; exsistent ( 20)Σmp = p,Σm = 0 , Σmg = qΣm :proinded? ( )- 1/3sin ( zqı ) . Em ;dt?B891quae prius multiplicata per 2d( 29, ) , ac dein integratapraebebit[da ] = - 69.cos/ 291). Em + cx178. ∘'d(zq) velocitas ( 50. 2 . ...) 7:2- respondet radio1,d1c1turquevelocitas angularis: binomia phi-qi, p'H—q'æ. nihil sunt aliudnisi quadrata perpendiculorum ex m, tu',... in axem On de-missorum ; snmma productorum ex massis m , m'...inquadrata respondentium perpendiculorum, seu m (pi-I—q'H-m' (p'ï-l- q'3)-i- ....vocatur momentum inertiae systema-.tis m, m',.... quod axem On.2.0a Ponamus vires acceleratrices consistere in so-la gravitate g, axesque OX , Oï jacere in horizontali pla-no: erunt T:o, Z:-— g ,et consequenterd3(z ) 1 ↿ ∙de? ∶−∙−−↕≣− g Em]: —B—g2m[pcos(zq)—l-qstn(zq)]1 - .−−−−− -B- g[cos(zq). Zmp −↘∟ stn (zq). qu].Fac ut illud systematis punctum ,quod posuimus (10.)reperiri constanter in axe Oq, sit gravitatis centrum; ex-BlStent (20) ∣Zmp :plzm:o , qu :q12m :proinde*dï ↿ ∙)— B gq, sm (sq,). Em;

quae prius multiplicata per 2d( sq, ), ac dein integratapraebebit. dZ [ 22 .[ld-g-l ∸∶−∙∙∙⋅ ∙∙∙ ïgqx 008(zq1). Zm ⊹∁ ∙iis179Exsistentibus in initio motus d (291)= uo et ( 291) = a , erit du2C = uo% + B 69 , cosa. Em :propteread (290) 72=u' . +dt 2/3891 [ cosa - cos ( 291) ] Em (o' ) .Huc spectat theoria penduli compositi.3.•* Intelligantur m , m' , m " , .... coire in unicum punctum annexum axi horizontali Ox ope rectae r;exsurget pendulum simplex : in casup = p = p = ... = 0 , q = 9 = 9 " = ... = 9 = r ,B = 2m(p + g ”) = 2n ;et consequenter quoad pendulum simplexd ( 292) 72[Company *== +s [ cos a - cos ( 291) ] (o " ).24.0# Facto 82B89. EmEm , provenietB9 , £ m col) ;longitudo videlicet penduli simplicis , quod suas perficitoscillationes eodem tempore ac pendulum compositum . Recole quae diximus (67 ) .5.° * Pone nullas esse vires acceleratrices ierit ( 1. ° 0 ' )179d(zq !)dcExsistentibus in initio motus :u. et (zq.):a, erit.2 C:u.,2 −⊦⋅ ïgq, cosa. Em:prapteread(dZQtli:u⋅−⊢ ∙−⋛−∊⊄∙ [cosa — cos (zq.)]2m (a').Huc spectat theoria penduli compositi.39»: Intelligantur m , m', m", ... . . coire in u-nicum punctum annexum axi horizontali OX Ope rectae r;exsurget pendulum simplex: in casup::p'::p": ∙ ∙ ∙ −−∙−−∶∘ , qzq'2q": ∙ ∙ ∙∶⊄∎∶↿∙ ,"B::ZmQF-l-qa) claim ;et consequenter quoad pendulum simplex↙≀≺≦≦∣≖⋝⊺−−⋅↙∘≖ ; f ,.(.......(..., ].2 24.0a Facto ∙∓− g :ïgq, Em, provenietB .r'."—∙−∙∙ q,2mOm) ;longitudo videlicet penduli simplicis, quod suas perficitoscillationes eodem tempore ac pendulum compositum. Re-cole quae diximus (67).5..,Pone nullas esse vires acceleratrices: ,erit (1. ∘ o)180dº(aq )diad( 24)unde velocitas angolaris u =dc = const. = u , .11 Motus igitur exsistet uniformis , eritque velocitas angularis ad velocitatem puncti v . gr. m ut 1 ad radium circuli descripti ab ipso m , seu1u : v =1 : V patqz , ac proinde v = u ? (patoga )quoad illud itaque punctum obtinebit vis contrifuga expressa ( 51 ) per= u’m V pat92 .V pr + q21vam 2Resolvatur haec vis in ternas coordinatis axibus On, Op,Og parallelas ; prodibunt 1+9р0 , u²mV p2tga .V p²ta?wimb p'tgo.Foto >seu00 , ump , u'mg :1quoad totum ergo systema habebuntur 20 , użEmp , u’Emq ;ideoque orietur pressio in axem OX. Prima membra formularum ( a : 13. 8.° ) in casu fiunt0 , użEmp, użEmq , użEmnp , użEmng , u’Em (pa - pa ) :!hinc ubi fuerint 11Emp= 0 , Emg = 0 , Emnp = 0, Emng = 0 ( o'r) ,180(l*(z'q)d?d(zq)dc

o

, unde velocitas angularis ::: :const.-zuo,Motus igitur exsistet uniformis , eritque velocitas angu-laris ad velocitatem puncti v. gr. m ut 1 ad radium cir-culi descripti ab ipso m, seu∣ ...—....a: p −−−−−↿ :Vpl-I—qa , ac proinde V::u' (pH-q2 )quoad illud itaque punctum obtinebit vis centrifuga expres-sa (51) pervaml/P'"l'qa −−∶""" Vlf-*?"-Resolvatur haec vis in ternas" coordinatis axibus On. Op,Oq parallelas; prodibuntseu0, uïrnp,'u'mq :quoad totum ergo systema habebunturo , u'Zmp , u'qu;ideoque orietur pressio in axem OX. Prima membra formu-larum (a'm : 13. 8.") in casu fiunto , ti*Zmp, uazmq , u'Zmnp , u'Zmnq , u'Zmþq—pq) :hinc ubi fuerintZmp:o , M.,—:a, Zmnpzo, zmnqzo (atur)'1811vires centrifugae se muluo librabunt independenter ab axeOx, nullamque iste axis patietur pressionem. Prima et secunda(oh) important( 20. 6.) transitum axeos On seuOX per gravitatis centrum tertia vero et quarta important peculiarem quandam axiuin On, Op, Oq positionemrelate ad punctorumm,m',m" systema. Porro si On,Op, Oq ita sunt positi, ut suppeditent Emnp=0, Emng=0,Empq=o, appellari solent principales systematis axes inordine ad originemitidem quae momenta ad eos referuntur, et ipsa dicuntur principalia inertiae momenta. Expletis tertia et quarta(o"""), non autem prima et secunda, ex omnibus viribus centrifugis resultabit( 13. 9.0 10.9)vis premens rolationis axem in O. 6. '* Superiores formulae manifeste applicanturcontinuo materialium punctorum systemati mutando& inſ etm in dm, integrationemque protendendo ad totamsystematis massam.7.9 Saepe videmus corpora impulsu aliquo localiter mota affici simul rotationis motu

etiam praecisis

,quae diximus( 84), sic ostendi potest motum istum oriri exeo quod impulsus non habeat directionem transeuntem percentra gravitatis corporum. SicG gravitatis centrum corporis MM'( Fig. 46), et AZ vis corpori cominunicata..Ducatur perG ad AZL perpendiculum GL dividalur

bifariam AZ inC, et resolvatur CA in AD perG transeantem, et in AB normalem rectae AZ producatur AG

donec GF aequet GA intelligatur AD applicita ad punclum F , sitque FK = AD resolvatur FK in FH parallelam et FI perpendicularem rectae LGN

quibus posi

tis, substituti poteront vi AZ quatuor vires CZ, AB, FI,FH. Jamvero CZ, FI utpote aequales, parallelae et adeamdem plagam tendentes contrahuntur in unam repraesentatam per GE( 11)=GZ+Fl=AZ, transeuntem perG, eidemque AZ parallelam proinde movebitur centrum

G non secus ac vis AZ ipsi esset applicata. At duae aliae↿∂⋅↿vires centrifugae se mutuo librabunt independenter ab axeOX, nullamque iste axis patietur pressionem. Prima et se-cunda (o"") important (20. b.) transitum axeos On seuOX per gravitatis centrum: tertia vero et quarta impor-tant peculiarem quandam axium On, Op, Oq positionemrelate. ad punctorum m, m', m" ,... systema. Porro si On,Op, Oq ita sunt positi, ut suppeditent Zmnp:o, Zmnq:o,Zmpq:o, appellari solent principales systematis axes inordine ad originemO

itidem quae momenta ad eos refe-runtur, et ipsa dicuntur principalia inertiae momenta. Expletis tertia et quarta (on"), non autem prima et secunda, ex omnibus viribus centrifugis resultabit (13. 9310!)vis premens rotationis axem in O.

63. Superiores formulae manifeste applicanturcontinuo materialium punctorum systemati mutando2 in]et as in dm,integrationemque protendendo ad totamsystematis massam.

7." Saepe videmus corpora impulsu aliquo loca-liter mota aflici simul rotationis motu: etiam praecisis,quae diximus (84), sic ostendi potest motum istum oriri exeo quod impulsus non habeat directionem transeuntem percentra gravitatis corporum. SitG gravitatis centrum cor-poris MM' (Fig. 46), et AZ vis corpori communicata.Ducatur perG ad AZL perpendiculum GL; dividaturbifariam AZ in C, et resolvatur CA in AD perG tran-seuntem, et in AB normalem rectae AZ; producatur AGdonec GF aequet GA; intelligatur AD applicita ad pun-ctumF, sitque FK: A

resolvatur FK in FH paral-lelam et FI perpendicularem rectae LGN

quibus posi-

tis, substituti poterunt vi AZ quatuor vires CZ,AB, FI,FH. Iamvero CZ, FI utpote aequales, parallelae et adeamdem plagam tendentes contrahuntur in unam reprae-sentatam per GE (11):GZ—-FI:AZ, transeuntem perG, eidemque AZ parallelam proinde movebitur centrum

0 non secus ac vis AZ ipsi esset applicata. At duae aliae182.AB, FH utpote aequales , parallelae , et ad contrarias par-tes tendentes , nequeunt gravitatis centrum e suo loco di-movere : spectatis itaqne istiusmodi viribus, immobile eqn-sisteret gravitatis centrum; sed eae sese mutuo non de-struunt, cum e diametro non opponantur. Aliud ergo praestare non poterunt nisi corporis rotationem circa gravitatis centrum. Rotationis motus incipit circa reetam aliquam seu axem, et quoniam in omnes corporis particulas ex rotatione inducitur vis centrifuga; hinc si vires centrifugae inde ortae aequilibrantur circa rectam illam, invariabilis exsistet rotationis axis, defereturque per spatium sibimet semper parallelas; secus, mutabitur indesinenter rotationis axis donec ad aequilibrium deveniatur.

De fluidorum corporum aequilibrio.recensere

86. Fluida corpora spectamus veluti materialiam punctorum congeries; quae puncta, utpote invicem independentia, vel minimo cedunt impulsui. In massa fluida undique librata sume punctum quodvis [exhibemus per , denotantibus ejus coordinatas] sollicitatum vi acceleratrice praebente componentes coordinatis axibus , parallelas et per punctum illud fac ut transeat superficies plana, rigida atque infinitesima: consistet in aequilibrio; et consequenter pressiones hinc et illinc exercitae in ab circumpositis massae fluidae stratis, erunt vires aequales et directe contrariae, simulque normales ipsi . Ejusmodi pressionum alteram repraesenta per ; ratio dicitur pressio hydrostatica exercita apud punctum contra aream ( = 1 ) sumptam in plano superficiei . In eadem massa fluida fac ut per punctum alterum transeat talis superficies plana, rigida et infinitesima, quae communem habeat projectionem cum superficie in plano ; voca projectionem illam, et , hydrostaticam pressionem apud punctum contra aream ( =1 ) sumptam in plano areae . Massa fluida adhuc perget esse librata, etsi in qualibet ejus portione intelliguntur puncta rigidis lineolis firmiter connecti, seu, quod eodem redit, etsi quaelibet ejus portio fit solida: ponatur id contingere portioni cylindricae habenti rectam parallelam axi pro generatrice, et pro basibus; denotet densitatem massae fluidae apud punctum ; sitque Exprimetur per

summa ex viribus motricibus, quibus juxta sollicitantur puncta illius portionis; exprimenlur praeterea per
pressiones exercitae juxta eumdem OX , altera in basim ko,altera in basim k quod spectat ad pressiones contra lateralis superficiei puncta, eae utpote normales generatrici rectae nullas dabunt componentes axi OX parallelas. Quia igitur solidata portio perseverat in aequilibrio, iccirco

Haud mutata positione superficiei , revolvatur utcumque superficies circa punctum : permanebit secundum membrum ultimae aequationis; ergo et primum. Quare perseverabit in eodem valore hydrostatica pressio quoad omnia plana per punctum illud utcumque ducta: huc spectat principium de aequalitate pressionis. Consequitur, si recta generatrix sumitur parallela, prius axi , deinde axi , denotantibus hydrostaticas pressiones apud puncta , fore etiam

Terni valores differentiati, primus quoad , secundus quoad , tertius quoad , praebent
et consequenter (27.24º)
Itaque conditiones requisitae ad massae fluidae aequilibrium eo redeunt ut exsistat ejusmodi functio variabilium , quae expleat sive ternas (o), sive unicam (o').

87. Haec notentur.

1º. Si fluidum continetur vase undique clauso satisque firmo, utcumque se habeat valor ex (o') quoad superficiem fluidi, is constanter aequivalebit reactioni ex vasis lateribus: at si fluidi superficies sit libera, externisque subjecta pressionibus, ad aequilibrium explenda insuper erit (o') per talem valorem , qui in singulis liberae superficiei punctis aequivaleat respondenti pressioni externae.

2º. Hinc si pressio externa vel ponitur vel ubique eadem, erit quoad superficiem fluidi librati, ideoque

3º. Traduci potest (o") ad

exprimunt cosinus angulorum, quos efficit vis acceleratrix cum axibus coordinatis ; denotant cosinus angulorum, quos recta tangens arcum apud ejus extremum facit cum iisdem axibus: inferimus (50. 6.) vim intercipere angulum = 90° cum rectis omnibus tangentibus ubivis superficiem vel nullo pacto, vel aeque pressam; ac proinde sese dirigere normaliter ad istiusmodi superficiem.

4.º Integrata (o"), si constanti arbitrariaeque quantitati tribuuntur alii atque alii valores, emergent aliae atque aliae aequationes, quibus totidem respondebunt distinctae superficies aeque pressae.

5.°* In hypothesi tendentis ad punctum fixum, constitue ibi coordinatarum originem: denotante distantiam inter punctum illud et , erunt (50. 6º)

hinc
Est insuper , unde et consequenter
In ordine igitur ad superficiem aeque pressam exsistet : propterea ; ex qua : massa videlicet fluida atque librata induet sphaericam formam.


6. Quoad fluidum elasticitate pollens, constat experimentis densitatem , permanente temperie, esse proportionalem respondenti pressioni , nimirum

Eliminata ab (o') et (o"), proveniet
et facto , erit:
hinc
coefficiens pendet a temperie vigente apud . Inferimus aequilibrii statum in fluido elastico importare temperiem vel ubique eamdem, vel talem ut sit functio quantitatis . Haec insuper quantitas est (2º, 4º) constans in unaquaque superficie aeque pressa; idipsum ergo dicendum de temperie.


7.º Constat etiam experimentis fluidum elasticitate pollens ita contrahi vel expandi, imminuta vel aucta temperie ac permanente pressione ut ejus volumen minuatur vel augeatur partibus 0,00375 pro singulis gradibus thermometri centigradi; inde fit, ut posito 0,00375 = , et aucta temperie gradibus ultra , volumen evadet ; propterea, designantibus et respondentes densitates, erit Nunc, permanente temperie , crescat pressio ab ad ; denotante respondentem densitatem, erit (1º) quocirca

; et facto , .

De gravium homogeneorumque liquidorum aequilibrio.recensere

88. Planum sit horizontale, axisque (Fig. 47) vergat deorsum juxta directionem gravitatis ; erunt : proinde (86. 6),

Si pressio externa ponitur vel = 0, vel ubique eadem, erit quoad librati fluidi superficiem, ideoque , et : superficies nempe illa existet plana atque horizontalis.

Pone constantem; ex (0v) habebis

,

In fluidi superficie aeque pressa constitue planum horizontale : quoad eam erit ; nihilque aliud denotabit nisi externam pressionem in aream ( = 1 ) quaquaversus per fluidum aequaliter diffusam.

Haec facile nunc stabiliuntur circa pressiones gravium homogeneorumque liquidorum intra vasa in aequilibrio consistentium.

1º. Si per designatur pressio in horizontalem aream demersam ad profunditatem , exsistet

2º. Si , aequivalebit ponderi prismatis, cujus basis est , altitudo , densitas vero eadem ac densitas liquidi.

3º. Exhibente horizontalem vasis fundum, ideoque altitudinem vasis; quoniam nullatenus pendet a vasis figura, iccirco permanentibus et eadem perstabit liquidi pressio in horizontalem fundum, utcumque de caetero varient figura et capacitas vasis.

4º. Area sit oblique intra liquidum utcumque demersa: divide in areolas infinitesimas quarum distantiae ab extima liquidi superficie designentur per denotante totalem pressionem, et perpendiculum ductum ex centro gravitatis areae in planum ; erit (20)

.

Hinc si centrum gravitatis manet ad eamdem profunditatem demersum, haud variabit , utcumque circa illud revolvatur area demersa: potest A repraesentare quamlibet rectilineam portionem internae superficiei vasis.

Ad haec: coordinatae ( 13. 3º. )

seu (20)

respondent illi puncto areae , per quod transit resultans ex parallelis viribus ; istiusmodi punctum dicitur centrum pressionis.

5º . Veniat considerandum solidum liquido immersum: sume apud punctum in solidi superficie areolam infinitesimam , et apud puncta in eadem solidi superficie areolae , sitque projectio areolae in plano , projectio areolae in plano projectio areolae in plano ; congruant vero cum projectionibus areolae in iisdem planis: per exprimentur pressiones normaliter exercitae in areolas ; ejusmodi pressionum prima resolvitur in [3] parallelas rectis ; secunda praebet componentem

parallelam rectae OX, tertia dat componentem

parallelam rectae OY; quarta suppeditat componentem

parallelam rectae . His positis, quisque videt areolam , elisis componentibus horizontalibus, urgeri sursum verticali pressione

totum igitur demersum solidum ad verticalem ascensum sollicitatur parallelis viribus praebentibus resultantem, quae aequivalet ponderi liquidi expulsi, et transit per punctum illud, ubi erat gravitatis centrum ipsius liquidi expulsi. Itaque si et exhibent volumen et densitatem solidi liquido immersi, volumen liquidi espulsi; pondus, quod superest solido, exprimelur per : in solidis heterogeneis designat densitatem mediam.

89. Sit 1º cum nequeat esse , erit semper ; tamdiu igitur descendet solidum, ubicumque in liquido collocetur, donec aliquod offendat obstaculum, cui adstringatur adhaerere. Si collocatur in liquidi superficie; statim atque totum fuerit demersum, exsistet et consequenter perget solidum moveri vi acceleratrice seu

Ab exploratis solidi ponderibus P et P' in vacuo et in liquido elici potest ratio inter u et l ; siquidemP = gV ' ', P = 8 ! V' ' — Vp ) , et V = V :proptereaP í MHopunde рPP - P

Sit 2º. M '= H: tamdiu V'u ' - Vl > o quamdiu ; solidum nempe collocatum in superficie liquidi eo usque descendet, donec totum demergatur; quod ubi contigerit, evanescente V' M' — Vp , consisteret in aequilibrio nisi urgeretur adhuc vi acquisita descendendo ante et aequivalet ponderi liquidi expulsi, et transit per punctum illud, ubi erat gravitatis centrum ipsius liquidi expulsi. ltaque si V'et p! exhibent volumen et' densitatemsolidi liquido immersi, V volumen liquidi expulsi; pondus,quod superest solido, exprimetur perg( V'p.'—Vp.) :in solidis heterogeneis designat p! densitatem mediam. ⋅89. Sit. 1041!) p.: cum nequeat esseV) V', erit sem-per V' pf ∙−− Vp.) o; tamdiu igitur descendet solidum, ubi-'cumque in liquido collocetur, donec aliquod offendat ob-staculum, cui adstringatur adhaerere. Si collocatur in li-quidi superficie; statim atque totum fuerit demersum, ex-sistet V:V'; et consequenter perget solidum moveri viacceleratrice 'sv. ∣≺⊮∸⋮⋅⋅−⋅∟∸≻ ∘ −.r. v'F-I , .seu :,(1 l*') .Ab exploratis solidi ponderibus P et'P' in vacuo et in li-quido elici potest ratio inter p! et p.; siquidem≖∙⊃−∙−⇀−∊⋁∙⊬↼∙∙ P',—.: g( vir—v,. ), .xv.-: V':prOpterea.P p! p!— PP' −−−⊬∙∙⊬∙ uude F- P-P'.Sit 20. pl: p.: tandiu V'pf -— VP) o quamdiuV" V ; solidum nempe collocatum in superficie liquidieo .usque descendet,, donec totum demergatur; quod ubicontigerit, evanescentev p! —Vp. , consisteret in aequi-,-librio nisi urgeretur adbuc vi acquisita descendendo ante1921V'de VM11totalem immersionem ; ad aequilibrium praeterea deberentgravitatis centra solidi et liquidi expulsi esse in eadem recia verticali,

Sit 3º. p < l tandiu . Vil – Ve < o quandiuV > ; et facto V , erit Vų – VH = 0.Solidum igitur collocatum intra liquidum ascendet ad liquidi superficiem ; situm in ipsa superficie supernatabit ;eritque portio demersa V ad volumen integrum V' ut j ': fl.Innatantis solidi aequilibrium requirii insuper ut in eademrecta verticali inveniantur gravitatis centra ipsius solidi etliquidi quod expellitur.Itaque positio aequilibrii quoad solidum homogeneumliquido insideas determinabitur si plano ita secetur solidum, ut et alterius segmenti volumen sit ad solidi volumen ia data ratione pe': fhy et haec volumina habeant suagravitatis centra in eadem recta , quae normaliter insistatplano secanti: rem declaramus exemplo. Determinanda sitpositio aequilibrii in prismate recto ac triangulari , quodita demergitur ut et ejus bases maneant verticales, et una ex tribus faciebns v. g. BC ( Fig 48 ) exsistat cota extra liquidum.Quisque videt directionem plani secantis non pendere a mutua basium distantia, satisque esse ut determinetur intersectio De illius plani et baseos v . g. ABC. Exhi.beant a ', a“ latera AB, AC dati trianguli ABC , et a', w "latera incognita AD, AE crianguli ADE : triangulares areaeABC, ADE exprimentur per3i a'a ' sin A , Law" sin A.Sed area ABC est ad aream ADE ut integrum prisma adprismaticam portionem demersam ; igiturleIWW 'sin A: į a' a " sin A = fe':J.,Was"P.-a'a' ( k) .192totalem immersionem; ad aequilibrium praeterea deberentgravitatis centra solidi et liquidi expulsi esse in eadem re-cta verticali. ⋅'Sit 3". p! p. : tandiu. V'pl ∙− Vp.( o quandiuV P- ;et factoV:V V) P- ,eritV'pf—Vp.:o.Solidum igitur collocatum intra liquidum ascendet ad li-quidi superficiem; situm in ipsa superficie superuatabit;eritque portio demersa V ad volumen integrum V' ut pf: p..Iunatantis solidi aequilibrium requirit insuper utin eademrecta verticali inveniantur gravitatis centra ipsius solidi etliquidi quod expellitur.ltaque positio aequilibrii quoad solidum homogeneumliquido insidens determinabitur si plano ita secetur soli-dum, ut et alterius segmeuti volumen sit ad solidi volu-men iu data ratione an., et haec volumina habeant suagravitatis centra in eadem recta, quae normaliter insistatplano secanti: rem declaramus exemplo. Determinauda sitpositio aequilibrii in prismate recto ac triangulari, quodita demergitur ut et eius bases maneant verticales, et u- ⋅na ex tribus faciebus v. g. BC ( Fig 48) exsistat tota ex—tra liquidum.Quisque videt directionem plani secantis nou pende-re a mutua basium distantia, satisque esse ut determine-tur intersectio DE illius plani et baseos v. g. ABC. Exhi-beant a', a" latera AB. AC dati trianguli ABC, et m', a)"latera incognita AD, AE trianguli ADE :triangulares areaeABC, ADE exprimeutur per∙∙⋅∙ äaa smA I "-, ämæstu A.Sed area ABC est ad aream ADE ut integrum prisma adprismaticam portionem demersam: igiturP:.in' d'siu A: ;a' a" sin A∶∶∶ [1]: .n., 'n' a":—-—a'a" (k) .193

pla AMŽAH 'Nunc secto bifariam in H latere BC, ducatur AH; sum23AH , centrum gravitatis trianguli ABC erit in M: simili modo, secto bifariam in H ' latere DE, sum2ptaque AN = AH', erit N centrum gravitatis trianguli 3AM ANADE. Quia igitur ideo MN et HH' erunt АНinter se parallelae: sed in casu aequilibrii recta MN, jungens gravitatis centra M et N , est perpendicularis rectaeDE ; ergo et HH' erit perpendicularis ipsi DE . Hinc DH=HE: vicissim si DH =HE, erit HH' ac proinde MN perpendicularis rectae DE; conditio nimirum necessaria acsufficiens ut recta jungens gravitatis centra M et N sit perpendicularis rectae DE redigetur ad mutuam aequalitatemrectarum DH, HE. Quibus positis , denotent B, BorangulosDAH, BAH, et b rectam AH; triangula ADH, AHE dabuntDA’ = w2762—2wbcos B ,HE' = w " 2 + 62—20 " bcoss *:proptereaw2 -2bw' cos B = "? - 26w " cos \beta " (k' ) .Ex duabus ( k) et ( k ' ) eruentur a eta' , uude innotescitpositio intersectionis DE.Quod si determinanda esset positio aequilibrii in eodem prismate quum ita demergitur ut puncta B et C maneant infra liquidi superficiem DE, foretarea BCDE : aream ABC = h' : u ': fb,ideoqueABC - BCDE ( ADE ): ABC Hope': fl , seu−−∙≔∎⊾↼−−⇀193' Nune secto bifariam in H latere BC, ducatur AH; sum-pta AM:∙⋛−⋅ AH, centrum gravitatis trianguli ABC e-rit in M: simili modo, secto bifariam in H' latere DE, sum-ptaque AN:∙−−≣−− AH', erit N centrum gravitatis trianguliADE. Quia igitur illi: −∙∙ 23,inter se parallelae: sed in casu aequilibrii recta MN,iuu- ⋅gens gravitatis centra M et N , est perpendicularis rectaeDE; ergo et HH' erit perpendicularis ipsi DE. Hinc DEI:-.'HE: vicissim si DH :HE, erit HH' ac proinde MN per-pendicularis rectae DE; conditio nimirum necessaria acsullicieus ut recta iungens gravitatis centra M et N sit per-pendicularis rectae DE redigatur ad mutuam aequalitatemrectarum DH, HE. Quibus positis, denotent B', B"angulosDAH, BAH, et brectam AH; triangula ADH,AHE dabunt,ideo MN et HH' eruntBB': 'i—l-b' —29'6 cos B', B—Ea ⇌∾∣⋅≖−⊢ &" —20"bcosB":proptereaa)" ---260' cos B': si"! -266)" 'cos B" (k' ).Ex duabus (I:) et (k') erucutur a' et et", unde innotescitpositio intersectionis DE.Quod si determinanda esset positio aequilibrii in eo-dem prismate quum ita demergitur ut puncta B et C ma-neant infra liquidi superficiem DE, foretarea BCDE: aream ABC −∙∶−− pl: p.': p.,ideoqueABC −∙− BCDE (: ADE ): ABC :p.- p.': p., seu194Ww" sin A : 1 a'a" sin A = M - pe : ploet consequenters'avº = ( 1- )« a”(k").Ad haec : centrum gravitatis trianguli ABC invenilorin recta jungente centra gravitatis portionum ADE ac BCDE.Sed ABC et BCDE habent sua gravitatis centra in rectaperpendiculariter insistente rectae DE : adhuc igitur MNerit perpendicularis ipsi DE ; rursusque prodibit (k' ) : eruentur videlicet in casu w' et w " ex binis ( k' ) et (k " ) .

90. Determinata aequilibrii positione, restat videndum utrum aequilibrium sit stabile nec ne. Pone v. gr. innatans solidum esse tale, ut secari possit plano verticali AB ( Fig. 49. ) in duas partes omnino symmetricas tum quoad formam, tum quoad densitatem, et in casu aequilibrii sit HK intersectio plani AB et horizontalis plani repraesentantis superficiem liquidi: gravitatis centra M et N innatantis solidi et ejecti liquidi invenientur ambo in plano AB super eadem verticali CD; si solidum est homogeneum exsistet N subter M; si heterogeneum, poterit M esse vel subter N vel supra. Fac ut aliquantulo revolvatur solidum circa axem perpendicularem plano AB, sicque removeatur ab aequilibrii positione; ita tamen ut, exhibente H'K ' (Fig. 50) novam intersectionem plani AB et horizontalis plani repraesentantis superficiem liquidi, segmentum solidi respondens angulo K i K' aequetur constanter segmento quod respondet angulo H i H' ; hoc pacto haud variato ejecti liquidi volumine, permanebit ( 89.30. )gV'p ' = gVd : proinde solidum absque initiali velocitate sibicommissum movebitur ( 84 ) circa centrum M immotum.Jam si ex puncto N' , ubi , amoto solido ab aequilibriipositione , situm est gravitatis centram liquidi expulsi , du194& o'o'f aiu A:) a'a" sin A:p—p:p., /et consequenterAd haec :centrum gravitatis trianguli ABC inveniturin recta iungente centra gravitatis porticuum ADE ac BCDE.Sed ABC et BCDE habent sua gravitatis centra in rectaperpendiculariter insistente rectae DE: adhuc" igitur MNerit perpendicularis ipsi DE; rursusque prodibit (k') :eru-entur videlicet in casu a' et a)" ex binis (k') et (Is") . ducatur verticalis recta N'R occurrens rectae CD in R , occursus iste vel fiet supra M , vel infra , vel in ipso M :in primo casu vis g Vlagens sursum juxta N'R manifeste nitetur ut CD resumat verticalem positionem, et consequenter aequilibrium erit stabile ; in secundo ipsa gVp.nitetur ut CD magis recedat a verticali positione , ideoqueaequilibrium instabile ; in tertio aequilibrium adhuc obtinebit quoad novam positionem .

De gravium liquidorum aequilibrio in vasis communicantibus.recensere

91. Vasa communicantia dicuntur illa, quae ita sunt inter se conjuncta ut ex altero in alterum pateat aditus fluido. In altero contineatur fluidum homogeneum, cujus densitas ; in altero fluidum pariler homogeneum cujus densitas ; siatque et distantiae inter punctum quodvis superficiei communis utrique fluido ac extimas fluidorum superficies. Fluidis se mutuo librantibus, exsistet (88)

92. Haec facile nunc stabiliuntur.

1.º Si vasis communicantibus idem continetur liquidum, ut sit , erit ideoque emerget ergo vel , prout vel : in ea videlicet qua sumus hypothesi liquidum sub externis aequalibusque pressionibus manebit in utroque vase aeque altum, sub externis vero inaequalibusque pressionibus altias apud eam partem assurget ubi minor exercetur pressio. Inde profluit explicatio variorum effectuum; cujusmodi sunt hydrargyrum in barometro suspensum, aqua elevata in siphone, in antliis etc.... Sic v. gr. quoad antlias adspirantes, dum attollitur embolus ex in (Fig. 51), aer in tubo confestim fit rarior, et consequenter externus aer densior aquam in receptaculo vel puteo contentam cogit in tubum ascendere usque ad altitudinem v. gr. : quam ob causam descendet aqua in receptaculo ab in . Jam datis itemque horizontalibus receptaculi, ac tuborum sectionibus , si debeat inveniri altitudo , pone et : densitates aeris interni ante et post emboli elationem sunt in ratione reciproca voluminum

ideoque (87. 6º) in eadem ratione erunt pressiones a et; hinc( a'w ' ta'w ') a(a' +6) + (a" – 3 ) cs" | designante m aquae densitatem, aqua elevata supra ii ' exercebit (88) pressionem a = gm (B + B ).

Cum igitur a' to = 5W , cumque Bw "' = f'w , iccirco( a'w' + aa) as(a + b ) w + la " -B, w

sia ponitur parvitatis contemnendae prae w , erit ( a'w' ta'a ') as tgms = a .( a ' + 6) + ( a " -B) w" sunt hydrargyrum in barometro suspensum, aqua elevatain siphone, in antliis etc.... Sic v. gr. quoad antlias adspirantes, dum attollitur embolus ex H'H" iu Hl (Fig.51.), aer in tubo HB' confestim Et rarior, et consequenter externus aer densior aquam in receptaculo velputeo contentam cogit in tubum ascendere usque ad altitudinem v. gr. A' B': quam ob causam descendet aqua in receptaculo ab AE in ii'. Jam datis H'Q (: a')... EQ (: a"), HH'(:—...- 6), itemque horizontalibus receptaculi, ac tuberum BQFD', FQA'B' sectionibus a), m', ei", si debeat inveniri altitudo AA', pone AA':B et Ai:B' :densitates aeris interni ante et post emboli elationem sunt in ratione reciproca voluminum a'm' −↿− a"a)", a'æ' a"o)" −∣⋅− ∂∾⋅−Ba)"; ideoque (87. 60.) in eadem ratione erunt pressiones a et se' ; hinc(a'ai' −⋅∣− d'un") ur −⇀⋅ (a'-1-b)m'-1-(a"—B)m" designante m aquae densitatem ,,aqua elevata supra ii' exercebit (88) pressionem 0": sm (49 ⊣− B')-Cum igitur a' -l-—a" :0, cumque Ba)":B'm ,iccirco[U'(a'æ' ⊣∙⋅ d'ai") ar −⊢⊣−⊣−⊰⋯≺↿⊣−∾−↜∶≻∣∃⇌≔⇌si a)" ponitur parvitatis contemnendae prae a), erit(a'æ' −⋅⊢ J'ai") :: l ∙−−(a'-l—b) ∾∣∙∙⊢ (avl—þ) 0)" l gmB—a-197 ln eadem hypothesi , post iteratos descensus atque ascensus, restituto embolo ab altitudine minima H'H ' ad maximam HI, pertingat aqua ad inferiorem superficiem membranae G; descendente rursus embolo et denotante k altitudinem aquae de se librantis atmosphaericam pressionem, elevabitur membrana D , ac proinde rarescente adhuc aere in consequenti emboli ascensu, aqua pergei assurgere quotiescumque fuerit EQ . HQ < k (HH'). Ut enim elevetur membrana D, debet elasticitas k' aeris HF sic augeri quum aer HF traducitur ad volumen H'F, ut elasticitas k' ' densiti aeris H'F superet elasticitatem k aeris atmosphaerici embolo superincumbentis. Est aulem ( 87.1º . ).k : k " = HQ : HQ ; vis insuper elastica k' unita ponderi aquae suspens ae EQ librat pressionem aeris atmosphaerici, nimirumh' + EQ = k; et consequenter k "k' (HQ)H'Q(k- EQ) (HQ)H'QIgitur( k — EQ) ( HQ)> k ; ac proinde etc. ... H'Q

2. Tubus cylindricus longitudinis h, et in una sui extremitate clausus, impleatur hydrargyro usque ad

... in eadem hypothesi, post iteratus descensus atque ascensus, restituto embolo ab altitudine minima H'H" ad maxi-mam Hl , pertingat aqua ad inferiorem superficiem mem-branae G; descendente rursus embolo et denotante ]: alti-tudinem aquae de se librantis atmosphaericam pressionem ,elevabitur membrana D, ac proinde rarescente adhuc aerein consequenti emboli ascensu , aqua perget assurgere quo-tiescumque fueritEQ. HQ h(HH').Ut enim elevetur membrana D , dabei elasticitas k' aerisHF sic augeri quum aer HF traducitur ad volumen H'F , utelasticitas k"densati aeris H'F superet elasticitatem k aerisatmosphaerici embolo superiucumbentis .Est autem (87.10.).k': k":H'Q :HQ ;vis insuper elastica k' unita punderi aquae suspensae EQlibrat pressionem aeris atmosphaerici, nimirumk" -]— EQ:k ;et consequenter- k" k' (HQ) −∙∙≺∣⊂− EQ) (HQ). ↼−− l'l'Q HQigiturde −−⋅⋅ EQ) ("Q)H'Q k; ac proinde etc...

2." Tubus cylindricus longitudinis A, et in unasui extremitate clausus ,'impleatur hydrargyro usque ad198altitudinem hoh , cum digito ad orificium in altera parteexsistens apposito invertatur tubus ; et remolo digito , collocetur hoc ipsum orificium in superficie hydrargyri stagnantis intra aliquod vas. Ascendet aer l' ad supremam inversi tubi partem ; augescet h , et fiet = h " . Jam vero adinveniendam h " denotante k' altitadinem hydrargyri librantis atmosphaericam pressionem , satis erit animadvertereh'kiquod exhibet altitudinem hydrargyri librantis rarefa h "clum aerem h ' ; undehkh - h '+Tok ;ac proptereah " = h - k' = V Th — kj» + 4hºk2signum inferius non pertinet ad praesens problema .lu formula ( 10)C, C,Sle'Spkksunt C, = gu'k ' , C,z''

3º. Pone ple , pe inaequales , et C, = C2 ; habebisp.z = p ( = + z ) ,unde2 : 3+ = M ' : pe ;diversorum nempe liquidorum altitudines z et ztz' in vasiscommunicantibus erunt reciproce ut ipsorum liquidorumdensitates.198altitudinem h—h' ,tum digito ad orificium in altera parteexsistens apposito invertatur tubus ; et remoto digito , col-locetur hoc ipsum orificium in superficie hydrargyri sta-gnantis intra aliquod vas. Ascendet aer b' ad supremam iu-versi tubi partem ; augescet h' ,et fiet:h". Jam vero adinveniendam h" denotante k' altitudinim hydrargyri libran-tis atmos'phaericam pressionem , satis erit animadverterequod exhibet (i£—, altitudinem hydrargyri librantis rarefa-ctum sereni I:" ; undeh—h" ∙−⊢ h—Ij—L: k' ;ac propterea1." −∣∙ ∣⋅−∣⊏⋅∶⊨∣∕⇀≺∣≖−∣≂⊤≻⋅⊣−⊓≖⋅∣⊏⋮∙ , zsignum inferius non pertinet ad praesens problema.lu formula (10)sunt C, :gpjk' , Ca.-:. ∙−−−−

diversorum nempe liquidorum altitudines :et in vasiscommunicantibus erunt reciproce ut ipsorum liquidorum densitates.

De gravium elasticorumque fluidorum aequilibrio; necnon de altitudinibus dimetiendis ope barometri, et de pondere ac densitate vaporum.recensere

93. Binae (oiii 87.), (ov 88.) dant

binae (oiii), (oiv 87) praebent
propterea
Assumptis autem logarithmis quoad basim 10,
ideoquedos dL(W)0,4342945Designante igitur pressionem apud punctum ( x , 0)in hypothesi temperiei constantis formula (6) suppeditabit.L - Llw ')0,4342945 ( 6' ) .i ( 1 + an )

94. Quoad punctum ( x , y ; '-— z) supra horizontale planum XOY ( Fig. 47 ) , aequatio ( 6' ) suppeditatLULLG )0.434294582i (1tan)

et inde infertur valor z dimetiendae altitudinis supra XOYsic expressusi ( 1 + an )L0,4342945g ( 6 ) .Haec observentur: 1. ° sub temperie = 0 , et barometricahydrargyri elatione =2,33958 ped. apud geographicam latitudinem = 48° 50' 14 ", ubi gravitas 30,1959 ped. ,Biot et Arrago invenerunt densitatem hydrargyri esse adaeris densitatem po ut 10467 : 1 ; inde habemus respondentem pressionem ( 88 )Ww=( 30,1959) ( 10467 floo ) ( 2,33958) ,ideoquewo -( 30,1959 ) ( 10467) ( 2,33958)ро( 30,1959 ) ( 24488, 38386) =739448, 790198174.

2.o Eo minorem experimur temperiem , quo ma-gis supra terrestrem superficiem assurgimus ,at, igno"-mus qua lege liat ejusmodi imminutio; designantibus ?'et ': temperies in intimo ac supremo puncto dimetiendaealtitudinis z, solet assumi.- 'r'-l—r'": 2• 201poniturque ista temperies media constanter vigere per totam 2.1

3. Singulis gradibus imminutae temperiei respondet hydrargyri condensatio = ; igitur si M et M5550exhibent densitates bydrargyri sub temperiebus t' ; ac toDY in infimo ac supremo puncto altitudinis , eritt'M

1 = M' : M, unde M

5550 I' ,-1,15550ricaati.ed.,e ad00Temperies hydrargyri tubo barometrico inclusi nonnisipost aliquod tempus ad aequalitatem reducitur cum aeriscircumstantis temperie , hinc t'i et t, solent definiri subsidio thermometri , quod ad barometrum ipsum adnectitar ; aliae vero t ' et determinantur ope thermometri ,quod cum barometro non communicat.

4.0 Si l' et h exprimunt barometricas altitudines apud infimum et supremum punctum altitudiniserunt ( 88 )h' =gM'h , =&M'ht',15550ideoque ma'/Joraus ?endae

- * (

I' , - 1 ]5550

5. ° experimentis pendulorum subsidio institutis14'201∣∙ poniturque ista temperies media constanter vigere per to-tam :. '&" Singulis gradibus imminutae temperiei respon-det hydrargyri condensatio: 5150; igitur si M' et M

)

exhibent densitates bydrargyri sub temperiebus 'r', ac 't',ll⋅in infimo ac supremo puncto altitudinis , erit———- f.:—T! M' :1: ': ∙∙∙⋅ J5550 M M, uudeM T',—Tx'5550"ric-a Temperies hydrargyri tubo -barometrico inclusi nonnisiall' post aliquod tempus ad amnalitatem reducitur cum aeriaed.. circumstantis temperie , hinc 'r', et 1.", isolent definiri sub-sadron-sidio tbermometri , quod ad barometrnm ipsum adnecti-tur; aliae vero 1" et ': determinantur ope tbermometri ,quod cum barometro non communicat.

4." Si b' et lt exprimunt barometricas altitudi-nes apud infimum et supremum punctum altitudinis z ,erunt (88).: M'h ∙∣≖∙ ∙∙ g ∙a *gM .m. fr.—ff: ,∎∎− 5550mr ideoquenora-0st a. ∙∙∙ h' 1 T.]- T; .»pdæ ⊺≖−−−∣≖ ("5550)'5.0 experimentis pendulorum subsidio institutis14- x'!.202probatum est , si gi est gravitas apud geographicam latitudinem = 45 , apud aliam latitudinem å foreg = g . (1-0,002589cos22 ) ;erit igitur ( 1 )30,1959 = g1 [1–0,002588 cos2 (48° 50'14) ]ac proinde30,1959 ( 1–0,002588 cos 22 )1 -0,002588 cos2 (48 ° 50'14 " ).6.° Quibus positis , formula ( 6 " , 94) traducetur ad24488,38( 1–0,002588cos2 [48° 50'14*]/ (1 +0,00395+7 )X1-0,002588cos22LCOI '155500,4342945-) ]ped.e ,formu 95. # Sumptis logarithmis quoad basimla ( 6 " , 94 ) evadeti (1 + an ) .,( );updeet consequenter ( 87. 7. ) H =82e iſitan )202probatum est.si g. est gravitas apud geographicum la-titudinem;—4

5. ∘ apud aliam latitudinem ). foregzg, (1—0,002588cos2)t) :erit igitur (10)30,, 95gzg,[1—o,002588 cosz (48-50'1 4")1ac proinde∙− 30,1959 (1—0,002588 cos zx)5 1-0,002588 cos2 (4so50'14") '6." Quibus positis, formula (E", 94) traducatur ad24488,38(1—0.002588cosz[4so50'14"])(1'-1-o,003757 BH) s—⇁⋅⊤' - X '1—0,002588cos2').h. r.!—T! )]L I: "( ↿−∎∎ 5550o,4342945 pcd.95-0 Sumptis logarithmis quoad basim e ,formu-la (6". 94 ) evadet

i(1tan)L (jul-) ;

undea,ex --z.et consequenter (87. 7. ) p,:e i(t-l—an)2031g?i ( 1 + an) e il1 +an)Denotent V'et i volumen et densitatem corporis aeredemersi , ipsoque aere specifice levioris : urgebitur corpusad verticalem ascensum vi acceleratrice8 (V'4 — V'x ')Vph Gelee Me gzif1tan)i ( 1 + an) eFacile intelligimus , si denotat densitatem mediam globi aereostatici , verticalem ascensum ipsius globi determinatum iri perdazde28)(6 ).i (1 + an ) ei(1 + an )Multiplica (6 " ' ) per 2dz, et sume integralia; habebis ( 27. 12.9)gzdz2 i(1 + an)dla с2g rolere' f 8 + ks)In hypothesi velocitatis initialis = o erunt simul z=020

o , ideoque C

Hinc dodz et20 82 dzade ² (1 ei (1 + an ) — 2g2 (6 ") .hey 252 "203I3gz,i (1—l—an) e i(1—l-an)Denotent V' et pf volumen et densitatem corporis aeredemersi, ipsoque aere specifice levioris :urgebitur corpusad verticalem ascensum vi acceleratriceV' —-V' '),'a' , gt P"—g,(p p.) g( —H)- VP ⊬ M szi (1-l—an) et(t-i-an)Facile intelligimus, si denotat p! densitatem mediam glo-bi aereostatici, verticalem ascensum ipsius globi determi-natum iri perIdaz g es'dt: p.(Multiplica (6"') per 2dz, et sume integralis; habebis (27. 12.")..52dzz— c zg a t(1—l—an) '] '&f— —F g'"')'ln hypothesi velocitatis initialis :0erunt simul 220(12. 20! et ⊼⋅−−−∶∘ ,ideoque C..:F.]iincd:: 25, ∙−− ...—gj— ⋅ '['(7:3—?( 1 — 8 :(l*'-an)) .'.2gz (6 ).204ctoex cujus integratione innotescet relatio inter z ac t . Fadez=o, formula ( 6 ' ' ' ) suppeditabit altitudinem 2, apud diadzquam exsistet f = M ; et facto = 0 , formula ( 6 " ) praebe dtbit maximam globi elationem z.

96. Quod pertinet ad pondus ac densitatem vaporum, haec subjungimus:

1.0 Si vase undique clauso continetur satis liquidi, ut inde sese possit evolvere tantum vaporis, quantum postulat capacitas vasis, quantitas vaporis sese evolventis pertinget ad quoddam maximum unice pendens a vigente temperie: qua videlicet permanente, istud maxinium perstabit idem aut vas exsistat vacuum ab aere, aut aerem contineat, vel quodvis aliud gas ulcumque densatum vel rarefactum: sive autem obtinuerit illud maximum, sive non, tantundem augebitur vis elastica sicci aeris, vel gas inclusi, quanta est elasticitas evoluti vaporis.

2.° Si vapor aqueus seorsum spectatus posset sub data temperie, quin ad liquidam formam redigeretur, eam librare pressionem ā, quam sub eadem temperie librat siccus aer, ex Gay-Lussac foret densitas té aquei vaporis ad sicci aeris densitatem / ut 10 : 16 , ideoqueM=10416

3.• Permanente temperie , fac ut aqueus vapor seorsum consideratus libret reipsa pressionem Wri si vaporisdensitas vocatur Hiss erit ( 87 : 1. )10

@ = ht ' i theo unde pos = 16 Mo ;

et denotantibus P ac P, pondera aeris ac vaporis sub aequali volumine ,204ex cuius integratione innotescet relatio inter z ac :. Fa-dzz . . . cto 27; ::o, formula (F") suppedttabtt altitudinem :, apudquam exsistet p.:pl; et facto 5; :o, formula (ö") praehe-bit maximam globi elationem :.

96. Quod pertinet ad pondus ac densitatem vaporum,haec subjungimus: 1." Si vase undique clauso continetur.satis liquidi, ut inde sese possit evolvere tantum vapo-ris, quantum postulat capacitas vasis , quantitas vaporissese evolventis pertingat ad quoddam maximum unice pen-dens a vigente temperie :qua videlicet permanente,istudmaximum perstabit idem aut vas exsistat vacuum ab ae-re, aut aerem contineat, vel quodvis aliud gas utcum-que densatum vel rarefactum : sive autem obtinuerit illudmaximum, sive non, tantundem augebitur vis elastica sicciaeris, vel gas inclusi, quanta est elasticitas evoluti vaporis.2." Si vapor aqueus seorsum spectatus posset sub da-ta temperie , quin ad liquidam formam redigeretur , eamlibrare pressionem 0, quam sub eadem temperie libratsiccus aer, ex Gay- Lussac foret densitas p! aquei va-poris ad sicci aeris densitatemlp. ut 10 : 16, ideoque

4. • Nunc ex aqueo vapore librante pressionem ,et ex aere sicco emergat volumen V aeris vaporosi librantispressionem , et habentis densitatem & ; istiusmodi aerismassa erit Vs; aer siccus in aere vaporoso contentus utpotelibrans pressionem ( 1.9 ) a— , pollebit ( 87 : 1. ° ) den( - )sitate Quoniam igitur ( 39) vapor aequeus in,to10 WI16 Waere vaporoso pariter contentus pollet densitate pipropterea adVe = y (0 ) tv10 i16 WporICCIrisda undebra €( ---+ -s)= (:-)1 "sic v. gr. in ordine ad aerem maxime vaporosum subtemperie =0 , et barometrica hydrargyri altitudine2,33958 ped. , quoniam maxima pressio librata ab aqueovapore sub temperie = 0 respondet barometricae altitudini =0,015638 ped ., erunt ( 95. 1.° )g = W = ( 10467No) ( 2,33958 )g , w = (10467 /lo) ( 0,015638 ) g;ac proinde designante eo respondentem valorem €,seorpors

3

2,33958 0,015638lo 8Eo = ToobiWo :)-- (*2,33958=0,997495po.205'—Pp.,— 10 ut,⊬∙⊬≖≔⊉∙⊅∎∙⊉∎ F 16.;—P.,∙ 2,33958 — 3- .0,015638 ⇌−⇀−⋮⊥−∘⇠ −−∃↾− ).. 8a'., ∘ a m ↼⊣∸∘ 2,33958

o,997495p.o.

l—xu .206HincE. 0 , 997495 ;Horatio videlicet inter densitatem aeris maxime vaporosi etdensitatem sicci aeris in ea qua sumus temperiei ac pressionis hypothesi.

5. • Valor i jam inventus ( 94. 1. ° ) spectat ad aerem siccum ; quoad aerem v. gr. maxime vaporosum eritT. .0,997495 flo( 30,1959 ) ( 10467 ) ( 2,33958 )Eo 0,997495

6. Obiter notamus illud : aquam sub satis altapraesertim temperie in vapores versam conari sese quaquaversus incredibili vi expandere indubia evincunt experimenta. Hinc usus aquei vaporis in movendis machinis :certo quodam tuborum valvularumque artificio vapor excaldario introducitur in antliam , ita , ut antliae cavitates ,alteram infra embolum , alteram supra embolum , vicissimobtineat, vicissimque frigidae suffusione ad pristinam redeatJiquiditatis conditionem ; vapor inferiorem cavitatem obtinens,attollit embolum ; superiorem, deprimit ; embolus adnexusest alteri ex duabus cujuspiam vectis extremitatibus ; quivectis altera sui extremitate vel immediate vel instrumen.torum apte conjunctorum subsidio motum communicat rotis ,malleis , elc.... ; prout nempe importat machinaemovendae natura.

Hinc∙⇣∘−−−∶ o,997495;p..ratio videlicet inter densitatem aeris maxime vaporosi etdensitatem sicci aeris in ea qua sumus temperiei ac pres-sionis hypothesi. ,'5." Valor i iam iuventus (94. 1.") spectat ad ae-rem siccum; quoad aerem v. gr. maxime vaporosum erit↿≖∘∙∙ ar, —(3o,1959) (10467) (2.33958)s, o,997495 ⊬∘ o,997495 'i..—

De aqua egrediente per angustum foramen e vasis verticalibus sive cylindricis, sive prismaticis.recensere

97. Haec praemittimus ex pluries iteratis experimentis

1.° Minuta corpuscula disseminata per descendentem aquam verticaliter descendunt commuui ad sensum velocitate usque ad horizontalem (Fig. 52), cujus distantia ab orificio aequat triplum radiurn ipsius ; tum cursum flectentia, perque lineas curvas incedentia conspirant versus orificium. Aqueae igitur particulae verticaliter descendunt usque ad ; formaturque ab ad conoides aquea , quiescentibus portiunculis lateralibus .

2.° Adhuc obtinent et verticalis particularum descensus, et earum conspiratio ad formandam conoidem, etsi orificium aperitur in latere vasis.

3.° Aqua ex aperto orificio verticaliter saliens assurgit ad supremam fere prementis aquae superficiem.

98. Denotet velocitalem aquae egredientis ex orificio , et altitudinem prementis aquae supra orificium, erit proxime (30:31)

Ad haec; si denotat horizontalem vasis basim, orificium , velocitatem particularum ex quibus coalescit suprema aquae superficies, erit unde et facta asna,aimenrotingw = nv ( k' ) .Hinc (27 )asisdz ndydo 2gz et dtV28%ideoque designante 2, initialem valorem » , quum nempe t = 0 ,intedft?ae-erittalilmen"aul?"207

98. Denotet &) velocitatem aquae egredientis ex ori-ficio hls', et : altitudinem prementis aquae supra orifi-cium , erit proxime (30 :31 )a) −−∶ Vig.; (k).Ad haec :si a denotat horizontalem vasis basim , a ori-licium hh' , :: velocitatem particularum , ex quibus coa-lescit suprema aquae superficies, eritac «.vdtzamdt, unde a): −⇀ v :et facta «scita,amzn-v (k').Hinc (27)ds ⇂∕ nds— :: ∙−−−∶ 2 :∙∙∙ ∙ dt ga ,et dt V—zgs .ideoque designante s., initialem valorem :, quum nem-Pe ∁−−−−∘⇟208i - V7(..- , ) ( " ) .

99. Sit \beta volumen aquae tempore t egredientis exorificio a ; erit ( 98. k . k " )233= a.orde=a(28)* . * de= a/ 2018 ( 3 - V . JdeProptereaB =a/25)*(*.* -VERSI-)( k' ' ) .

100. Assumpta z = o in ( k ". 98 ) , prodibit tempusO , quo vas lotum evacuatur ; nimirum11/ 를2n 0—V 29( k " ) .In ( k ") et ( K ) substitae valorem molè ex ( k ' ) ; habebis2n 을215 BagV282n (25–2-ce). ( ") .

101. Ex (k " ) sequitur illud : si duo vasa habuerintet altitudines zo , zo, el orificia a , a' aequalia , tempora 0 , 0 quibus deplentur , erunt in ratione basium a,a' ,siquidem2n 2n 'á0 : 0 =V 29

z ' .

V 28--- N : n ' = . Q : a' :a '208≖−−−−⇁ 21( soi—1 ii) (li")-l/Zg99. Sit þ volumen aquae tempore :egredientis exorificio a ; erit (98. I:. k").l. s's i— dþzaüdtza (25? s'dt:a(2g)ir" (zog— &t)dt. ⇂

Propterea,

100. Assumpta ≖∙∶−−− ∘in (Is". 98 ). prodibit tempus9 , quo vas totum evacuatur; nimirum9: 2: ∣∙∘⋚ (z.-") ⋅l/ZgIn (It-") et (I.-"') substitue valorem s.,ïli ex (Is"); habebis

6— 2n 3,- ag( .

⋅−2-. — ⋅ 20 t): wg I.". (3 ," ( )101. Ex (It-") sequitur illud: si duo vasa habuerintet altitudines s., a',, et orificia a.a' aequalia. tempo-ra 9. 9' quibus deplcntur ,erunt in ratione basium a.d.siquidem∙ 2n 2n'

9:∶−− zo : ...z'o zn:n'— :—,-—a:a':

l/Zg a a· 209

102. Quantitates aquarum successivis et aequalibus temporibus effluentium decrescunt secundum numeros impa-res ordine retrogrado sumptos. Assertio facile ostenditure secunda ( k ) , facto successive t=1,2,3,4, • ; namquantitates illae prodibunt expressae perag2n (29-1 ) , L ( 49-4 ) – ( 29-11 , P.(69-9)– ( 49-4) ,Seag ( 80-16)2nag ( 60-9) ... , seu 2nag2n (20-1 ) , 29–3 ) , (29-5 ) , (29–7), - ;ideoque etc... Idipsum eruitur ex (k " ) et ex prima (k" ) ;denotantibus enim 21 , 22, 23 , ... valores z respondentes temporibus 1 , 2, 3, ... eae praebebunt& 02 , 2, 3(0-1) 2,225 2n? 2n2 , =-2,(0-2) », 23 =S(0-3 ) , ... 29-1 2n282n2 ;unde6( 29-1 ) , 21-22 2n?8( 29-3 ) , Zz- 23 =2n282n2 (26-5) , ... 29-3 82n?et consequenter etc...Hinc si dividendum sit vas in partes successivis dati tem'209102. Quantitates aquarum successivis et aequalibus tem--poribus ellluentium .decrescunt secundum numeros impa-res ordine retrogrado sumptos. Assertio facile ostenditure secunda (k').facto successive t::1,2,3.4, .; namqnantitates illae prodibunt expressae perZn (29 'l), 2" (49 4) 2" (29 1) , 2n(69 9) g(49 4) ,a—g - .. "£ -∙∙ 2"(89 16) 2" (69 9) . , seuag- es -es -∙−−7:091). 2" (29 3), 2809 5)sa g(29- "711";ideoque etc... Idipsum eruitur ex (In") et exprime (k');denotantibus enim sus,, &.... valores :respondentes tem-poribus 1,2, 3, ... eae praebebunt'z.,:⋚−⊯≖ ⊖⋅∙ z. ↼−− ⊋⋅⋚⇆≺⊖⋅↿ ):,≖≖−−−∶⇄−⋚⊑≺⊖∙⊋≻≖∣ za⇌∎- 2 -' ∙−−− i.— ↿∠∏−−≖⋅ i(ä 3) zo Zn' '↴uude ⋅2, ∙z. ∙−−−⋮⋚≔ (29-1),z,-z, −−∶ Zif-;, (za-3), 22-33 −∙−−∙∸−s- - ...g. .ZI€3(29 5), ∙∙∙ Zo-x —-2na ,et consequenter etc..Hinc si dividendum sit vas in partes successivis dati tem-2101 poris a unitatibus vacuandas , determinata altima 20-1ceterae usque ad primanı erunt320-7.526-4,72 6-7** (29-3 )z 0-10 ( 26-1 ) 0-1 .11Liquet autem fore2:6-1 + 326-1 + 520.4 + 720-1 + . + 20-3)26-170(29-1930_1 = {1 + 29-1)o20-1 = 6226-41 1d.

103. Tria subjungimus, quae certissimis constant experimentis.

1º. Vena aquae exilientis a foramine aperto in pertenui lamina magis semper contrahitur usque ad ejusmodi distantiam ab orificio, quae vix aequat ipsius orificii radium; estque venae maxime contractae area cc' ad orificii aream ut 5 : 8 circiter. Istius contractionis ratio ex eo desumenda videtur quod aqueae particulae etiam paullo extra vas retinent obliquos convergentesque motus, quibus orificium subierunt.

2.• Tanta effluit aqua intra datum tempus ex foramine aperto in pertenui lamina , quantam suppeditat for5mula ( k " ) , modo tamen pro a substituamus 8

3.º Aptatis orificio exterius tubis cylindricis, conicis etc., pro varietate tuborum variae habebuntur quantitates aquae dato tempore exilientis.

104. Haec notentur

1º. Acceleratio , per quam velocitas aquae admodum exigua usque ad HH' mutatur in finalein satisque grandem effluxus velocitatem, tota manifeste perficitur ab HH ad cc' intra spatium interceptum conoide ac vena contracta, ubi nempe descendentium stratorum amplitudines citissime decrescunt. Vas ergo ABB'A 'a.210poris 9 unitatibus vacuaudas.determinata ultima "9-1 ,ceterae usque ad primam erunt"3z9-1, 529-1,7z ⊖∙↿∙∙∙ (29-3): ∂∙↿ '(29-1)z 9-1 ∙Liquet autem foreze, ↿∎∎⊢∍∅∂∙↿⊣−⋮≖∂ ∙↿ ⊣−⋅∄≖∂∙↿∙⊢∙∙∙↤⊋∂∙⊰≻∅∂∙↿−⊢. 9 ∙∙∙ :(29-1)z9-1:(1-1—29-1)ïz ⊖∙↿ —9 294 -7

1 '.erpertoejuscitciori.spectandum erit tamquam terminatum tubo Hcc'll' ad sectionem HH ' aptato.

2.0 Motus aquae defluentis in regularibus alveistraduci potest ad motum aquae prosilientis ex angustisvasorum orificiis. Concipe regularem alveun secari planoverticali ; in plano isto insculpi plura foramina , ex quibus effluat aqua ; iisque nova addi foramina ut indefinitecrescat foraminum numerus , totaquc sectio veluti unicumefficiat foramen infinitis numero foraminibus' coalescens :cum e singulis foraminibus aqua debeat effluere velocitate illa , qua et erumperet e vase ad eamdem altitudinem pleno , et , sublato plano , Queret in eodem sectionisloco , idem ferme erit casus aquae defluentis per alveumet aquae prosilieatis e vase ad eamdem altitudinem pleno.

3. • Si in regulari atque horizontali alveo movetur inferior aqua ob superioris aquae pressionem , necdirectionum obliquitate , et fundi laterumque resistentiaturbatur conceptus motus , apud particulam quamvis denotante i altitudinem superincumbentis aquae , exprimetV 2gi particulae velocitatem.

4.° Quod si regularis alveus ad horizontem exsistat inclinatus , sitque m altitudo debita velocitati apudsupremam aquae superficiem , cum haec velocitas ( levioribus corporibus aquae injectis determinari potest ) utpoteorta ab inclinatione alvei debeat aquae omni essemunis , exbibebit V 28 (i + m ) particulae velocitatem .

5.° Hinc poterit in utroque casu definiri quantitas V aquarum intra datum tempus t defluentium apudquamlibet regularis alvei sectionem ; sic v. gr. in hypothesi rectangularis sectionis habentis latitudinem r , eritin primo casui2tri.V = tr įdi3no esدالاقuibusfoo forcomS, COpaanoreloin 6Dani?ptomVžgI straB!!in secundolCPpertaejus-filicii, ori-iot!.aullouibui⊊∣∝⊦luan-«denew"ipua! slfl'BN↗−⋅ 211spectandum erit tamquam terminatum tubo Hcc'll' ad se-ctionem HH' aptato.2." Motus aquae defluentis in regularibus alveistraduci potest ad motum aquae prosilientis ex angustisvasorum orificiis. Concipe regularem alveum secari planoverticali .; in plano isto insculpi plura foramina , ex qui-bus effluat aqua; iisque nova addi foramina ut indefinitecrescat foraminum numerus , totaque sectio veluti unicumefficiat foramen inlinitis numero foraminibus' coalescens :cum e singulis foraminibus aqua debeat eflluere veloci-tate illa, qua et erumperet e vase ad eamdem altitudi-nem pleno , et, sublato plano ,(lueret in eodem sectionisloco, idem ferme erit casus aquae defluentis per alveumet aquae prosilientis e vase ad eamdem altitudinem pleno.

105. Auctores non pauci tractantes de motu liquidorum ex apertis luminibus effluentium , illud usorparesolent tanquam principium , quod nempe unumquodque liquidi in vase quolibet descendentis tenuissimum et horizontale stratum coalescat iisdem constanter particulis communi , eaque tantum verticali , velocitate donatis . Denotante v verticalem velocitalem , qua pollet in fine temporis i quodvis massae liquidae punctum ( x, y, z ) sollicitatum gravitate g , vis acceleratris de se valens produceredyactualem motum exprimetur ( 28) per : et qaoniam ,dtpraecisis etiam mutuis punctorum pressionibns , adhuc ta du men vis de gigneret actualem motum ; ideo , attentis pressionibus , consistet in aequilibrio punctum (x , y , z) sollidu citatum vi g Propterea ( 88 )dtdodzdvidt (kº ) .Attenta insuper liquidi continuitate ( liquidum ponitur incapax compressionis ) ; sequitur , si A designat amplitudinem cujusvis strati horizontalis , fore ( 98)viw = a : A , unde v =Ä ( * " " ) ;w est functio temporis t ; A distantiae ; ab XOY : sequi212∙∙∙ i. & 3VZU'l/ng (i-l—m) di: Z',..l/Zg g'[(10 m)⇣⇥≖∶∣⋅ adenotat i., sectionis altitudinem .

1054: Auctores non pauci tractantes de motu li-quidarum ex apertis luminibus ellluentium. illud usurparesolent tanquam prineipium . quod nempe unumquodque li-quidi in vase quolibet descendentis tenuissimum et hori-zontale stratum coalescat iisdem constanter particulis com-muni, eaque tantum verticali .velocitate dona-tis . Deuo-tante v verticalem velocitatem, qua pollet in fine tempo-ris : quodvis massae liquidae punctum (.r.-7, :) sollicita-tum gravitate g. vis acceleratrix de se valens-producere. dv ⋅⋅ ∙actualem motum exprimetur (28) per .d—t : et quoniam.praecisis etiam mutuis punctorum pressionibus , adhuc ta-dvmen vis —d—£ gigneret actualem motu-m; ideo , attentis pres-sionibus.consistet in aequilibrio 'punctum (.r.-y. :) solli-citatnm vi g—⋛⋮ ∙ PrOpterea (88)der . ⋅ dv'z,; ∙−−∶ P- (−−⋅ (17) ('i ')-Atteuta insuper liquidi continuitate (liquidum ponitur in-capax compressionis ) ; sequitur . si A designat amplitudi-nem cuiusvis strati horizontalis .fore (98)psa-ca: A, lel). ,undevzr-a— A (cc est functio temporis :; A distantiae :ab XOï: sequi-2131itur quoque supremam descendentis liquidi superficiem manere horizontalem . Ex kl( ) habemusdv a daa dodtaw dA dxA2 dz dc-A dt A do.aw dAa da a’w2 dAA2 dz A di A3 daiccirco formula (K ™ ) traducelur addo dz dz =+ (sds - au de):1 sumptisque integralibus quoad % ,==C+u(sma )Zoicexprimit 200 distantiam inter XOY et supremam liquidisuperficiem A , Denotante w, pressionem v . gr. atmosphae.ricam in superficiem illam , assequimurTwo-= C+4 (** 241,3.)unde C=0. – (( 50-100).li propterea-=o +15(2-)-avenit SA- G -->) ( 47 ).Zuje Apud orificium213tur quoque supremam descendentis liquidi superficiem ma-nere horizontalem. Ex (F") habemusdv a de.) am dA d: a dm.dt—A dt A*dz dc-TA dcas) ubi a da) ama dA ∙Aza." Ad: A3 d.'iccirco formula (Is") traducetur ad' dar − das d:. am: dA- )⋅⊋−⋮∁≀∅−−∙↱∙≺⊰∠≀∅−−∅∙∣⊺⋮⊺−⊢ A3 d: dz ,,. sumptisque integralibus quoad s,⋍≖⇌∁−⊦⊬≺≊≴−∘≤≀≜∫≖≤≀⋮− −.-),.dt A 2112zo.i-eXprimit s., distantiam inter XOï et supremam liquidisuperficiem A.,. Deuotante wo pressionem v. gr. atmosphae-ricam in superficiem illam, assequimur2 2 2 2≔∘−−−⋅∁−⊦⇤∸≼∊≴∘−≦⋏∘∶≕≻ ⋅....∁−−⇌≖≖∘..(g.... ".? ):[" propteread ad:. 21 1w:eod—Pgu-uþauä A a" P:) (A*—. :) (k"").zo

. Apud orificium214

1WoA2 adesignantibus insuper b et i distantias ipsius orificii ab XOY et ab A. ,m=b , 2 = b - i , 1 - % = i :facto igiturbdzAbiI !erit ibimode,gi - sa- (1-4 ) = (A " .Quoad (k " "" ) et ( k " ) notamus haec tria. 1.0# Si a estparvitatis contemnendae , ex (k " ) proflueta = w.tugis mo ) ,ut in casu liquidi aequilibrari (88) ; ex (k' ) vero emergetV2gi ,quae formula recidit in formulam ( k) .2.0* Si , affluente novo liquido, eadem servaturin vase altitudo liquoris , quantitates i, A., B exsistent constanles ac datae ; et factoa2 1 hA.2↿ 1≖⋝−−≖≖⋅∙ ∙ :::—:::;designantibus insuper & et t' distantias ipsius oriücii abXOT et ab A.,.526 , sozb—t' .s—sozi:facto igiturerit ibiad!» c.)"( a2g' Bdc 2.↿∎∎∎⊼∘⊑≻∶∘ (klQuoad (k"") et (Is") n0tamus haec tria. ↿∙∘∙ Si a estparvitatis contemnendae, ex (k"") profluetUzwoillg (z'—*o) )ut in casu liquidi aequilibrati (88) ; ex ('tu) vero emerget∾⋅⇌ vra-uquae formula recidit in formulam' (lt).2.0a Si. affluente novo liquido. eadem servaturin vase altitudo liquoris. quantitates i. A.,. B exsistent con-stantes ac datae ; et factoemulia adQiiia215formula ( k " ) praebebithd2a Bdt V2gi2ada2gi - hwa hV2gih2 .622gid hhda V2giV2gihv2gil1+v2gi+

) h h

-Vzgiunde , sumptis bogarithmis quoad basimaBtaloghy2giV 2gi + hwV2gihanon additar constans et arbitraria quantitas utpote =0siquidem tempori t =o respondet w =o. Ex ista aequatione emergitBhty2giV2gi(1ah1 + eBhiv2giainferimus , elapso brevi quodam tempore t, fieri ad sensum1V 2giiitemque21 5formula (li") praebebitd—L.,Bdt— iuda −− 21. V? —⋣∊∙−⋅∣⇂≖∾≖ hl/Zgi IP1——c.)2Zgida ita di;—00 —( ⇂∕2gi ∣l/2gi ) h'⋅⊾ ⋅l/Z-g—l ↿∙∙∙ .b— 6),⇂∕⇄∃−⋮⋅∾ Vzgiunde, sumptis bgarithmis quoad basim e ,'Bt: ]: a— log iii—E? :l/th' Vzgi −− hænon additur constans et arbitraria quantitas utpote ∙−−−∘ ,siquidem tempori tzo respondet 6) 30. Ex ista aequatio-ne emergit⋅≖∃∣≖≀⇂∕⋝⋮⋜&l/2-g-i1—e— ::∎∎⇀ h B'm/223-1—l—e— ainferimus. elapso'brevi quodam tempore :. fieri ad sensum1 − −−−−−−↗↓−∎∕∑∊≀⋅⊰itemque216= w.tuzia - 2 .) – paga?i( 1 hot G1 - ),-- VE3.•* Si vas consistit in verticali cylindro , vel prismate , A erit constans , et A.=A ; insuperdz 7-zo 1A A Biczo

Aliquid subjungitur circa generalem theoriam motus corporum fluidorum.recensere

106.* Velocitas v, qua pollet if fine temporis !quodvis massae fluidae punctum ( x, y, z) sollicitatum (86)vi acceleratrice Q , resolvatur in ternas v' , w " , 1 "" coordinalis axibus Ox, OY, OZ parallelas ; erunt ( 29 ) dý ,1dy' ' vires iisdem axibus parallelae , in dt dtquas resolvitur' vis acceleratrix q' valens de se producere actualem motum. Quoniam , etsi praecisis puncloruni mutuis pressionibus , adhuc tamen gignit actualemmotum ; ideo , attentis pressionibus , consistet in aequilibrio punctum ( 2, y, z ) sollicitatum viribus X, ) – , dv',1Y dy" , 2 dy'"'; ac proinde ( 86. o )di1dtde = - ( x – do ). -- ( v- à dv" ) , )de u ( 2-2 " )..( 6)216 .↴a':' 1 ↿ a Vii—g'∙szo-l-pg(2'.—20) uia (Aa Ag) ,VS—K ∙T∙∶⊰∙∘∙ Si vas consistit in verticali cylindro. vel pri-smate, A erit constans, et A.,:zA; insuper

pro functionibus variabilium x, y, z, t,exsistent ( 27. 24.0)dy' du dv du du' dx + dy +dzt.dix dz dcdur duldy + dz +dt,dy dz dedu du dy't dy + dz + dt ,dx dy dz dedu du=drseu ,ob dx v dt , dy udt , dz udt ( 27 ) ,dv dú dv ' dun du'dt ,dx dy dz dedur dvd dv du'a + dt ,dy dz de( 6 ).dy'll dy dy "\dx dy dzdatdi axt du.dudytdzt dz dt dydl ;atwill +leolesin' du'\dx vtalt- dedy ut21" + .!"toatdt ,idedx du du.vtde ede :witotdydzformulaeque (6) vertentur in1511217Habitis v'. v" . v'", p. pro functionibus variabilium x,]. z,t,∙ exsistent (27. 243) '/dVr-äï-I-dæ-f-g dy—l—d 7; v/dz—l-dïvt-dth.I, I/dp'p": "≤⋮∙−≤⋅⇗↙↙∠∞∙⋅∣− dv ∙−∙↙∣∫⊣−↙≀↥≟ dz-l— ii)—dt,III '"dv'": dv Tdæ—i—djr dv/Il d-v'" dy −⊸⊢−−⋅ zdz—l- -^——--dt,d d ⊬−− ⊋⊥∸↙≢↕ ↙∄↕≤−⊦ Hari- ⋮⋮↙∄≖⊣−−↙−∣≛⋮∠≀≀⊰seu , Ob dx:'v' dt .ei)-':«:;"dt, dz 37)/"dt (2"..dv! ∣∙∙− d'", v" ∣∣ (if—,) dv—(ïr-v-l-ï P-l-d—z-IVI-ï-dï— dt," "vl] IIV"'—:(d—; V, "J—d gr."- .v/j-l—g-z- will-i-ïi'l;-—-)d[,(V).dv ∣−− dvlll dui/I−−−−⊋⋤−≼ .[v;/1.", dv'",∣∣), 1∎∎⊢∎∎∎−∎−∎ dz 'l" dt —)dt ⋅∣⊹ '∙−− dP'. ,v/ !dlu' ut dp' ∣∣∣ dp') ∙dy. (dæ'v [dy" ⋅−↱⋅⋅∓⇂≀ −↽⊋−∁⋅− dt.formulaeque (6) vertentur in15218dos deild dy"dxdv'dx dydz che si ((vdo ( 6") v'do'dyvdudz wdurdydx de - ) ,dy ')do dv'

-(2

v'dy'tdyvdu Windz dx dz de

107 #. Quae portiuncula infinitesima massae fluidae apud punctum ( x , 3 , 2 ) sub volumine V in fine temporis i exprimitur per V , eadem sub volumine V+dV in fine temporis + dt ad punctam aliud translata exprimetur per ( V+dV ) ( pe + du ); ideoque V = V + dV) (v + dpl)= Vu + udV + Vdp. + dp.dV ,et consequenter, misso dudv,Vdp. + pdV= ( 6 " ).Sumatur V = dxdydz, aequale nimirum parallelepipedo rectangulo AF ( Fig. 47. ) sub laterculis AD( =dx) , AB( =dy ) , AH = dz); punctaque A , B, C , D , H , M , F , E ponantur transferri tempusculo de ad A ' , B , C , D , H' , M',F' , E , ut sit V + DV = A'F'. Transferetur A in A 'velocitatibus d' , 0 , 2, juxta coordinatos axes ,runtqueex + v'dt, y tv" dt , z tudt coordinatae puncti A': designatis v ', u ' " perd7 dx d] dz : ',dm' dv"' −∙∙: Z- ∣- dv'" du dv'" ∣∣∙∙∙ ∙−−⋁∣∣∣∙− —) ∙dz F(da: v dy 'v dz dt107-. Quae portiuncula infinitesima massae fluidae a-pud punctum (æ,I,: ) sub volumine V in fine tem-poris : exprimitur per VP-o eadem sub volumine V-l-dVin fine temporis t −⊢ dt ad punctum aliud transl'ata expri-metur per ( V-l—dV) ( p. dy. ); ideoqueVirsz-l-dV) (p.-l—dp.) ∙−−∶ ⋁∣↓∙⊹ ⊦∙∠≀∇−⊢ ∇⊂∣≴⊥∙⋅⊢ dde .et consequenter, misso dpdV,. Vdp. −⊦ ⊬↙∣∇−−∶⋄('b'").Sumatur Vzdædydz, aequale nimirum parallelepipedorectangulo AF (Fig. 47.) sub laterculis AD(-:-:dæ) , AB(-—--dy ), AH(-:dz); punctaque A, B, C, D, H, M , F , E po-nantur transferri tempusculo dt ad A' , B' , C' , D' , H' , M',F', E' , ut sit V −↿− dV −−∶ A'F'. Transferetur A in A'velocitatibus v'. a:" ,∙⇂∙∥⋅ juxta coordinatas axes , e-runtque ∕∕∕ '..: ⊣−⋁∣↙∣⊀ ∙]−⊦ wa: , z −⊢ war:coordinatae puncti A': designatis v', v", «a'/' per219fi( x , y , %, t ) , fa(x , y , z , 1), 13 (x , y , z , t) ,exprimentfi (x , y , z + d2, e) ,fz(x , y , z + dz, t ), f3( x , y, z + dz, t)velocitates coordinatis axibas parallelas puncti H euntis inH '; et cum babeamus ( 27. 24.)filx9,2 + dz,t) = f (x , y ,z, e)7df1(x,y,z,e)dz = utidudz dz ,dze aoem dy ”fa (x , y, 2 + dz, t ) = 0" +dz ,dzspri.f3( x , y , z + dz, t ) = 0 !!! allt dv !dz,dzIV ,coordinatae puncti H'eruntX+ (v + da )dt,y + ("* + de )de,

+de+ (** + adaptada dt:

pipedoAB =E po inferimus, missis infinitesimis tertii ordinis, fore ( 50. 6º. )1 , M.in 45 ,ee A'H' =[ledesdeu + )de de +) ]=d =+dy "-dz dt dz dt .dzMotus puncti Cin C'juxta coordinatos axes fiet velocitatibus!15.C ∎∙em-[pl'l'IV.. 219fuci-'s], 3! 1), fa(æs)'s 3! t) ∙ ⊀∍≺⋅↕∎∙∫↿≖∙ :),exprimentftlæsfaz-l'dzs 1) ,falæoys z 'l'dz; t)sf3(æs ïs ≖∙∙∣− d:, 1)velocitates coordinatis axibus parallelas puncti Hieuntis inH'; et cum habeamus (27. 240.)dfx(æJ,z,t)d fax-a',: 4—dz,t):f.(æ,y,z, :dz dz—v ↾−⊦↙↙∙⋚∙ —dz,"falæsïsz (I:-',! :):vlf'i'd'ä- dz:d'UIII fave,], z-l-dz,t ): ⇝∣∣∣−⊢ —zdz.coordinatae puncti H' erunt ' "'ahi-(» ∣⊣− −↲≖≻≳≀∙∫−⊦≼↙∣⊣−≝∂≖⋟↙∦⋅

↽⊦ dz −⊦ (W.;- ↙⋛↙−≖

d: )dc.inferimus, missis infinitesimis tertii ordinis, fore (50. 60-)A'H': RSTV) dz-dz −⊦≺⋅⋮↷⋛↗−−−≖−∥≖⋟↙≀≖≏d:: −⊦d.,/II dv!" -(d:-[- d: dzdi )]ä :dz-F—dzdt-Motus puncti Cm∁∣ juxta coordinatas axes fiet velocitatibus220falar + dx , y + dy, zil ) = fi(x , y , 2,1 ) +afı( 8•7,5,6)det dfi (x , y , 2,1) dudydydic = tIdxt dxfalx + dx , y tdy, 2, 1 ) = "" + -dat dxdu "dy ,dydumidy !!!ON +f3(x + dx ,y + dy , z , 1 ) = "" dat dx dy ;dyinde prodeunt coordinatae puncti Cdud )dy x + dx + (v + ad det )dty + dy + ( ** + na tempat day ) di,

+ ( v" + data darym dy de :

motus puncti F in F ' juxta coordinatos axes fiet velocitatibusdu'filxtdxy + dy,z + d2,2)= x + xdx + dydy +dudz,dzdy" du"falxtdx,y + dy,atdz,t)= " + de + dy dydu "da dz,du "duf3( x + dx, y + dy; z + dz,t) = 1 "'-dxtdy"dy dy +dz;dx dzinde exsurgunt coordinatae puncti F220fdæ'i'dng—i-dy- ≖∙⋅↕⋟⇌∣≖≺∝⇟∫∙ ze t)",-df,(æ.j,z,t) dfl(æsyszvt)dw'd d " ≀∂≖≺∙↿⊏−≱⊢↙↕↡∫↽⊢∂∫⋅ ≖↿−⊸⋅⋅⇂∙∥⊣−↽⊋− "L "ad; df 'f3(æ-l—dæ,y—]-dy,z, :)-— v'∣∣⊹−⇁∙inde prodeunt coordinatae puncti C'∙↴⊲−⊢∠∄∸≀∶⊣− (⊣−⋅≦⋮∠↴↧⋅↕⊣⇀−− ↙∄⋤↙↿∫⋟≴↙≀⋅∫∔∂⋮∫⊹ (∣∣⊣↼ d,,⇡⋮≀−−⋅∶≴←⊦≤−⋚−∥⇩≀ wa.)vll/ du ≖↽⊦≺⊛ ∣∣∣w"'-l--d—-æ dr—l— df )dz:motus puncti Fm F'luxta coordinatas axes Eet velocitatibus∙ . . . '' d ,.fia—W;? ∂∫∙≖−−∠⇣∙≀⋟∶⋁⊹⊼∶↙⊩⊦≣↗ −⋤−∶⊔⊹ −:dz, dv" dv" dv"ta(æ-i-er-l-dr, a—l—dzn): ⊎∣∣⊣⋅∙⋣∂≛−⊦ df dy ! dz ds,d" III d.." f3(æ—]—dx, ⊹↙∄∙↗∙≖−⊢∣≂∙ ():—Ju" i-i-d; dælL dr cir—]— —-dz;inde exsurguut coordinatae puncti F'221dyn= da + ( + van de tener tous de Jdeos + d3 + ( v +adar an nas tudi nadia )dt,s + de + ( * + dpt dathetn dy + advan die Jde:1inferimus, missis infinitesimis tertii ordinis, foreCF = [ 'de de + oem )deº de +( de + de "de de ))]]* = da +dy"de dt.dzAd motum puncti B in B ', computatum in coordinatis axibus, spectant velocitatesf( x, y +dy, z, t ) , falx , yt dy, z, t), f3(x ,y + dy, z, t ) ;ad con similem vero motum puncti M in M' velocitates tatibusfi(x ,y + dy, z + dz, t) , 82(x , y + dy ,ztdz, t ) ,thdanf3(x , y + dy , z + dz , t ) :dy".propterea coordinatae puncti B ’ desidz+ (x + dy dy )de , y + dy + (.* + dar dy ) dt,du",dy7+ (*"'+ dydy hdi:7;(221'Iæ—l—dæ-l-(tb -]-d −∙⋮dx-j—d −−∣vlddy-l— ——dz )dt,,,'dv" . dv" y-l-dJ-l-( −⊢−− da.−−∥↙≀↓⊣− ⊒∫−∠≀∫−⊢−− ↙≀≖≻∠≀∁∙" dv": z-l—ds-l—(" ⊣−≦−≦⊥∅≀∝−⊦↙∄ dyd ∣↙↙≖ d: )dt:unferimus, missis infinitesimis tertii ordinis, fore∙∙∙⋅ dv) ∙ '(du"ïd) ∙ es'—[(? d: a: &∠≀∥≀⋍⋅−⊦≺∁≀≖−⊢⋛≖ ——dzdt )]; :dz—l-Q—ds dt.d:.Ad motnm puncti B in B', computatnm in coordinatis axi-bus, spectant velocitatesI.i-ïs;)" ⊣∙∙ dy. 39 i)'f2(æay—l— d]: 2. t)af3(-'rsy—l—dft Z, !) 3ad consimilem vero motum "puncti M in M' velocitates↿∎≺∞∙∙↗↾⊣−∠∄∫∙≖⊣− dzs t) sf2(æ sy'l—fi'r, ≖−⊦∠∄≖ ∙ :) ∙fam ,y-l-dy.a-1- a.:):propterea coordinatae puncti B'æ-i- ("'-l- ⋛⋚∠∄∫≻↙∄∁ ,J—l-dy—l-('≻≖≀⋅≂⋮ "j,-l— 72:41)!"-z −∣⋅− (vm-I— dvdy222coordinatae puncti M++ (1 - en deJdt,y + dy + (** + disa dy + "deJdi.z + dz + (** +(** + + en in diehelehincB'M dz +dudzdt .dzAd motum puncti D in D ', computatum in coordinatis axibus, pertinent velocitatesfi ( x + dx, y , z , 1 ) , fa( x + dx,y ,z, 1), f3(x + dx, y , z ,t ) ;ad consimilem autem motum puncti E in E' velocitatesfilx + dr, y, z + dz, t ) , f (x + dx, y , z + dz , t ) ,f (x + dx ,y , z + dz , t ):proinde coordinatae puncti D'de"

  • + dx + (ut ea adx)de,y + ( * + dxdx )dt,

++ (- + de -dx)dici222coordinatae puncti M'x-l—(tf— ⋛≶↙≀∫⊣− ——dz)dt,maH-( ⇂≀⋅⋛−−⊦ pri—4449≖−⊦↶≀≖↼⊦≼ ⋮⋅∠⋛⋮−⊣− MH-;'dzdu)hinc,B'M'-— ∙−− tis-l- -—-dzdt.Ad motnm puncti D in D', computatum in coordinatis a-xibus, pertinent velocitatesru(æ ∙−⊦ ciæ,], zit)1fa(æ "l'dæofszo t) sf3(x"'i"dæs)'; 2; 1);ad consimilem autem motum puncti E in E' velocitatesfdx—i-dæqæz-l-dz, t ) 'fa(x-l-dx,y , z—l—dz .t ).B(æ-j-dæ ,y, s--]— dz .: ):.proinde coordinatae puncti D'∝⋅⊦⊄↿↕∸−⊦≼↩∙−⊦ ——dæ)dc ,y—l—(v' −⊦≤−−⋮⋅⊑⋅↙≀⋅⊐∁⋟↲↥∙

∙⋅⊢ ≺∙∽⋯∙⊢ ⋛⋮≽∙⋮⇣↿∙↕≻≺≀∷223

puncti autem Edrts + dx +((uv + des de +die dz)dt ,y+ (** + de lade "a )de, a (* " + dz) dt;2 + dz to dv"" dy" ,det da dzet consequenterD'E' = dz todu".dz dzdt .ItaqueA'H ' = C'F' = B'M ' = D'E' = dz +du dzdt :đzsimili modo eruunturAD = B'C ' FM H'E di = dx +dxdxdt ,1t ) ;A'B' C'D FE H'M ' =dú'dy + dydt.dy esthiEx laterculorum aequalitate manifeste consequitur eorumparallelismus ; eritque A'F' parallelepipedum obliquangulum ; ita tamen , ut ejus anguli infinities parum differant ab angulis rectis parallelepipedi rectanguli AF ; quandoquidem AF nonnisi tempusculo infinitesimo transfertur in A'F ' . Nunc ex H ' v . gr. due perpendiculum Ha inareolam A'B'C'D ; eritA'F ' = H'a . A'B'C'D' = H'a . A'B ' . A'D' sio B'A'D 'A'H ' . A'B' . A'D' sin B'A'D' sip H'A'a :d:.223puncti autem E'dv' 'dv' ).. da: −⊢ dz z .7' 41- dæ—t- ∙⋅∎∙⋅−⊢ du:-1- (v' ∙∙⊢ da:dv" dv'" dv"' )−∙ dz —-d.r —-d d ;dz)dt ,z-t-dz-tï 'v. −⋅⊢ da: ∙−⊢ ds :fet consequenter⋅ dv":D'E'c: dz −⊢ 71"—2. dzdt .Itaquello''vA'H':C'F' −−∶ B'M' ∙−−∶ D'E' :: d: ⊣⋅− ∙−≀⋮⋅≖−↙≀⋍⊄∄↥ :simili modo eruunturA'n' :: B'C' −−∶ F'M' −−∶ H'E':dæ −⊢↙≟⋛ dædt.A'B'r: C'D' ::F'E': H'M' ∙⋅−−−∸ dy ⊣⋅−∙≣⊥⋅ ↙≀∙↨↾∠∄≀⋅∙ ]Ex latel-culorum aequalitate manifeste consequitur eorumparallelismus; eritque A'F' parallelepipcdum obliquangu—lum; ita tamen , ut eius anguli infinities parum diffe-rant ab angulis rectis parallelepipedi rectanguli AF ; quan-doquidem AF nonnisi tempusculo inünitesimo transfer-tur in A'F' . Nunc ex H' v. gr. due perpendiculum H'a inareolam A'B'C'D' ; erit ∙ ∼A'F' ∙−−− H'a . A'B'C'D' ::''a . A'B' . A'D' sin B'A'D' ∶−−⋅≖A'H' . A'B' . A'D' sin B'A'D' sin H'A'a :224denotantibus w et w'angulos infinitesimos , poterunt anguliB'A'D ' , H'A'a repraesentari per 90º + w , 90 ° +6 ; iccircosin B'A'D' sin H'A'a = sin (90 ° + w ) sin ( 90° + W' ) =62 614 w'4 coswcos6= ( 1 -... ) ( 1 ...) . 2 2.3.4 2 2.3.4Quare , missis infinitesimis quinti ordinis ,dv " A'F ' = (dx +dv' du "dxdt) (dy +dx dzdt) xdy dydı) (dz + azwadu( - -(1-7 • det dy"• det du"dt) dxdydz ;2 dydzideoquedV = AF - V =-(dvdx- det-detdydi) dxdydz.His positis , vertelur ( 6 ) indxdydzdje eledv\dxdtot dt +dv"dydz di )dxdyds= 0,seu ( 106.6' )dje du ut u'+dr dzdjelodu +dydtdvi dv" du " .dy + demon dz ) =(619) .dx

108. * Si massa fluida est incapax compressionis,unaquaeque particula immutabilem habebit densitatemeritque du = o : proinde ( 106 , 6')224denotantibus eo et tu'-angulos inünitesimos , poterunt anguliB'A'D' , H'A'a repraesentari per 900-l-cu , 900-l-co'; iccircosin B'A'D' sin H'A'a −−∶⋅ sin (90"-FG) sin (900 ⊣−∙ w') ∶∸⋅. ↿ a): 034 ↿ tu' te'-': )cosmcosw—( ∙−⋅⋍−−⊢≳∙∙⋝⋅∕⇂∙−−⋯⋟≺ −−∙⋮∙ m—m .Quare , missis infinitesimis quinti ordinis,I d'u' dr" d'v "''∙−−−− −'AF ∙−− ∙−− (dx—t- dædxdt,(dy-t—- d] afydt) (dz-t- az dzdr) )(a 'a .'" '" (1 "2' −−∘≩≻∙−− ≺↿⊹⋛⊰↲↥⊹≘⋚∂∁⊹↙≩⊤∶∂∊≻∂∅∂∫∂∥ideoque(lv-.:A'F' v(vd: : dv dc.-92:11) dædyde .dæ dy dzHis positis , vertetur (b"') indt" I),, vl'l dæd.) dzdp-t— "(c'ïx dc ⊣−∙ 217 dc ⊣−∙ 72- dt)dædydz ::o,seu (106 . b')""↿≀∙⊣⋅− d" ∣∣⊣− a'" "-4-'-'—'-' −⊢

17- 2?" f??" dt

d'v- ⋅⋅⊢ dv" dv'" ⋅⋅⋅∙∙− oF- b,; ( ⊣⋅−⋮⋤ )—- ( ).108.s Si massa fluida est incapax compressionis, unaquaeque particula immutabilem liabebit densitatem, eritque dy.:o : proinde (106. b')225devtdie du du v " + 2 " +=0

dy dx dz deet consequenter( 107.b)(6)dv dyd.x++dy dzFormulae(6"),(69) suppeditant incognitas a,l,v,v",v".expressas per x,y,z,t obtentis autem v',v",?," per xy, zat,eruenturx,y,z pert ex formulisdy dx dzdc-”dcru!!!dtSi massa fluida incapas compressionis est insuper homogenea, prima(6") fiet identica, satisque erunt(6") etsecunda(6").ad incognitas,u',v"v'" determinandas. Demum si massa fluida pollet elasticitate, formalis(6") et(61)jungenda erit formula(o". 87.6').

De tubis capillaribus.recensere

Capillares

109. Etsi liquidum homogeneam in vasis communicantibus (92.1º.) manet aeque altum, iu tubis tamen vitreis admodum angustis (dicuntur capillares) utrinque apertis, et altera extremitate demersis aquae vel hydrargyro, cernimus aquam suprema superficie concava terminatam ascendere supra horizoutalem circumambientis liquidi superficiem, hydrargyrum vero suprema superficie convexa terminatum descendere infra horizontalem circumdantis liquidi superficiem: ad istius modi ascensum descensumque explicandum, haec animadvertimus.

1º. ln phaenomenis gravium liquidorum expendendis gravitatem considerantes haud habuimus rationem sive virium quibus liquidi particulae se mutuo petunt, sive virium quibus vasorum materies ad se trahit particulas illas. Porro materiales particulae duplici pollent vi attractiva; altera se prodit utcumque crescant distantiae, sequiturque (82) rationem reciprocam duplicatam distantiarum; altera se prodit dumtaxat in contactu vel quamproxime contactum, sequiturque rationem quamdam distantiarum nondum compertam. Ubi sermo est de liquorum aequilibrio, possumus ab attractione primi generis absque sensibili errore praescindere: ad attractionem secundi generis quod pertinet; cum in contactu exsistat validissima, inde fit ut suprema liquidi superficies prope vasorum latera induat figuram curvam, modo concavarn, modo convexam, et nonnisi ad aliquam ab ipsis lateribus distantiam dici queat physice horizontalis. Exhibeat TT' (Fig. 53) verticalem tubum v. gr. vitreum, utrinque apertum, et infra horizontalem liquidi superficiem partim demersum; O centrum circularis areae tubo interceptae apud eam superficiem; A particulam liquidi in area ista sub actionem vilreae particulae R; OX rectam transeuntem per A; OY horizontalem rectam perpendiculariter insistentem rectae OX; OZ verticalem rectam. Si denotat vim qua A tendit in R, designatis per h, k, i cosinibus angulorum quos AR facit cum ox, oy,OZ, resolvetur in ternasph , pk , ọiisdem OX , OY , OZ parallelas: ex R in planum XOYducatur perpendiculum Rp , producaturque in R' donec fiatR'p = Rp ; teadet A in R' vi aequipollente ternisch , pk , - oi : demissis perpendiculis ex R , R' in planum Xoz , iisque productis donec productiones aequentur ipsis perpendicu226rium quibus liquidi particulae se mutuo petunt, sive virium quibus vasorum materies ad se trahitparticulas illas.

manifeste determinabuutur in tubo duo puncta , quorum vires dabunt componentesgh , - ok , pi ,sh , - ok , - qi :in ferimus particulam A , elisis componentibus parallelisrectae OY , itemque componentibus parallelis rectae OZ ,sollicitatum iri juxta AX vi4Σ φhproveniente ex tubi materia. In OX sume Ab = Aa ; ducverticalem bb' ; et quod in ordine ad tubi materiam est q,in ordine ad liquidi materiam sit q' : quisque intelligit particulam An elisis componentibus horizontalibus, trahi verticaliter deorsum vi4 Epipromanante ex liquido intercepto superficie cylindrica , quamgeneral recta bb' dum sibi constanter parallela movetur inperipheria circuli habentis radium Ab. Liquidum ultrasuperficiem cylindricam praebet vires.- 2 Eph , 2 "pi,alteram horizontaliter agentem juxta XO , alteram verticaliter deorsum. Omnes itaque vires sollicitantes particulamA traducentur ad horizontalem4Eph -2Ep'h = 2 [2Eoh —Eph] ,et ad verticalem45' pit 23" ' i.227lis, manifeste determinabuutur in tubo duo puncta. quo-rnm vires dabunt componentes9ht—9k09i'-ph.-—9k,—qn':inferimus particulam A .elisis componentibus parallelisrectae 0?,itemque componentibus parallelis rectae OZ,sollicitatumeiri juxta AX vi4297:proveniente ex tubi materia. In OX sume Ab: Aa; ducverticalem 65; et quod in ordine ad tubi materiam est p,in ordine, ad liquidi materiam sit go' :quisque intelligit par-ticulam A. elisis componentibus horizontalibus, trahi ver-ticaliter deorsum vi ↽42'9'i.promanante ex liquido intercepto superficie cylindrica, quamgenerat recta bb' dum sibi constanter parallela movetur inperipheria circuli habentis radium Ab. Liquidum ultrasuperficiem cylindricam praebet vires-— 2297: , 2E'p'i ,alteram horizontaliter agentem juxta KO, alteram verti-caliter deorsum. Omnes itaque vires sollicitantes particulamA traducentur ad horizontalem4ng −− ⇄∑∲∣∣∣:2929]: −∙− ∑⊈⊅⋅∣⋅⊐ .et ad verticalem (f)42: p'i-l- 22"qa' i.228Potest 2Eph -Eph esse aut > o , velo, vel = 0: in primocasu vis aequipollens et gravitati , et binis (f ) , deviabit a directione verticali faciendo angulum acutum cum AX; etquia ( 83.3º. ) vis illa debet normaliter sese dirigere ad libratam liquidi superficiem , ideo suprema liquidi superficies induet curvam concavamque figuram : in secundo casu visaequipollens et gravitati, et binis (f), deviabit quidem a verticali directione, sed faciendo angulum oblusum cum AX ;propterea ( 87. 3 • ) suprema liquidi superficies induet curyamconvexamque figuram : in tertio denique casu ex duabus (8)remanebit sola verticalis, et consequenter suprema liquidisuperficies erit plana atque horizontalis.

2º . Massae liquidae OS , OS' (Fig. 54 ) ejusdemnaturae, planisque superficiebus OP , OʻP ' terminatae, aequaliter trahunt exilissimas columnellas liquidas AR , A'R'perpendiculariter superficiebus ipsis insistentes; nisi tamencolumella AR intra massam OS trahitur deorsum , columella vero A'R' extra massam O'S' trahitur sursum. Intelligantur enim centris A et A ', radiisque aequalibus AB et A'B ',ultra quos sensibilis attractio liquidi non protenditur, describi hemisphaeria BCD , B'C'D' : si vires , quibus hemisphaeria agunt in particulas A, A ', resolvuntur in binas, alteram horizontalem , alteram verticalem; elisis horizontalibus,remanebunt verticales, quarum summa est eadem utrinquecum hoc tantum discrimine quod A trahitur deorsum et Asursum. ln columellis sume nunc duo alia puncta E, Eʻaequidistantia ab A , A' , radiisque aequalibus EL, E'L ' ( = AB)describe segmenta sphaerica FML, F'M'L' : accepla EV=EA,ductoque plano horizontali HK, vires ex QHKN , QFMNin punctum E utpote aequales et contrariae se mutuo destruent , ipsumque E solo segmento HLK deorsum trahetur : vis ex HLK deorsum sollicitans particulam E aequatur vi ex F'L'M ' sursum trahenti particulam E'; siquidem haec segmenta sunt aequalia et similiter posita adcontrarias partes quoad E et E '. Cum igitur idem redeat228Potest 229h—29'h esse aut) a. vel( a, vel:o: in primocasu vis aequipollens et gravitati, et binis ([ ), deviabit a di-rectione verticali faciendo angulum acntum- cum AK; etquia ( 87. 30.) vis illa debet normaliter sese dirigere ad libra-tam liquidi superficiem, ideo suprema liquidi superficies in-duet curvam concavamque figuram: in secundo casu vis 'aequipollens et gravitati, et binis (f), deviabit quidema ver-ticali directione, sed faciendo angulum obtusum cum ax,propterea (87. 3"-) suprema liquidi superficies induet curvamconvexamque figuram :in tertio denique casu ex duabus (f)remanebit sola verticalis, et consequenter suprema liquidisupedicies erit plana atque horizontalis.2". Massae liquidae OS , US' (Fig. 54) eiusdemnaturae, planisque superficiebus OP, O'P' terminatae, ae-qualiter trahunt exilissimas columellas liquidas AR , A'R'perpendiculariter superficiebus ipsis insistentes; nisi tamencolumella AR intra massam OS trahitur deorsum. columel-la vero A'R' extra massam O'S'trabitur sursum. Intelligan-tur enim centris A et A', radiisque aequalibus AB et A'B',ultra quos sensibilis attractio liquidi non protenditur,des-cribi hemisphaeria BCD , B'C'D' : si vires , quibus hemi-sphaeria aguntin particulas A, A', resolvuntur in binas, alte-ram horizontalem , alteram verticalem;elisis horisontalibus,remanebunt verticales, quarum summa est eadem utrinquecum hoc tantum discrimine quod A trahitur deorsum et A'sursum. ln columellis sume nunc duo alia puncta E, E'ae-quidistantia ab A , A', radiisque aequalibus EL, E'L' (::AB)describe segmenta sphaerica FML, F'M'L': accepta EVzEA,doctoque plano horizontali HK, vires ex QHKN , QFMNin punctum E utpote aequales et contrariae se mutuo de-struent,ipsumque E solo segmenta HLK deorsum trahe-tnr : vis ex HLK deorsum sollicitans particulam E ae-quatur vi ex F'L'M' sursum trahenti particulam E'; siqui-dem haec segmenta sunt aequalia et similiter posita adcontrarias partes quoad E et E'. Cum igitur idem redeat229cimodi.

et

brasinvisVerLAX;ryamargumentum de caeteris particulis inter A et C , necnoninter A ' et C ' ( ponimus A'C " — A'C' ) , cumque particulaeinfra C viribus contrariis et aequalibus urgeantur, infra Csensibili non subjiciantur actioni, jam patet etcIn eodem liquido vis, qua deorsum vel sursum colamellatrahitur, constans est; eam in sequentibus exhibebimus per K.

3º. Fac ut massa liquida BAB'QQ (Fig. 55) , quae intercipitur superficie sphaerica BAB' et plano tangenteQQ, trahat externam columellam liquidanı AR perpendiculariter insistentem plano tangenti apud contactum A : quoniam BAB O'Q gignitur rotatione areae ABQ circa radium AO, perinde erit sive spectetur attractio massae BAB'Q'Q,sive spectentur attractiones infinitarum numero superficierumcylindricarum , quae in ea rotatione gignuntur a perpendiculis DC , D'C' , ... demissis ex punctis D , D ' . circularis arcus BA in rectam QA. Exprimant p , pi ... perpendicula DC , D'C', . . ; 9.9 , .. perpendiculorum distantias AC , AC' . .. ab A computatas in AQ; sitque rsphaericae superficiei radius OA: ob magnam lineolarump , p ', . . . tenuitatem prae q, , ..quidiEdenA'R'ameoamelgaDAB,deseruntlemialeoр922r ,pa2rlibusBoguet Aet consequenter praefatae superficies cylindricae exhibe buntur per-ABELMY2πη 비유Toq3,2πα g's Tig'3seu 9dem 2r 2rcabeaeaqui.Atqui ob eamdem illam tenuitatem puncta uniuscujusque su :perficiei cylindricae haberi possunt pro aequidistantibus abunoquoque columellae puncto: designantibus igitur o, o, ..quantitates pendentes et a certa quadam distantiarum lege,dealsitac-qui'de:!229argumentum de caeteris particulis inter A et C- , necnoninter A' et C' (ponimus A'C" :: A"C), cumque particulaeinfra C viribus contrariis et aequalibus urgeantur, infraC"sensibili non subjiciantur actioni, iam patet etc..... ∙.In eodem liquido vis, qua deorsum vel sursum colnmellatrahitur, constans est; eam in sequentibus exhibebimus per K.30. Fac ut massa liquida BAB'Q'Q (Fig. 55), quaeintercipitur superficie sphaerica BAB' et plano tangenteQQ',trahat externam columellam liquidam AR perpendicula-riter insistentem plano tangenti apud contactum A*: quo-niam BAB'Q'Q gignitur rotatione areae ABQ circa ra-dium AO, perinde erit sive spectetur attractio massae BAB'Q'Q,sive spectentur attractiones infinitarum numero superficierumcylindricarum, quae in ea rotatione gignuntura perpendicu-lis DC , D'C', . . . demissis ex punctis D, D' . . . circu-laris arcus BA in rectam QA. Exprimant p , p', ... per-pendicula DC, D'C',. :.; q, q' , .. perpendiculorum di-stantias AC, A.C' .. ab A computatas in AQ, sitque :-sphaericae superficiei radius OA: ob magnam lineolarump, p, . ..tenuitatem prae q, q', ...,erunt9' ∣vf:?" 2r'p— 2r'...'let consequenter praefatae superücies cylindricae exhibe-buntur per' q,! "03 "q '3, ∙ ∙ ∙'seu , 21) r rq?2:- 2nq ,Zitq ,...Atqui ob eamdem illam tenuitatem puncta uniuscuiusque su.-perficiei cylindricae haberi possunt pro aequidistantibus abunoquoque columellae puncto: designantibus igitur &, ö'. ..qnantitates pendentes et a certa quadam distantiarum lege,.Kn.-"M— . ⇀ ⋅−−∙⇀∙⋅↼ ⋅⋅−↪∎⋅⊾ −−↼↼∎↼ ↽− ↼−⋅−⋅−⇀−⇀−⋅∙∎∙∙↼ −−↼↰⋅−↽⋅- −⋍⇂∙⋅−230et a liquidi densitate, et a cosinibus angulorum quos cumAO faciunt rectae ab attrahentibus superficierum punctisductae ad attracta columellae puncta, eae superficies columellam sursum verticaliter trahent viribusTeq38 Tog'38totaque massa BAB'D'Q columellam AR sursum verticaliter trahet vi1938 +7.9'38' +.Si concipitur altera massa liquida PAP'OʻQ intercepta plano QQ et nova superficie sphaerica PAP, cujus radiusO'A = p , simili ratione ostendetur vim ex PAP'Q'Q foreπαδ+πα35 '+ ..Vires itaque istae erunt ut- Eq: 8 : "5q?: = >erunt nempe reciproce at sphaericarum superficierum radii. Hinc designante H opportunam quantitatem constantem , exprimetHvim, qua sursum verticaliter massa liquida BAB'Q'Q trahit.columellam AR : caeterum quisque videt fore H = 12q30.230et a liquidi densitate, et a cusinibus angulum quos cum ⋅AO faciunt rectae ab attrahentibns superficierum punctisductae ad attracta columellae pnncta, eae superficies colu-mellam sursum verticaliter trahent viribusnq3d th'3ö",.... r :-totaque massa BAB'Q'Q columellam AR sursum verticali-tcr trahet vi∏⊄∍∂−⊢∏⊄⋅∃∂⋅⊹ ∙ ∙ ∙ ∙.r .Si concipitur altera massa liquida PAP'Q'Qintcrcepta pla-no QQ' et nova superficie sphaerica PAP', cuius radius) O'A-z r' , simili ratione ostendetur vim ex PAP'Q'Q fore12:738 −−⊢ ∏⊄≖∃∂∣⋅−⊢ ∙ ∙ ∙ ∙rVires itaque istae erunt ut7! :: ↿ ↿r Zq d . —r,2q ∙−−≀∙ −∙⋮∙∙ ,erunt nempe reciproce ut sphaericarum superficierum ra-dii. Hinc designante H Opportunam quantitatem constan-tem, exprimetH∙∙−∙−'vim, qua sursum verticaliter massa liquida BAB'Q'Q trahit.columellam'AR : caeterum quisque videt fore H::an36.231

cum e.

tis rrH

4. Quantitas K major est quamnim K exprimat vim ( 2.0) , qua sursum trahitur columellaHAR a massa liquida LFAF'L' , exprimet K vimqua sursum trahitur AR a segmento sphaerico MBAB '.HId vero importat K > o ; ergo etc.

5.0 Massa liquida BAB'E'E terminetur superficieconcavo -spherica BAB' : ducto per A plano tangente QQ ,sollicitabitur columella AR deorsum ( 2.9 ) vi K ex EFAF'E' ,Hsarsum (3.9) vi ex BAB'F'F ; tota igitur BAB'E'E trahetdeorsum columellam AR vi (4.0).bio313н. KIRin i, i' , ... ,

6.• Superficies sphaerica NAN' habens radiumO'A = 0A tangatur plano QQ in A ; columella AR aeque trahetur sursum a massa liquida NAN'Q'Q ac trabilur a massa BAB'Q'Q : patet ( 3. ) çum ex eo quod, productis DC , D'C' , ... donec occurrant arcui circulari ANexsistunt DC=Ci; D'C' =C'i, ... ; tum exeo quod Ci , Ci', ... , sunt tenuissimae prae AC, AC,si qua pars columellae non trahitur sursumsit tenuissima prae reliqua parte sursum altracta .

7.º Columella igitur AR magis trahetur deorsum ab EE'N'AN quam ab EE'F'AF ; excessusque uniusHattractionis supra alteram erit . Propterea massa liquida desinens in superficiem convexo- sphaericam NAN' tralietdeorsum columellam AR viita ut ea1K +1i.231H 4." Quantitas K major est quam —-: cum e-- rnim K exprimat-vim (29). qua sursum trahitur columellaAR a massa liqui/da LFAF'L', exprimet K —E rvim ,qua sursum trahitur AR a segmento sphaerico MBAB'.Id veroinrportat'K—g- ≻∘ ∙∙∙ ergo etc.. . .59 Massa liquida BAB'E'E terminetur superficieconcavo-spherica BAB' : ducto per A plano tangente QQ',sollicitabitur columella AR deorsum (2.0) vi K ex EFAF'E',sursum (3.") vi!-.;l ex BAB'F'F; tota igitur BAB'E'E trabetdeorsum columellam AR vi (4.0)∙K—ll'a r6.0 Superficies sphaerica NAN' habens radium()"AzOA tangatur plano QQ' in A; columella AB ae-que trahetur sursum a massa liquida NAN'Q'Q ac trabi-tnr a massa BAB'Q'Q: patet (39) tum ex eo quod, pro—ductis DC, D'C' , ... donec occurrant arcui circulari ANin i, s"...., exsistunt DCxCi; D'C'..-::C't", ...: tum exeo quod Ci, C'i',. . . ,sunt tenuissimae prae AC. AC',ita ut si qua pars columellae non trahitur sursum , easit tenuissima prae reliqua parte sursum attracta.7.o Columella igitur AR magis trahetur deor-sum ab EE'N'AN quam ab EE'F'AF; eicessusque uniusHattractionis snpra alteram erit -— . Propterea massa liqui-⋅ rda desinens in superficiem convexo-sphaericam NAN' trahetdeorsum columellam AR vin∣≺⊣−−−⊑−⋅∙232

8.º Pone superficiem BAB' neque esse sphaericam,neque gigni rotatione ullius curvae circa AO

secla BAB

planis transeuntibus per A0, curvilineae sectiones apudcontaclumA gaudebunt inaequalibus osculi radiis

quos

inter( demonstrationem suo tempore videre erit in parte 3.4 nostrorum elementorum matheseos 0. 118) bini reperiunlur, alter minimus(=r), alter maximus(=r'), pertinentes ad binas sectiones sub angulo recto invicem constitutas. Iam, in ea qua sumus hypothesi, hoc pacto determinabitur visex BAB'Q'Q sursumverticaliter trahens columellam AR. Intelligatur coalescere BAB'Q'Q ex infinitis numero superficiebus cylindricis normaliter insistentibus plano tangenti QQ'

' unaquaeque superficies cylindrica non eamdem habebit ubiquealtitudinem

sed apud bina puncta

e diametro opposita,quibus nempe maximus respondet circựlus osculator, altitudo erit minima

apud bina puncta

e diametro pariter opposita, perque gradus 90 ab illis primis sejuncta,quibus videlicet minimus respondet circulus osculator,altitudo erit maxima

apud intermedia puncta altitudines

interjacebunt minimam maximamque. Quapropter evolutasuperficie cylindrica super aliquo plano, ea poterit repraesentari per aream QNN"Q"( Fig. 56)

NN

" aequaturbasi superficiei cylindricae

QN et

Q"N" simul cum Q'N'exhibent altitndines minimas

Fu et F'u

' altitudines maximas hinc Nu

= uN'= N'u'= u'N". ob perexiguum baseos cylindricae radium poterunt QF, Q'F, Q'F',("F'haberi pro lineis rectis

eritque

1QN+Fu NN " QʻF'Q'FQ = 1NuFQ = 4 Nu 2 NN ” QN + F4 22328." Pone superficiem BAB' neque esse sphaericam,neque gigni rotatione ullius curvae circa AO; secta BAB'planis transeuntibus per AO, curvilineae sectiones apudcontactumA gaudebunt inaequalibus osculi radiis quos

inter (demonstrationem suo tempore videre erit in par-te 3.*' nostrorum elementorum matheseos n. 118) bi-sni reperiuntur, alter minimus( ::r), alter maxi-mus (:r'), pertinentes ad binas sectiones sub angulo re-cto invicem constitutas. Iam,in ea qua sumus hypothe-si, hoc pacto determinabitur vis et BAB'Q'Q sursumverticaliter trahens columellam AR. Intelligatur coalesce-re BABHQQ ex infinitis numero superficiebus cylindri-cis normaliter insisteutibus plano tangenti QQ' :'unaquae-que superficies cylindrica- non eamdem habebit ubiquealtitudinem; sed apud bina punctae diametro opposita,quibus nempe maximus respondet circulus osculator, al-titudo erit minima; apud bina punctac diametro pari-ter opposita, perque gradus 90 ab illis "primis seiuncta,quibus videlicet minimus respondet circulus osculator,altitudo erit maxima: apud intermedia puncta altitudinesinterjacebunt minimam maximamque. Quapropter evolutasuperficie cylindrica spper aliquo plano, ea poterit reprae-sentari per aream QNN"Q" (Fig. 56); NN" aequaturbasi snperficiei cylindricae QN et Q"N' simul cum Q'N'

exhibent altitudines minimas -; Fa et F'u' altitudines ma-ximas; biuc NucuN'zN'u'2u'N".ob perexiguum ba-seos cylindricae radium poterunt QF, Q'F, Q'F ', Q"F'habcri pro lineis rectis; eritqueNN"Q'F'Q'FQ::4NuFQ

4 Nu 'QN'zl-F"

∙ NN" QNj'F".233ericam,a BABes apudi quoiRetentis igitur denominationibus ( 3.9 ) , superficies cylindricae , ex quibus intelligitur coalescere massa BAB'Q'Q( Fig. 55 ) , erunt92 Lo pár.+92 q /2+2r2r' 2r'2πα ,2r2tq'>seumari 2 2aloreypotheSursa mga (: + ?). mg ( + ),...Dalescelindenaquatubigepposila,et consequenter massa BAB'Q'Q desinens in superficiemBAB' utcumque concavam trahet verticaliter sursum columellam AR vior , alπα2o pari ?( + 1) + ", ( +3)x + ...Atqui ( 3.9 ) 7.938 + Teq'38 ' + .... = H :Ejuncta,ulator ,Studiosevolurepratequaturexprimetur ergo vis illa per16+)les m2um bio1 079. Sume Q '"'N '" et F " u " ( Fig. 56 ) aequidistantes ab QN et Fu : erunt Q " N "" , F " u " duae ex altitudinibus intermediis ( 8. ) respondentes duabus sectionibus curvilineis ad angulum rectum invicem constitutis.Radii circulorum osculantium sectiones istas apud A ( Fig.55 ) designentar per po" et p' : erit ( Fig. 56 )9'2Q" N " +F " u " =922r ".qo +27 +g'?2r . ' 2r' '116233Retentis' igitur denominationibus (3.") , superficies cylin-dricae, ex quibus intelligitur coalescere massa BAB'Q'Q(Fig. 55 ),erunt/£ fl" q" a"2r .l-Zr ∙ 2r21tq 2 , 27tq .l-Zr' 2 , ∙ , seu↔⇍≖↙≀⋮↿≺ ,') "rv ')⋅⋅2 rii-" 2≀∙⊣−∣⋅⋅∅⋅⋅⋅⋅et consequenter massa BAB'Q'Q desinens in superficiemBAB' utcumque concavam trahet verticaliter sursum co-lumellam AR vi"f(ï-Fl?) ∂⊹∙⋮≖−≣−⋅⋮−≺−∶−−⊦∙≙≻∂↝⊹∙ ∙∙rAtqui (3.0) nq3ö -l-7tq'3d' ∙−⊦ ∙ ∙ ∙:∙ H:exprimetur ergo vis illa per⋅≣⋅≺⊥⊣−−↿⊺≻ ⋅

- r

9.0 Sume Q'""'N et F"u" (Fig. 56) aequidi-stantes ab QN et Fu : erunt Q'"N"', F"u" duae ex al-titudinibus intermediis (89) respondentes duabus sectio- .nibus curvilineis ad angulum ≖⋅∁∁⋯⊞∙ invicem constitutis.Radii circulorum osculantium sectiones istas apud A ( Fig.55 ) designentur per r" et r'" : erit (Fig. 56)0 (ns 'lr Jr ' ∎∙ lr.'a a 'a' ': ≺≀⋅⋅∙↓↜⇃∙⋅∙−⊦∣∂⇁⇈≀↓∙∙∶∶−∙↙−⇃−⋅− ⊄⋞∣ −⊦⋞∣∙∙234est autemmane ccQ " N '" + F " u" = QN + Fu =922r9'22r +2r etc.:1igitur+++++110et consequenter16 + *) = " 6 + - ): under10.º Si superficies concava BAB' ( Fig. 55 ) gignitur rotatione alicujus curyae circa OA , fietCoracer = r = r ' = r '"I supeac proinde vis ex BAB'Q'Q sursum verticaliter trahenscolumellam AR erit ban,zebicHreciproce nimirum ut radius osculi apud A.11.• Facile nunc intelligimus attractionem massae liquidae BAB'E'E, terminatae superficie utcumque concaya BAB' , in columellam AR foreK - " ( + -) .velK6+ );234est autem↾∣∣ ⇌∎!'2 :NI" F" ": −∙ Q. ∙−⊦ u QN—l—Fu q2r ↿ q 0LI 2r' , 2r ∙−⊦ 2r' ,etc.tigitur1 ↿− ↿ ↿i- ∣rr ∣⋅⊤⋅ .'"? 'et consequenterH 1 ↿ H∎↿ ↿ ⋅−⋮−≺−≀∶⇀⊦ r' )— 2(r" hl-r'") ⋅∙10.0 Si superficies con-cava BAB' (Fig. 55 ) gi.gnitur rotatione alicujus curvae circa OA ,fietI ';∣←−∶≀∙ :r :r '" ;ac proinde vis ex BAB'Q'Q sursum verticaliter trahenscolumellam AR erit'H-",reciproce nimirum ut radius osculi apud A.

11.(, Facile nunc intelligimus attractionem mas-sae liquidae BAB'E'E, terminatae superficie utcumque con-cava BAB' ,in columellam AR foreH1,1) H(1,1 ∙K2(r '7 'velK 2r" 'r'")'ïfbiu235massae vero liquidae NAN'E'E, terminatae superficie utcumque convexa NAN' , in ipsam AR foreK + 6 + -) .ved K + "6+ ) :fiet =r =r" = r" in casu superficiei genitae rotatione lineae curvae circa OA.

110. His declaratis , venio ad ascensum descensum que liquorum in tubis capillaribus.

1.° Aqua in tubis vitreis diversae capacitatis ad diversas ascendit altitudines, quae sunt reciproce ut tuborum diametri: idipsum contingit oleo, spiritui vini, etc..; ascendentesque liquores terminantur superne concava superficie. Concavae superficiei causam adsignavimus (109 1.): ad ascensum quod pertinet, sit QQ ( Fig. 57 ) suprema superficies aquae circumambientis tubum LE , et I A'B' concava superficies aquae intra tubum; sint insuper A'R, VR' binae columellae verticales, altera intra, altera extra tubum, quas columellas jungat horizontalis columella RR'. Urgebitur A'R deorsum gravitate simulque vi (109. 11. ° )K - 16 + );urgebitur VR' deorsum gravitate simulque vi ( 109. 2.° )K :.cum igiturНK > K(2 + ),235massae vero liquidae NAN'E'E, terminatae superficie utcum-que convexa NAN' ,in'ipsam 'AR foreH 1 1 H 1 1 K—(-2(,, ∣∣⋅ .).ve1K( ,(,.,'. ...-)r rfiet r:r':r"—-::r"' in casu snperficiei genitae rotatione li-neae curvae circa OA".

110. His declaratis, venio ad ascensum descensumque liquorum in tubis capillaribus.

1." Aqua in tubis vitreis diversae capacitatis ad diversas ascendit altitudines, quae sunt reciproce ut tuborum diametri: idipsum contingit oleo, spiritui vini, etc..; ascendentesque liquores terminantur superne concava superficie.

Concavae superficiei causam adsignavimus (10913): ↙ad ascensum quod pertinet , sit QQ' (Fig. 57) supre-ma superficies aquae circumambientis tubum LE , et I'A'B'concava superficies aquae intra tubum; sint insuper A'R,VR' binae columellae verticales, altera intra, altera extratabum, quas columellas iungat horizontalis columella RR'.Urgebitur A'R deorsum gravitate simulque vi ( 109. 11.")H1711,K2(rlr1)aurgebitur VR' deorsum gravitate simulque vi ( 109. Z.")∕cum igitur236haud poterunt A'R , VR' consistere in aequilibrio nisi A'Rascendat supra QQ . Denotet z altitudinem AA , ad quam ascendit columella A'R supra QQ'; sitque c gravitas specifica liquoris: fiet eousque columellae ascensio donec habeaturHK = K-16 + )+c=;unde == 2c ( + ).

Vires ex materia tubi eas tantum liquidi particulas afficiant, quae ad internam ipsius tubi superficiem maxime accedunt; iccirco liquidum perinde trahetur, a tubo ac si interna superficies esset plana: permanente igitur tubi ac liquoris qualitate, etsi variat tubi diameter, eodem tamen pacto trahentur liquoris particulae versus tubum; quae attractio quia cum constanti attractione liquoris erga seipsum consociatur, extrema latercula curvae BAB' aeque inclinabuntur ubilibet ad internam tuborum superficiem. Arcus itaque omnes BAB' erunt similes in diversis tubis, ipsorumque arcuum rotatione circa tubi axem gignetur superficies concava superne terminans liquorem : bini videlicetr et r' exsistent aequales, simulque tuborum diametris proportionales; ideoque altitudo z reciproce ut eae diametri.

2. • Hydrargyrum in tubis vitreis descendit infra circumambientis hydrargyri superficiem QQ ad ejusmodi altitudines , quae sunt tuborum diametris reciproce proportionales ; descendensque liquidum terminatur superne convexa superficie NOM.Convexitatis causam adsignavimus ( 109. 1.0 ) : ad descensnm quod spectat , columellarum OR et VR' alterasollicitatur deorsum gravitate simulque vi ( 109. 11.° )0{K + C + ) ,236haud poterunt A'R, VR' consistere in aequilibrio nisi A'Rascendat supra QQ'. Denotet :altitudinem AA' , ad quamascendit columella A'R supra QQ'; sitque c gravitas spe-cifica liquoris: fiet eousque columellae ascensio donec ha-beaturH ↿ ↿ H 1 ↿∣≮≓⋅∶∶∣⊊∙− −∙≨∙⋖−−∙−⊢⊤≻−⊢∶≖∙ under—' 2c(r ≓≀∙∙≻ .r .!Vires ex materia tubi eas tantum liquidi particulas af-ficiunt, quae ad internam ipsius tubi superficiem maxi-me accedunt; iccirco liquidum perinde trahetur, a tuba ac siinterna superficies esset plana : permanente igitur tubi iteliquoris qualitate, etsi variat tubi diameter, eadem tamenpacto trahentur liquoris particulae versus tubum; quaeattractio quia cum constanti attractione liquoris erga se-ipsum consociatnr, extrema latercula curvae BAB' aequeincl'uabuntur ubilibet ad internam tubarum superficiem.Arcus itaque omnes BAB' erunt similes in diversis tubis,ipsorumque arcuum rotatione circa tubi axem gignetursuper-iicies concava superne terminans liquorem : bini videlicetr et r' exsistent aequales, simulque tubarum diametris pro-portionales; ideoque altitudo :reciproce ut eae diametri.

2.0 Hydrargyrum in tubis vitreis descendit in-fra circumambientis hydrargyri superficiem QQ' ad eius-modi altitudines , quae sunt tubarum diametris recipro-ce proportionales; descendensque liquidum terminatur su-perne convexa superficie NOM.Convexitatis causam adsignavimus (109. 1.(, ) : ad de-scensnm quod spectat, columellarum OR et VR' alterasollicitatur deorsum gravitate simulque vi (109. 11.")Hi 1K".'a(1"'r")'I:'P.?237altera sollicitatur deorsum gravitate simulque vi ( 109. 2.0)K :cum igiturK < K + -( + )haud 'poterunt OR et VR' sese librarè nisi OR descendat infra QQ. Designet é altitudinem AO , ad quamdeprimitur columella OR infra QQ' ; sitque c' gravitasspecifica hydrargyri : eousque fiet columellae depressio donec habeatur,HK=K + ( + )- c'z' , unde z' = 2c'(+ >>).Ut supra ( 1. ) ostenditur binos r , r' fore aequales, simulque proportionales tuborum diametris ; iccirco etc.

111. Nonnulla subjungimas, quorum ratio desumitur ex animadversionibus (109).

1.º Duae laminae vitreae et parallelae PP ', SS ' demergantur verticaliter in aquam, earumque mutua distantia aequetur diametro tubi capillaris LE: suprema aquae superficies B " A " B " inter laminas evadet concava instar canalis horizontalis; altitudo vero A'al= x ), ad quam attollitur aqua, erit duplo minor altitudine ad quam attollitur in tubo LE.: Infima superficiei B " A " B '"' puncta jacent omnia ineadem recta A'A'": secetur B " A " B " " plano perpendiculari ad A " A " '; sectio erit ubilibet arcus arcui BA'B' similis etaequalis : istorun arcuum radius osculi apud puncta infimadicatur r ; in tubo LE erit p = r , in laminis r= -0 . Colamellarum igitur A'R , VR aequilibrium praebebit ..237altera sollicitatur deorsum gravitate simulque vi (109. 23)K :cum igiturX(K 'H( ↿r ral,).rbaud' poterunt OR et VR' sese librare nisi OR descen-dat infra -'QQ. Designet z' altitudinem AO,- ad quamdeprimitur columella OR infra QQ'; sitque c' gravitasspecifica hydrargyri: eousque fiet columellae depressio do-nec habeatur.1∙↿'∣∟−∣≖⊹−−⊸ 2(-—--]——-)-—c",z undez'—.2[:7(1 [r').Ut supra (1 .") ostenditur binos r, 'r' fore aequales, simul-que praportionales tubarum diametris; iccirco etc.,.,11.1 Nonnulla subjungimtts ,- quorum ratio desu-mitur ex animadversionibus (109).↿∙∘ ∐∎≖≔∘∙ laminae vitreae et parallelae PP', SS'demergantur verticaliter in aquam, earumque mutua distantiasequetur diametro tubi capillaris LE : suprema aquae super-ficies B"A"B"' inter laminas evadet concava instar canalishorizontalis; altitudo vero A"a(:.r) , ad quam attollituraqua , erit duplo minor altitudine , ad quam attolliturintnhoIfE.- ⋅∶∶⊸∙Infima superficiei B"A"B"' puncta iacent omnia infen-dem recta A"A'": secetur B"A"B"' plano perpendiculariad A"A"'; sectio erit ubilibet arcus arcui BA'B' similis etaequalis: istorum arcuum radius osculi apud puncta infimadicatur r; in tuba LE erit r'zzr, in laminis r'zoo; Cos-lumellarnm igitur A'R , VR' aequilibrium praebebit't-dïff2382c ( + ) " ;Tetscolumellarum autem A ” R " , VR aequilibrium suppeditabitH101 IK -K - I ( + ) +re , f =.2c1Hinc xai 2ż z ; ideoque etc.....2.0 Laminae PP ' , SS , sibi commissae ad sematuo accedunt.Sit P" punctum quodvis laminae PP: infra QQ adprofunditatem Alla " : columella verticalis Alla" transmittetpuncto P vim ( 1.0 ) .K- ( + ) +ostan") = KH+2r Tersus1 .C2c 5+c. a a'" = K +0. aa!"dicenndnetfenotaversus Qt : attenta columella horizontali . a " ' P " , urgebi amelltur P vi seu pressione externa + traiKversus Q't': colamella verticalis V'a transmittet puncto P "vimK+c.aa " "versus Qi' : attenta columella horizontali a'P ' , solicitabitur P " vi seu pressione interna 16TSU238H(t 1) H 1z— ⇂ ∙−−− ∙⋅ ;20 r !' C !'columellarum autem A"R"', VR' aequilibrium suppeditabit!H 1 1 H 1− ↿ ∣ ⊫−∙− −⋅⋅ ∙!cx . ∙∖Hlnc ∙ æ;—2—z;l ∙ ⋅ 1deoqueetc......⋅⋅ n .'2.o Laminae 'PP. SS', sibi commissae ad sea') 'At mutuo aeeedunt. )Sit P" punctum quodvis laminae PP' infra QQ' adprofunditatem A"a ": columella verticalis A"a transmittetpuncto P" vim (1.). & ↽(⋅. H 1 1⋅ " HK(cæ—-—aa"' :K −−−∙−−∙ 2 ≀⋅∙⋮∙∙∞ .'. (M' . 2r. . '"1ciii .-—--)-c.aa :::K'I—ILmaa'".⋅.. .: '".versuth : attenta columella horizantali- a.'"P" , urgebi-tur P" vi seu pressione externa,.. ⋅∙ ⋅('. a∙ t '. '(1..

infimadicatur r; in tuba LE erit r'zzr, in laminis r'zoo; Cos-lumellarnm igitur A'R , VR' aequilibrium praebebit't-dïff2382c ( + ) " ;Tetscolumellarum autem A ” R " , VR aequilibrium suppeditabitH101 IK -K - I ( + ) +re , f =.2c1Hinc xai 2ż z ; ideoque etc.....2.0 Laminae PP ' , SS , sibi commissae ad sematuo accedunt.Sit P" punctum quodvis laminae PP: infra QQ adprofunditatem Alla " : columella verticalis Alla" transmittetpuncto P vim ( 1.0 ) .K- ( + ) +ostan") = KH+2r Tersus1 .C2c 5+c. a a'" = K +0. aa!"dicenndnetfenotaversus Qt : attenta columella horizontali . a " ' P " , urgebi amelltur P vi seu pressione externa + traiKversus Q't': colamella verticalis V'a transmittet puncto P "vimK+c.aa " "versus Qi' : attenta columella horizontali a'P ' , solicitabitur P " vi seu pressione interna 16TSU238H(t 1) H 1z— ⇂ ∙−−− ∙⋅ ;20 r !' C !'columellarum autem A"R"', VR' aequilibrium suppeditabit!H 1 1 H 1− ↿ ∣ ⊫−∙− −⋅⋅ ∙!cx . ∙∖Hlnc ∙ æ;—2—z;l ∙ ⋅ 1deoqueetc......⋅⋅ n .'2.o Laminae 'PP. SS', sibi commissae ad sea') 'At mutuo aeeedunt. )Sit P" punctum quodvis laminae PP' infra QQ' adprofunditatem A"a ": columella verticalis A"a transmittetpuncto P" vim (1.). & ↽(⋅. H 1 1⋅ " HK(cæ—-—aa"' :K −−−∙−−∙ 2 ≀⋅∙⋮∙∙∞ .'. (M' . 2r. . '"1ciii .-—--)-c.aa :::K'I—ILmaa'".⋅.. .: '".versuth : attenta columella horizantali- a.'"P" , urgebi-tur P" vi seu pressione externa,.. ⋅∙ ⋅('. a∙ t '. '(1..

- ∎∙ 3 ' ∙

.versus Q't': columella verticalis V'a' transmittat puncto P"visu ⋅⋅ ' ⇀'''⋅⋅⋅K—l—caa ?.versus Q't': attenta columella horizontali a'P", sollicita-bitur P" vi seu :pressione interna "''-⇂⇣ r 'a'ms1111:"But"fin239Kversas Qt : erit igitur p " aeque sollicitatum hinc et illinc,nullusque motus gignetur ab istis viribus.Sit P' " ' punctum ipsius PP' inter QQ et A " A  : verricalis columella A " a " transmittet puncto P " ' vimк-16 + ) + ( 6 – aa ") = K -H+2rHS c.aa" = K- c.aa' '2rversus Qt : ob columellam horizontalem P '" a " urgebiturP " " vi seu pressione externaKversus Qt : cum igitur K > K - c.aa " , nitelur " moveri ad plagam (t' .Ascendet aliquantulum aqua externa prope laminam ÞPinduetque ( 109. 1. ) figuram concavam ee'e ' ; propterea,denotante & radium osculi apud punctum v . gr. e' , columella e'b normaliter insistens superficiei curvae ee'e" ine' transmittet puncto v. gr. b vimHK29 ( +4) = K 2 €versus Qt’ : attenta columella horizontali e'b ', urgebitur b ' vi seu pressione internaKversus Qt : ex aqua éb'é' proveniet in bi vis∙ 239KVersus Qt: erit igitur P" aeque sollicitatum hinc et illinc,nullusque motus gignetur ab istis .viribus. Sit P'" punctum ipsius PP' inter QQ' et A"A"': ver-ticalis columella A" a" transmittet puncto P"'v vimK--—-(—1--—l--—) —[—c(x—-aa" ∙−−∶ ∣⊂−∙≗ ∙⋅⊢H—— c.aa"−−−−− K— c.aa" 2r ∕versus Qt'- ob columellam horizontalem P"'a "P'" vi sen pressione externa"—urgebiturKversus Q't'. ∙ cum igitur K)K—c.aa" , uitetur P"' mo-veri ad plagam Q't' .Ascendet aliquantulum aqua externa prope laminam PP' induetque (109.1.?) figuram concavam ee'e" ; propterea,denotante & radium osculi apud punctum v. gr. e', co-lumella e'b normaliter insistens superficiei curvae ee'e" ine' transmittet puncto v. gr. b' vimH 1 1 H K—⊸≳↽≼−⋮⇀⊣−∘−∘−⊢ ≖⊊−−⊸⇄−∊versus Q't'- attenta columella horizontali e',b' urgebi-tur b' vi seu pressione interna '-. K8versus Qt: ex aqua e'b'e" proveniet in b' vis240c.e" 6versus Qit' : columella verticalis A " 6 " transmitiet punctob' yimHK25+ c . A " 6 "versus Qt : attenta columella horizontali b'b' impelletur 6vi seu pressione esternaKversus Qt . EstH2r = cx = C . A'a ;librato insuper liquido , pressiones apud V' et é' sunt aequales , et consequenterK = KH28 to.e" 6 ,H= c.eb' ;2 €detractisque proinde viribus versus Qt ex viribus versusQ'ť , emergetH нK2e-K + c.e^ 6—K+-c.A "b" + K = c.eb - c.A "6" +H H2r 2 €c (e" b' — A " 6" + 1" a - c'b') = c.b "a > o :sollicitabitur ergo b' vi c.6 " a versus Q't' .Veniat denique spectandum in lamina PP punctum p 'inter A " A " et B " B " : sit P'a" columella horizontalis ; a'icolumella perpendicularis superficiei curvae B’A " B " " apuda " ; dicaturque é radius osculi in a ' ' . Transmittet a'ipuncto Ph vim240c . e"b'versus Q't' :columella verticalis A"b" transmittet punctob' vim. H ""K—Z—i—c'Abversus Qt :attenta columella horizontali b'b" impelletur b'vi seu pressione externa↴Kversus Q't'. EstH∙∠−≀∙−∶∶∘∙↿∽⋅∶∘∙∆∎∣∅librato insuper liquido , pressiones apud V' et a' sunt ac-quales , et consequenter-——-K——'l"c. e"6'. Eli-:o- e"b':detractisque proinde viribus versus Qt ex viribus versusQ": , emerget ⋅K—is'". -K—]—.- .∘∣∙∣↗∣−−⋅↧≮−⊦ ≛↿−⊑∙⊸∙∆∦∣⊃⋅∣−⊢↧⊊∶⊸⋅⊜∣⋅∣⊃⋅−∘⋅∆⋅⋅≀≀⋅∣−⊦H H ".!.,h 1∙−−".ii.—22"— ..—c("eb'- Ab -I-Aa-c.b)—-c.b a)o.sollicit'abitur ergo b' vi c.b"a vcrsus Q't' .Veniat denique Spectandum in lamina PP' punctum P"inter A"A"' et B"B" : sit P"'a" columella horizontalis; a"icolumella perpendicularis snperficiei curvae B"A"B"' apuda" ; diceturque e' radius osculi in a". Transmittet a":puncto P" vim.241KH2 €.versus Qt : ex liquido superincumbente proveniet in p ' ' visB ' P "versus Qc : attenta P " a " urgebitur p " vi seu pressioneexternaKversus Qit' : librato liquido , pressiones apud a " et A ” suntaequales ; proinde ducta horizontali Allu ,H HK tc.P" u = K = K- C. A'a ,2 € 2rH= c ( Pu + A " u ) = c.P ' :26detractis igitur primis duabus viribus ex tertia , assequemurHK - K +c . B ' piv H-C.B" piv2€ 22'c ( Piu' B ' p ' ) > 0.Lamina itaque PP' movebitur versus Q'C' : eadem de causamovebitur lamina SS' versus Qt ; ideoque etc...

3. Si aquae substituitur hydrargyrum , suprema liquidi superficies inter laminas PP' , SS ' fiet convexa instar horizontalis inversique canalis ; deprimetur liquidam ad altitudinem duplo minorem quam in tubo LE ;ipsae insuper laminae adhuc ad se mutuo accedent . Haecexplicantur simili ratione ac ( 10, 20. )..241versus Qt :ex liquido superincumbente proveniet in P" vis& ∙ B1v Ptvversus Qt : attenta P" a"externaurgebitur P" vi seu pressioneKversus Q't' :librato liquido . pressiones apud a" et A" suntaequales .; proinde ducta horizontali A"u,H "∙∙∙ H ∙∙↿⊂−∙−∙⋮≳−⋮∙−⊢∘∙↧∙ ∥⋅−−↿⊊∙−⋮≳≀∙−−∙−−↧⊊−∁∙ A a.H ,,⊓∣27-—-c(P"u-l—Au)——-—c.P u:detractis igitur primis duabus viribus ex tertia , assequemur⊏−≖⊂−⊢⋮−⋮∶∶−∘∙∌∏ ↕⊃≖⊽∶∶∶ IST—c .B" Piv:c (P"'u' — Blv P") ∘∙Lumina itaque PP' movebitur versus Q't' : eadem de causamovebitur lamina SS' versus Qt ; ideoque etc...3." Si aquae substituitur hydrargyrum , supre-ma liquidi superficies inter laminas PP' , SS' fiet con-vexa instar horizontalis inversique canalis; deprimetur li-quidam ad altitudinem duplo minorem quam in tubo LE;ipsae insuper laminae adhuc ad se mutuo accedent. Haecexplicantur simili ratione ac (10. 20.).242

4. • Super vitream laminam horizontalem AA'B'B( Fig . 58 ) affunde gattam olei terebinthini mm ' ; tum alteram laminam vitream A " A'B'B " priori AA'B'B imponesub angulo sic exiguo , ut imposita lamina gutlam leviter attingat ; conspicies mm' , instar trochleae , terminatam quodam canaliculo ; qui canaliculus plano horizontali sectus dabit curvilineam convexamque sectionemplano verticali sectus curvilineam concavamque sectionem .Radius convexitatis ( € ) manet proxime idem inpunctis m et m' e diametro oppositis ; radius vero concavitatis ( = r' ) in puncto m' magis accedente ad A'B'minor erit quam radius concavitatis ( = r) in puncto mminus accedente ad ipsam A'B ' . Spectantes columellammam ' perpendicularem rectae A'B' , quoniam r et é ' apud mobverluntur ad plagas contrarias , itemque r et ê " apud m' ,facile intelligemus ( 109. 110. ) sollicitatum iri mam versus A'B' viHK2simulque versus AB viK16->).Cum igitur > m , prima vis erit major quam secunda ;columellaque mam , et una cum mam' tola gutta movebitur versus A'B' motu accelerato : idipsum contingitguttaeaqueae . At si ejusmodi guttis substituatur guttahydrargyri , haec movebitur versus AB ; ratio est quiagutta hydrargyri tam in sectione horizontali quam inverticali praebet curvam convexam , radiusque novae convexitatis in m superat radium novae convexitatis in m .

5.° Capillaris tubus in aquam QQtt ( Fig. 57. ) demergatur; tum, apposito digito ad orificium inferius extrahatur : remoto digito , aqua jam elevata eflaet aliquantulum ex orificio illo , ibique demum haerebit suspensa in guttam rotundam conformata ; residuae veroaquae altitudo in tubo extracto invenitur major quamaltitudo ( 110, 1º.)HZ =16 + 3) = * ( + ) crsupra QQ in tubo demerso.Exprimant et w , altera radium convexitatis apud infimam aquae superficiem in tubo extracto ,altera ipsiusaquae altitudinem : ex aqueae columnae aequilibrio profluit" ( 110. 1 ° 2°. )H HK+++www == ktö : +Hco ;crideoque w > z . Si aquae substituitur hydrargyrum , tamsuprema quam infima superficies liquidi exsistet convex2 ; ex aequilibrio igitur hydrargyri in tubo extractoemerget ( 110. 20. )H HHK + tow == Kt Hco CIet consequenter a = 0 si r = 0 .

112. Quae diximus de liquorum ascensu tubulis vitreis, applicari possunt ascensui liquorum in tenuibus cujuscumque materiei tabulis: hinc patet cur liquida ascendendo imbuant spongias, saccharum, ellychnia etc: cur succus inserviens plantarum vegetationi sursum ex terra eluctetur; etc... Istiusmodi corpora vel constant exilissimis fibris, in quibus tanquam in totidem capillaribus tubis ascendit liquidum, vel innumeros habent angustos meatus vicem tubulorum varie flexorum supplentes.

Caeterum methodo inhaerentes, qua D. Pessuti LaPlacianam theoriam ad faciliorem formam traduxit, capillarium luborum phoenomena explicavimus in hypothesi liquidorum eamdem usque ad extimas omuino superficies obtinentium densitatem: non enim nobis in animo est vel leviter attingere novam theoriam, quam de actione capillari anno 1831 edidit D. Poisson.

ACUSTICAE PRINCIPIArecensere

Notiones preambulaerecensere

113. Acustica agit de sono: non defuerunt, qui sonum consistere putabant in efluviorum a soporo corpore vibratorum motu quae efluvia ex affrictu, vel contusione sonori corporis ejaculantur atque huic affinis est alia quaedam sententia, quod contusione illa vel affrictu particulae aeris purioris in eo corpore absconditi, vel ipsum circumdantis, expellantur et ad aures usque excurrant. Verum experimento machinae pneumaticae compertum est, quod incluso tintinnabulo vel horologio horas personante in recipiente, ubi aer incipit exhauriri, incipit sonus minui; ubi autem totus exhaustus est aer, nihil jam soni auditur, utcumque pergat tintinnabulum concuti, aut horologium pulsibus affici. Hoc probat sonum non consistere in effluviis a sonoro corpore vibrati cur enim non emittuntur amplius, aut ad aures non permeant, cum imo liberius ob minora obstacula deberent? Ad majorem rei evidentiam ita hoc experimentum instituitur horologium in vitro aere pleno ac probe clauso reponitur, ne aer scilicet inde possit exhauriri tum in recipiente pneumatico collocatur, atque ex hoc educentes aerem animadvertimus sonum nullum audiri. Machina horaria aere circumsepta est ergo nullimode suspicari licet aliquid deesse circa ipsum corpus sonorum quominus sonus exaudiatur.

Dicendum potius non audiri sonum propter defectum aeris intermedii inter utrumque corpus. Porro corpus cum resonat, motu tremulo atque oscillatorio minimarum partium afficitur singulis autem oscillationibus aer corpus tremulam circumdans concutitur, similesque recipit vibrationes, quas in ulteriores particulas aereas pariter defert nisi quod impulsus in circumfusum aerem delapsi atque auditus organum afficientes eo minores ac debiliores fiunt quo magis a fonte recedunt. Enimvero corpora, quae sonora dicantur, tunc sonum excitant quando ita agitantur, ut illorum partes tremulo ac vibratorio satisque rapido concutiantur motu: sic campanae malleo percussae, ratione elasticitatis concipiunt tremoris motum, qui major fit postquam vehementius ac diutius agitatae fuerint: instrumenta musica, dum illorum fides agitantur, simili pariter tremore concutiuntur; hinc est quod chartae frustula resonanti corpori imposita subsultare cernuntur. His positis certum est tremorem similem communicari debere aeri immediate ambienti, et deinde tremorem late diffundi per aereas particulas; nam particulae aeris sonoro corpori proximae illius impulsu comprimuntur; et cum sint elasticae , post compressionem dilatantur, aliasque sibi proximas urgent; atque hoc pacto et illae vibrant, et longe lateque in particulas aereas similis vibratio omni ex parte discurrit. Hinc pulvisculi aeri innatantes, qui radio solis in obscurum conclave intromisso conspicui sunt, agitari videntur si sonus proxime intendatur: pulsato prope stagnantem aquam tympano, validius et crispari, et subsultare aqua pariter cernitur.

Haec notentur. 1º . Vis acceleratrix in vibrante particula resonantis corporis ita pendet a spatiolo quod particulae superest excurrendum usque ad nativam aequilibrii positionem, ut crescente, decrescente , vel evanescente crescat simul, decrescat, vel evanescat; propterea

et quia particularum excursiones exsistunt exiguissimae, erit,
vis nempe acceleratrix assumi potest proportionalis spatiolo .

2º. Non pluribus opus est ut intelligamus (29.4º) vibrationes omnes, sive majores, sive minores ejusdem particulae fore aequidiuturnas.

114. Progignitur quoque sonus ab aere vehementer compresso seseque statim restituente: etenim propter impetum in restitutione conceptum ad majorem, quam in statu naturali occupabat, extensionem perveniet; ac proinde cogetur se rursus contrahere, minusque naturali spatio tenere. His autem successivis contractionibus et expansionibus in reliquo aere pulsus excitantur: sic producitur sonus v. gr. virgae aerem celerrime perstringentis: simili modo qui in tibiam insufflat, sonum gignit; dum nempe per tubi orificium aer insufflatione intromittitur, ille, qui continebatur in tubo, necessario secundum longitudinem comprimitur; unde fit ut is iterum expandatur, tum denuo coarctetur; atque hoc pacto, quamdiu perseverat inflatio, perficiantur oscillationes, hisque sonus progignatur. Certe si aerea columna tubo inclusa non afficiatur nisi motu totius, sonus minime obtinebitur; utcumque vero excitentur vibrationes; ut perceptibilem sonum edant, earum numerus intra minutum secundum non debet praetergredi quosdam certos limites, videlicet 6 circiter et amplius 24000; uti compertum est experimentis Dni Savart.

115. Saepe contingit nos voce elatiori quibusdam in locis loquentes, aliquo tempore postquam siluimus repente audire rursus verba a nobis antea prolata; atque haec est illa echo, de qua plura fabulantur poetae. Philosophi in hoc conveniunt, quod echo sit motus reflexus aeris, qui motu ondulatorio affectus obici incurrens resilit consimili motu, et rursum aures nostras afficiens nos determinat ad eumdem sonum audiendum, quem antea audivimus: ut autem effectus iste contingat, necesse est aliquanto longius a loquente obicem existere. Ratio est quia si obex proximior fuerit, sonus reflexus efficiet in auribus impressionem suam antequam impressio soni directi defecerit; tunc vero non poterit secunda impressio a prima discerni. Aliquando semel tantum, aliquando saepius eadem vox per reflexionem auditur: primam contingit quando ab unico loco vox collecta rejicitur, vel a pluribus, sed ad eamdem distantiam: secundum quando vox in pluribus locis ad diversas distantias collecta revertitur ad aures sensibili successione. Hinc intelligitur quare in vallibus, quas undique colles cingunt, echo saepius iteretur.

116. Non solus aer est medium idoneum transmissioni sonorum: nam per alia quoque elastica fluida propagatur sonus. Vapores ipsi, in quos aqua, spiritus vini etc. attenuantur, sonum transmittunt; etenim si recipiens pneumaticum aere atmosphaerico evacuetur, tum aliquo ex dictis fluidis repleatur, sonus campanae vel horologii adhuc bene audietur: quin et liquores, aqua v. gr. sonum non intercipiunt, sed ipsum debilitatum licet propagant; qui enim intra aquam sunt, audiunt sonos extra aquam editos; et qui extra aquam sunt, audiunt sonos editos intra aquam. Tandem etiam corpora solida deferunt sonos ad ingentes distantias: celebre est apud milites ita terram excavare donec strato alicui bene solido aurem applicare possint, ut ex reboatu agnoscant adventum hostilis legionis, praesertim equitatus; huic strato non raro tympanum imponunt, atque levia corpora tympano imposita ex sonoris tremoribus subsultant.

De intensitate soni; deque ejus gravitate, et acutie.recensere

117. Intensitas major vel minor soni importat majorem vel minorem ejusdem soni vim ad sensationem excitandam, quae proinde in intensiore sono vehementior est, ita ut aures prae violentia laedat aliquando; in remissiore ita debilis, ut vix aliquando audiatur. Iamvero evidens est quod quo plures sunt partes sive in corpore sonoro, sive in aere simul oscillantes, eo plus motus atque activitatis, caeteris paribus, habent; ac proinde vehementius organum auditus pulsare poterunt: quo singularum partium itus et reditus major est, seu quo fortius singulae particulae comprimuntur et restituantur in unaquaque oscillatione sive in corpore sonoro, sive deinde in aere, fortiori item impressione aptae erunt organum auditus afficere. Contra, quo pauciores partes sonori corporis oscillant, eo minus communicabitur motus particulis aeris, et consequenter ab his minus afficietor auditus organum: quo singulae sonori corporis partes unamquamque oscillationem minorem habent, eo minorem item oscillationem in aeris particulis producent, ac proinde impressione minus valida auditus organum concutient. Quod ratione perspectum est, experientia quoque confirmatur; et quod ad sonum, quem vocant primitivum, attinet, corpora densiora, caeteris paribus, magis sopora sunt quam quae ex opposito; atqui hoc nonnisi quia plures particulae in his oscillant simul; ergo ex numero particularum oscillantium sonus major vel minor pendet. Rursum inter corpora aeque densa, atqae elastica, quod validius percutitur validiorem profecto sonum excitat et magnitudo soni magnitudini percussionis est proportionalis: undenam hoc repetendum est nisi ex eo quod validior percussio fortias comprimit atque oscillare vehementius cogit particulas elasticas? Quoad derivatum sonum res constat experimento machinae pneumaticae (113): cum enim exhauriri aer incipit, sonus incipit imminui; atqui hoc est quia aeris quantitas in excipulo imminuitur; et cum rarior evadat aer, minus valide comprimi et restitui ejus particulae debent; neque enim ulla alia probabilis causa est. Condensando insuper aerem in eodem excipulo ultra statum ordinarium, quem tenet in almosphaera, compertum est quod condensatus aer sopam reddit intensiorem; atque hoc quidem ita, ut intensitatis augmentum proportionem servet cum augmento condensationis. Franciscus M. Zannotti diligentius rem exploravit: aerem inclusum vase calefecit; quo pacto aeris elasticitatem auxit, densitate eadem servata, cum nullus permitteretur aeri exitas; et tunc sonus intendebatur, At rima aliqua in vase relicta, per quam aer posset erumpere, tum igne admoto, sonus multo minor visus est quam antea fuerat. Cum igitur, permanente aeris elasticitate, non idem permanserit sonus, rursus patet quod soni intensitas non solum ab elasticitate, et consequenter a magnitudine vibrationum, sed a densitate, id est a numero particularum vibrantium dependet. Nec arte solum ex rarefacto vel condensato aere intensitas soni mutata deprehenditur , sed naturali etiam aeris rarefacti vel condensati constituțione idem evenit: hinc in altissimis montibus, ubi aer rarior est, ac proinde minus elasticus, sonus multo est remissior quam in planitie , ubi condensatione atque elasticitate pollet majori.

118. Ex his explicantur sequentia circa soni intensitatem.

1º. In aperto aere sonus calore minuitur, in clauso vero calore augetur: apertus enim aer, ubi calore afficitur, sese continuo dilatat, adeoque ejus intensitas minuitur, quin elasticitas augeri debeat; quia nempe habet quo se rarefactus recipiat; ergo minor numerus particularum oscillat, adeoque remissior sonus. Contra, si aer undique clausus est, cum densitas eadem manere debeat, elasticitas autem ex calore crescat, idem erit particularum numerus, sed singularum oscillatio propter auctam elasticitatem augebitur; ergo intensior sonus.

2°. Sunt qui dicunt, aestate sonum intensiorem esse, caeteris paribus, quam hyeme; alii contra opponunt, quod hyeme intensior sit sonus quam aestate. Si in re incerta quoad factum et ex circumstantiarum varietate adeo varia ut fortasse determinari non possit , si inquam ratio reddenda esset, ajendum sonum aestate imminui debere, quia aer terram ambiens calore rarefactus minori densitate pollet, ac proinde minor erit numerus particularum oscillantium. Cum autem ex calore elasticitas crescat , hoc capite augeri debet sonus , cum nempe singularum particularum oscillationes validiores debeant. Videndum igitur quid praevaleat; et juxta vel densitatem hyeine praevalentem imminutioni elasticitatis, vel elasticitatem praevalentem aestate imminutioni densitatis, qui effectus sequi debeat.

3º. Hinc etiam explicant nonnulli cur nocte, caeteris paribus, soni majores sint quam interdiu; quia nempe densior est per noctem aer ob calorem minorem; at hujus rei explicatio verior est, quod per noctem, cessante ea aeris commotione quae per diem habetur ex multiplici strepitu, magis aptus sit aer ad soni vibrationes concipiendas et deferendas, organumque auditus nulla alia sensatione percussum aptius sit ad peculiarem aliquem sonum exaudiendum.

119. Discrimen inter gravem et acutum in sono importare profecto debet diversitatem aliquam in motu aeris, quo afficitur organum auditus, atque adeo in motu sonori corporis ex quo in aere motus hujusmodi derivatur; nam cum sensatio sonii ex impressione organi auditorii oriatur, at omnis alia sensatio ex impressione organi proportionati, et impressio ista per motum aeris ad organum appellentis fiat, profecto diversa impressio, quae a sono gravi atque acuto fit, diversum motum exigit tum in aere ex quo immediate producitur, tum in corpore sonoro a quo mediate progignitur; atqui ista diversitas non ex validiori vibratione seu oscillatione majori provenit; ex hac enim quantitas sive intensitas soni (117), non autem qualitas seu tonus procedit; ergo diversitas ista in celeriori seu crebriori vibratione partium aeris, et consequenter sonori corporis, derivanda videtur. Ratio consequentiae est, quia non alia diversitas saltem probabilior in oscillatione partium concipi potest quam, ut haec sit vel major ut scilicet quisque itus et reditus spatium majus percurrat, vel quod sit celerior ut scilicet eodem tempore plures situs ac reditus habeantur. Ergo cum ex primo capite discrimen acuti et gravis repeti nequeat, nihil afferri probabilius potest: quam celeritas oscillationum, quae certe in satione diversitatem afferre debet.

Quoniam vero in rebus physicis natura explorari maxime debet experimentis atque observationibus, ita prosequor. Constat in chordis musicis, eas quae vel breviores sunt, vel magis tensae , vel minoris diametri (nam ex hoc triplici capite diversitas tonorum habetur in fidibus) acutius resonare; contra graviorem sonum reddere eas, quae longiores sunt, vel minus tensae vel majoris diametri: atqui chordae breviores vel magis tensae etc. percussae, plures numero vibrationes pari temporis intervallo producunt, pauciores aliae; hoc patet ex ipso sensuum testimonio: ergo sonus acutus habetur in chordis, quae frequentius dato tempore oscillant; gravis autem etc. In ea insuper proportione, in qua frequentiores aut rariores sunt vibrationes chordae musicae, est etiam magis vel minus acutus sonus: ergo frequentior aut rarior vibratio omnino connexionem habet cum tono per chordam musicam producto; pendetque tonus ex illa frequentia aut raritate vibrationum, tamquam effectus a sua causa. Quod dictum est de chordis musicis, valet etiam in campanis et pocalis vitreis, aliisque id genus sonoris corporibus; haec enim percussa figuram rotundam in ovalem mutant, eorumque proinde fibrae eundo et redeundo oscillare debent, atque ex hac oscillatione sonus oriri colligitur; ut autem gravior vel acutior est sonus corporis, ita in figura immutatio et restitutio seu fibrarum ítus ac reditus rariores sunt aut crebriores. Porro si id in sonoro corpore contingit, ut gravior sonus obtineatur quando minor vibrationum numerus habetur in corpore, jam tunc in aere quoque minor vibrationum numerus haberi dicendus est: siquidem tot numero vibrationes dato temporis intervallo producuntur iu aereis particulis a tremulo motu corporis resonantis, quot ab ipsius corporis sonori fibris seu particulis eodem tempore peraguntur; et vice versa quot in aere gigni ac propagari vibrationes constat, totidem in ipso corpore resonante produci dicendum est.

120. Dum plurium corporum sonus ita temperatur ut gratus sit auribus, dicitur consonantia seu concentus, si ingratum sonum produxerint, appellamus dissonantiam: in sonis ita temperandis ut sint jucundi, ars musica versatur. Tonus musicus seu consonantia pendet ex eo quod certo tempore certus vibrationum numerus a pluribus sonoris corporibus peragatur, et particulis aereis communicetur. Si duo vel plura corpora sonora intra idem tempus vibrationem absolverint , consonantia est omnium perfectissima , et sonus dicitur unisonus ; si eodem tempore unum corpus unam , aliud duas vibrationes expleat, consonantia haec dicitur octava: ita appellatur ex eo quod per quandam tonorum seriem ascendendo hic tonus a musicis octavo loco constituitur. Si eo tempore quo unum duas vibrationes, aliud tres absolvat, adeoque secunda unius cum tertia alterius concurrat, dicitur quinta: si eo tempore quo unum tres, aliud quatuor vibrationes conficiat, quarta nuncupatur; atque istae sunt consonantiae illae, quas Pythagoras advertisse traditur, dum quinque fabri malleis ferreis massam ferream contunderent. Consonantiae istae in vibrationibus chordarum inventae sunt ; imo etiam alii successu temporis consonantiae gradus additi , quos diligenter musicae scriptores explicant. Si videlicet numeri vibrationum , quas dato tempore chordae musicae efficiunt , sunt ut chordae illae edent notissimos tonos do, re , mi , fa , sol , la , si , do: constat experimentis saepissime iteratis; etenim chordae homogeneae , aeque crassae , eodemque pondere tensae , quarum longitudines sint uti praefatos tonos edunt.

Haec subjungimus circa exiguissimas chordarum vibrationes.

1°. Chorda homogenea (Fig. 59) uniformiter crassa ubique tensa aequaliter, punctisque et fixa, traducatur ad datam formam curvilineam ; tum sibi relinquatur: pro quovis temporis momento determinanda proponitur curva , in quam abit chorda. Sint et coordinatae orthogonales; longitudo chordae ; massa; tensio: in ea qua sumus exiguissimarum vibrationum hypothesi, maxima chordae elongatio ab aequilibrii positione cum sit ferme insensibilis, haec obtinebunt quamproxime. Primo: apud quodvis chordae vibrantis punctum Seadem vigebit constanter tensio . Secundo: movebitur juxta directionem respondentis ordinatae. Tertio: denotante a angulum tenuissimum interceptum tangente et abscissarum axe , erunt . Quoniam exercetur juxta vibrantis chordae longitudinem; sumptis arcubus infinitesimis , denotabunt directiones tensionum apud : resolvatur tensio juxta in duas, quarum altera existat parallela rectae , altera perpendicularis eidem ; et idipsum fiat quoad tensionem juxta . Componentes parallelae axi se mutuo destruent; componentes vero perpendiculares ipsi exprimentur per versus , et Osini atda ) versus S , seu per Ox et Oatd « ). Superest igitur vis- Odagignens motum juxta SO : differentiale da sumendum quoadx tantum, utpote denotans variationem anguli a in eadem curva AC " B. Quisque videt --Oda esse vim motricem, cujusmodi est tensio : propterea, designante dm elementum massae , exprimetur perOdadm∶≀≤↓⇟≓miter crassa, ubique tensa aequaliter, punctisque A et B fixa, traducatur ad datam formam curvilineam AC"B;tum sibi relinquatur: pro quovis temporis momento de-terminanda proponitur curva AC"'B, in quam abit chorda. Siut AO (:æ) et S'O (::y) coordinatae orthogonales; 'h longitudo chordae AB; M massa;9 tensio: in ea quasumus exiguissimarnm vibratiouum hypothesi, maxima chordae elongatio ab aequilibrii positione cum- sit ferme in-sensibilis , haee obtinebunt quamproxime. Primo: apudquodvis chordae «vibrantis punctum S' eadem vigebit constanter tensio 9. Secundo: movebitur S' inxta directio-nem SO respondentis ordinatae. Tertio :denotante et an-gulnm tenuissimum S'EA interceptum tangente S*E etabscissarum axe AB, erunt ut :sina −∙−−−− tangat ; cos at −−−∶↿∙Quoniam exercetur 9 iuxta vibrantis chordae longitudinem :[snmptis arcubus infinitesimi: S'i, S'i', denotabunt S'i et S'i'directiones tensionum apud S': resolvatur tensio iuxta Siin duas, quarum altera existat parallela rectae AB, alte-ra perpendicularis eidem AB; et idipsum fiat quoad ten-sionem iuxta S'i'. Componentes parallelae axi AB se mu-tuo destruent ; componentes vero perpendiculares ipsi ABexprimentur per Osina versus O, et 9sin( at-l-dat) ver-sus S , seu per 90: et B(a-I—dat). Superest igitur vis—9datgignens motum juxta SOI: dili'erentiale dat sumendum quoad, utpote denotans variationem anguli & in ea-dem cnrva AC'"B. Quisque videt —-9dat esse vim motri-cem , cuiusmodi est tensio 9: prapterea, designante dmelementum massae , exprimatur perGala"2711-255respondens vis acceleratrix. Ob uniformem chordae crassitiem ,dxhdmMMarideoque dm =h

insupera = tang a =dydx ;sumptisque differentialibus quoad x ,da danydx dx²Facto itaque compendii causaonMsuperior expressio vis acceleratricis traducetur add²y C2 dx²unde ( 28 )dayda(SS)diad ” (SO - SO )dc2d²ydx² de²seu1255respondens vis acceleratrix. Ob uniformem chordae cras-sitiem ,, ideoque dni ∙∙∶−− —-—de ;9."M :.da: ∙∙∙⋅ h −∙−insuperat:—— tangat-agi ;sumptisque diiferentialibus quoad a:,data:-dv dx dx: ⋅Facto itaque compendii causa911∙∙−∙∙↽−∙∶∘∙ ∙ Msuperior expressio vis acceleratricis traducetur adda⋅−∘⋅⊒≀−⋛−⋮⋅ ∙nnde (28 ),↶≀≖↗∙∙ irss; -dz(so-s'b) ∙∙∙ a.,c dx" dt: d? d;:— 'sen256day c2 daydia (a) .dx2Formula ( a) suppeditat quaesitam problematis solutionem.2. • Fac ut vis acceleratrix sit ut 1 , nimirumday C'y ; erit dtader· c?daydx2 C'y1 seu törso . draInde habemus ( 27 , 27.0 )VVTy=CC + C, eс - CV-4evanescente X , evanescit et y ; hinc C = -C, , et consequenter ( 27. 30. )

  • V0V1

y = C , [e- *70V11 =2011'sin rc=2C1V= 1sin2 VMCMCh9facta x = h , evanescet y ; proindesin k V MCik VMC'ho TT C' =OTE2LM .ho9ordinata CC " respondens abscissae AC ( **)256 ∙da,, ⋅−−↙⋮∎⋅≒↿∣dx? :d—t; (a) . .jlC:Formula (a) suppeditat quaesitam problematis solutionem. *2." Fac ut vis acceleratrix sit uty, nimirum 'lude habemus (27. 27.?)f.. t/CV −−↿-..-z ∁∣⇂∕∶⋅↿⋅yiL-3010 c⊣⋅∙ O; 6 - c :evanescente a:, evanescit et )", hinc C,: ---Cl , et con-sequenter (27. 30. ∘ )⋅−∙⊽⋮⋅∣∕∁⋅⇂∕∶↿ ... ⋅⋮∸−⇂∕∁⋅⇂∕∶↿c cy-—-—C,[e -—e ]∶∶2C1V —-1 'sin −⋅⋮−− ∣∕∎∁⋅∶⊋∁∎≖∣∕∶−↴ sinx 9:709. :facta x:h , evanescet y; proinde. ⋅∙∥⋅∪⋅∙∙ VH?" 97:-"[III 119 ∙−−−∘∙≀∙ WC;", (:::-IIM:,ordinata CC'" respondens abscissae AC (;.-ä 11) ex-'257hibeatur per y ' , erit

= - 20, vt in . V MC =20,V = tsin.V MORE

TT2C,V -1 sin î2C, V 31 .Propterea2 = sin -77 ()a' ) ;aequatio ad curvam ACB.3.° Per ty denotetur tempus unius semivibrationis ; erit ( 29. 3.° )TT1,52V CVhM

0et consequenter tempus unius vibrationishM ta VRMAd haec : designante n numerum vibrationum , quae iptra temporis unitatem absolvuntur , exsistet1VTANTE12In hypothesi chordae cylindricae habentis radiumr el densitatem , erit M = fErPhò ; ideoque257hibeatur per J", erit. -—- .': MC' −−∙ h M9112r;.—20. ⇂∕⋅−↿ sm ∙− ∙−−−⇌⊋∁≖⇂∕⋅−∙↿ 810 2— IPGM :: 2 116∙−− 7! −∙∙ ≢∁⋅↾∕∙−↿ sin ∙−⇇∋∙− −−−∙⇌ my.—1 .Proptereayzy' sin :; 71 (a') ;aequatio ad curvam AC'"B,3.0 Per t. denotetur tempus unius semivibra—tionis; erit ( 29. 33 )et consequenter tempus unius vibrationis.:Vg.Ad haec: designante n uumerum vibratiouum, quae in-tra temporis unitatem absolvuntur , exsistetIn hypothesi chordae cylindricae habentis radiumr et densitatem 8 , erit Mr.-:Ttrïhö ; ideoque55813=rkVis, n - EVO4. • Facta Osy. , velocitas puncti S in finetemporis ( erit ( 29. 1.° 2.° )v = y.Vī sine VC -Yosinhinc ( 29. 1. ° )=V9. C - 02Cyo V1 - sin’LVAyo coseV C sy= . COS cos r.Simili modo , facta CC“ =jo , velocitas pancti C infine temporis ( erit7 tyo sin Ti; simulquey'= y's cososeme- T ;taet aequatio (a' ) ad chordam vibrantem poterit scribi inhunc modumy = yo com-A sinC-TT h( á ').5.° Si abscissae x in ( a) substiluitur vel anhvel ( 2n + 1) h, prodibit y = o quotiescumque n aut erit =0,aut erit quivis numerus integer : binae videlicet5589≄≖−⊣⋅↗≖⇂∕∂ ∙∙≖⋮−−⇀⊑⋅−−≀≖ '?Eä'4.0 Facta OS;-:]. , velocitas puncti S in linetemporis : erit (29. 1." 2.')v': J/ö' sint t/"ä ∶∶−∶−≖−∫∘ sin-;- tt!- 8hinc (29. 1."-)∙⊺∶−−−∙∙⇂∕⋅↗⇗ (S'—v ∙−−− J. l/1—s1n'q/ Q'::j'. costV C' :y, cos ∙⋮− 11.2Simili modo,facta CC∙−−∶ y'.. , velocitas puncti C" infine temporis :erit' ns∙ t ∙' ' :si:—y., s1n——1r;stmnlquey-:yocos—1t ;t

, :,

et aequatio (a') ad chordam vibrantem poterit scribi inhunc modum∙−− 'cst nsinæn ⋅ (a") J—yo O.t2 h .5.0 Si abscissae a: in (a") substituitur vel an]:vel (a'n-l-nh, prodibit yzo quotiescumque 11 aut erit 20,aut erit quivis numerus integer: binae videlicetJe!259x = 2nh ,( 2n+1 ) hspectabunt ad quiescentia chordae vibrantis puncta. Inferimus illud : chorda AB produci potest ultra limites Aet B quin puncta A et B per iteratas chordae vibrationes a statu quietis dimoveantur , etsi puncta illa poonuntur de se mobilia ; modo tamen AB in eamdem acantea conformelur initialem curvam , eidemque subjiciaturtensioni : imo sumpta BH = HH' = =h , ita vibrationes suas conficiet chorda ABHH ' .ut puncta A,B , H , H ', ... in quiete persistant. Ad istiusmodi vibrantis chordae figuram quod pertinet , sit v . gr. HDHD = AO = x ; erunt AD = AH -HD = 2h - x , AD = 2h + x :in la " ) substitue prius 2h-x , deinde 2hta loco x ;provenient ordinatae yı ety respondentes punctis D et D ',nimirumvisy.cos Ti sin ( 2a sin 16 는 (2-m ) R = my'o cos t2sa= com sin ( 2+ )n = foco na sio ža .Igitur y = -y, ya= y : ordinatae scilicet y , y , suntaequales , et ad eamdem plagam obversae ; ordinatae vero y , y sunt quidem aequales , sed obversae ad contrarias plagas. Chorda itaque dividitur in partes alternatim vibrantes supra et infra rectam AH'.6.** Quoad (a) generatim spectatam ; denotantibus f et F binas functiones arbitrarias , satis hic eritanimadvertere eam expletum iri pery =-flatct) + F ( x - ct) (a ' ' ) ;siquidem259a.:2n71 ∙ :r (2n—l-1)I;spectabunt ad quiescentia chordae vibrantis puncta. ln-ferimus illnd: chorda AB produci potest ultra limites Aet B quin puncta, A et B per iteratas chordae vibra-tiones a statu quietis dimoveantnr, etsi pnncta illa po-nantur de se mobilia; modo tamen AB in eamdem acantea conformetur initialem curvam, eidemque subjiciatnrtensioni: imo sumpta BH −−−−− HH' ::...zh,ita vibra-tiones suas conficiet chorda ABHH' . .. ,ut puncta A,B , H , H', ...in quiete persistant. Ad istiusmodi vi-brantis chordae figuram quod pertinet ,sit v. gr. Hl):HD'zAOsæ; erunt AD;:AH-HDzah-æ, AD':.2h-l—æ :in (a") substitue prins alz—a:, deinde Zh—l-æ loco :;provenient ordinatae y. etj, respondentes-punctis D et D',nimirnm'tnsin(2 −⋅⋮≻↿∎∎∶ 'cos tu' æfac:-Tou." (: 'l "70 :: Olli-i:"., s ∙ æ ,t. æJar—jre cos-1t am (2 −⋅⊢ --)1t :yocos —-1t sm --1t.- :, h : 11Igitur y. ∙∶−−−∙ −∫∙ ∙↗≀≏−−−−−⋮↗↟⇌ ordinatae scilicet y , ;, suntaeciuales ,et ad eamdem plagam obversae; ordinatae ve-ro y, y, sunt quidem aequales, sed obversae ad cou-trarias plagas. Chorda itaque dividitur in partes alterna-tim vibrantes supra et infra rectam AH'.6∙∘∙ Quoad (a) generatim spectatam; denotanti-bus fet E binas functiones arbitrarias,satis hic eritanimadvertere eam expletum iri perFnæ-l-ct) −∣⋅− P(æ—ct) (if") ;siquidem'260dº[fix + c ) + F(x – ct) ]_da[fixtet) + F (x – ct )] .do[ ) dt27 . ** Velocilas puncli S in fine temporis i proditexpressa ( 28) perdOS - OS')dtdydt [flatct)-F"(x – ct)]:initio motus , quum nempe t = 0 , est v=0 ; iccircoc [ f '( x )-F'(x )] = 0, $' ( x)=F" ( x) , et f (x ) = F (x ) ;aequationes igitur determinantes et curvam ASB , et velocitatem traducentur ady = f(x + ct) + f(xớctct), v '= -c[ f '( x + chf'( x - ct) ] .Facto t = 0 , istarum prima praebebity = 2f \x ) ,aequationem videlicet ad curvam datam ACSB : ex hacitaque curva pendet natura functionis f. Caeterum , generalem de integratione differentialium partialiumque aequationum doctrinam suo tempore videre erit in parte 3.4nostrorum elementorum Matheseos n. 200 , 201

121. Si chorda instrumenti musici percutiatur, et prope adsit instrumentum aliud, in quo chorda sit ad unisonum cum, priore tensa, haec alterius instrumenti chorda sensim tremere incipiet, et undulationes sensim maiores concipiendo ad sonum ipsa quoque excitabitur eumdem tonum reddendo quem prior illa chorda percussa reddit. Jam vero si ad hujus rei rationem attendas, plana erit juxta theoriam traditam: sicut enim pendulum quiescens etiam minimo impulsu, uti est qui ex iusufflatione procedit, ad motum oscillatorium minimum primo concitabitur, et si in suflationem saepius repetas, poteris sensim oscillationes majores, ac majores perficere (tunc tamen id fiet quando novi isti impulsus certa periodo, parique intervallo habeantur; si enim pendulum contra insufflantem venit, insufflantes rursum potius motum impediemus quam adjuvabimus, atque ideo finita una oscillatione debet opportune rursus alius impulsus addi, sicque ubi oscillationes penduli et novi impulsus certa periodo sibi respondeant, effectus habebitur) ita in chorda praefata evenit ut tremitus concipiatur et augeatur; donec excitetur sonus; quia nempe oscillationes unius chordae consentiunt cum oscillationibus ad quas altera determinabilis est, iccirco ex repetitis chordae percussae undulationibus, quae sunt isochronae undulationibus alterius, obtinebitur ut hae augeantar donec sonus excitetur in chorda etiam plectro minime percussa. Ex hac doctrina infero: ergo in utraque chorda oscillationes sunt pares numero; ergo cum tonus ab utraque redditus idem sit, tonus igitur a numero vibrationum hujusmodi pendet.

Ad magis declarandam traditam doctrinam de acutie et gravitate sonorum, utile erit non nulla hic explicanda proponere circa chordas vibrantes.

Ac 1º. quamvis chordae non sint unisonae, attamen una percussa, alia sonum edit, si modo tensae sint ad octavam, aut alias quasdam habeant armonicas proportiones.

2º. Si duae chordae tensae sint ad octavam, et pulsetur chorda longior; quae dimidia ejus est, reddet tonum sui proprium, scilicet octavam acutam; at si pulsetur chorda brevior, excitabitur in longiore tonus non sui proprius, scilicet ad octavam gravem, sed tonus chordae brevioris.

3º, Refert Sauverius hoc phoenomenon: chorda longa 5 ped. percutiatar, et notetur tonus; tum ad distantiam unius pedis ponatur supra chordam leve aliquod obstaculum velati plumae frustulum, quod tamen non impediat molus communicationem: si quinta haec chordae pars pulselur, tongm efficiet proprium chordae unius pedis; hunc autem ipsum tonum reddit etiam reliqua chordae pars, etsi quadrupla. Rursum si obstaculum ponatur post duos pedes, eveniet ut pars brevior citius oscillet, et longioris motum perturbet; subinde utraque chordae pars ita, sese componet; ut vibrationes eodem tempore compleat: tunc vero tonus reddetur neq w proprius chordae duorum pedum, neque trium, sed proprius chordae unius pedis.

Ad primum quod attinet, quoties duae chordae lensae sunt ad octavam, jam vibrationi unius chordae ,respondent duae vibrationes alterius; ergo quamvis singulae , Oscillationes non conveniant, adeoque tremitus aeris non renovet impulsum in alia chorda post singulas ejusdem oscillationes, renovari tamen potest impulsus hic post binas ;eo ipso poterit chorda ad octavam tensa , etsi difficilius ,ad oscillandum determinari ex alterins oscillationibus. Idemvalet de aliis chordis quae eam habent proportionem utoscillationes recurrere possint post aliquem ipsarum numerum: ac proinde illae, quae vel ejusmodi recursum nonadmittuut , vel quarum recursus majorem postulat' quampar est vibrationum numerum, non ita invicem ad resonandum poterunt determinari.




Ad secundum: quod chorda brevior resonans ad pulsationem longioris reddat tonum sui proprium, cohaeret cum doctrina jam tradita: quod autem chorda longior reddatLonum proprium chordae brevioris non officit; etenim sichorda sit dupla , quasi in duas dividetur, neque tota oscilJabit ( 120..5º. ) per modum unius, sed habens in mediopunclum quiescens, seu nodúm, oscillabit seorsim in singulis dimidiis partibus, ac si, scamould adjecto , bifariamarte divisa esset ; , et si chorda ' triplo sit longior , ia - trespartes aequales dividetur: quo posito , nil mirum quod chorda dupla non sui proprium tonum , sed tonum subduplaereddat, et tripla sonum subtriplae.ic0atLE262chordae pars pulsetur, tonum efficiet proprium chordae n-onius" pedis; hunc autem ipsum tonum reddit etiam reliquachordae pars,; etsi quadrupla. Rursum siobstacnlum pona-tur post duos pedes'. eveniet ut pars brevior. citius oscil-.let,. et, longioris motnm perturbet; subinde utraque-. chor-dae pars ita sese componet", ut vibrationes eodem tempo-re compleat: tunc vero tonus reddetur neq ,.: proprius chor-dae duorum pedum, neque trium, sed proprius [chordae u-,niuspedis. ↴⋅⋅∶⇟⋡∢⋅ ∙

Ad tertium: idem Sauverius hanc in Academia Parisiensi explicationem attulit . Dum chorda nullo obstaculoapposito pulsatur, vibrationes efficit toti suae longitudiniproportionales: at dum leve illud obstaculum apponitur postpedem unum , undulatio totalis chordae dividitur ; primaenim pars chordae , utpote quinta chordae totius ,quinquies citius oscillare debet quam oscillaret integrachorda : sic citius oscillando abripiet partem sibi proximam in vibrationes aequales ; secunda pars tertiam, atqueita singulae quinque partes seorsum oscillationes perageat. Alterum vero, quod magis est admirabile, ila ab eodem auctore explicatur ; pars brevior chordae, scilicet duorum pedum, citius oscillans quam reliqua , secum abripitper sui motus communicationem partem sibi similem, nempe duorum pedum; in quinto autem pede oscillationes etiam communicantur, quae cum esse debeant longitudiniproportionales, duplo crebrius oscillabit extrema haec chordae pars quam reliquae; proinde ista sibi proximam uniuspedis partem trahet ad analogas oscillationes , et secundatertiam atque ita de reliquis , donec in hoc etiam casu quinque chordae partes oscillent juxta longitudinem propriam ,et consequenter sonum reddant respondentem longitudiniupius pedis.

122. Quaeri potest quomodo sonus trans obicem queat communicari ita, ut tonus proprius sonori corporis permaneat; nam fibrae, seu partes elasticae obicis puta parietis aut cancelli vitrei, ad motum concitatae vel sui proprium tonum reddere debent, vel si dissimiles sint, plurium tonorum mixturam, quod non accidit. Respondeo nullam esse difficultatem, si immediate per aerem soni propagatio habeatur, etiam intermedio exsistente obice. Quod si per obicem sonus diffunditur, in ipso admitti possunt partes aptae diversos sonos reddere aerique transposito communicare; atque ita, ut ille sensibilis sit trans obicem tonus, qui a partibus analogam oscillationem habentibus cum sonoro corpore communicatur. Forte etiam dici potest, quod si fibrae non habentur aptae eum tonum reddere, dividantur, ut in chorda non unisona contingit, adeo ut idem tonus transmitti possit.

123. Quoniam de tonis, ex quibus qualitas soni denominatur, egimus; quaerendum esset unde asperitas aut lenitas, quae pariter ad qualitatem quamdam soni pertinet, proficiscatur. Animadverte sonum quemcumque non esse simplicem, sed compositum e sono plurimarum sonori corporis partium: sic chorda musica percussa non simplicem edit sonum, sed quemdam veluti concentum edicit , qui a peritioribus musicis probe dignoscitur; in quo tamen cum fortior tonus praevaleat, alios minores obruit: coexsistunt videlicet in chorda sonora, et generatim in quovis particularum systemate, variae exiguarum oscillationum species.

Imo vero non tantum sonorum ipsum corpus attendendum est plerumque v. gr. chorda musica, sed instrumentum ipsum cui chorda adhaeret: variae insuper reflexiones animadverti debent, quibus aer ad aurem deveniens diversas subit modificationes. Itaque si vibrationes partium sonori corporis sint homologae, sonus lenis erit; si contra, asper: atque hinc aspere sonant chordae inaequales in materia, crassitie etc; item ex reflexione aequabili atque uniformi sive instrumenti, cui chorda adhaeret, sive circumstantium corporum, lenitas soni orietur, asperitas ex opposito. Bonum erit observare quod chorda musica vehementius quam par est distracta stridet; quia videlicet valde percussa non eam servat legem quam in moderatis percussionibus obtinet ut sub eodem tempore oscillationes suas sive majores, sive minores absolvat; sed continget ut tempora oscillationum inordinate mutentur, stridorque pro tono solito erumpat.

124. Haec notentur

1º. chordarum vibrationes hactenus consideratae, dicuntur transversae: quae nimirum obtinentur chordam percutiendo in directione ad ejus axem perpendiculari: quod si atteratur chorda in directione ad ejus axem parallela, adhuc sodos edet, sed, caeteris paribus, multo acutiores quam qui ex vibrationibus transversis progignuntur; idque ex eo repetendum esse videtur quod elasticitas propria chordae in vibrationibus longitudinalibus validior sit quam in transversis.

2.° Ubi in longitudinalibus vibrationibus chordarum obtineant nodi, motus ita fiet ut partes hinc illinc circa podum quemlibet positae simul ad ipsum nodum accedant, simulque alternatim recedant.

3º. Corpus omne, dum resonat, dividitur in plures partes vibrantes invicem separatas lineis, quae vocantur nodales, quaeque oculis subjiciuntur spargendo per superficiem corporis minutissima arenae grana: haec enim super lineis illis acervari observantur. Nodales propterea lineae modo sunt rectae, modo curvae, modo ex rectis simul et curvis coalescunt.

4.º Mutata nodalium linearum figura, plerumque mutatur et sonus; semper autem acutior vel gravior evadet sonus, prout corporis superficies in majores vel minores numero parles vibrantes dividetur ab ipsis noda libus lineis.

5.° Laminae rigidae ex ferro, vitro etc. in transversis vibrationibus absolvendis sequuntur leges alias ab illis, quas sequuntur chordae.

De directa soni propagatione per aerem.recensere

125. Experientia nos edocet quod in iisdem circumstantiis sonus aequabili velocitate in toto decursu devehiеur; atque omnes soni , sive intensi , sive remissi , sive graves, sive acuti eadem velocitate diffunduntur.

Nam 1.º Academici Florentini ad percurrendam distantiam unius milliaris sonum tormenti bellici impendisse quinque secundorum tempus experti sunt, ejusdem vero tormenti sonum ad conficiendum dimidium milliare impendisse dimidium tempus testantur aequabili nimirum velocitate perrexit sonus. Derhamus saepius repetitis experimentis idipsum invenit, adeo ut ab uno ad duodecim milliaria sumens intervalla invenerit aequale spatium aequali tempore in quavis a sonoro corpore distantia confici.

2.º Prope sonorum corpus intensior est sonus, remissior in majore a sonoro corpore distantia atqui tam prope quam procul a sonoro corpore aequali velocitate pergit sonus ergo tam intensus, quam remissus etc. Hoc ipsum institutis ad id experimentis etiam constat Gassendus sclopeti et tormenti bellici fragorem eodem tempore pervenisse affirmat, cum eodem tempore exploderentur. Florentini et Derhamus in diversi generis tormentis idipsum evenisse notant itemque tormenti bellici minoris et mallei fragorem idem unius milliaris intervallum confecisse eodem tempore. Certum est ergo tam intensum, quam remissum etc. Huc spectat quod Derhamus quoque notat post Florentinos, scilicet eodem tempore sonum ad aures pervenire sive tormentum ad observatorem convertatur, sive ad contrariam plagam videtur enim intensior in eam partem, in quam tormentum dirigitur, esse debere sonus.

3.° In concentu sive ex instrumentorum pulsatione, si malleorum ictibus etiam ad satis notabilem distantiam dignoscitur tonorum successio eo praecise ordine, quo ictus varios tonos producentes habentur successive, et quidem sine sensibili temporis mora atqui si toni diversi non eadem propagarentur velocitate, jam qui toni successive habentur, non successive atque ordine illo ad aures venirent ergo etc. Erit fortasse qui quaerat qua ratione fieri possit ut sonus in quavis distantia, sive intensus, sive remissus, uniformiter propagetur. Respondeo: eadem materiae quantitas eodem tempore, tum ex vi majore, tum ex minore, undulare potest ergo eadem aeris portio, seu unda ejusdem latitudinis, eodem tempore potest undulationem perficere, sive ex majori, sive ex minori vi impellente. Antecedens est evidens; pendulum enim idem , adeoque eadem massa , eodem tempore oscillationes peragit sive magis , sive minus impellatur ad oscillandum: ergo a pari eadem aeris quantitas oscillare potest sub eodem tempore sive ex majori , sive ex minori impulsu. Sed si eadem aeris quantitas aequali tempore potest comprimi et restitui , jam eodem tempore potest sonus, ad datam distantiam pervenire , sive intensior , sive remissior: haec minor est evidens; si enim eadem est latitudo undae , idemque tempus, jam eodem intervallo temporis spatium datum a sono conficietur; ergo sive intensus sit , sive remissus , seu vi majori aut minori aereae undae propellantor, eadem esse potest soni velocitas.

Quid ergo provenit ex hoc quod in sono intensiore vis major aerem impellat? Nempe quod ejusdem latitudinis unda, licet eodem tempore conficiatur , compressionem tamen ac restitutionem patiatur validiorem , vel languidiorem; sicut in pendulo accidit , quod eodem tempore oscillans ex impulsione maiori oscillationem concipit magis validam , et minus ex vi minori. Atqui hoc idem praestat minorem intensitatem , non autem minorem soni velocitatem . Ostendo: intensitas soni pendet a vi , qua in organum appellunt aeris particulae ; ergo si vi majore condensantur , et restituuntur , intensiorem efficient soni sensationem; at velocitas ex dictis pendet a latitudine undae, et tempore quo perficitur: neque latitudo immutatur , neque tempus; ergo non mutatur velocitas. Quod autem neque latitudo , neque tempus mutetur , ita probari potest. Latitudo enim undae , seu aeris quantitas ad oscillandum per modum unius determinata , ea esse debet quae potest obtemperare vibrationibus sonori corporis , a quo unda producitur , quaeque potest oscillationes suas eodem tempore complere quo sonorum corpus oscillationes suas perficit: ergo latitudo undae proportionari debet tempori quo sonorum corpus perficit vibrationes suas. Atqui sive intensior , sive remissior sit sonus, tempus quo sonorum corpus vibrationes suas complet , est ( 113. 2.°) semper idem; ergo item latitudo undae aereae eadem esse semper debet. Idem probat simul, quod sicut eadem latitudo, ita idem esse debet tempus quo unda perficitur. Et sane si tempus mutaretur , deberet quoque mutari tonus: atqui idem manet tonus in quacumque distantia a sonoro corpore , et quidem sive corpus resonet intensius , sive remissius; ergo etc.

Hinc dum de sono agitur duplex in motu undae aereae velocitas distinguenda est: altera importat tempus quo unda conficitur , seu quo segmentum aeris datae latitudinis oscillat ; altera importat motum particularum aerearum itum et reditum perficientium in ejusdem undae efformatione.

Quaeri hic potest in quanam ratione intensitas soni minuatur in progressu . Reponunt communiter quod intensitas soni est in ratione duplicata distantiarum inversa a centro soni : rationem afferunt , quia sonus quantum est de se aequabiliter undequaque diffunditur in modum sphaerae. Atqui ex hac aequabili in modum sphaerae diffusione sequitur decrementum in ratione praedicta ; nam si ita diffunditur , debet in ea proportione intensive decrescere , qua extensive augetur , sea qua latius materia , cui communicatur motus , sese expandit ; sed hujusmodi extensionis augmentum est in ratione duplicata distantiarum ; hanc enim rationem sequuntur sphaericae superficies : ergo etc... .

126. Sit c velocitas , qua propagatur sonus ; distantia inter vibrantem sonori corporis particulam et particulam aeream : exprimet tempus a sono impensum ad percurrendam distantiam  ; motusque particulae vibrantis nonnisi post tempus I = pertinget ad aeream particulam: propterea substituto 2— —c- 'a duabus ulti-mis formulis(29. 5."), si :∙−−≜−⋅ incipit ab 0, ultraqueprogreditur, determinabitur aereae particulae motus per»∙ 271: A , 9 211 .A.∦⋅⇋↙∁∘∎∐∙−⊖−⋅≺∁−−∘−−≻ ,szC-Z-n' 008! j(t—z).F30i20,1t,2,3,4,-...,act—-e—:i9,tln- cde habes A:c(t—-i9): erit⇂↓∣∶⇂∕∁ sin 21'12:o.Sumptis ergo distantiis Azct, c(t—G), c(t—29), c(t—BG), ...,uulla velocitas v' ibi invenietur : aer proinde in locisi il-lis omnino quiescet quando desinit tempus :; eritque n—sque ad Ar.-ct in plureswundas distinctum similes et aequa-les ; quarum communis latitudo ::09 ; numerus vero

∆−∘−⊖− ⋅∆Quantitas l/C sin −⋛≖−≺ t — A;) manet positiva abt — 30- :::-id ad :2 — (i ] &) 6 ; manet-negativaA . A .⋅ ∙ ∙ ∙ab t—-—c- :::(12-l-ä)9 ad t— -c—-.-:(1-l-1)9. Ertt 1g1-tur v' positiva inter A———-0(t—i9) et A −−∶ c [t—(i—i—ä— )9];erit negativa inter Ach-t—(i—i-ä-W] et A:c[t—(i-l—1)9].in tribus hisce distantiis est praeterea v':o. Ergo quae-libet ex dictis undis constat duabus partibus aequalibus ;recedit aereum fluidum ab oscillante sonori corporis par-ticula in anteriora parte, accedit in posteriore; quiescit stra-270tum medium ; maxima viget aerearum particularum velocitas in medio semiundae anterioris ; maxima item in medie semiundae posterioris.

127. Soni velocitas augetur a vento secundo, minuitur ab adverso. Derhamus videns ab aliis affirmari nullammutationem afferri a ventis circa soni velocitatem , hancrem statuit explorare ita exacte et diu , ut ambigendi locus omnis tolleretur. Ad hoc autem summa ipse fruensopportunitate experimenta habebat omnino in promptu .Nam cum ex arce Blancheath , ubi tyrones rei tormentariae exercebantur , saepe exploderentur tormenta bellica ,ipse e sua Ecclesia in agro Upminsther ad 13 milliariadistante flammam advertere poterat ; animadvertit autemoptimo usus chronometro non semel aut iterum , sedtriennio integro. Porro ex tabula , quam observationumsuarum confecit, quaeque habetur in Transactionibus Anglicanis, et a Masschembroekio descripta fuit in suis commentariis ad lentamina Florentinorum , constat quod soni velocitas inter tempus quo ventus favens spirabat ,et contra venius sono adversus erat, cum scilicet in utroque casu yentus validus admodum esset , discrepat undecim semisecundis circiter in praedicto intervallo. Ergoexperimentis hisce insistendo dicendum augeri secundo vento soni velocitatem , imminui autem etc.Derhami observationibus consentiunt observationes Academicorum Parisiensium , qui anno 1738 exploraturi velocitatem soni jussu Regiae Academiae pariter testanturnon eandem esse adverso ac secundo vento velocitatemqua propagatur. Rationis momentum experientiae suffragatur : nam ventus transfert loco aerem ; ergo undas sonoras ad oscillationem a sonoro corpore impulsas transfert ; ergo tantum accelerari debet propagatio soni , quantum aeris sonori translatio ratione venti importat.Opporluna est comparatio circulorum in aqua excilatorum ope lapilli decidentis : si enim aqua non sit sta270tum medium; maxima viget aerearnm particularum velo-citas in medio semiundae anterioris; maxima item in me-die semiundae posterioris.

271SUS asseruegnans sed fluens aequabili motu ; jam dum post lapidisdescensum circuli successive efformantur , lota ipsa aqua,in qua efformantur circuli , localiter transfertur ; ergocirculi appellent ad datum locum citius in eam partemversus quam defluit aqua quam ad alteram in eademdistantia ex opposita parte : ita paritate rationis in sono.Iis , quae . modo diximus , objici possunt experimentaCl. virorum qui de velocitate soni nihil immutari prorsive secundus sit , sive adversus ventusrunt. Gassendus enim , et Mersennus id sibi accidisse testantar ; et Academici Florentini , collocatis observatoribus inter se duo milliaria distantibus , dum ventus spiraret , asserunt tormenti bellici , quod medio illo intervallo situm erat , fragorem pervenisse eodem tempore adutrosque , etsi aliis faveret ventus , aliis esset contrarius.At cum experimenta recte instituta aliis item recteinstitutis nequeant esse contraria , yidendum quaenampraevaleant. ' Florentini , quorum tentamen prae caeterisin medium afferri solet , unica nocte , et in distantia paucorum milliarium experimentum instituerunt . Derhamustriennio experimenta iteravit , et in 13 milliarium distantia ; haec autem distantia in experimentis Derhami eademerat semper , a sua scilicet Ecclesia ad arcem ; in tentamine Florentinorum tormentum constitutum est mediointer duos observatores intervallo ; quod intervallum utrinque aequale asseritur , sed fortasse non ita esse potuit.Ergo apparet quam recte Derhami observationes anteponantur observationibus Florentinorum , atque eodem jureGassendi et Mersenni . Reipsa etsi experimento quodamMusschembroekius quoque deprehendere sibi visus fueritaequalem velocitatem tam secundo quam adverso spirantevento , tamen Derhamo assentitur , et Florentinis quorum sagacitatem saepe alibi commendat , minime in hocadstipulatur.Obiter hic notamus quod juxta auctores ferme omnesetiam intensitatem sąni auget ventus secundas , et minuit.1271-gnans 'sed fluens aequabili motn; jam dum post lapidisdescensum circuli successive eil'ormantur ,tota ipsa aqua,in qua eB'ormantur circuli ,localiter transfertur; ergocirculi appellent ad datum locnm citius in eam partemversus quam defluit aqua quam ad alteram in eademdistantia ex opposita parte: ita paritate rationis in sono.Iis, quae-modo diximus, objici possunt experimentaCl. virorum qui de velocitate soni nihil immutari pror-sus , sive secundus sit , sive adversus ventus, asserue-runt. Gassendus enim-, et Mersennus id sibi accidisse te-stantur; et Academici Florentini, collocatis observatori-bus inter se duo milliaria distantibus , dum ventus spi-raret, asserunt tormenti bellici , quod medio illo inter-vallo situm erat,fragorem pervenisse eodem tempore adutrosque, etsi aliis faveret ventus, aliis esset contrarius.At cum experimenta recte instituta aliis item recteinstitutis nequeant esse contraria , videndum quaenampraevaleant.x Florentini , quorum tentamen prae caeterisin medium afferri solet , unica nocte.,et in distantia pau-corum milliarium experimentum instituerunt. Derhamustriennio experimenta iteravit, et in 13 milliarium distan-tia; haec autem distantia in experimentis Derhami eademerat semper, a sua scilicet Ecclesia ad arcem; in ten-tamine Florentinorum tormentum constitutum est mediointer duos observatores intervallo; quod intervallum utrin-que aequale asseritur , sed fortasse non ita esse potuit.Ergo apparet quam recte Derhami observationes antepo-nantur observationibus Florentinorum , atque eodem iureGassendi et Mersenni . Reipsa etsi experimento quodamMusschembroekius quoque deprehendere sibixvisus fueritaequalem velocitatem tam secundo quam adverso spirantevento, tamen Derbamo assentitur , et Florentinis , quo-rum sagacitatem saepe alibi commendat, minime in hocadstipulatur.Obiter hic notamus quod iuxta auctores ferme omnesetiam intensitatem soni auget ventus secundus,et minuit.2721PTE8ta1111adversus. Hoc , ajunt , experientia vulgari notum est : siquidem campanae sonus , aut tormenti explosi fragor multomelius auditur si conspiret in eam partem ventus quansi contrarius sit ; et saepe ad aliquam distantiam auditarope venti secundi, ad quam , cum ventus est adversas ,minime audiri potest : auget ergo ventus soni intensitatem. Ratio quoque idipsum suadet : nam vencus secundusundas sonoras transfert ; ergo ad aurem appellent undaesonorae , quae a centro minus remotae erunt , adeoqueintensiorem deyehunt sonum .

128. Ad soni velocitatem determinandam multa instituta sunt experimenta , quae tamen non satis conveniunt : experimenta instituta ab Academicis Parisiensibusanno 1738 praebuerunt soni velocitatem , seu spatium minutosecundo a sono percursum = 172 , 56 hexap. = 336 , 32metr. Apud Madras in India orientali D. Goldingham experimentis per annum integrum multoties repetitis ( Annal.de Plays . et de Chim . tom. 23. pag. 12 ) exploravit soni velocitatem : prodiit mediocris velocitas 1134 , 33 ped.Britan . = 345 , 74 metr. Varias hujusmodi mensuras videre est in tabella , quam protulere DD Moll , Van-Beeketc. ( Bibliotheque universelle tom. 30) : qui Auctores opusdefiniendae velocitatis soni susceperunt anno 1823 , perfeceruntque in Hollandia , assumpto ad observationes eo spalio , quod Zevenboompies et Koolijesberg interjacet. Tentamiva sumpta die 28 Junii praebuerunt soni velocitatem339 , 34 metr.Hujus diversitatis plures esse possunt rationes : ac 19. Instrumenti aut attentionis exquisitae ad instrumentum deſectus ; cum enim flamma attendi debeat simulque pendulioscillatio , jam facile est ut vibratio aliqua initio non numeretur.

2. Spatium exiguum ab aliquibus assumptum ;minimus enim error facilius est contemaibilis , si ingensintermediet spatium.

3.° Venti qui aut retardant , aut accelerant souum . llaec variationis causa attenuari potest , acPLMti.0272 'adversus. Hoc , aiunt , experientia vulgari notum est: si-quidem campanae sonus ,aut tormenti explosi fragor multemelius - auditur si couspiret in eam partem ventus quam'si comrarius sit :et saepe ad aliquam distantiam auditurOpe venti secundi, ad quam, cum ventus est adversus,minime audiri potest: auget ergo ventus soni intensita-tem. Batio quoque idipsum suadet: nam ventus secundasundas sonoras transfert; ergo ad aurem appellent undaesonorae , quae a centro minus remotae erunt, adeoqueintensiorem devehunt sonum.

39 Venti qui aut retardant ,aut ac-celerent sonum. llaec variationis causa attenuari potest, acJ.maälzz—äwæ-EL'T-aa&.273ferme destrui , si collocatis tormentis bellicis in utraqueextremitate A et B illius distantiae , quam debet sonuspercurrere , tormenta ipsa eodem temporis momento explodantur ; tunc enim si determinetur velocitas , qua pervenit sonus ex A in B , itemque velocitas qua pervenit exB in A , harum velocitatum semisumma erit velocitas illa ,qua propagaretur sonus in aere tranquillo.

4.º AnimadvertitMusschembroekius quod cum sonus non in instanti audiatur , sed initio minus , subinde organum aliquanto vehementius percellat, hinc quidam ad initium , alii ad progressum sensationem soni potuerunt animadvertere , atque indeinter se discrepare.

5.9 Varia atmosphaerae temperies.Determinatio velocitatis , qua sonus propagatur , utilisest nautis ut agnoscant quantum littus , aut alia navisdistet ; militibus ut quantam oppugnata urbs distet ; geographis item ut quantum inter duo loca , praecipue cumintervallum hexapeda metiri non licet , intersit . Etenim numerando minuta secunda ab erumpente flamma ad usqueaudiendum sonum tormenti bellici , distantia loci colligipotest . Quod si ea sit locorum constitutio ut flamma viderinon possit,o res ita supplenda est , ut cum ad aurem pervenit souüs , exploso statim alio tormento bellico , alter hicsonus ad primum observatorem perveniat : si hic numeravit minuta secunda ab eo puncto , quo explosit suumtormentum usque ad punctum quo audivit sonum alteriustormenti , et haec minuta bifariam dividantur , habebiturtempus propagationis soni inter duo illa loca : ita etiam nubis distantiam aliqui metiri docent , numerando scilicet minuta secunda , quae inter fulgur emicans et auditionem tonitrus intersunt .

129.# Nonnulla subjicimus ex theoria fluidorum( 106. 107 ) ad soni propagationem applicata ; ita tamen ,ut ad aeris gravitatem minime attendamus , libratu mqueaerem spectemus tanquam elasticum fluidum eadem ubiquepollens et densitate p' , et pressione a' , et temperie n.273ferme destrui.si collocatis tormentis bellicis in utraqueextremitate A et B illius distantiae . quam debet sonuspercurrere ,tormenta ipsa eodem temporis momento explodantur; tunc enim si determinetur velocitas , qua pervenit sonus ex A in B , itemque velocitas qua pervenit;:B in A , harum velocitatum semisumma erit velocitas illa,qua propagaretur sonus in aere tranquillo. 49 AnimadvertitMusschembroeltius quod cum sonus non in instanti audia-tur, sed initio minus , subinde organum aliquanto vebe-mentius percellat, hinc quidam ad initium , alii ad progres-sum sensationem soni potuerunt animadvertere , atque indeinter se discrepare. 5.o Varia atmosphaerae temperies.Determinatio velocitatis, qua sonus propagatur, utilisest nautis ut agnoscant quantum littus ', aut alia navisdistet: militibus ut quantum oppugnata urbs distet; geographis item ut quantum inter duo loca , praecipue cumintervallum bexapeda metiri non licet ,intersit. Etenim nu-merando minuta-secunda ab erumpente flamma ad usqueaudiendum sonum tormenti bellici, distantia loci colligipotest . Quod si ea sit locorum constitutio ut flamma viderinon possit A, res ita supplenda est,ut cum ad aurem per-venit somä , exploso statim alio tormento bellico, alter biesonus ad primum observatorem perveniat : si bic numeravit minuta secunda ab eo puncto, quo explosiot suumtormentum usque ad punctum quo audivit sonum alteriustormenti , et haec minuta bifariam dividantur , habebiturtempus prcpagationis soni inter duo illa loca :ita etiam nu-bis distantiam aliqui metiri docent , numerando-scilicet minuta secunda , quae inter fulgur emicans et auditionem to-nitrus intersunt.1294 Nonnulla snbiicimus ex theoria fluidorum(106 . 107) ad soni propagationem applicata ; ita tamen ,ut ad aeris gravitatem minime attendamus,libratumqueaerem spectemus tanquam elasticum fluidum eadem ubiquepollens et densitate ≀⊥⋅ ,et pressione a: ,-et tmperie n...—27410 Fac ut concutiantur librati aeris particulaecomprehensae sphaerico spatiolo habente radianı = (y , etcentrum in coordinatarum origine 0 ; talem vero patianturin densitate variationem , et velocitatem recipiant juxta respondentes radios vectores a , ut utraque exsistat admodumexigua , et altera queat repraesentari per f ( ) , altera perf ( Q) , evanescentibus fg , f quoad a = o et « > « ,: sit rdistantia puncti ( x , y , z) ab 0 , ut obtineantix2 + y2 + z = p2 xdx + ydy + zdz = rdr ,Propagato motu per reliquum fluidum ; quoniam v' , v " , 20 "sunt constanter parvissimae , et ad fluidi gravitatem minimeattendimus , iccirco formulae ( 6 " , 106 ) , missis terminisexiguissimis secundi ordinis , factisque X = 0 , Y = o, Z=0,dabunt quoad punctum ( aco y, z)1 do dui 1 do dv " 1 dasdedv'"dt >M dx dt I dy to daet consequenterloI can do to edip dy+dz dzdu dvi'dy + dt dt (©) .Jam verodic dir -dx dodydo drdr dx & ar ፊ dydy 9dydosdz dzda drdr de dz 2.274↿∘∙≖∎⊀ Fac' ut concutiuntur Iibrati aeris particulaecomprehensae sphaerico spatiolo habente radium −−−−≖ a, ,'etcentrum in coordinatarum origine 0; talem vero patiantur -iu densitate variationem , et velocitatem recipiant iuxta re-spondentes radios vectores &!, ut utraque exsistat admodumexigua, et altera queat repraesentari per f! (a) , altera perf (a) , evanescentibus !; ,f quoad ac −−∶ ∘et a) 0:' :. sit :-distantia puncti (æ,y, :) ab 0, ut obtineantx' ∙−⊢∫∙⊣−≖≏∶−−≀∙≖ , ædx-i—ydy-t-zdzzzrdr,PrOpag'ato .motu per reliquum Huidum ; quoniam v', 11", v'"sunt constanter parvissimae ,et ad fluidi gravitatem minimeattendimus ,iccirco formulae (ö" . 106 ), missis terminisexiguissimis secundi ordinis,factisque X::o, ïze, Zzo,dabunt quoad punctum (æ, y, :)1 da der ↿⊄∄↑≖⋅∙∙∙∙ dv" 1ftdæ— dt'pdj" dt'p.et consequenter1 der da der − − ... −−⋍≀ )↽−⊬(dxdx—i- dy d),—i- dz :.eiu' dv" dv'" )∙—- de—k-äuy—F—ät— d: (i)-Jam vero(la-: (lux dr dar das dr,(Erit: ∙−−−−∙⊋−∣∙∙ (?;-lld? ïydj :z; gd)»- ,dadz—dw drdz ,275ac proindedu do dosdx + dy +dz =dx dz 1do Idr dr dr• dxtdr dydo-dr) = drv , " =insuper v ' unv , ideoquedv' dv " dv d (v'da tudytou '" dz) dx +-dyti dz =dt dc dc dtdfædx + ydy + zdzd (vdr)dc dttraducetur igitur ( i) ad1 do dr d ( vdr)dt -( i ) .f . drPonentesdQ u'dx + u'dy + v "da = dQ ,ut sint v'=dx 10" :dQdy2011 !dQdzassequimurdQ dTodCome)vdr d (vr)dr,dc dr -' dedr dr :dr dtvertelur itaque ( i ) in275ac proindeHeia-4- — ;d; -]-d 2; ad;:≤↾−⋮⋅↾ ïta.-.- −∙⋅⊄∄↗∙⋅∹−∙≦− ∙⋅−⋤−↙∄⇝⇌∶−∙⋡−−↙≀≀∙ ;'∙−−−⋅⋮∙⋅ ∙−− £ "zl. lnsuPero—rv,-v' '.—r-v,-v" rc:,ideoquedv' *d-v" ...-'de: "' d(v'dx -1-v"dy—1-v'"da)ïdïdæ'l' dc ↙↡↗⋅⋅⊢ ⋅⊋−⋮⋅∂≖ dt ∙−−−⋅d(ædæ A-ydy ∙−⊢ zdz 0)

- d(wdr) ∙↗

d: ∙"' dttraducetur igitur (i) ad1 du! ∙∙∙ d(vdr) .,dr ∙−−− −− dt (( ).

Ponentesu m ∙l∙'o v'dx-t-m dy—t—v ds:dQ,ut sint d∙↗∶⋛−≣−∙⇝ :::-g. *v⋅⋅∙−−−∶∙−↿⋚≳−∙ 'assequimur⋅dQ d(vr) d —"'Q) d (....) — (dr ∙∙∙⋅ ⋅ dt.⇀mi'-"ïd" d: −⇀ dt 4" ∙− dr 4"vertetur itaque (t") in2761 do Cena( i " ) .hdr drPertingente motu ad punctum (x , y , z) , crescit ibi libratiaeris densitas M , et evaditl = h' ( 1 + $) ;augetur aliquantulum etiam temperies n in ipso condensationis actu , fitque ntv : pressio , quae ob auctam densitatem evaderet a' ( 1 + 8) , augescit adhuc propter incrementum v ; et cum v pendeat ab € , novum pressionis incrementum pendebit rursus ab z , eritque ob incrementorum tenuitatem ipsi & ad sensum proportionale ; iccirco ,praetermisso é , emerget pressio ex duplici capite auctam = (1 + 5) (1 - +-AE) w [1+ (1 + A ) £] .Poterit ergo ( i" ) sic scribi1alede de .( 1 + AM17 € dr dr >seudtis 13( 1 +A)dL ( 1 + -E)dr drHincBis( 1 - +- A ) L ( 1 + E)dQdt276Pertingente motu ad punctum (a:, y, :), crescit ibi libratiaeris densitas p! ∙ et evaditit:-"a' ≺↿−⊦⋮≻⋮augetur aliquantulum etiam temperies 1: in ipso condensa-tionis .actu,(itque n—l— »: pressio , quae ob auctam den-sitatem evaderet m' (1 ∙−⊦ e) , augescit adhuc propter incre-mentum »; et cum 9 pendeat ab a , novum pressionis in-crementum pendebit rursus ab a , eritque ob incremento-rum tenuitatem ipsi a ad sensum proportionale: iccirco,praetermisso ?, emerget pressio ex duplici capite auctaa:d(1-—1—s)(1-1-Aa) −−∶ a'[1-t-(1-t-A)s] .Poterit ergo (i") sic scribi ∙' d(ig) a' 1 de dt −− ↿⊣⇁∆∼ ∙−− — pii '↿⊣−∙∊ dr dr'seu dc.-112) . :p.liinc' d⋮⋝−∽ ≺↿⊣⇁⋀≻↧∙≺↿⊣−⊽∊≻↽−∙−−−∙− 3- - p. dt277est autem ( 27.29º. )?L ( 1 + E) = E+ - +Propterea , facto ( 1 + A ) = C ,A dQ" .ca doAd haec :dv ' dy"dxdurdzd’Qdx² +d’Qdy ?+d2Qdz² ;dyformula igitur ( 619. 107) , substituto p. ( 1 + €) loco fe , missis terminis exiguissimis secundi ordinis, atque attenta ( i),praebebitd2Q daQdea = caed Qdy ?detd2Qda ?( it ) ;\ dx²et quoniamdQ dQdr dQ ydr dxdQ dQ xdQzdrofdQ_dQdxidz dr dy drunded’Qdx²daQ xadra 2dQy? +z2 d2Qdr p3 dy?d’Qys , dQ x2 + z3dr ra dr p3d'Qd22d2Q 22dr.2 p2dQ x2 +y2dr 产 产277est autem (27 .290.)e* 53 si1 :−∙− ∙−−− Ou: ∙∙ ↥⋅≺−⊢∊≻ s ⇄⊣⋅∙∃ 4(.,, :Proptereü , factO :(1 :A) −∙− c,,1 dQca dtAd haec :d'v' dv" ⊣⇀ ↙∣⊛∣∦ ↙≀≏⊄⊋ sz dïQ .da: d] dz −⇀⋅ dx: d),: d:" aformula igitur (ö" . 107) , substituto p: (ii-145) loco p. , mis-sis terminis exiguissimis secundi ordinis, atque attenta (zw'),' ∙ ?' praebebitsz sz daQ sz .".(.i—t;. ⇀−− c" da,-3 ∙−⊦ ∠∄∫≖ .* dzg) (: la.et quoniam ⋅'∙ 'dQ dQ dr-—dQæ dQ—JQJ, iq—æidæ' drdæ dr-r'äy dr r'dz—drr'unde ( ⋅ ⇁ ⋅ ,dj—æ i,*deail'zz dag—dïQlyiA-iQxa—an dat.:—dr: rr: dr "3 ,dyl d'.) rg ∙ & r3dQdeina *igæ'ä-J' .d:" dr: ra dr 'a ".278ideo traducetur ( i" ) add’Qdia colorod-Q( dra2 dQr Thedrbest seu da (rQ )dla ca d ( )draEx (i) habemus ( 120. 6º. )Q = -- [80+ c ) + F(r — ct)] ;et consequenterdQ 1dr [ f'ir tt) + F' ( r - ct )]) — ]( i" )Ar + c ) + F (r - ce}]- [f(r + c )—– F"( – ce)].1 dQc2 dtAd f et F determinandas , sume t=0 ; habebisf(a ) f (a ) : . E =proindea> f( x ) = af ( a ) + aF'( a ) f « ) - F( a ) ,- caf( a ) = f ( ) – F' ( « ) .Ponefa) +F(a) = w , fra ) — F( X) = w ;erunt.278ideo traducetur (i" ) ad432—. «PQ-,. 2sit'—c &? 747↲≺≀≻∙⊷≖∂↿≺↾≬⋗−≖∙↲≖≺↗≺≀≻ de'—' dnEx (.") habemus 120. 60.)- 1Q ∙−−− ;- [f(r.:i- ct) −⊦ F(r— et)] :et consequenter−∙∙ :? ∙−−⋮∙ [f'(r-l-ct)-]-—F'(r-—ct)]

—--—1r;-[f(r-]-ct)-]—F(Qr—ct)] ,1 dQ— ↿s —⊑ca d: ;S.-[f(r-t-cn— F'(r— cs )].Ad fet F determinandus, sume :::-o; habebisw:f(a), s:f,(a):proinde ⋅æf(a):af(a)—1—al-"(a) -—f( cc)—P(a),—eaf,(a)——:f(a)—F'(a).Ponefe) -t-F(a) :::.),f(a)- F(ac) ∶−∙−∾⋅erunt0")279d @ = f( ) + F"(x)= f(a) —F(«) da = f( x )da ;dw ' = [f ( ) — F ' ( ) ] da = -ca f ( ) da ;undea fixdx , w ==cfafica) da :hae suppeditantf(Q )w -two212 frazda - of facada,F(x)= afscada + ; fafceda;ideoque ( iº )f(x)= ff( )fat a pascafica),Standa+ af )+ caf,ca).F ( a )220# Secunda membra (2011) evanescunt quoad a >Az ; ut igitur functionesflrtct) , f'(x + ct) , Fr — ct ) , F " (r — ct)sint aliquae , non debet r ct esse > & : atqui in ordi .ne ad fluidi particulas ultra Qi , cum e sit quantitas positiva, est semper s + ct > As ; ad has ergo particulas quodattinet, erunt constanter279d(a-i)— af(a)—t-aF'(ac) —f(a) --F(a) dae— f(a)da;« - ædar.-:. [f(az) —- F' (et)] da :: — cat & (et) da;uude '∙∾−−−∶∶∝ «a)daz , Q':-irc af,(a)daz:bae— suppeditantaH—a' 1 - 1f(a)-— 2 ∙−− ⋣∙ ⊄∫⇟↸∝⋟↙≀∝−−−⋮−−∘∫∝ f,(a)da,c.)—of 1 1Hall- 2"*.2 «li(alda—r—ïcfafdaW-ï &ideoque (i'")1 1 1f(a): -2- f(a') fat—1- ä-a ((a)—ïm f,(a) ,↿ 1 1F'(a) ∶−∙−−∙ ∙⋮⋅≳−∫∫≼∝⋝↙≀∘⊢⊢ -2-af(a)-1- -2—- caf,(a).2011 Secunda membra (im) evanescunt quoad ac)«,.; ut igitur functiones ⇀f(r-t-ct) , f(f-Jf- ct), F(r -ct ),F'(r-et)sint aliquae , non debet r

b et esse )a, :atqui in ordine ad fluidi particulas ultra et, , cum t sit quantitas posi- tiva, est semper :- −⊢ ct a, ; ad has ergo particulas quod attinet, erunt constanter280 fir + ct ) = 0 , f ( r + c ) = 0 ; et consequenter -F(r —c)F( r -ce ) , 6 = 1.- F " (r — ce) (**** ) . 30 Aereae particulae respondentes radio vectorir non incipiunt moveri nisi quum tempus sic increvit , ut habeatur rct = ly , seu r = ctt cy : inferimus sonum propagatum iri uniformiter velocitate V ( 11 + A ) Quod spectat ad numerum A, habemus (87. 70. ) a = im [1 + a (n + v)] = im '(1 + E)[ 1-+ an + ») ] , itemque ( 10.) 5 '[1+ (1 + A )ɛ] =; if' ( 1+ an) [1 + ( 1 + A ) ]: hinc i '(1 + E)[ 1-+-ant-v) ] = iu'1 + an ) [1+ ( 1 + A )ɛ ]; ex qua eruitur av A av( 17) El 1 + an ) $ ( 1 + an ) Ponamus vase aliquo accurate obserato aerem conti neri ejusdem densitatis pé ac temperiei n cum aere exter• no; sitque h altitudo barometrica utrique communis : con . ⋀≀∙⊣∙∙∘⊔≔≖∘∙⊓≀⋅⇀⊢∝⋟∶∘⋮ et consequenter 1 1 ⇀ ↿ ∙ −⋅−−−− —F'(r-ct)-—;F( r—ct). : ⋅−−−− -—F'(r—ct)(t""). r r cr 3":- Aereae particulae respondentes radio vectori r non 1nc1piunt moveri nisi quum tempus sic increvit, ut babeatur r— ct:ac, , seu ::- ct ∙⊦∙ at, :inferimus sonum prcpagatum iri uniformiter velocitate 'c: Vä- (1—1-A) (i") - Quod spectat ad numerum A, habemns (87. 70.) ∙ saiw-1-a(n-1-v)]:zp'u-u-e)[1-.-a(nM)]. itemque (10.) 6 −∙−−−⊤ w'[1—t-(1 a—A)e] :; ip'U—t— an)[1 ∙−⊦⋅ (1 ∙⊢ A)e]: bino - ⋅ ↴ 's ip'(1-1-s)[1-1-a(n-1-v)] ∶−− ≀⋅⊬⋅≺↿−⊢⊄⋯≻⊏↿⊣−≺↿−⊢∆≻∊⊐⋮ ex qua eruitur ↼ . cru-H:) av ∙−−− −∙∙ e(1-1-an) s(1-1-an) Ponamus vase aliquo accurate obserat'o aerem conti-- neri eiusdem densitatis pf ac temperiei iz cum aere exter- no; sitque !: altitudo barometrica utrique communis: con-281 1 11 cipiatur extrahi e vase aliquantulum inclusi aeris, vel qui erat inclusus aliquantulo magis comprimi , et denotet d'1 Fé) densitatem , h' altitudinem barometricam, postquam aer in tra vas ad pristinam redierit temperiem n. Tum constituta parumper communicatione cum externo aere, donec nimirum redigaturad h, mutationem quandam suscipiet lam p' ( 13) quam n; et illa quidem transformabitur in u'1 *8' ) (18" ), haec autem in ny. Sed cum v' brevi evanescat, et so la n supersit quin variet MIFÉ' ) (1 # " ) , mutabitur iterum h et evadet h " . Alteram instituendi experimenti rationem sequuti sunt Desormes et Clement , alteram Gay - Lussac et Welter: inspiciatur sequens tabella . torie pun Desormes et Clement. n = 12 , 5 , heo” , 7665 , h - hs o ” , 01381 , 11 h - h" = 0 , 003611 ; 2 " hi sese restituit ad h intra tempus < < 5 Gay - Lussac et Welter. n = 13° , h = omom,, 757 757 ,, hh -- hh : = 0 " , 0163644 , h " - h = 0 , 0044409 ; q " h sese restituit ad h intra tempus 6 Iam vero, depolante D densitatem hydrargyri , sunt conti erter Dgh = ip (176) (1 + an ) , 000 19 villi] 1 !' torir L, 111 )num conti- erit?' con- 281 cipiatur extrabi ei vase aliquantulum inclusi aeris,'*vel qui eratinclusus aliquantulo magis comprimi, et denotet p.'(1::1:s') densitatem, h' altitudinem barometricam, postquam aer in- tra vas ad pristinam redierit temperiem 11. Tum constituta parumper communicatione cum externo aere, donec nimirum h' redigatur ad h, mutationem quamdam suscipiet tam (if( quam ∎∶∙∶∔⋅∶∊⋅⋟ .: et illa quidem transformabitur 111 p.'(1.-.;:s')(1:£ e"), haec autem in :::». Sed cum v' brevi evanescat, et so- la n supersit quin variat p.'(1:1: a' ) (1 :1: e" ) , mutabitur iterum I: et evadet h". Alteram instituendi experimenti rationem sequuti sunt Desormes et Clement , alteram Gay- Lussac et Welter: inspiciatur sequens tabella. Desormes et Clement. 11:12", 5 , h:o",i7665 , 11 -h': 0", 01381 , h — h":o", 003611 ; h' sese restituit ad h intra tempus ≺∙−≣− ∙ Gay - Lussac et Welter. ' n:130, h:o'" , 757 ,h'-— h:d",0163644 , h" — h:o'", 0044409 ; 1" h' sese restituit ad h intra tempus (—6—- . hm vero, denotante D densitatem bydrargyri , sunt Dgh':i;t'(1q:e')(1—t-an), ∎⊨∎ 'i i ! 19282 Dgh = id'l 176) ( 1 #t" ) ( 1 + a nv( ) ) , $ Dgh " = id'l 176 ) ( 1 + ") ( 1 + an ) : hinc h " = 1 & € " , h h " 1+ anty') 1+ an = 1 + R 1 + an h " 'h αν"' h hh" h"

1 tanideoque }ań= ( 1 - an )h hh"h " 7 " -h*Substitatis valoribus ex Gay - Lussac et Welter ,αν€" ( 1 + an)=0, 3785020934 :1Ret quoniam iste numerus neque ex temperie neque ex pressione pendere videtur, iccirco poterit generatim assumi 1A= 0, 3785020934 ;sicque soni velocitas prodibit expressa per ( 94. 1 ° )V1 , 3785020934tofe-V 1,3785020934i(1+ an) = 1009 , 614V1+ an (i" ).2821131. −−−−⋅⋅⋅⊬∣≺↿∓⋮⋮≻ ≺↿ :::" ) ( ↿....(a:-:») ).Dgh":ip.'(1q:s-' ) (1:t:€") (1 qum):tibine−≸⋮−⋤⋅−⋅≕↿∙∙⋅⊧∙≘⋅⋅ ,∣∣⋮∙⋅ −−⋅↿−⊦⋅↿∘∙≦↾∙≔⋮∙⋓⇗≱ −−⋅↿∙−⋅⊦−∙↿−−∙⋮⋮≔−∙zh :" ∙∙∙ l:" --l:' ,.4, .av' −∣∎ −∦∣⇂∙∙ ;↙h' 1 −⊢⋅⋯∎ &ideoqueav' h' b—h"e"(1-t-an)— h" h"—-h'⋅Substitutis valoribus ex Gay-Lussac et Welter,av'et quoniam iste. numerus neque ex temperieneque ex pres-sione pendere videtur, iccirco poterit generatim assumisicque soni velocitas prodibit expressa per (94. 10)Ic ∸−−−⇀ ↿∙ 3785020934 1;—wjt—lV1, 3785020934 ⋅⋅≺↿∙⊢ an) ∙−−∶ 1009,- 614 ∣∕↿⊣⇀∘≀∎ tc")- H283

Si attendenda est quoque bygrometrica aeris constitutio, denotante 6, pressionem libratam ab aqueo vapore , pro ui'substituendum erit ( 96. 4º. )1seui( 1+ an)exsistet nempeV11w' il 1 to an )1 , 3785020934 3--8W1009 , 614V8 ã' (1+ an )80-30 ,(i " ) .In soni velocitatem diligentissime inquisiverunt anno 1822 DD. Arago, Prony , Mathieu , Bouvard, Humboldtet Gay - Lussac: distantia, ad quam observationes de corruscatione flammae et fragore instituebantur in explosionibusLormenti bellici, ea fuit quae Monthlery et Villejuif interjacet ; velocitas inde deducta, seu spatium iolra 1" a sono percursum, 89 Erat autemn =15°, 9; undeVitan = 1 , 029 : dabit igitur formula ( it )340metr.103gped.893 metr .337 , 432 . >Hygrometricam quoque aeris constitutionem notaruntAuctores Cl . Sub mediocri videlicet altitudine barometricametr .0 76 index hygrometri, quod vocant a capello, oslendebat grad . 72 : in hac vero hygrometrica aeris constilutione, et sub temperie 15° , 9 ,pressioni , respóndet bametr.rometrica aliiludo 0 00679; hinc283Si attendenda est quoque bygrometrica aeris constitutio, de-notante u', pressionem libratam ab aqueo vapore , pro pfsubstituendum erit (96. 40.)exsistet nempe' ∙1T∘⋅−−− ∣∕ 1, 3785020934 "''(a, ↼⋅⊢ s'""- ..81009 614⇂∕ afuit—13:111) (i")-In soni velocitatem diligentissime inquisiverunt au-no 1822 00. Arago, Prony, Mathieu, Bouvard, Humboldtet Gay-Lussac: distantia, ad quam observationes de cor-ruscatione dammae et fragore instituebantur-in explosionibustormenti bellici, ea fuit quae Montblery et Villejuif inter-iacet :velocitas iude deducta, seu spatium intra 1" a so-no percursum, :340'm" ,89 Erat autemn:150,9; undel/1-t-an :1, 029: dabit igitur formula (ix)0:1038ped' ,893 :..- 337'""' ,432.Hygrometricam quoque aeris constitutionem nataruntAuctores Cl. Sub mediocri videlicet altitudine barometricaGum. , 76 index bygrometri, quod vocant :: capella, o-stendebat grad. 72:' m hac vero hygrometrica aeris consti-tutione, et sub temperie 150, 9 ,pressioni a', respöndet ba-rometrica altitudo Omm ,00679; binc284v808w' 30,=1,002 ;et consequenter ex (3 " ) eruetur1040ped ., 97 = 338metr .11 .Consensus itaque experientiam inter et expositam theo .riam tantus invenitur , ut major profecto desiderari nondebeat in praesenti argumento : difficile admodum est in idgenus observationibus ventorum vim prorsus eludere, aliasque causas declinare quae huic consensui multipliciter nocere possunt : mirum deinde quantum ardua res sit valorem A experimentis accurate determinare.

4. °* Evanescunt secunda membra (iº !! ) etiam quoada = o : in distantia igitur r evanescent & , v statim atque,labente tempore , eo devenitur ut sit rect = o . Quia ergo in distantia illa incipiunt , v esse aliquae quumrct = lg, sequitur motum in distantia illa minime duraturum ultra tempus Eaedem itaque & , v evanescentin distantia r- , statim atque incipiunt esse aliquae in distantia r : propterea non cientur una nisi particulae constituentes stratum crassiliei

5.° Velocitas v duabus ( 2.º į" ) constat partibus , quarum altera sequitur rationem reciprocam distantiae a centro unde promanat sonus , altera rationem reciprocam duplicatam ejusdem distantiae: functiones praeterea F, Fmanent constanter parvolae. Quia igitur impulsio in datum obicem facta pendet a velocitate v , patet , quo longius propagatur sonus , eo magis ipsum debilitatum audiri. Quum sonus ad modicam pervenerit distantiam, licebit secundam illam partem negligere; eritque

Inferimus illud: si impulsio in obicem facta quadrato ve.locitatis v sumitur proportioualis , rationem duplicatam distantiarum sequetur soni debilitatio ( 125 ) .


6.°* Fac ut librati aeris particulae concutianturuna circum plura puncta O , 0 " , ... ; quorum distantiae ab ( x , y, z ) exhibeantur per r' , o" .... ; ipsis.que O' , 0 ' , ... , tanquam originibu's respondeant suaaxium systemata parallela systemati habeati originem O.Quoniam novae coordinatae s ', x ", ...5,0 " , ... é , z " ..constantibus quantitatibus differunt ab x, y, z ; ideodr ' dr dr " ar dx doc ' F ' da d.x "!y' g "dr'dy>dy 'p"drdy "drdz"dr drdydr'idz2dz dz'el consequenterdQ _dQ dr dQdr"tardx+ .. dx dr' dxdQ x'dQ ydr +dQxt"dr gli t....dQ_ dQ y+dy dr p ' dr to.dQdzdQ ádr '+dQdi ".. ilemquetod²Q x 2 dQ 7/ 2+22dx² dr'a g'a + +2851 'rinferimus illud : si impulsio in obicem facta quadrato ve-locitatis v sumitur proportionalis, ratiunem duplicatam di-stantiarum sequetur soni debilitatio (125).691» Fac ut librati aeris particulae concutienturuna circum 'plura puncta O', 0", ... ; quorum distan-tiae .ab (æ, y, :) exbibeantur per r', r" . ...; ipsis-que O', O", ,tanquam originibus respondeant suaaxium systemata parallela systemati habenti originem 0.Quoniam novae coordinatae se', a:",...y' ,y", ... z', :"..constantibus quantitatibus differunt ab a:, y, :;ideodr' dr' æ' dr" ∙∙∙ dr" ∙∙∙⋅ æ" ⇀dx daf—r dx' dr" ≀⋅∎⋅↬⋅⋅⋅et consequenterdQ 'der- −⊦↙≀≺≀∂∙↾∙∙⋅ du:- dr'dæ dr" da:dQ æ' dQ æ" "dQ ∙−−↙≀≺⊇∙⊺ d.QJ"?;/7 21.-717 −⊢∙∙ 4"?!— −−⊣∎∎∙∙': "dy— dr'r'.dQ —dQ f:: dQ ∙⋮↾∙⋅ ∙−⊦ 'dz —dr' l"-1 dr" r" ⋅ ..itemque'PQ −− ↨≖≬x" dQ ∟∣≖⊣−≖∙∙∣∷ .⋅'dæ' dr'3 :"2 −⊦⋅−−(Ti—' −−⋅∣⋅∙−⋅↾⊰ ..,-286daQ x2 dQ " 272"+dr2 p " 2 dri p/13 + ... ,da d’Qy'adya drar'a taridQ x2+22 +p3d'Q.7 "?, dQ x" : + z'2 + ti. dr" ' a p " 2lo:drid2QddzadaQ z'2dr2 p'2dQ x's + y'2 dQ 242dr' 3+dril2 pll2 +dQ x2+ y'ati ..Adhibitis substitutionibus in ( i ' ', 1.0 ) ,d'Qde2( d - Q= c2 Adr'a +2 dQ d2Q 2 dQz dr + dra +pdr" + ... )

ex cujus forma intelligimus foreQ = [filr'tou + F (r — ct)]+[far" +41++ F.(r" ct) ] + . ( * " ).

Nunc facile stabilitur illud : in hypothesi plurium concussionum simultanearum , ubi eae ad punctum ( x , y , z )eodem temporis momento una perlingant , numerus e nihil erit aliud nisi summa consimilium numerorum respondentium iisdem concussionibus seorsum spectatis ; siquidem ( 1.0 ) .286(PQ ∙⋅⇂⋅∥∙ ↿ dQdr": ∙↗≀∦≖∙⊦≖∥≖⊹ r'" ∣dr" r"3 ⋅⋅''- «PQ— d'Q 7" ∙⊦↙∄≺≀∙−−−−∙−−−−−⊦⋅ æ'2-l-z'2d]:—d'Q )" dQ æ'ä-l—z"; .dr" ≀⋅∥⋮⊹↲≀⋅∙∣∣ r' '34- ⊣− ⋅⋅. 'd-Q Adeo ∷⋅≖ ∣dQ ⊴↾∶∣≖−⊦∜∣⋅ æno z.":dza 'di'/3 r'"'dr' r'3 dr"3 r"'dQ ∙⋅≖∥≖⊣−∜∥≕ ↿dr" rl'3. 'l ... ∙ ∙Adbibitis substitutionibus in (i". 1.").duo (PQ 2 dQ 2 dQ ∙∙−−− ∘≺↙↙↾∣≏−⊣−≀⋅∣ ∡≔∣∙⊦≤∶−−⊽− ⋖⋮≀≕−⊽∣−⊋−↾⊽⊣−⋯≻ex cuius forma intelligimus foreQ ∶−∎⋅⋅↗⋮⊤⋅∐⋩≖≺⋅∦⊣⊸⊩⊢−∶⋮∙− ∇≖≪↗⋅⊣⊸≀⊢⊢ F,(r'—-ct)]-l—F.(r⋅⋅⋯ ]-l—-Nunc facile stabilitur illud :, in hypothesi plurium concus-sionnm simultanearum , ubi eae ad punctum. (a: ,J,

)

eodem temporis momento una pertingant, numerus :ni-hil erit aliud nisi summa consimilium numerorum re-spondentium iisdem concussionibus seorsum spectatis; si-quidem (1.").287DP zo al- F"['r( + ce)-F'(x'ct)[facr "+ c8)— F'xr" —cr) ] - ...InsuperDPdQx' dQx"+ t . dx dr ' dr" r " + ...G [r« tch+F" ret) ]– 16 +6 +F.( c )]) + ( - "+e +F',(==ci)] –[for"tor)+F60—60)) + ....vº dQdydQ r' dl go "+ + .. dr ' r ' + dr " r "G - triktet)tF'(x - ce )]= i [ fim'tot +Fa(r = -1)]) + ( -186 *408)+ F"(" –ce)] -wraca" terhFall -ct)]) + .287⋅⇌⊐ ∙−−≕↿−∙⋅ ?,?"-- --',..'[f .(r -!-c:)—F'.(r -—-c:)1—-⋅≺∽⋅−∎↿⋅⊤∶∁↿⋮⊅⋍∣⋅∥⊹⋯∙− ↧⋅⋅∣∙≺≀∙∙⋅∙⊳∙−∙∘≀≻ ]— ....lnsuper"- «me ⋅≄⋅ .... −−∶ .. ↼−−⋍⋜⊑⋅∙−−⋅∡⋰−∙⋅⊤−⊢⊿−≀⋅−∙⇉↗⊷ −⊦ ∙⋅⋅⋅", 1! ' '⋅∎ ≺∎≙∶∎↾⋅⊀∎≺∣⋅⋅−∣∎⊸∘⊣−∏⋅∎ (' -—0t )]-— ∙≀−∙⋅∙−∙−∣⋅∫∎≼∣∙∎∙⊦⊸↥⊢∣−,' ⋅ æ' .⋅ ↿ ⋅⋅ ⋅'∙Fl(r "'"'ct)"])"T'f'l'(—: [f,(r'Lï-CO—l-F', ∎⋅ ( r—ct )] ∙∙∙⋅r∙∙≖−⋅≟⊑ ⊏∣≖≺↗⋅⋅−∣⊸≀≻⊣−↿⋮⋅≖≺⋅∙⋅⋅∙−−∝≻∃ )£f.-.- −⊦ ∙⋅∙∙. ∂≺≀∙∙−⋅∠≀≖≀∜⋅lu.—dy dr' r' ä-l-dr"— r"∶∣⋅−⊦∎⋅ .. 1(£.- ⊏⊀⋅≺≀⊤∙∙⇀⊸⋅≀⊢⊢≖⋅⋅∙⋅≺ r'-ct )1: ;; [f.(f-l-cu-l-F.(r'— et)] ≻∙∜−⋮−⊦r ≺↿⊤↕∣∣≖≺↗⊓⊣⊸⋍⋝⊣−⇂⋅⇁⋅⋅≺∣∙⊷∙−∘≀∏ :- - ⋅⋝∙≟≟∁∣≖≼↾∣⋅⊹≕⊢∣⋅⇁≖≺∙⋅≀∙∙⊸∁∏ ⋟∑≖∙⊤⋅⋮− −⊦∢ ∙ ∙ ∙288dQdzdQzdrdQz"t .dr r "( -fr.( tre)+F ;(r = cr)] - PfalriteestFuF.(x*—- )]) + ( far"+c)+ F "–ce)] -penna[ far tcent Ffrº-cr)]) + ...;UIDegoinferimus velocitatem v debitam simultaneis concussionibus circum 0,0 eodem temporis momento adpunctum ( x , y , z ) una pertingentibus nihil fore aliudnisi resultantem ex velocitatibus , quae debentur iisdemconcussionibus seorsim spectatis : atque hinc facile intelligimus cur, pluribus corporibus simul resonantibus , interoscillationes in aere excitalas non habeatur confusio ,omnesque diversi soni inde orti ad aures distincte perveniant. Huc spectat principium de superpositione exiguorum motuum.7.04 Redeuntes ad unicam concussionem in 0 ,ponamus aerem contineri tubo cylindrico , cujus axis ox,motumque particularum esse ipsi OX parallelum : eruntv" = 0, v" = 0; propterea formula ( i" ) evadetd2Q daQde unde Q = f ( x + .ct) + F ( x - ct ) ; ረder2 1et consequenter288... dQ- JQ :"'l-(,Q' z'—dz −−↲≀⋅⋅ r' dr" r'

ll ≼⋅≟≑⊏∣∣∙≺↗⋅⊣⇥≻⊣−≖⋅⇁⋅≖≺↗⋅⋅−⋅∘≀∏ ∙−⋅⋅⋮−⋅⋮⋅⇆⋅⋅⊔≖⋅∊⋅↾⋅⊣↽⊸≀⊢⊦ ∙,⋅ mo*—cn] )f— ⊣−≺⊽⊏ ↑∼≖≼↗⋅∙−⊦∘↥≻−⊦ ≖∸⋅∙≖≺↗∙∙−∘≀∏ −⋮∙−⊦∘≀≻⊹↧⊸⇁≖≺≀∙↝−−∘≀∏⋟−⋮⊽ −↿− ∙ ∙⋅inferimus velocitatem v debitam simultaneis concussioni-bus circum O'. 0", ... eodem temporis momento adpunctum ( x . y ,

) una pertingentibus nihil fore aliud nisi resultantem ex velocitatibus , quae debentur iisdem concussionibus seorsim spectatis: atque hinc facile intel- ligimus cur, pluribus corporibus simul resonantibus . inter oscillationes in aere excitatas non babeatur confusio. omnesque diversi soni inde orti ad aures distincte per- veniant. Huc spectat principium de superpositione exiguo- rum motuum. 7." Redeuntes ad unicam concussionem in 0, ponamus aerem contineri tubo cylindrico, cuius axis OX. motumque particularum esse ipsi OX parallelum: erunt 0' '::--0. 0" ':o; propterea formula (i") evadet ⋅ 32? —-c £?. unde Q—−−⋅∣↗≼∶∁−∔⊸⇂⋟ -l-F(x—-ct); et consequenter289 dQ 1 dQ dx = pilatot) + F '( x - 1), E = - ca do [fotot) – F (x – ct )] . Functiones f et F absque ulla difficultate determinantur: sunt enim ( 1.9). f( x) = f(@ + F'(Q ), - cf:(Q ) = f (a) F '( ) ; ideoque f'( X) = f (Q )-cfi(Q ) 2 f(@ t-of ( ) F (a ) = 2 Ultimae ac penultimae aequationis secunda membra eva nescisnt statim ac a fil >Oto : erit itaque f ( t ) = 0 quoad -aereas particulas ultra azi proinde quoad ejusmodi particulas F ' ( x-ct ) . Hinc sequitur souum adhuc ( 3. ) propagatum iri uniformiter velocitate се V 11 + 4 ). • De reflexa soni propagatione per aerem .
130. Cam in directa propagatione sonoras aer offen dit obicem aptum, reflectitur; hinc echo ( 115 ) progignitur; assertio sic probatur . Constat quod corpus in motu positum , si in obstacu lum incidit , quod elasticum sit , vel durum , et corpus ipsum ⋅ 289 v −∸−≖ B:] ')(æ-l-ct -l-F'(æ—ct), a:.— — ∙−∙−−−⋅⋅∶ ⋅↿ ∙
- [f(ar-l—ct)

-F'(x—-ct)] .Functiones fet P absque ulla didicu-l'tate determinantur:sunt enim (1."). ⋅⊞≀∝≻−−−↿≺⊄⊢⊦⋮⇁≀≺∝≻∙ ∙− cf.(a)-—:f(a1—F'(a) :ideoque f(ao ⇌≖aa)-zcnm) ∙ Ha): Karl-faa) ∙Ultimae ac penultimae aequationis secunda membra eva-nescunt statim ac « Et )a.. : erit itaque fur-H:):oquoad aereas particulas ultra «.',proinde quoad eiusmodiparticulas ⋅-cs :: F' (a:—ct ).

Hinc sequitur sonum adbuc (3.") prcpagatum iri unifor-miter velocitateC::V-z-I—(i-I—A). ' De reflexa soni prcpagatione per aerem ∙⋅

130. Cum in directa propagatione sonoras aer oü'en-dit obicem aptum, reflectitur: binc echo (115) progiguitur: assertio sic probatur.

Constat quod corpus in motu positum, si in obstaculum incidit, quod elasticum sit, vel durum, et corpus ipsum impingens elasticilate gaudet, debet molus directionem mutare ac reflecti: ergo aer, elasticus cum sit, ubi in obstaculum offendit, quod vel elasticum sit, vel certe non molle, reflecti debet; undae videlicet aereae, quae ex sonoro corpore progignantur ac propagantur directe, debent obicem offendendo regredi, sonumque reflexum progignere. Exemplo circulorum in aqua ex injecto lapide excitatorum res oculis subjicitur: circuli enim isti ubi ad ripam appellunt, reflectuntur inde eo ordine, quo appulerunt . Aliter sic: ejusdem naturae est echo cum sono ipso directo; obtinet enim utrinque sonus eodem generatim tono, iisdemque affectionibus praeditus; ergo echo gigni debet eodem modo quo sonus directas: atqui hic per undas aereas successive a sonori corporis motu genitas procreatur; ergo per similes undas etc. Hinc in aperta planitie, ubi nullas est obex, sono directo minime Echo respondet. Cohaeret doctrina com Echo phoenomenis. Nam

1° redit reflexa vox duplo temporis intervallo: ab experientia doctus sum, inquit Derhamus, Echo redire duplo intervallo, quo vox primaria ad objectum phonocanticum pertingebat; scilicet tempus requiritur ut ad obicem vox primaria deveniat, et rursum tantumdem temporis exigitur ut reflexa ab obice redeat ad loquentem.

2º. Remissior plerumque est Echo quam vox directa audiri soleat; aliquando tamen intensius resonat Echo quam sonus directus audiatur. Ralio primi est: cum soni intensitas decrescat pro aucta distuntia a sonoro corpore, jam decrescit sonus ad obicem pergens; inde autem regrediens, et novas undas progignens, iterum decresceredebet intensitas: ratio secundi, quia si obstaculum concavumsit, plures colligere poterit radios phonicos , quos unitos simul in uno loco regerat.

3º. Aliquando ( 115 ) seinel vox reflectitur, aliquando saepius: prima dicitur Echo monophona,altera polyphona. Si enim obstaculum unicum sit , jam nonnisisemel potest vocem remittere; contra saepius remittitur duplici ex causa. Prima est cum iu variis distantiis plura habentar290impingens elasticitate gaudet , debet motus directionem mu-tare ac reflecti :ergo aer , elasticus cum sit ∙ ubi in ob-staculum offendit, quod vel elasticum sit, vel certe nonmolle,reflecti debet; undae videlicet aereae, quae ex so-noro corpore prOgignuntnr ac propagantur directe , debentobicem oll'endendo regredi , sonumque reflexum progignere .

3". Aliquando (1 15) semel vox refle-ctitur,aliquando saepius: prima dicitur Echo monopbona,altera polyphona. Si enim obstaculum unicum sit. iam nonnisisemel potest vocem remittere; contra saepius remittitur dupli-ci ex causa. Prima ut cum iu variis distantiis plura habentur291obstacula: altera causa est, cum duo sunt obices e regione collocati; vox enim ex uno reflexa in alterum incidit, atque exhoc iterum reflexa iucidit in primum, et ita porro. Apudveteres memoratur Olympiae porticus ; quam eplaphonamdicebant, quod septies eamdem vocem redderet , ut traditPlinius. Prope Mediolanum celebris est Echo in palatioSimonetta, in quo ope duorum parietum parallelorum fragor minoris fistulae bellicae vicies, et aliquando tricies repetitur teste Schoto.

40. Echo saepius unam tantum syllabam, aliquando plures refert: echo monosyllaba prima, et polysyllaba altera dicitur: habentur loca, ex quibus integer versus hexameter repetitur. Ea nempe est obicis ( 115) distantia, ut sonus reflexus primarum syllabarum tunc demumad aures regrediendo perveniat quando vocis directae impressio jam desinit; ac tunc sonus primae syllabae, qui opportune regreditur jam expleto versu, poterit esse sepsibilis, itemque aliarum successive.

5º. Echo redditur aliquando a silyis; imo etiam a campis sulco exasperatis et a planitie cespitibus ac virgultis inspersa reverberalur vox; reverberari autem a sulcis ac cespitibus animadvertit Kircherus, quia quando sulci eversi, ac virgulta praecisa fuerunt Echo nulla reddebatur: talis nempe esse potest irregularis partium reflectentium dispositio, ut etiamsi plures radii phonici dispergantur, non pauci tamen in eumdem locum collineent.

131. Reflexio soni fil ad angulos incidentiae et reflexionis aequales : quod sic explicamus . Sit AB ( Fig. 60. ) firma , planaque superficies ; KCK' recta perpendicularis superficiei AB ; K centrum sonorum , ex quo propagantursphaericae undae CDD', C'EE', etc... appellentes ad AB in C,C'ete ... Fiet soni reflexio in C, C , ..; ethabitis C , C ... pro norissecundariarum undarum centris , ipsae secundariae undaeremittentur cum eadem principalis undae velocitate. Progrediente unda principali ab CDD' usque ad BB ' , undamanans ex C progredietur ab C usque ad Q ; repraesenta291 obstacula: altera-causa est, cum duo sunt obices e regione col-locati; vox enim ex uno reflexa in alterum incidit, atque exhoc iterum reflexa incidit in primum, et ita porro. Apudveteres memoratur Olympiae porticus; quam eptaphonamdicebant, quod septies eamdem vocem redderet, ut traditPlinius. PrOpe Mediolanum celebris est Echo in palatioSimonetta, in quo ope duorum parietum parallelorum fra-gor minoris fistulae bellicae vicies, et aliquando tricies re-petitur teste Scboto. 40. Echo saepius unam tantum syl-labam, aliquando plures refert: echo monosyllaba prima, etpolysyllaba altera dicitur: habentur loca, ex quibus integerversus hexameter repetitur. Ea nempe est obicis (115) di-stantia, nt sonus reflexus primarum syllabarum tunc demumad aures regredieodo perveniat quando vocis directae im-pressio- iam desinit; ac tunc sonus primae syllabae, qui op-portune regreditur iam expleto versu, poterit esse sensi-bilis, itemque aliarum successive. 50. Echo redditur ali-quando &silvis; iuno etiam a campis sulco exasperatis et aplanitie cespitibus ac virgultis inspersa reverberatur vox ;reverberari autem a sulcis ac cespitibus animadvertit Kir-cberus. quia quando sulci eversi, ac virgulta praecisa fue-runt Echo nulla reddebatur: talis nempe esse potest irre-gularis partium reflectendum dispositio, ut etiamsi plures ra-dii phonici dispergentur, non pauci tamen in eumdem lo-cum collineent.

131. Beflexio soni fit ad angulos incidentiae et refle-xionis aequales: quod sic explicamus .Sit AB (Fig. 60.) Gr-ma, plenaque superficies; KCK' recta perpendicularis su-perficiei AB ; K centrum sonorum , ex quo propagantursphaericae undae CDD', C'EE', etc... appellentes ad AB in C,B' etc... Fiet soni reflexio in C, C',..; et habitis C,C'... pro novissecundariarum undarum centris, ipsae secundariae undaeremittentur cum eadem principalis undae velocitate. Pro-x grcdieute unda principali ab CDD' usque ad BB' , undamanans ex C prOgredietur ab C usqæ ad Q; repraesenta-292biturque hemisphaerio , cujas semidiameter CQ = D'B ' :item progrediente unda principali ab C'EE usque ad BB” ,unda manans ex C' progredietur ab C usque ad C " : repraesentabiturque hemisphaerio , cujus semidiameter CC"E'B' ; alque ita porro. Inferimus , si concipitur superficiescurva AQC " B tangens omnia haec hemisphaeria in Q, C " ....,in ea fore puncta illa , quae a secundariis andis reflexisattinguntur eodem instanti , quaeque tunc incipient concutiquum principalis unda pervenerit ad BB' ; exhibebit nimirum AQC"B superficiem undae reflexae; et quoniam productisinfra AB superficiebus BB' , Qa, C'a ' , ..., recta KA' exsistit per:pendicularis ad primam et secundam, recta KH ad primam ettertiam , etc ... ; ac proinde sphaerica superficies B'BA'A tangit sphaericas superficies QaA' , C'a'H , . ; sequitur superficiem AQB undae reflexae fore sphaericam , ejusque centrum in K , et semidiametrum K'Q = KA' . Jamvero quemadmodum auris collocata v. gr. in C deprehendit sonumdirectum venire juxta KC' perpendicularem undae incidenti ,sic auris in C' deprehendet sonum reflexum venire juxtaK'C " perpendicularem updae reflexae ; et cum , ob mutuumsphaericarum superficierum AQB , C'a'H contactum , rectaK'C " transeat per C' ; cumque , ob latus KC = K'C , etlatus CC commune , triangula rectangula KCC , KCC' dentangulum KCC aequalem angulo K'C'C , erit angulus KCCangulo C " CB ; ideoque angulus incidentiae aequalis angulo reflexionis .Sit nunc firma curvilineaque superficies AB ( Fig 61. ) ,in quam incidant undae CE , HE" , ... BB' propagatae excentro sonoro K ; si centris C , H , ... describuntur sphaerae , quarum semidiametri ( KB-KC' ) , ( KB - KH ) , ... ,aereae particulae sitae in superficie BD tangente sphaerasistas incipient simul affici motu reflexo stalia ab adventuundac ex K in B. Erit igitur BD superficies undae reflexae : quam superficiem pon esse sphaericam nemo est quinon videat. Fac ut puncta C , H sint inter se infinite vi292biturqne hemisphaerio , cuins semidiameter CQ ∶⋅−⋅ D'B' :itcm progrediente unda principali ab C'EE' usque ad BB',unda manans ex 0 progredietur ab C' usque ad C"; re-praesentabitnrque hemisphaerio.cnius semidiameter C'C' ::E'B' ; atque ita porro. Inferimus ,si concipitur superficiescurva AQC"B tangens omnia haec hemisphaeria in Q, C",...,in ea fore puncta illa , quae a secundariis undis reflexisattinguntur eodem instanti , quaeque tunc incipient concuti -quum principalis unda pervenerit ad BB' ;exhibebit nimi-rum AQC"B superficiem undae reflexae; et quoniam productisinfra AB superficiebus BB',Qa, C'a',..., recta KA' exsistit per-pendicularis ad primam et secundam, recta KH ad primam ettertiam,etc... ; ac proinde sphaerica superficies B'BA'A tan-git sphaericas superficies QaA', C"a'H .∙∙∙ ;sequitur super-ficiem AQB undae reflexae fore sphaericam, eiusque cen-trum in K', et semidiametrum K'Q ∶⋅−∙⋅ KA'. Iamvero qnem-admodum auris collocata v. gr. in C' deprehendit sonumdirectum venire iuxta KC' perpendicularem nudae incidenti ,sic auris in C" deprehendet sonum reflexum venire iuxtaK'C" perpendicularem undae reflexae ; et cum , ob mutuumsphaericarum superficierum AQB , C"a'H contactum,rectaK'C" transeat per C'; cumque , ob latus KC −∙−∸− K'C , etlatus CC' commune ,triangula rectangula KCC', K'CC' dentangulum KC'C aequalem angulO'K'C'C , erit angulus KC'C

angulo C"CB; ideoque angulus incidentiae aequalis angulo reflexionis . Sit nunc firma curvilineaqne superficies AB (Fig GI.), in quam incidant undae C'E' , HE" ,... BB' propagatae ex centro sonoro K; si centris C' , H , ... describantur sphae- rae , quarum semidiametri ( KB—KC') , (KB—KH) , , aereae particulae sitae in superficie BD tangente sphaeras istas incipient simul affici motu reflexo statim ab adventu undae ex K in B. Erit igitur BD superficies undae refle- xae : quam superficiem non esse Sphaericam nemo est qui non videat. Fac ut puncta C' , H sint inter se infinite vi-293 cina , sintque C'C " , HQ normales ad BD : ex H ductis per pendiculis Ha , Ha' in KC , C'C " , erit Ca ' = CC "—HQ = KB - KC ) - (KB - KH ) = KH - KC = Ca. Quoniam igitur triangula rectangula Cal , Ca'H habent latera aequalia C'a , C'a ', latusque C'H commuue , habebunt ae quales angulos ac'h , a'C'H : hinc sequitur , etsi unda re flexa non est sphaerica , adhuc tamen reflexionis angulum fore aequalem angulo incidentiae.

132. * Haec deducimus ex ( 129) in ordine ad aereumfluidum concussum in K ( Fig. 60 ) , planoque fixo AB terminatum. 1 °* Sumpta x in KC normaliter ad AB, peribitapud AB tota componens v' ; erit nempe ( 129. 10. )dQdxdo O ( a )quoad x = KC ( = h ). ProducaturKC donec KC = KC;radius vector r' computetur ab K' ; et x ab eodem K' inK'C ; explebitur (a) perQ = --[Pr + c ) + F(ra) ] +[fri + ce ) + F(x – ċe)]( a ) ;siquidem quoad puncta sita in ABdQ dQ r=r' ,dr x = h , it's - h ,drdrisdx dxDeterminatis praeterea f et F ex ( i" " . 129. 10. ) , repraesentabit ( a' ) initialem fluidi statum: quoniain igitur ( a' )a— 293cina , sintque C',C" HQ normales ad BD: ex H ductis per-pendiculis Ha ,[in' in KC', 0C." , erit∁≮≖⇌∁⋅∙∁ ∙∶−⇀−∐≺≀ (KB'—-KC';-(KB-—Kll)—-KH-—KC':C a.Quoniam igitur triangula rectangulaC aH, C:: 'H habent lateraaequalia C'a, C'a', latusque C'H commune , habebant ae-quales angulos aC',H a'C' H hinc sequitur , etsi unda re-flexa non est sphaerica , adhuc tamen reflexionis angulumfore aequalem angulo incidentiae.1324: Haec deducimus ex (129) in ordine ad aereumfluidum concussam in K (Fig. 60), planoque fixo AB ter-minutum. ↿∘∙ Sumpta æ in KC normaliter ad AB, peribitapud AB tota componens v'; erit nempe (129. 10.)19.da: :0 (a)quoad .c— KC (: It ). Producatur KC donec K' C:: KC:radius vector r' computetur ab K'; et .r' ab eodem K' inK'C; explebitur (a) per≬⇌−⋮−∥↸≀∙⊣−∘≖⋮⋟⊣−⊏⋅⇁≺↗⋅−⋅−∘∩⊐−⊦↿−≀−∙−∙⋅−∣⋮⋀≀∙⋅−∣⋅−∘≀⊅⊹⊞↱⋅−−⊄⋮↕∙⋟⋅∙∣ (a');siquidem quoad puncta sita in AB∙∙ dQ dQ ∙∙∙↙≀↾∙∙∙⊲ dr'⋅⋅−—"'-27—27 ***-" ∙⋅↕−⇀−∣⋅∙⋅↴∙⋮⋮⊒−− 2;-Determinatis praeterea fet F ex (i'". 129. 10.), re-praesentabit (a') initialem fluidi statum: quoniam igitur (a')291 !11111et satisfacit conditioni ( a ) , et exprimit initialem fluidi statum,poterunt per ( a' ) definiri, quae spectant ad motus propagationem, attento obstaculo AB.2º . * Punctum C " , ad quod pertinent radii vectores r et r seu KC" et K'C " , perinde motum concipiet acsi ( 129. 6. " ) , sublato plano AB, fluidum eadem omninoratione concuteretur simul circa duo puncta K et K' . Pertinget itaque ( 229. 4º. ) concussio ad C ", primum in finetemporis deinde in fine temporis : hinc bini successive motus in C " , alter directus, alter reflexus ; etquia secunda concussio non pervenit ad C " nisi quum tempussic invrevit, ut habeatur r = ct + a,, iccirco eadem velocitate c regredietur motus, qua incedebat antequam in obicem impiogeret. Ad haec : cum anguli KC'C, K'C'C sintaequales, rursus ( 131 ) patet sonum illisum obici AB regressurum efficiendo angulum reflexionis aequalem anguloincidentiae.C. сDe instrumentis pneumaticis.

133. In instrumentis pneumaticis soni genesis repetenda non est saltem praecipue ex oscillatione partium solidarum ipsius instrumenti. Etenim si in hisce instrumentisdicatur soous creari eodem modo ac in instrumentis percussione resonantibus, jam sonus ipse connexionem haberetmaximam cum materia qua instrumentum compactum est ,nec non cum ejusdem crassitie; quod tum ratione verissimum apparet , lum etiam constat ex vi paritatis. Rationequidem: nam in instrumentis ex diversa materia compactis,quorum proinde particulae non aeque elasticae sunt, et ad mo.cum oscillatorium non aeque aptae, non eodem modo tremu.lus ille motus per insufflationem excitari debet ; quo verocrassius instrumentum est, eo in plures continuas partes 0294et satisfacit conditioni (a), et exprimit initialem fluidi statum,poterunt per (a') definiri, quae spectant ad motus prcpaga-tionem, attento obstaculo AB.20.a Punctum C", ad quod pertinent radii vecto-res r et r' seu KC" et K'C", perinde motum concipiet acsi (129. 6.0), sublato plano AB, fluidum eadem omninoratione concuteretur simul circa duo puncta K et K'. Per-tinget itaque (229. 40.) concussio ad C", primum in finetempons c, deinde in fine temporis c : hinc bi-ni successive motus in C", alter directus, alter reflexus; etquia secunda concussio non pervenit ad C" nisi quam tempussic iuvrevit, ut habeatur r': ct ⊣−∙ a. ,iccirco eadem velo-citate c regredietur motus, qua incedebat antequam in obi-cem impingeret. Ad haec : cum anguli KC'C, K'C'C sintaequales, rursus (131) patet sonum illisum obici AB re-gressurum efficiendo angulum reflexionis aequalem anguloincidentiae.∙ r—al r'e—aDe instrumentis pneumatict's.

133. In instrumentis pneumaticis soni genesis repe-tenda non est saltem praecipue ex oscillatione partium so-lidaram ipsius instrumenti. Etenim si in hisce instrumentisdicatur sonus creari eodem modo ac in instrumentis per-cussione resonantibus, jam sonus ipse connexionem haberetmammam cum materia qua instrumentum compactum est,nec non cum eiusdem crassitie; quod tum ratione verissi-mum apparet ,tum etiam constat ex vi paritatis. Rationequidem: nam in instrumentis ex diversa materia compactis,quorum proinde particulae non aeque elasticae sunt, et ad mo-tum oscillatorium non aeque aptae, non eodem modo tremu-lus ille motus per insufilationem excitari debet ; quo verocrassius instrumentum est, eo in plures continuas partes o-295scillatorius molus dispesci debet. Vi paritatis autem : namreipsa instrumenta, quae percussione sopant, pro materiae diversitate etiam in pari crassitudine diversimode contremiscunt;et si ejusdem sint materiae, pro diversa crassitie diversumitem sonum edunt. Ergo sonus in instrumentis pneumaticismaximam connexionem etc. si in his soni genesis etc. Atquihoc est falsum : in tibiis enim cylindricis ejusdem longitudinis idem habetur sonus aut fere idem , nullo respectuhabito ad materiam aut crassitiem ipsius instrumenti , utconstat experimentis; totumque artificium pro varietate tonorum pendet ex instrumenti variata longitudine: propterea etc.Quonam igitur pacto in hujusmodi instrumentis eritsoni genesis explicanda ? Eo videlicet , quem indicavimus(114.). In interna instrumenti capacitate aeris columna includitur, quae externi aeris pressione urgetur: dum igiturper exiguum orificium fistulae alius aer insufflatione intromittitur, aer ille inclusus condensari debet , atque urgericontra aerem externum; externus autem vi suae pressionisresistere; et quum aeris interni aucta pressio vincit, hic sedilatando condensabit externum aerem , repelletque; externusaer ita densatus ut ejus elasticitas praevaleat, se restituendorursum comprimet internum aerem : in columna videlicet illafiei compressio et restitutio, sicque in aeris particulis oscillatorius motus excitabitur; qui motus communicabitur externoaeri contiguo, et ad aures perveniet. Aer itaque secundum longitudinem fistulae se habet instar chordae peragentis longitadinales vibrationes: quo tibia et consequenter columna aerealongior est, eo etiam longiores undae efformantur; longiusque erit tempus compressionis et restitutionis , ac proindeLonus gravior. Hinc in instrumentis, quae secundum longiLudinem sunt foraminibus instructa, modo hoc et modo illud foramen aperiendo, sublato digito, varii obtinentur toni; siquidem externum aerem sic admittendo , modo majorem et modo minorem columnae aereae longitudinem ha295scillatdrius motus dispesci debet. Vi paritatis autem: namreipsa instrumenta, quae percussione sonant, pro materiae di-versitate etiam in pari crassitudine diversimode contremiscunt;et si ejusdem sint materiae, pro 'diversa crassitie diversumitem sonum edunt. Ergo sonus in iustrumentispneumaticismaximam connexionem etc. si in his soni genesis etc. Atqui'hoc est falsum: in tibiis enim cylindricis ejusdem longitu-dinis idem habetar sonus aut fere idem , nullo respectnhabito ad materiam aut crassitiem ipsius instrumenti ,utconstat experimentis; totumque artificium pro varietate to-norum pendet ex instrumenti variata longitudine: propte-rea etc.Quonam igitur pacto in hujusmodi instrumentis eritsoni genesis explicanda ? Eo videlicet, quem iudicavimus(114.).ln interna instrumenti-capacitate aeris columna in-cluditur, quae externi aeris pressione urgetur: dum igiturper exiguum orificium fistulae alius aer iusufflatione intro-mittitur, aer ille inclusus condensari debet, atque urgericontra aerem externum; externus autem vi suae pressionisresistere; et quam aeris interni aucta pressio vincit, hic sedilatando condensabit externum aerem, repelletque; externusaer ita densatus ut ejus elasticitas praevaleat, se restituendorursum comprimet internum aerem: in columna videlicet illafiet compressio et restitutio, sicque in aeris particulis oscillato-rius motus excitabitur; qui motus communicabitur externoaeri contiguo, et ad aures perveniet. Aer itaque secundum lon-gitudinem fistulae se habet instar chordae peragentia longitu-dinales vibrationes: quo tibia et consequenter columna aerealongior est, eo etiam longiores undae efi'ormantur; longius-que erit tempus' compressionis et restitutionis , ac proindetonus gravior. Hinc in instrumentis, quae secundum lougi-tudinem sunt foraminibus instructa, modo hoc et modo il-lud foramen aperiendo, sublato digito, varii obtineatur to-ni; siquidem externum aerem sic admittendo , modo ma-iorem et modo minorem columnae aereae longitudinem ha-296benius. Ita in chordis, pro majori chordae longitudine gravior est tonus, acutior pro minori; et digitis comprimendocamdem chordam, ut evadat plus aut minus longa , variosassequimur tonos .Dixi soni genesim repetendam non esse saltem praecipue ex oscillatione solidarum partium etc. Etsi enim exmateria instrumenti non habetur varietas quoad soni qualitatem , aut valde notabilem intensitatem ; varietas tamenhabelur quoad meliorem aliquam resonantiam; idque ex eodesumendum videtur quod aer inclusus pro diversitate corporis includentis melius aut minus bene oscillare potest ;magis nimirum aut minus impeditus adhaesione ad ipsumcorpus et scabritie aliqua. Ad haec; si instrumentum pneumaticum sit compactum ex materia non resistente, quale v.g.esset instrumentum membranaceum , tunc per vibrationescolumnae aereae excitari poterit sensibilis motus oscillatorius in partibus instrumenti; quae partes vicissim in aeremvibrantem reagendo valebunt sonum ipsum modificari etiamquoad tonum; et quidem plurimum si instrumentum sit valde breve, quemadmodum expertus est D. Savarı; adeo utbrevi tubo membranaceo obtineri possil magna varietaslonorum , qui eo graviores erunt quo minus tenditur membrana.

134. Haec proponimus explicanda circa instrumentapneumatica.

1º. Aperto aliquo foramine ex. gr. tertio, caelerisque clausis, ac deinde aperto alio puta quinto , variatlonus: at si ' per aperitionem tertii inducitur communicatiointerni aeris cum externo, nonne ex dictis ( 133 ) audiri deberet idem tonus sive apertum sive clausum sit quintamforamen ?

2º. Sola inflationis intensione mutantur toni , etiam servata eadem internae columnae longitudine

3º. Incanna organi ejusdem diametri superius clausa, si subduplasit longitudo , idem redditur tonus qui obtinetur ex canna superius aperta, et longitudinis duplae.Ad 1. Cum varia in instrumento pneumatico foramina aperiuntur, variae interni aeris columnae communi296hemas. ita in chordis, pro maiori chordae longitudine g'ra-vior est tonus, acutior pro minori; et digitis comprimendoeamdem chordam, ut evadat plus aut minus longa , variosassequimur tonos.Dixi soni geneaim repetendam non esse saltem prae-cipue ex oscillatione solidarum partium ctc. Etsi enim exmateria instrumenti non habetur varietas quoad soni qua-litatem , aut valde notabilem intensitatem ; varietas tamenhabetur quoad meliorem aliquam resonantiam; idque exeodesumendum videtur quod aer inclusus pro diversitate cor-poris incladentis melius aut minus bene oscillare potest;magis nimirum aut minus impeditus adbaesione ad ipsumcorpus et scabritia aliqua. Ad haec; si instrumentum pneu-maticum sit compactum ex materia non resistente, quale v.g.esset instrumentum membranaceum ,tunc per vibrationescolumnae aerea'e excitari poterit sensibilis motus oscillato-rius in partibus instrumenti; quae partes vicissim in aeremvibrantem reagendo valebunt sonum ipsum modificari etiamquoad tonum; et quidem plurimum si instrumentum sit val-de breve, quemadmodum expertus est D. Savart; adeo utbrevi tubo membranacea obtineri possit magna varietastonorum, qui eo graviores erunt quo minus tenditur mem-liraua.

134. Haec proponimus explicanda cirea instrumentapneumatica. 10. Aperto aliquo foramine ex. gr. tertio, cae-terisque clausis, ac deinde aperto alio puta quinto. variattonus: at si' per aperitionem tertii inducitur communicatiointerni aeris cum externo, nonne ex dictis (133) audiri de-beret idem tonus sive apertum sive clausum sit quintumforamen? 20. Sola inflationis intensione, mutantur toni. e-tiam servata eadem internae columnae longitudine 3". Incanna organi eiusdem diametri superius clausa, si subduplasit longitudo, idem redditur tonus qui obtinetur ex can-na superius aperta, et longitudinis duplae.Ad 1." Cum varia in instrumento pneumatico forf- mina aperiuntur, variae interni aeris columnae communi-297cantes çum aere externo excitantur; non ita tamen communicantes, ut simul non etiam inter se communicent; ergolooi variare per plurium foraminum aperitionem debent ,etsi exquisitam ejus rei rationem aegerrime quis reddere possit.Ad 2." Ut per vehementiorem percussionem in chorda instrumenti fidicularis contingit ut ea resonet ad oclavam,ita in columna aerea per variam inflationis intensionem contingit ut tonus mutetur; et sicut certum est in chorda musica quod ea tunc dividitur in duas partes separatim oscillantes, ita eadem asserenda est fieri divisio et oscillatio incolumna aerea sub tempore, quod sił proportionale tonoquem reddit. Hinc deducitur explicatio saltus ut ajunt tubae v. gr. ad octayam: cam paulo vehementius inspiralur tuba, cogitur aer ad celeriorem motum , quem tamen columnae aereae jam vibrantes , utpote nimis longae, praestare non possunt. Dividitur igitur columna per medium ita ,ut duo nova segmenta aeris aequalia suas vibrationes separatimperagant. Ubi vero saltus non sit ad octavam , alia divisio fieri dicenda est .Ad 3." Ia medio cannae duplae efformátur nodus ,habetur aereum stratum quiescens , quemadmodumhabetur in orificio clauso cannae subduplae ; adeoque eadem undae aereae longitudo in utraque canna , idemqueproinde tonus .

135.* Sit tubus cylindricus determinatae longitudinis 1,firmiter obseratus apud alterum orificium , aperius apnd alterum : aequilibrium aereae columnae inclosae ita turbaripono, ut qui aer orificio aperto ( ubi initium distantiae xconsliluo ) respondet, nullam densitatis variationem subeat,et qui orificio clauso, nullatenus moveatur.Functiones ( 129.7 °) .f, fx , ac proinde f , F ' tanquam datas assumo ab x = 0ad x = l. E statu aeris apud extremitates tubi habemus= o si x = 0, v = 0 si x = l; hincseufl + 1) + F'll — cl) = 0 ( 0 ) ,20297can'tcs cum aere externo excitantur; non ita tamen cdmmu-nicantes, ut simul non etiam inter se communicent; ergotoni variare per plurium foraminum aperitionem debent,etsi exquisitam eius rei rationem aegerrime quis reddere possit.Ad 2." Ut per vehementiorem percussionem in chor-da instrumenti fidicularis cdntingit ut ea resonet ad octavam,ita in columna aerea per variam inflationis intensionem cou-ting'it nt tonus mutetur; et sicut certum est in chorda mu-sica quod ea tunc dividitur in duas partes separatim oscil-lantes, ita eadem assereuda est fieri divisio-et oscillatio incolumna aerea sub tempore, quod sit proportionale tonoquem reddit. Hinc deducitur explicatio saltus ut aiunt tu-bae v. gr. ad octavam: cum paulo vehementius inspiratur tu-ba, cOgitur aer ad celeriorem motum, quem tamen colu-mnae aereae iam vibrantes, utpote nimis longae, praesta-re non possunt. Dividitur igitur columna per medium ita,ut duo nova segmenta aeris aequalia suas vibrationes separatimperagant. Ubi vero saltus non sit ad octavam, alia divi-sio fieri dicenda est, ⋅ 'Ad 3." In medio cannae duplae eEorm'atur nodus ,seu habetur aereum stratum quiescens, quemadmodumhabetur in orificio clauso cannae subduplae: adeoque ea-dem uudae aereae longitudo in utraque canna,idemqueproinde tonus.

135 Sit tubus cylindricns determinatae longitudinis !,firmiter obseratus apud alterum orificium, apertas apud al-tequm : aequilibrium aereae columnae inclusae ita turbaripono, ut qui aer orificio aperto ( ubi initium distantiae .a-constituo ) respondet, nullam densitatis variationem subeat,et quiorificio clauso, nullatenus moveatur.F unctiones (129.7").f, f. , ac proinde f, F' tanquam datas assume ab a: 30ad .r.-zl. E statu aeris apud extremitates tubi habemus

osi æzo,v:——osiæ:-:l; hinc

≀≖∣⋅∶≀−∙⊢≀∶∠⊢⊢ F'(l—c1):o ( o ).20298Fll — ct) - f ( c ) = 0 ( o' ) .In (0 ) substituatur ct +1- x in locum ct : prodibitf (21 + ci - x) = - F '(x - 1) ( 0" ) ;unde= f'( x + cl) – f'( 21+ ct - x ) ,c = -f(x + ct) -f(21 +ct - x) :( o ' ')in ( o " ) fiat x = 0 ; erit ob ( o')f (c + 2) = -F ( - ct) = -f (c ) (0" " );subrogato ct +21 in locum ct, habebiturf '( c +4 ) = -f( ct + 2 ) = f(t ) (o ');denique si in ( 0 ") ponitur ci=0, emergetf( 21 — x ) = - F ( x ) ( 0 " ) ..Aequationes ( o' : 0' ! ) satis sunt, ut functionem f considerare possimus veluti datam quoad omnes positivos ya.lores quantitatis variabilis , ad quam respicit ipsa functio.Etenim e statu initiali atque arbitrario aereae columnae admotum incitatae , data est F' ab x = o ad x = l ; ergoob (o " ) data erit fab x = l ad x = 21 : ex eodem statu jam dala erat fab x = o ad x = l ; ergo dabiturfab x = o ad x = 21. Aequatio autem ( o") rem evidentissimeabsolvit quoad caeteros quantitatis variabilis positivos valores. Ergo etc.298F'(—ct)——f(ct):-to (c').In (o) substituetur et −⋅⊢≀ —- a: in locum et: prodibitf(2l −∣⋅− ct — a:) ∶−∙−− F'(x—ct) (o" );uudev:f(æ-i-ct)—f(2l—l—ct—æ).etc:—f(x-i-cz)—f(2l -i-ct—æ):111 (o") fiat m::- o; erit Ob (0')(o"')f(cs −↿− 21) ∶−∙− −F'( —ct) −−∶ —f(ct) (o"):subrogato et —-[-21 in locum et, habebiturf(cz ↽⊢ 4!) ∙−−− —-f(ct −⊦ 21) ↽↼−−⋅≖ f(ct) (a';denique si in (a'—') ponitur ctzo, emergetf(ZI—æ) z—F'Lr) (o").Aequationes (a': a'!) satis sunt, ut functionem f coa-siderare possimus veluti datam quoad omnes positivos ,va-lores quantitatis variabilis, ad quamrespicit ipsa functio.Etenim e statu initiali atque arbitrario aereae columnae admotum incitatae, data est F' ab a: a ad w:! : ergoob (o") data erit fab æ-—-:l ad se:21 :ex eodem sta-tu iam data erat f' ab a: :: o ada::1; ergo dabitur ['ab a: :: 0 ad se:21. Aequatio autem (o") rem evidentissimeabsolvit quoad caeteros quantitatis variabilis positivos va-lores. Ergo etc.299Quoniam ab x = o ad x = 21 dependet f' ab initiali atque arbitrario statu aereae columnae ; poterit igitursic assumi inter illos limites , ut facto i = 1,3,5,7 ,..., sit21f'(c + % -f(cc + = p"(ce) ( 0 " " );numeri pares = 2, 4, 6 ... debent excludi ob aequatiodem (o " ). Instaurantur ergo iidem functionis f valores42 quotiescumque tempus t evadit it ; sed ( o " ) a functio icne f unice dependent v, E. Columna igitur aerea in eumdem restituitur statum per aequalia intervalla, suasque com41plet oscillationes intra tempus ; quarum propterea numerus intra q ' eriticic41136.. Evanescet (135.0 '"') velocitas v ubi fuerit f ( x + cos= f (21 + ct - x ) ; evanescet e si f'( x + ct) - f (21+ci - x ). Primum contingit ( 135 : 0 " ) quando (22 +ic - x )41'2 - ( x + cl) seu 21 2x ; secundum quando 21—21" i 12x= • Hinc 1º. facto i = 0 , 1 , 2 , 3 .. iscet aer in distantiis2 , quielli - 21 )X2º . Facto i" =1 , 3 , 5 .... 1 ; movebitur aer inlocis299Quoniam ab a: a ad a: 2! dependet ;" ab ini-tiali atque arbitrario statu aereae columnae ; poterit igitursic assumi inter'illos limites, ut facto i:1,3,5,7,...., sit41 21 ∣'"∣⇃≺∁⊢⊢ ∙−−⋮∙⊣∶∶≕−∣↙≼⋄⊢⊢ 7): f(ct) (0 ):numeri pares r':2, 4, 6 ...debent excludi ob aequatio-nem (o"). Instaurantur ergo iidem functionis f' valores ,quotiescumque tempus :evadit t −∣∙⋅ & sed (o"')a functio-ne )" unice dependent v, :. Columne igitur aerea in eum--dem restituitur statum per aequalia intervalla, suasque com-. . . plet 4! osc1llat1ones intra tempus ∙≀⋅−≔∙ ; quarum propterea nu-merus intra 1" eritt'

136. a Evanescet (135.o"')velocitas :: ubi fuerit f' (æ—l—ct

f(ZH— ct —- æ ); evanescet :si f(x −∣⋅− et):— f(ZI-i-ct ∙−− a: ). Primum contingit (135: a'") quando (21—1—4 cs --' a:)41"! −∙− ( æ ⋅−⊢ ct) seu 2! -- 21: −∙−−−−− T;secundum quando 21—2∙∣∣ ∙−↿ .2x: −⋮∙−↨ ∙Hinc ↿∘∙ facto 1": a, 1, 2, 3 ....'T, qu1e-scet. aer in distantiis' -∙∙∙ [( t' — 21")æ!20. Facto 1'" :1, 3, 5 ....i; movebitur aer inlocis300llimi)quin tamen ullam patiatur densitatis variationem, Apertis itaque foraminibus in hisce postremis locis , nullo pacto sonus mutari debet ; quod experientiae consonum reperitur: imo non mutabitur sonus, licet lubo abscindaturpars 1- x , quae ultra locum x ad fundum usque protenditur. Atqui pars reliqua nihil aliud est nisi tubusin utraque patens extremitate: ergo si de hujusnuodi cubissermo sit, posita e = o apud unum orificium erit quoque apnd alterum { =0.137. # In tubis itaque cylindricis, quorum ambo orificia libera omnino sunt, habetur ( 129.7 .)

Fl—ct) — 9 (2+ cl ) = 0, F1 — ct) - f'(C ) = 0.Hinc facile deducuntur ( 135 ) sequentes aequationesf (21 + cix) = F ' x - ct), v = P ( x + ct) + P (21 + c1 - ),c : = f ( 21 + (1 - x ) — f (x + c ! ), f (ce + 21 = F (-1)= f (c ),f'(21 — * ) = F ( x ).Quia vero ab x = o ad x = 21 rursus dependet pab initiali atque arbitrario statu 'aereae columnae , iccirco poterit etiam asseri sequens aequatio.f (ce + *-) = f ( c )in praesenti est i = 1. 2, 3, 4 ......æs. lu.—'r')1,quia tamen ullam patiatur densitatis variationem. Aper-tis itaque foraminibus in hisce postremis locis, nullo pa-cto sonus mutari debet; quod experientiae consonumre-peritur: imo non mutabitur sonus, licet tubo abscindaturpars l—æ, quae ultra ↙locum a: ad fundum usque pro-tenditur. Atqui pars reliqua nihil aliud est nisi tubasin utraque patens extremitate: ergo si de huiusmodi tubissermo sit, posita :

o apud/uuum oriücium erit quo-

que apud alterum::o.

137.a In tubis itaque cylindricis, quorum ambo ori-licia libera omnino sunt, habetur (129. 70.)F'U—ct) -f(l −↿− ct) ∙−−−−∙∙ o,F'( -ct) --f(ct): 0.Hinc facile deducuntur (135) sequentes aequationesf(21 -l-ct -æ):F'(æ—-ct), v ::f'(æ ⊣− et)-t— f(ZI-i-ct—x).es:/(21 -t-ct —x)-— f(æ-t—ct), f(ct-t-Zl):F'(—cc):f(c1),f(2l — a: ): F' (æ)-Quia vero ab a: 0 ad ..r:21 rursus dependet fab initiali atque arbitraria statu 'aereae columnae,ic-circo poterit etiam asseri sequens aequatio.f(ct—i- -—2'-£-) :f'(ct )

in praesenti est i: 1. 2, 3, 4 ......≡⊲∙⋅⇀≣∎ lJ-r

301

22Iterat ergo aerea columna per aequalia intervalla icoscillationes suas , quarum proinde numerus intra 1 " eritic n =21Haud immoror inquisitioni distantiarum , ubi aer vel quiescit, vel nativam retinet densitatem : hujusmo.di namque investigatio similiter perficitur ac in Lubis,quorum unum orificium apertum est . Satius forsan erit adnotare quod, facto i = 1 , exhibet ( 137 ) aequatio n 'relationem inter principalem tonum n ', redditum abelastico fluido intra tubum oscillante, et velocitatem c quasonus incederet si per ipsum fluidum propagaretur. Hincpatet quomodo experimentis indagari possit velocitas c inaliis elasticis flaidis ab aere atmosphaerico diversis : extentaminibus Van - Rees, Frammeyer, et Moll prodiit soni velocitas sub temperie 10.° C21io gas oxigenio 3,7m, 9 :bydrogenio 1233 , 3 ,nitrogenio ..339 .oxido nitrico 317 , 4 ,acido salphuroso 229 , 2 ,acido carbonico 370 , 7 ,. .suboxido carbonico . . 341,1etc. etc.301. . 2! [terat ergo aerea columna per sequsl1a1ntervalla ∙∙∙∙⋮∙⋅−oscillationes suas ∙ quarum ⋅proinde numerus intra 1" crit'ICHaud immoror inquisitioni distantiarum , ubi a-er vel quiescit, vel nativam retinet densitatem: huiusmo-di namque investigatio similiter perficitur ac in tubis,quorum unum orificium apertum est. Satius forsan e-rit adnotare quod, facto 1':1,exhibet (157) aequatio n'0∙−−∶ -2-l- relationem inter principalem tonum n', redditum abclastico flaido intra tubam oscillante, et velocitatem e quasonus incederet si per ipsum fluidum prcpagaretar. Hincpatet quomodo experimentis indagari possit velocitasc inaliis elasticis fluidis ab aere atmosphaerico diversis: extentaminibas Van— Bees, Frammeyer, et Moll prodiit so-ni velocitas sub temperie 10.0Cin gas oxigenio . . . . . . 317',g,hydrogenio . . . . . 1233,3,nitrogenio. . . . . . 339 . ∙oxido uitrico . . . . 317 ,4acido sulphuroso . . -229 , 2,acido carbonico . . . . 370 , 7 ,suboxido carbonico . . . 341 ,1,etc. etc.302

138. Si tubus proponilur utrinque obseratus , quisque videt fore v = o apud ambas extremitates; unde (129.7°)f (c ) + F ( -ct)= 0,flfct) + F (l ct) = 0,quarum ope determinatur motus inclusi aeris,De propagatione soni per liquida , et per solida corpora.139.* Quod spectat ad liquida corpora , in comperloest aquam v. g. contrahi perparum posse atque restituiin suis partibus : itaque qua ratione turbatum posuimus( 129..1 . ° ) aequilibrium , eadem in praesenti imaginemurturbari . Propagato motu , densitas ré aquae libratae vertetur in je = pili + :) apud (2. , y , z ) ; et pressio o'in w= '+Ae ; exprimit A numerum experimentis determinandum. Sumptis hic quoque X=0, Y=0, Z=o, et ratiocinando ut in citato n. ° assequemurddQ1 do dt (dQdtdrA dL {1+ :)dr seuр. dr piAtum facto c ” , perveniemus ad formulas (i' '.;" . .jiį " : 129, 1.0 ) . Non pluribus opus est ut intelligamus( 129. 2.° 3,0 ) sonum per aquam diffundi aequabiliter velocitate.VANumerus A potest determinari ex parvula contractione ,quam juxta longitudinem à ( haud variata diametro ) pa3021381: Si tnbus praponitnr utrinqne obseratus , quis-que videt fore v:o apud ambas extremitates; unde (129.?)f(ctH-FX --ct):o,f7(l—i-ct)-i-F'(l—ct):a,quarum Ope determinatur motus inclusi aeris.De propagatione soni per liquida, et per solida corpora.139:- Quod spectat ad liquida corpora, in compertoest aquam v. g. contrahi perparum posse atque restituiin suis partibus :itaqne qua ratione turbatum posuimus( 129. ⋅↿∙∘ ) aequilibrium, eadem in praesenti imaginemurturbari. Pr0pagato motn, densitas pf aquae libratae ver-tetur in þ.:yJU—I—s) apud (.x.-,,] ,z) :et pressio a'in ≔≖⇌≖⋝∣↰∟⋀⋮⋅⋮ eXprimit A numerum experimentis deter-minandum. Sumptis hic quoque X:0, ↧↗−−−−⋅∘∙ Z:o, et ru-tiocinando ut in citato 11.0 assequemurddQ) ↼ 1 de ∙− dQ) (Et? A; JLu-Jr-s) ∙− "( dt ∙a d?.dr ' se.. a' d.- 4.-A -∙∣∣ -1 tum facto ?

cz, perveniamus ad formulas (:

'.t'.i'i": 129, ↿∙∘ ). Non pluribus opus est ut intelligamus( 129. 2.0 3.") sonum per aquam diffundi aequabiliter ve-locitate. ⋅.: ⇂∕⋅−⋮∶⇡∣−⋅Numerus A potest determinari'ex parvula contractione f:,quam iuxta longitudinem l (haud variata diametro) pa-303tilur columna aquea ob incrementum 5. superadditumpressioni o '. Nam 1 : 1 - B = + ): , ideoque < =B \beta

' sed o=u'two=a' +As, igitur スー B 2

6.A :σολE \betaIn hypothesi pressionis . = 0 " , 76) g, ac temperiei n=10.• C, experimenta Dni Canton suppeditant B = 0,000046 ),inter quem valorem et quos invenerunt DD . Parkins etOersted , nimirumB=0,0000452 , B=0,0000482 ,parvula est differentia. Ponatur hydrargyri densitas 1 ;erit proxime u'= . : assumpta igitur g=9m, 8088,13,58191emergetc=1483" , 59.Sonus videlicet propagatur per aquam plus quadruplo celerius quam per aerem. D. Beudant dicit in hac se fuisse sententia , ut e suis experimentis in mari institutis talem deduceret soni velocitatem , quae 1500m saltem aequaret.140.* Quisque videt soni velocitatem eadem rationeposse in caeteris corporibus , sive liquidis , sive solidis ,determinari , modo eorum partes contrahi perparum queantatque restitui . Sic , manente 5 . = (0,76 ) 8 , obtinuit idemipse Canton hydrargyri contractionem B = 0,0000032 : assumpla igitur u = 1 , eritc = 1576m , 351303titur columna aquea' ob incrementum m superadditumpressioni w'- Nam 71: l—þ:p.'(1-l-s): p!,ideoque ::P −⇀ 13 ⇤⋅m−⊸T;'sed ∏∙−−∶∏∎∙⊦∏∘∶−−∸⋅∄≖⋅−⊦∆⋮∙ igitur'A ∙− a'., ∙∙∙ wo).85In hypothesi pressionis uro :( o'", 76) g, ac temperiei :::,10.(, C. experimenta Dni Cauton suppeditant þ:0,0000461,inter quem valorem et quos invenerunt DD. Parltins etOersted , nimirum,ezo,oooo45) ∙ þ:0,000048)..parvula est differentia. Ponatur hydrargyri densitas :1;↿15.5819erit proxime pf: : assumpta igitur g:9"?,,8088,emerget ⋅c:1483"'. 59.Sonus videlicet prcpagatur per aquam plus quadruplo cc-lerius quam per aerem. D. Bendant dicit in hac se fuis-se seateutia , ut e suis exPerimentis in mari institutis ta-lem deduceret soni velocitatem, quae 1500" saltem aequaret.1403 Quisque videt soni velocitatem eadem rationeposse in caeteris corporibus.sive liquidis , sive soli-dis ,determinari , modo eorum partes contrahi perparum queant-atque restitui. Sic, manente wo:(0,76) g , obtinuit idemipse Canton hydrargyri contractionem [5:0,0000037t : as-sumpta igitur pf:1 , erit0:1576," ∙ 35304velocitas , qua per hydrargyrom diffunditur sonus. Antequam usum contractionis \beta animadverteret Laplace ad de finiendam soni velocitatem per liquida et solida corpora ,exhibuerat Chladni in sua Acustica aliam methodumsane ingeniosam , ejusdem velocitatis investigandae in corporibus solidis.141. # Innititur ista methodus analogiae, quam noruntPhysici inter oscillationes aeris in tubo cylindrico apudambas extremitales aperto et longitudinales oscillationesvirgae rigidae , cujus ambo extrema omnino libera sint.Exprimat enimvero l oscillantis virgae longitudinem ; n'principalem tonum , quem edit resonans virga ; c' quaesitam velocitatem . Erit ( 137 )n " ; unde n ' : n " = 0 : c' , ' =21Iam si velocitas soni per aerem repraesenterar per " , experimenta D.ni Chladoi praebent soni velocitatem cper stannum . 717 를per argentumper cuprum .12per ferrum et vitrum ... 17per varia lignorum genera 11 ad 17 , . .Ad explorandam soni velocitatem per ferruin fusionis , inpromptu habebat D. Biot 376 tubos ex hoc metallo com .pactos ; quibus singulis mediocris erat longitudo duorum304velocitas , qua per hydrargyrnm diffunditur sonus. Ante-quam usum contractionis þ animadverteret Laplace ad de-finiendum soni velocitatem per liquida et solida corpora ,cxbibuerat Chladni in sua Acustica aliam methodum,sane ingeniosam .ejusdem velocitatis investigandae in cor-poribus solidis.1414: lnnititur ista methodus analogiae, quam noruntPhysici inter oscillationes aeris in tabo cylindrico apudambas extremitates aperto et lougitudiuales' oscillationesvirgae rigidae, cuius ambo extrema omnino libera sint.Exprimat enimvero! oscillantis virgae longitudinem ; n"principalem tonum, quem edit resonans virga ; c' quae-sitam velocitatem. Erit (137) 'c, 'nn 11":-2-i-;nuden:n":c:c', c':c-—J.»Iam si velocitas soni per aerem repraesentetur per 1, ex-perimenta D.!d Chladni praebent soni velocitatem c'per stannum . ∙ ∙ ∙ ∙, 7vet--per argentnm . . . . . . 9 ,per cuprum . . . . ... . 12 ,per ferrum et vitrum . . .17.per varia lignorum genera . .11 ad 17,Ad explorandam soni velocitatem per ferrum' fusionis ,inpromptu habebat. D. Biot 376 tubos ex hoc metallo com'pactos ; quibus singulis mediocris erat longitudo duorum

  • a305

metr. cum partibus millesimis 515. Sumptis experimentis,prodiit soni velocitas 104 ; nisi quod jungebantur ii tubi ope plumbi, quod aliquanto sonum retardare videtur.

De vocis humanae origine.recensere

142. Vocis humanae organum etsi considerari maxime debet tamquam instrumentum pneumaticum ftexiliet elastica materia ex parte compactum , non tamen itaest ut cum instrumentis etiam fidicularibus aliquam nonbabeat analogiam. Quod ut melius intelligatur , nonnullaex anatomicis sunt hic afferenda.Palmo est viscus respirationi inserviens: in duas partes distinguitur , dexteram et sinistram , et duo magni lobi dicuntur , etsi quivis ex his duobus dividitur minoribus aliis. Substantia constat molli , spongiosa , rara etvessiculosa ita ut ad aerem excipiendum aptissimus sit :motu ergo dilatationis aere impletur , et constrictionismotu eundem expellit ; atque aer ita expulsus primo permultiplices canaliculos lobis interspereos , qui bronchiadicuntur ; tum per duos ex utroque lobo emergentes ; de.mum per ampliorem canalem emergit , qui ex praefatis duobus in unum conjunctis coalescit. Hic canalis seu tubusad oris usque radices ascendens trachea seu aspera arterianuncupatur ; in summitate asperae arteriae brevis canaliculushabetur , qui larynx dicitur , cujus summitatem facit rimaovalis a duabus membranis horizontaliter jacentibus relicta ;quae rima glottis dicitur : atque huic superposita est epiglottis ; tenuis scilicet et mobilis cartilago glottidem tegens , quae ad hoc praecipue statuta esse videtur, ut dumaliquid deglutimus , quidquam cibi aut potus in asperamarteriam minime irruat, sed per contiguum canalem, quiexophagus dicitur, et cujus orificium pharynx vocatur , demore in stomachum demittatur. Itaque lobi pulmonis instar}305metr. cum partibus millesimis 515. Sumptis experimentis.prodiit soni velocitas 10;- ; nisi quod iungebantur ii ftu-bi »ope plumbi, quod aliquanto sonum retardare videtur.De vocis humanae origine.


142.1Vocis humanae organum etsi considerari maxi-me debet tamquam instrumentum pneumaticum fiexiliet elastica materia ex parte compactam, non tamen itaest ut cum instrumentis etiam fidicularibus aliquam nonhabeat analogiam. Quod ut melius intelligatur, nonnullaex anatomicis sunt hic aderenda.⋅ Palmo est viscus respirationi inserviens: in duas par-tcc distinguitur , dexteram et sinistram ,et duo magni lo-bi dicuntur , etsi quivis ex his duobus dividitur mino-ribus aliis. Substantia constat molli , spongiosa , rara etvesaiculosa ita ut ad aerem excipiendum aptissimus sit:motu ergo dilatationis aere impletur , et constrictioaismotu eumdem expellit; atque aer ita expulsus primo permultiplices canaliculos' lobis interspereos , qui bronchiadicuntur; tum per duos ex utroque lobo emergentes :dc-mum per ampliorem canalem emergit , qui ex praefa-tis duobus in unum coniunctis coalescit. Hic canalis seu tubasad oris usqne radices ascendens tracbea seu aspera arterianuncupatur; in summitate asperae arteriae brevis canaliculushabetur , qui laryux dicitur, cuius summitatem facit rimaovalis a duabus membranis horizontaliter jacentibus relicta;quae rima glottis dicitur : atque huic superposita est epi-glottis; tenuis scilicet et mobilis cartilago glottidem te-gens, quae ad hoc praecipue statuta esse videtur, ut dumaliquid deglutimus, quidquam cibi aut potus in asperamarteriam minime irruat, sed per contiguum canalem, quicxophagus dicitur, et cuius orificium pharynx vocatur, demore in stomachum demittatur. Itaque lobi pulmonis instar306re cur comfollium aerem excipiunt, cum compressi illum emittunt perasperam arteriam : aer ita expulsus per asperam arteriamin arctiorem laryngis canalem irroit , atque ita ex ampliori in angustius spatium redactus compressionem patidebet , oscillatoriumque motum concipere. Sed quia larynx flexili et elastica materia compingitur, iccirco ( 133)ad motum tremulum ab aere vibrante excitabitur. Deindevero in eumdem aerem diversimode reagendo, prout magisvel minus erit tensa , ejus Oscillationes diversimode quoquemodificabitur.Obiter notamus antiquos et cum iis Galenum maleorganum vocis humanae in trachea constituisse ; quamarbitrabantur vices gerere tubi, per quem aer ad sonumjam excitatus excurrit. Refelles hanc opinionem considerans aerem qui tracheam ascendit , libere ascendeet liberius habere spatium ; unde non estprimi debeat et oscillatorium motum habere : cum autemglottis sit multo arctior quam trachea , per glottidemtransiens habet quidem unde comprimi possit. Haec devoce humana : ad vocem enim quod spectat quorumdamanimalium , uti sunt multae aves ; hae cum etiam exsecto collo , sola ventris compressione sonum edant , in hisutique trachea concurrit ad sonum ipsum modificandum .Sed nil hinc eruitur contra jam dicta: in istis namque avibus trachea habetur supra glottidem , seu gloutis esse observatur non ad summitatem , sed infra tracheam ; contraac est in homine , et plerisque aliis animalibus.In monumentis Academiae Parisiensis ad an. 1741observat Ferreinius intra laryngem duas haberi fibras adlabrum glottidis ; quae fibrae ex impetu aeris per angustiorem laryngis canaliculum irrumpentis ad tremitum concitantur , atque hoc tremitu resonant , quemadmodum infidibus contingit ; unde dictum est vocis humanae organumanalogiam habere aliquam ad instrumenta fidicularia . Sumpsit ille plures laryages cum sua glottide ; dunque insuf306folliam aerem excipiunt. tam compressi illam emittunt perasperam arteriam: aer ita expulsus per asperam arteriamin arctiorem laryngis canalem irruit ,. atque ita 'ex am-pliori in angustias spatium redactus compressionem patidebet, oscillatoriamque motum concipere. Sed quia la-rynx flexili et elastica materia compingitur. iccirco (133)ad motum tremulum ab aere vibrante excitabitur. Deindevero in eamdem aerem diversimode reagendo, prout magisvel minus erit tensa, eius oscillationes diversimode quoquemodificabitur. ∙Obiter notamus antiquos ,et cum iis Galenum maleorganum vocis humanae in trachea constituisse; quamarbitrabantur vices gerere tubi, per quem aer ad sonumiam excitatus excurrit. Refelles hanc opinionem consi-derans aerem. qui tracheam ascendit,libere ascende-re,'et liberius habere spatium ; unde non est cur ,com-primi debeat et oscillatorium motum habere: cum autemglottis sit multo arctior quam trachea , per glottidemtransiens habet quidem unde comprimi possit. Haec devoce humana : ad vocem enim quod spectat quorumdamanimalium , uti, sunt multae aves; hac cum etiam exse-cto collo, sola ventris compressione sonum edant, in hisutique-trachea concurrit ad sonum ipsum modificandam.Sed nil hinc eruitur contra iam dicta: in istis namque avi-bus tracbea habetur supra glottidem , sen glottis esse obser-vatur non ad summitatem, (sed infra tracheam ; contraac est in homine , et plerisque aliis animalibus. .In. monumentis Academiae Parisiensis ad an. 1741observat .Ferreinius intra laryngem duas haberi, fibras adlabrum glottidis ; quae fibrae ex impetu aeris per angu-stiorem laryugis canaliculata irrumpentis ad tremitum.con-citantur, atque hoc tremitu resonant, quemadmodum infidibus contingit; unde dictum est .vocis humanae organumanalogiam habere aliquam ad instrumenta fidicularia. Sum-psit illa plures' larynges cum sua glottidc; dumque insuf-307Aando sonus vocis animalis excitabatur, microscopio Gibraspraedictas inspiciendo tremor et vibratio in iisdem cernebatur , prout in chordis musicis habetur dum resonant.Atqui eo ipso ex earum tremitu ab irruente aere tamquama vi percutiente excitato sonus gigni debet, vel jam genitus modificationem quamdam recipere.Rursus , sicut in chordis musicis contingit ' ut chordabrevior det sonum acutiorem , graviorem longior : ita animadvertendum hic fuit an fibrarum illarum major minorve longitudo toni mutationem induceret. Compertum autem est quod , impedita illarum fibrarum parte ne tremeret , tonus prodibat acutior.Sumpsit etiam larynges bovis , canis, aliorumque animalium , deinde insufflando excitabatur mugitus bovis , etconformis aliis animalibus sonus. Movendo autem musculosita , ut traherentur et distenderentur fibrae, excitabanturmutationes soni , quae haberi solent in varia horum animalium voce.Notetur illud : cum tensio vel remissio fibrarum glottidis et cartilagineae substantiue , qua larynx constat , abeodem musculo dependeat , ut notat Savart , consequituruna cum fibris illis etiam laryngem tendi vel remitti.Laxatis fibris, orificium glottidis ampliatur , et sonus prodit gravior ; tensis vero , orificium restringitur, et sonusevadit acutior , ut in canibus observavit D. Magendie.

143. Si vox in larynge et glottide tanquam in proprioorgano fit ; quid ergo, inquies, os atque ejus partes conferunt ad formationem vocis ?Respondeo oris cavitatem , linguam, dentes, labia concurrere ad modificationem perfectionemque vocis ; quaelarynge et glottide incipit quidem , sed non omnimodeibi perficitur : nam quod in illis partibus sufficiens habea.tur organum quin prorsus necessaria sint oris et linguae organa ad exhibendum aliquo modo sonum animalis proprium , apparet ex eo quod grues abscissoinet anseres 1307flando sonus vocis animalis excitabatur, microscupio fibraspraedictas inspiciendo tremor et vibratio in iisdem cerne-batur, prout in chordis musicis habetur dum resonant.Atqui eo ipso ex earum trcmitu ab irruente aere tamquama vi percutiente excitato sonus gigni debet. vel iam geni-tus modificationem quamdam recipere.Rursus , sicut in chordis musicis contingit 'ut chordabrevior det sonum acutiorem, graviorem longior :ita ani-madvertendum hic fuit an librarum illarum maior minor-ve longitudo toni mutationem induceret. Compertum au-tem est quod ,impedita illarum fibrarum parte ac tre-meret. tonus prodibat acutior.Sumpsit etiam larynges bovis , canis. aliorumque sni-malium, deinde insufflaudo excitabatur mugitus bovis ,etconformis aliis animalibus sonus. Movendo autem musculosita, ut traherentur et distenderentur fibrae, excitabantur'mutationes soni, quae haberi solent in varia horum ani-malium voce.Notetur illud: cum tensio vel remissio librarum glot—tidis et cartilagineae substantiae, qua larynx constat , abeodem musculo dependeat , ut notat Savart, consequituruna cum fibris illis etiam laryngem tendi vel remitti.Laxatis' fibris, ,orificiu-m glottidis ampliatur, et sonus pro-dit gravior; tensis vero , orificium restringitur. et sonusevadit acutior, ut in canibus observavit D. Magendie.

143. Si vox in larynge et glottide tanquam in proprioorgano fit; quid ergo, inquies, os atque eius partes cou-ferunt ad formationem vocis?Respondeo oris cavitatem. linguam, dentes. labia con-currere ad modificationem perfectionemque'vocis; (quae in⇁larynge et glottide incipit ⋅ quidem , sed non omnimode⋅⋅ibi perficitur: nam quod in illis partibus sufficiens habea-tur organum qain prorsus necessaria sint oris et linguae or-,gana ad exhibendum aliquo modo sonum animalis pro-prium ,,apparet ex eo quod grues et anseres , abscisso308capite , ex ventris compressione sonos edere possint iis similes, quos viventes edebant. Ad modificationem igitur perfectionemque vocis in larynge et glottide inchoatae caetera concurrunt : neque haec modificatio in mera reflexioneconsistit, sed in resonantia proportionata tono soni aglottide emissi .Ad articulatarum vocum formationem quod attinet ,ea praecipue a mota linguae et labiorum repeti solet :inter caeteros P. Fabri diligenter expendit quo pacto lingua et labia componantur ad cujusque syllabae efformationem .

144. Dices: potest sonus excitari aerem expellendoper angustius spatium ; atque ita sibilus per labiorum compressionem excitatur. Ergo dicendum videtur quod ex 90la emissione aeris per angustius glottidis spatium vox efforinari possit quin confugiamus ad tremitum laryngis etfibrarum glottidis ; qui tremitus effectus erit soni quin insonum ipsum influat.Respondeo : etsi sonus aliquis obtineri praecise possit per hoc quod ex ampliore in angustius spatium aercogatar transire ; attamen quae hactenus diximus suadenttremitum laryngis et fibrarum ad vocis formationem con .currere; attenta praecipue varietate maxima , quae in vocis modificatione habetur. Novimus enim et singulos homines modificari quam maxime vocem , et in diversis hominibus quam maxime diversum esse vocis sonum . Iam vero cum habeatur sibilus per solam labiorum compressionem , inde expulso violenter aere , exigua est hujusmodisoni diversitas; et omnes fere homines eumdem sonum efficiunt , licet in diversa intensione : ergo cum contra invoce diversitas sit maxima et proprius cuique sit homini sonus , ad diversam fibrarum et laryngis materiam ac tensionem recurrendum potius videtur. Scio equidem ab instrumentis pneumaticis etiam materia resistente compactiset lingula instructis magnam edi posse varietatem sono308capite , ex ventris compressione sonos edere possint iis si-miles, quos viventes edebant. Ad modificationem igitur per-fectionemque vocis in laryuge et glottide inchoatae caete-ra concurrunt: neque haec modificatio in mera reflexioneconsistit, sed in resonantia prOportionata tono soni aglottide emissi.Ad articulatarum vocum formationem quod attinet ,ea praecipue a motu linguae et labiorum repeti solet:inter caeteros P. Fabri diligenter expendit quo pacto lin-gua et labia componantur ad cuiusque syllabae efforma-tionem.

144. Dices: potest sonus excitari aerem eXpellendoper angustius spatium : atque ita sibilus per labiorum com-pressionem excitatur. Ergo dicendum videtur quod ex so-la emissione aeris per angustius glottidis spatium vox effor-mari possit' quin confugiamus ad tremitum laryngis etfibrarnm glottidis; qui tremitus effectus erit soni quin in'sonum ipsum influat.Respondeo: etsi sonus aliquis obtineri praecise pos-sit per hoc quod ex ampliore in angustius spatium aercogatur transire; attamen quae hactenus diximus suadenttremitum laryngis et librarum ad vocis formationem cou-1:11rrere; attenta praecipue varietate maxima, quae in vo-cis modificatione habetur. Novimus enim et singulos bo-mines modificari quam maxime vocem, et in diversis ho-minibus quam maxime diversum esse vocis sonum. Iam ve-ro cum habeatur sibilus per solam labiorum compressio-nem ,inde expulso violenter aere , exigua est huiusmodisoni diversitas; et omnes fere homines eumdem sonum ef-ficiunt,licet in diversa intensione : ergo cum contra invoce diversitas sit maxima et proprius cuique sit homini so-nus , ad diversam librarum et laryngis materiam ac ten-sionem recurrendum potius videtur. Scio equidem ab in-strumentis pneumaticis etiam materia resistente compactiset lingula instructis magnam edi posse varietatem sono-309recessumrum , atque ad instrumenta ista referri organum vocis abauctoribus non paucis. Verum non video quomodo glottidis fibrae se habeant ad vocis organum perinde ac lingula : si non ita haec movetur , ut epistomium alterneaperiatur claudaturque ; licet ea citissime oscillet , nullusinde prodibit sensibilis sonus . Iam vero glottidis fibraenon sic oscillant , ut per mutuum accessum etalterne claudatur aperiaturque ipsius glottidis foramen .In glottidis fibris aeris irrumpentis impetu ad tremitumconcitalis auctores aliqui cum Ferreinio organum vocis maxime constituunt , illudque ad instrumenta fidicularia potissime revocant , minime considerantes quod hujusmodi fibrae careant ea longitudine et crassitie , quae necessariaesset ad graves atque ingentes humanae vocis tonos efficiendos,

145. Quaeres

1.º qui sit defectus, ob quem mutis loquela deest. Cum plerique muti sint, quia sunt a nativitate surdi, quique proinde cum non possint alios loquentes audire ne loqui quidem discunt unquam; attamen sunt qui auditu pollent, at loquendi facultate destituuntur. Vitium in his multiplex esse potest; aut ex humorum nimietate et crassitie; aut ex fibrarum inelasticitate, qua etiam fit ut, timore insolito obrigescentibus fibris, vox impediatur in iis qui caeterum muti non sunt; vel ex nimia linguae turgescentia; vel alio vitio: adeoque non desunt exempla mutorum arte medica, aut etiam solius naturae auxilio loquelam adipiscentium.

2.º Cur aves aliquae humanam vocem aemulentur, pleraeque non item. In psitlacis diligenter rem inspexit Kircherus, atque animadvertit pro corporis quantitate os satis magnum et excavatum, maxillas turgentes, linguam maxime flexilem, et rostrum superius contra indolem aliarum avium mobile; unde bruta pro majore vel minore aptitudine ad oris dilatationem, flexilitatem linguae, labiorum, vel rostri modificationem apta erunt ad sovum humanae vocis imitandum. Picae io309rum , atque ad instrumenta ista referri organum, vocis. abauctoribus non paucis. Verum non video quomodo glottidis fibrae se habeant ad vocis organum perinde ac lingula: si non ita haec movetur, ut epistomium alterne aperiatur claudaturque; licet ea citissime oscillet, nullus inde prodibit sensibilis sonus. Iam vero glottidis fibrae non sic oscillant, ut per mutuum accessum et recessum alterne claudatur aperiaturque ipsius glottidis foramen. In glottidis fibris aeris irrumpentis impetu ad tremitum concitatis auctores aliqui cum Ferreinio organum vocis maxime constituunt, illudque ad instrumenta fidicularia potissime revocant, minime considerantes quod huiusmodi fibrae careant ea longitudine et crassitie, quae necessaria esset ad graves atque ingentes humanae vocis tonos efiiciendos.

145. Quaeres ↿∙∘ qui sit defectus , ob quem mutisloquela deest. Cum plerique muti sint, quia sunt a nati-vitate surdi, quique proinde cum non possint alios loquen-tes audire ne loqui quidem discunt unquam; attamen suntqui auditu pollent, at loquendi facultate destituuntur. Vitiumin his multiplex esse potest: aut ex humOrum nimietateet crassitie; aut ex fibrarum inelasticitate , qua etiam fitut,timore insolito obrigescentibus fibris, vox impedia-'tur in iis qui caeterum muti non sunt; vel ex nimia lin-guae turgescentia; vel alio vitio: adeoque non desunt exem-pla mutorum arte medica,aut etiam solius naturae auxi-lio loquelam adipiscentium. 2.(' Cur aves aliquae humanamvocem aemulentur , pleraeque non item. In psittacis dili-genter rem inspexit Kircherus , atque animadvertit procorporis quantitate os satis magnum et excavatum, maxil-las turgentes, linguam maxime flexilem , et rostrum su-perius contra indolem aliarum avium mobile; unde bru-te pro majore vel minore aptitudine ad oris dilatationem,⋅ Hexilitaïem linguae ,labiorum , vel rostri modificationemapta'erunt ad sonum humanae vocis imitandum. Picae- iu-310ater caeteras aves , et corvi antiquitus etiam ad voces humanas formandas instituebantur.

3. ° An verum sit quod vox ita procreari possit ut infra laryngem genita videatur ,ideoque sonus audiatur non tanquam ex ore , sed tanquamex alvo veniens. Ita de facto Pythonissae , quas Ethnicorumhistoriae , et sacra scriptura etiam memorat, loquebantur:aliquos tamen sine ulla suspicione daemoniaci operis ventriloquos esse exemplis pluribus compertum est. Sicut enimloquitur aerem expellendo , qui in larynge et glottide vocem excitat ; ita fieri potest ut aerem ore ac naribus atlrahendo in gloutide item parem molum excitemus , sicquenon ex ore sed infra laryngem vox orta videatur,पbeAL

De auditus organo.recensere

146. Externa auris pars palula est; et ex cartilagine intus concava atque elastica constat; quae in conchamsea cavitatem referentem conchae figuram desinit. Inservit ad colligendas uudas soni : hinc quasi natura duce quiminus acuto pollet auditu , aut ad vocein nimis e longinquo attendit , manum ad aures applicat , ut eo pactoplures colligat aeris undas. Externa haec auris pars , quaeauricula simpliciter dicitur , musculis adornatur , quorumope sunt aliqui homines qui auriculam ad libitum movent ; oves autem , equi et bruta alia multo facilius :adnotant nonnulli Analomici ila necessariam esse exterbanc partem ut sonorus lenius allabaturin internas cavitates, ut nonnisi confusa et quasi cuminurmure fluentis aquae audiant ii, quibus auriculae abscissau sint. Animadvertendum tamen reptilia et aves hoc exlerno adminiculo carere.Ad fundum conchae incipit meatus auditorius , qui estcanaliculus aliquanto tortuosus ; et ex majori latitudine inminorem paullatim coarctator. Ita factum notat Val9nam aer 11310.ter caeteras aves , 'et corvi antiquitus etiam ad voces hn-manas formandasinstituebantur. 3.0 An verum sit quod'vox ita proci-cari possit ut infra laryngem genita videatur,ideoque sonus audiatur non tanquam ex ore , sed tanquamex alvo veniens. Ita de facto Pythonissae , quas Ethnicorumhistoriae ,et sacra scriptura etiam memorat, loquebantur:aliquos tamen sine ulla suspicione daemoniaci operis ven-triloquos esse exemplis pluribus compertum est. Sicut enimloquitur aerem expellendo , qui in larynge et glottide vo-cem excitat; ita fieri potest ut aerem ore ac naribus at-trahendo in glottide item parem motum excitemus, sicquenon ex ore sed infra laryngem vox orta videatur,De auditu: organo.146. Externa auris pars patula est, et ex cartilagi-ne iutus concava atque elastica constat; quae in conchamsen cavitatem referentem conchae figuram desinit. Inser-vit,ad colligendas undas soni: hinc qnasi natura duce quiminus acuto pollet auditu,aut ad vocem nimis e lon-giuquo attendit, manum ad aures applicat , ut eo pactoplures colligat aeris undas. Externa haec auris pars, quaeauricula simpliciter dicitur, musculis adornatur , quorum0pe sunt aliqui homines qui auriculam ad Hibitum mo-vent; oves autem, equi et bruta alia multo facilius :adnotaut nonnulli Anatomici itaqnecessariam esSe exter-nam lianc partem ut aer sonorus lenius allahaturin internas cavitates, ut nonnisi confusa et quasi- cummurmure fluentis aquae audiant ii, quibus auriculae abscis-sae sint. Animadverteudum tamen reptilia et aves hoc ex-terno adminiculo carere.Ad fundum conchae incipit meatus auditorins , qui estcanaliculus aliquanto tortuosus; et ex maiori latitudine inminorem paullatim coarctatur. Ita factum notat Val-311sasalva at sonus intendatur magis , sicuti in recurvis lubisa surdastris adhiberi solitis intenditur ; alii potius ad imminuendum aeris impetum , ne in auris interiora fortiusimpellat , has tortuositates in organo auditus a natura instilutas putant. In auditorio meatu humor quidam amarusac viscosus habetur , seu cerumen ; exsudat e glandulisquas sebaceas vocant , et institutum est ut minima animalcula ab ingressu ad interiora auris arceantur .Ad finem hujus canalis habetur membrana tympani:haec membrana tenuissima , sicca , pellucida et valde elastica , obtensa est annullo , qui tamen totum circuitumnon complet ; et fere ad similitudinem pellis tympani militaris cavitatem interiorem superambit : non est recte extensed curva nonnihil ; coacava scilicet respectu aurisexternae , convexa ad partes internas . Fuit acerrima quaestio , an membrana tympani omnem communicationem inter externam internamve aurem excludat , an contra pervia sit aeri externo. Argumentum pro communicatione validum est , quod aliqui fumum ore exceptum per aurememittunt ; neque id semper imposturae vertendam est ,ut compertum fuisse Nolletus ait a viro , cni Academiaregia jussum fecerat facti veritatem explorare. Argumentum contra communicationem est , quod Valsava , immisso in aurem internam hydrargyro , quantumvis excute .retur , nihil unquam per externam aurem defluxit ; quamquam reponere soleat qui communicationem tuetur , quodin cadaveris organo non est necesse partium structuram salvari.Post pellem tympani habetur cavitas aere plena , quaecapsula dicitur , quaeque cum membrana praedicta tympanum constituit. In hac sunt quatuor ossicula quae appellantur malleus , incus , os orbiculare , stapia. Alii triatantum numerant , omisso osse orbiculari , vel quia, cumompium humani corporis ossiam minimum sit , adeo utnon superet dimidium grani millii , animadversionem fu31↿⋮ salva ut sonus intendatur magis , sicuti in recurvis tubis'a snrdastris adhiberi solitis intenditur; alii potius ad im-miuuendum aeris impetum , ne in auris interiora fortiusimpellat, has tortuositates in organo auditus a natura in-stitutas putant. In auditorio meatu humor quidam amarusac viscosus habetur , seu cerumen; exsudat e glandulis,quas sebaceas vocant , et institutum est ut minima ani-malcula ab ingressu ad interiora auris arceantur.Ad finem hujus canalis habetur membrana tympani:haec membrana tenuissima , sicca , pellucida et valde ela-stica, obtensa est annnllo , qui tamen totnm circuitumnon complet; et fere ad similitudinem pellis tympani «mi—litaris cavitatem interiorem superambit: non est recte exten-sa , sed 'curva nonnihil : concava scilicet respectu auris.externae, convexa ad partes internas. Fuit acerrima qnae-stio , an membrana tympani omnem communicationem in-ter externam internamve aurem excludat , an contra -per-via sit aeri externo. Argumentum pro-communicatione va-lidum est, quod aliqui fumum ore exceptum per aurememittunt; neque id semper imposturae vertendam est,ut compertum fuisse 'Nolletus ait a- viro, cni Academiaregia iussum fecerat facti veritatem explorare. Argumen-tum eontra communicationem est, quod Valsava ,immis-so in aurem internam hydrargyro , quantumvis excute-retur, nihil unquam per externam aurem defluxit; quam-quam reponere soleat qui communicationem tuetur, quodin cadaveris organo non est necesse partinm structuram sal-var]. 'Post pellem tympani habetur- cavitas aere plena , quaecapsula dicitur, quaeque eum membrana praedicta tym-panum constituit. In hae sunt quatuor ossicula quae ap-pellantur mallens.incus , os orbiculare, stapia. Alii triatantum numerant, omisso osse orbiculari, vel quia, cumomnium humani uerporis ossium minimum sit, adeo utnon superet dimidium grani millii, animadversionem fu-31211gerit : vel quia ita adhaeret slapiae et incudi , at cum altero ex his confundi potuerit, Circa haec ossicula nolandum , quod ejusdem magnitudinis sint tam in infante quamin adulto viro contra aliarum omnium corporis partium in- .dolem , quae aetatis progressu augentur. Hoc ideo factumesse docet Valsalva , ne augmento partium auditui inservientium alia sit sonorum ratio adulla aetate ac fuit ab initio ; et ideas gravis atque acuti quas pueri imbibimus, matare aetate proficiente cogamur.In tympani cavitate habetur canalis quidam seu luba Eustachiana dicta ab ipsius inventore : per hanc tubam ab interna auris cavitate obtinet communicatio cumcavitate oris; desinit enim ista tuba ad radices uvae; quemprope locum etiam interiora nasi communicant : hujus tubae ope fit , ut sonus ex oris cavitate auri communicetur,ideoque qui dentibus stringit corpus resonans sobum au.dit etiam auribus impeditis ; et surdastri hiante ore sonos excipere solent , ut tali pacto juvelur melius auditio.Praeter foramen ex quo tuba Eustachiana procedit ,duo alia babentur in tympani cavitate foramina , quorumunum dicitur fenestra ovalis , allerum fenestra rotunda.Feuestra ovalis basi slapiae occluditur, rotunda solo membranulae tegumento obtegitur. .Ex tympani cavitate per duo praedicta foramina , ovalescilicet ac rotundum , itur in labyriothum , qui - est interior alia cavitas in osse petroso ulterius excavata , et quodam liquido plena : in hac tres partes distingui solent ;prima est vestibulum labyrinthi ; secunda constat tribusossiculis semicircularibus , quibus nomen labyrinthi peculiarins aliqui tribuunt ; tertia est cochlea seu limax, quaeex osse constat in cochleae modum conlorto duos gyroscum dimidio faciente. Elsi cochlea unus canalis videripossit , est lameu revera duplex : dividitur enim secundum longitudinem medio segmento , parim osseo , partimmembranaceo , quod dicitur lamina spiralis. Cochlea in111i111•20111.312gerit: vel quia ita adhaeret stapiae et incudi , at cum al-tero ex his confundi potuerit. Circa haec ossicula notan-dum , quod eiusdem magnitudinis sint tam in infante quamin adulto viro contra aliarum omnium corporis partium in--dolem, quae aetatis progressu augentur. Hoc ideo factumesse docet Valsalva, ne augmento partium auditui inservien-tium alia sit sonorum ratio adulta aetate ac fuit ab iui-tio; et ideas gravis atque acuti quas pueri imbibitüus, mu-tare aetate proficiente cogamur.ln tympani cavitate habetur canalis quidam seu tu-ba Eustachiaua dicta ab ipsius inventore: per hanc tu-bam ab interna auris cavitate obtinet communicatio cumcavitate oris; desinit enim ista tuba ad radices uvae; quemprope locum etiam interiora nasi communicant :-huius tu-bae upe fit, ut sonus ex oris cavitate auri .communicetur,ideoque qui dentibus stringit corpus resonans sonum su-dit etiam auribus impeditis ; et surdastri hiante ore so-nos excipere solent , ut tali pacto iuvetur melius auditio-Praeter foramen ex quo tuba Eustachiana procedit,duo alia habentur in tympani cavitate foramina , quorumunum dicitur fenestra ovalis, alterum fenestra rotunda.Feuestra ovalis basi stapiae occluditur, rotunda solo mem-branulae tegumento obtegitur. .Ex tympani cavitate per duo praedicta foramina, ovslescilicet ac rotundum ,itur in labyrinthum, qui-est inte-- rior alia cavitas in esse petroso ulterius excavata,et quo-dam liquido plena: in hac,tres partes distingui solent;prima est vestibulum labyrinthi ; secunda constat tribusossiculis semicircularibus , quibus nomen labyrinthi pecu-liarius aliqui tribuunt; tertia est cochlea seu limax, quaeex osse constat in cochleae modum contorto duos gyroscum dimidio. faciente. Etsi cochlea unus canalis videripossit ,est tamen revera duplex: dividitur enim secun-dum longitudinem medio segmento, partim osseo , partimmembranacea , quod dicitur lamina spiralis. Cochlea in313avibus deest , si vera refert Boyle ; at ipsemet notat defectum hunc suppleri per cavitatem oblongam instar sacci.Plures rami nervei per foramina perexigua ex eo ,qui dicitur uervus auditorius , propagati per totam fereaurem distribuuntur : in labyrinthum per quinque foramina ingrediuntur Gibrae nerveae , et ejus cavitatem investiunt ; sed de nervis totum auris organum permeantibusnon vacat disserere. Id unum adnoto ex Mairano , spiralem laminam fibrillis ita instructam esse ut quemadmodum ipsa ascendens ad cochleae apicem . semper angustiorfit , ita fibrae ipsae breviores semper evadunt.147. Quaenam vero ex hactenus descriptis auris partibus pro praecipuo atque immediato auditionis organo statueuda est ?. Aliqui membranam tympani assignarunt : atexperientia constat quod hac membrana lacerata vel ereptaadhuc manet auditio aliqua. Alii inepte in ossiculis intracapsulam contentis organom auditus statuerunt , et sonumab anima immediate perceptibilem ex horum collisionenasci affirmarunt. Praeter quam quod solus malleus in animantibus quibusdam habeatur, falsum omnino est collidiinvicem haec ossicula atque inde sonum creari : adnexumenim est caput mallei firmiter corpori incudis , et hujusprocessus alter stapiae; adeoque cum aer exterous tympani membranam impellit, omnia per modum unius intromittuntur et conjuncta simul sese restituunt ad locum pristinum. Magis autem absona est illorum sententia , qui inaere per capsam et labyrinthum existente auditus organumcollocabant: aerem hunc, quem innatum, insitum, vernaculum, implantatum dicebant, animatum statuere non verebantur. Communiter nunc auditus organum collocatur infibrillis nerveis per aurem internam, ac praesertim intra cochleam disseminatis. Tremores itaque a corporeexcitati communicantur membranae tympani; tum per aearem in tympano existentem , nec non per ossiculorum seriem, ad parietes asque labyrinthi et praecipue ad dupliSonoro21313avibus deest , si vera refert Boyle ;'at ipsemet notat de-fectum hunc suppleri per cavitatem oblongam instar sacci.Plures rami nervei per foramina perexigua ex eo ,- qui dicitur nervus auditorius, prcpagati per totam fereaurem distribuuntur: in labyrinthum per quinque fora-mina ingrediuntur fibrae nerveae, et eius cavitatem inves-tiunt; sed de nervis totum auris organum permeantibusnon vacat disserere. Id unum adnoto ex Mairano , spira-lem laminam fibrillis ita instructam esse ut quemadmo-dum ipse ascendens ad cochleae apicem- semper angustiorfit,ita fibrae ipsae breviores semper evadunt.

147. Quaenam vero ex hactenus descriptis auris par-tibus pro praecipuo atque immediatoauditionis organo sta-tuenda est ?. Aliqui membranam tympani assignarent : atexperientia constat quod hac membrana lacerata vel ereptaadhuc manet auditio aliqua. Alii inepte in ossiculis intracapsulam contentis organum auditus statuerunt,et sonumab anima- immediate perceptibilem ex horum collisionenasci affirmarunt. Praeter quam quod solus malleus in a-nimantibus quibusdam habeatur, falsum omnino est collidiinvicem haec ossicula atque inde sonum creari: adnexumenim est caput mallei firmiter corpori incudis ,et huiusprocessus alter stapiae; adeoque cum aer externus tympa-ni membranam impellit, omnia per modum uniua intromit-tuntnr et coniuncta simul sese restituunt ad, locum pristi-num. Magis autem absona est illorum sententia , qui in..aere per capsam et labyrinthum existente auditus organumcollocabant: aerem hunc, quem innatum, insitum, vernacu-lum, implantatum dicebant, animatum statuere non vere-bantur. Communiter nunc auditus organum collocatur infibrillis nerveis per aurem internam, ac praesertim intra co-chleam disseminatis. Tremores itaque a sonoro corporeexcitati commnnicantur membranae tympani; tum per aes-.rem in tympano existentem, nec non per ossiculorum se-riem, ad parietes usque labyrinthi et praecipue ad dupli-21is314cem fenestram , ovalem ac rolundam , transmissi deducunturad liquidum cavitate labyrinthi contenlum ; inde vero ad fibrillas nerveas praedictas, atque ad nervum ipsum auditorium: unde fit, ut ex lege commercii anima ad sensationemsoni determinetur. Animadvertit Mairanus, quod sicut ininstrumentis quibusdam musicis binae et binae chordae protonis singulis disponuntur, ita in lamina spirali nerveae fibrillae dispositae sint : ex quo infert huc potius spectareorganum quam ad alias auris internas partes.148. Quaeres 1º. Cur quibusdam grata , aliis pene nihil, aut etiam molesta sit harmonia. Alibi ( 121 ) dictumnest chordam upisonam facile ad tremitum concitari: aliamitem , sed difficilius prout majorem minoremve cum chorda percussa harmonicam proportionem habet. Alert Kircherus aliud experimentum , quod ad rem aptum est etiammagis : experimentum ita se habet. Quinque sumanturscyphi vitrei.ejusdem magnitudinis et capacitatis , et unusquidem liquore impleatur, qui acquavite dicitur; alter vino ; tertius aqua puriori; quartus aqua communi ; quintuscrassiori aqua: tum ora cujusque poculi confricando sonusquam fieri potest acntissimus excitetur. In primo quidem• scypho spiritus ille maxime subsultabit; vinum moderatam subibit concitationem ; adhuc moderatior erit molus purioris aquae, et ita porro . Ex his intelligitur quomodo variaein variis hominibus partium corporis commotiones oriantur e sono. Cum autem animi molus, in quibus voluptasconsistit vel molestia , pendeant ex partium corporis affectionibus; iis gratissima accidere poterit harmonia, quibusea solidorum ac fluidorum constitutio est , ut in iisdem commotio consequatur impressionem factam in organo auditussatis . vivida et animi moribus cum voluptate conjunctis excitandis apta: ii erunt ad harmoniam indifferentes, in quibus impressionem factam in organo auditus vix ulla consequitur alteratio solidarum fuidarumve corporis partiumquae pariat animi motus vel consonos, vel incongruos: iis314cem fenestram, ovalem ac rotundam, transmissi deducunturad liquidum cavitate labyrinthi contentum; inde vero ad fi-brillas nerveas praedictas, atque ad nervum ipsum audito-rium: nnde fit, ut ex lege commerciianima ad sensationemaoni determinetur. Animadvertit Mairanus, quod sicut ininstrumentis quibusdam musicis binae et binae chordae protonis singulis disponuntur, ita ip lamina spirali nerveae fi-brillae dispositae sint: ex quo infert huc potius spectareorganum quam ad alias auris internas partes.148. Quaeres 1". Cur quibusdam grata, aliis pene ni-hil, aut etiam molesta sit harmonia. Alibi (121 ) dictumest chordam unisonam facile ad tremitum concitari: aliamitem, sed difficilius prout majorem minoremve cum chor-da percussa harmonicum proportionem habet. Affert Kir-cherus aliud experimentum, quod .ad rem aptum est etiammagis : experimentum ita se habet. Quinque sumanturscyphi vitrei-ejusdem magnitudinis et capacitatis, et unusquidem liqum'e impleatur, qui acquavite dicitur; alter vi-no; tertius aqua PUI'lOl'i; quartus aqua communi; quintuscrassiori aqua: tum ora cujusque poculi confricando sonusquam fieri potest acutissimus excitetur. In primo quidemscypho spiritus ille maxime subsultahit; vinum moderatam su-bibit concitationem; adhuc moderatior erit motus purio-ris aquae, et ita porro. Ex his intelligitur quomodo variaein variis hominibus partium corporis commotiones orian-tur e sono. Cum autem animi motus, in quibus voluptasconsistit vel molestia, pendeant ex partium corporis affe-ctionibus; iis gratissima accidere poterit harmonia, quibuseasolidorum ac fluidorum constitutio est, ut in iisdem com-motio consequatur impressionem factam in organo auditussatis.vivida et animi motibus cum voluptate conjunctis ex-citandis apta: ii erunt ad harmoniam indifferentes. tu qui-bus impressionem factam in Organo auditus vix ulla con-sequitur alteratio solidarum fluidarumve corporis partium ∙quae pariat animi motus vel consouos, vel incongruos: iis11315denique molestia etiam accidet, quibus ex impressione nervorum acusticorum contingat incongrua motuum alteratioin partibus corporis ad pracfatos animi molus inservientibus: quo fit etiam mechanice ut alii aliis sonorum generibus vel delectentur magis, vel contra. Hanc tamen mechanicam causam non arbitror esse sufficientem atque adaequatam: admittenda est causa ex rationali natura hominispendens. Consistit harmonia in proportione illa , quam soni habent inter se ; unde fit ut in organo auditus vibrationes diversi generis, aliae frequentiores, aliaė tardiores efficiantur: dum vibrationes istae organum anditus afficiunt, mens easdein comparat inter se, earumque proportionem animadvertit : si haec proportio ejusmodi sit ut facile possit a mente percipi, et vibrationes facile comparariqueant, ex hoc gaudet mens; si confusa et inordinata vibrationum sit comparatio , neque has mens facile conferre inter se potest, obruelur taedio: et quia imperitas in musica facilius comparat simpliciores consonantias quammagis compositas, ideo musica planissima vulgo arridet ; quivero periti sunt et copiosioribus compositiouibus assueti, vixpatiuntur musicam nimis simplicem: item cum ex consuetadine pendeat ut aliquas harmonicas proportiones facilius mens assequatur quam alias ; inde oritur at voluptas ex eo musices genere major sit, cui quis sit assuetus; adeo ut ex hoc capite diversis nationibus diversaeplaceant musicae species. Porro ab exercitatione etiamprofluit ut gratior accidat musica , etiam qua ex partemechanice voluptatem parit; ex assuetudine enim in fibrillas nerveas docilitas inducitur ad recipiendas faciliusimpressiones harmonicas.2º. Cur duabus auribus unus idemque sonus audiatur. Communis responsio est hujusmodi : cum in utra.que aure creetur simillima impressio; non duplicem , sedvoam sensationem ab anima haber¡ necesse est. Qua inre scite animadvertit Valsalva , summa industria provisum315denique molestia etiam accidet, quibus ex impressione ner-vorum acnsticorum contingat incongrua motuum alteratioin partibus corporis ad praefatos animi motus inservienti-bus: quo fit etiam mechanica ut alii aliis sonorum gene-ribus vel delectentur magis, 'vel contra. Hanc tamen me-chanicam causam non arbitror esse sufficientem atque adae-iquatam: admittenda est causa ex rationali natura hominispendens. Consistit harmonia in praportione illa, quam so-ni habent inter se; unde fit ut in organo auditusvibraP-tiones diversi generis, aliae frequentiores, aliae tardio-res efficiantur: dum vibrationes istae organum auditus af-Hciunt, mens easdem comparat inter se, earumque propor-tionem animadvertit: si haec proportio ejusmodi sit ut fa-cile possit a mente percipi, et vibrationes facile comparariqueant, ex hoc gaudet mens; si confusa et inordinata vi-bratiouum sit comparatio , neque has mens facile con-ferre inter se potest, obruetur taedio: et quia imperi-tus in musica facilius comparat simpliciores consonantias quammagis compositas, ideo musica planissima vulgo arridet ; quivero periti sunt et c0piosioribus compositionibus assueti, vixpatiuntur musicam nimis simplicem: item cum ex consue-,tudine pendeat ut aliquas harmonicas preportiones faci-lius mens assequetur quam alias; inde oritur ut volu-ptas ex eo mus1ces genere major sit, cui quis sit assue-tus; adeo ut ex hoc capite diversis nationibus diversaeplaceant musicae species. Porro ab exercitatione etiamprofluit ut gratior accidat musica, etiam qua ex partemechanica voluptatem parit; ex assuetudine enim in fi-brillas nerveas docilitas inducitur ad recipiendas faciliusimpressiones harmonicas. ⋅20. Cur duabus auribus unus idemque sonus au-diatur. Communis responsio est huiusmodi: cum in utra-que aure creetur simillima impressio; non duplicem, sed,unam sensationem ab anima haberi necesse est. Qua inre scite animadvertit Valsalva, summa industria provisum316fuisse a natura ut in utraque aure quam simillima essent organa omnia ; adeo ut, dum in diversis hominibusstructura partium nonnihil variat, in eodem tamen bomimine nulla prorsus sit utriusque auris vel minima variatio .Notetur illud : quemadmodum eadem chorda variostonos varia tensione edere potest, ita membrana tympanilenditur diversimode ut variis tonis aple accomodetur ;eapropter manubrium mallei eidem adnexum est, et basis stapiae eodem modo membranae fenestrae ovalis: tensio autem et relaxatio membranae, nobis insciis , potest naturaliter fieri. Itaque, ut primae vibrationes membranamferiunt, admonita natura organum opportuna tensione aptatut respondens tonus in successivis vibrationibus fiat magis vel minus sensibilis.316fuisse a natura ut in utraque aure quam simillima es-sent organa omnia; adeo ut, dum in diversis hominibusstructura partium nonnihil variat, in eodem tamen homi-miue nulla prorsus sit utriusque auris vel minima variatio.Notetur illud: quemadmodum eadem chorda variostonos varia tensione edere potest, ita membrana tympanitenditur diversimode ut variis tonis apte accomodetur;eapropter manubrium mallei eidem adnexum est, et ba-sis stapiae eodem modo membranae fenestrae ovalis: ten-sio autem et relaxatio membranae, nobis insciis,potest na-turaliter fieri. Itaque, ut primae vibrationes membranamferiunt, admonita natura organum opportuna tensione aptatut respondens tonus in successivis vibrationibus fiat ma-gis vel minus sensibilis.INDEXRERUM QUAE IN PRIMO VOLUMINE CONTINENTUR.MECHANICA E PRINCIPIANotiones praeambulae. pag. 1 .Molus uniformis et varius : velocitas et quantitas motas in motu uniformi. num . 1 .Corporum indifferentia ad motum et ad quietem: quidvires : quid earum aequilibrium ; et quomodo repraesententur sive per lineas rectas, sive per numeros . n. 2, 3, 4.Principiom motus • relativi : vires sunt ut quantitatesmotus , n. 5, 6 .Principium actionis et reactionis : mutatio status incorpore haud repente gignitur a viribus extrinsecis , sedper gradus indefinitae attenuationis capaces: quid vires instanlaneae et continuae. n. 7 .De virium compositione et resolutione , deque earummomentis et aequilibrio : aliquid quoque notatur devecte, axe in peritrochio, trochlca etc. pag. 6.Compositio virium materiali puncto applicatarum: aequilibrium: varia circa virium resolutionem .. n. 8. 9. 10.⋅ N D EXRERUM QUAE IN ramo VOLUMINE CONTINENTUR.' MECHANICAE PRINCIPIA∙W⋅∙Nott'ones praeambulae. pag. 1.Motus uniformis et varius: velocitas et quantitas mo-tus in motu uniformi. . . . . . . . . . num-1.Corporum indifferentia ad motum et ad quietem: quidvires: quid earum aequilibrium; et quomodo repraesen-tentur sive per lineas rectas, sive per numeros. n.2, 3, 4.. Principium motus 'relativi: vires sunt ut quantitates.motus. ∙ ∙ ∙ ∙↴ ∙ ∙.' ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ n. 5, 6.Principium actionis et reactionis: mutatio status incorpore haud repente gignitur a viribus extrinsecis ,sedper gradus indefinitae attenuationis capaces: quid vires in-stantaneae et-continuae.. . . . . . . . . n. 7.»De virium compositione et resolutione , deque earummomentis et aequilibrio : aliquid quoque notatur devecte, axe in peritrochio, trochlea etc. pag. 6.Compositio virium materiali puncto applicatarum: ae-quilibrium: varia circa virium resolutionem.. n. 8. 9. 10.318Compositio duarum virium extremis rectae rigidae punctisapplicatarum, et in eodem plano jacentium: aequilibrium circaimmobile punctum: principiam velocitatum virtualium in ordine ad istiusmodi vires: momenta virium quoad punctum ( M) :momentum resultantis aequatur summae ex momentis componentium si hae in eamdem plagam circa ( M ) nitunturmovere puncta , quibus applicitae sunt; aequatur differentiaesi nituntur movere in plagas contrarias. n. 10. 10. 20.30,Haec ipsa extenduntur ad quemvis numerum virium indato plano jacentium.n. 10. 4º , 5º , 6º.Binae vires haud jacentes in eodem plano nequeuntad unicam vim aequipollentem traduci : vires in aequilibrio constitutae; sollicitantesque vel solidum liberumque corpus, vel solidam corpus mobile duntaxat circa punctum fixum, vel solidum corpus mobile tantummodo circa asemfixum : momenta quoad axem . n. 10: 70. ... 10 °.Vires parallelae: vis inde resaltans: earum centrum :momenta quoad planum: respondens theorema n . 11 , 12 ,13. 10. 2º. 3º.Parallelarum virium systema consistit in aequilibrio subduabus conditionibus simul explendis; altera est ut evanescat earum summa; altera ut evanescat summa ex earummomentis in ordine ad duo plana ipsis viribus parallela . n. 13. 4º. 5º..Etsi vires non sunt parallelae, possunt tamen rednciad terna ejusmodi systemata, quorum primum coalescat exviribus parallelis axi OZ, secundum ex viribus jacentibusin plano XOY simulque parallelis axi Qy, tertium ex viribus agentibus juxta axem OX: aequilibrii conditiones quoadsystemata rigida viribus minime parallelis sollicitata; 1º , in318Compositio duarum virium extremis rectae rigidae punctisapplicatarum,etin eodem plano jacentium: aequilibrium circaimmobile punctum: princi pium velocitatum virtualium in ordi-ne ad istiusmodi vires: momenta virium quoad punctum (M):momentum resultantis aequatur summae ex momentis com-ponentium si hae in eamdem plagam circa (M ) nituhturmovere puncta, quibus applicitae sunt; aequatur differentiaesi nituntur movere in plagas contrarias. n. 10. 10. 2230.∙ Haec ipsa extenduntur ad quemvis numerum virium indato plano jacentium.. . . . . . n. 10. 40. 50. 6".Binae vires haud jacentes in eodem plano nequeuntad unicam vim aequipollentem traduci : vires in aequili-brio constitutae; sollicitantesque vel solidum liberumque cor-pus, vel solidum corpus mobile duntaxat circa punctum fi-xum, vel solidum corpus mobile tantummodo circa axemfixum: momenta quoad axem. .'. . n. 10: 70. 10"-Vires parallelae: vis inde resultans: earum centrum:momenta quoad planum: respondens theorema ". 11, 12113. 10. 20. 30.Parallelarum virium systema consistit in aequilibrio subduabus conditionibus simul explendis; altera est ut evane-scat earum summa; altera ut evanescat summa ex earummomentis in ordine ad duo plana ipsis viribus paral-lela.. . . . . . . . . . . . . n.13.4".5'-Etsi vires non sunt parallelae, possunt tamen -reduciad terna eiusmodi systemata. quorum primum coalescat exviribus parallelis axi OZ, secundum ex viribus jacentibusin plano XOV simulque parallelis axi QT, tertium ex vi-ribus agentibus juxta axem OX: aequilibrii conditiones quoadsystemata rigida viribus minime parallelis sollicitata;1".in319hypothesi systematis liberi; 2 °. in hypothesi systematis detenti puncto fixo; 3º . in hypothesi systematis detenti axefixo: conditio explenda ut plures vires minime parallelaetraduci possint ad unicam aequipollentem . n. 13. 6 ... 11º.Duo solida corpora , datis viribus sollicitata , sese invicem aeque premendo apud datum mutui contaclus panctum manent in aequilibrio : determinatur istiusmodi pressionis magnitudo. n. 13. 12 .Solidum corpus , datis viribus sollicitatum, detineturduobus punctis fixis, sumptis in axe v. gr. OZ: determinantur pressiones exercitae in puncta illa juxta coordinalos axes OX, OY, OZ. n. 13. 13 .Exempla aequilibrii in quibusdam machinis, praeciso attritu : aequilibrium punctoruni materialium junctorum flis determinatae quidem longitudinis sed mobilibas circa data puncta. n. 14. 15. 16 .De centro gravitatis. pag. 33.Varia de vi gravitatis, de corporum densitate , dequespecifica eorum gravitate: linea directionis. n . 17 , 18 , 19.Generales formulae determinantes centrum gravitatis: inveniri potest ratione mechanica: peculiari methodo determinalur in triangulo et pyramide triangulari, n. 20.De corporum collisione. pag . 37 .Normalis collisio : 1º. corporum non elasticorum : 2 ° .corporum perfecte elasticorum : 3º . corporum imperfecte elasticorum . n. 21 , 22, ... 25 .319hypothesi systematis liberi: ". in hypothesi systematis de-⋅ teuti puncto fixo: 30. in hypothesi systematis detenti axefixo: conditio explenda ut plures vires minime parallelaetraduci possint ad unicam aequipollentem. n. 13. 60... 1'l0.Duo solida corpora, datis viribus sollicitata, sese in-vicem aeque premendo apud datum mutui contactus pun-ctum manent in aequilibrio: determinatur istiusmodi pres-sionis magnitudo. . . . . . . . . . n. 13. 120.Solidum corpus . datis viribus sollicitatum. detineturduobus punctis fixis, sumptis in axe v- gr. OZ: determi-nantur pressiones exercitae in puncta illa iuxta coordi-'natos axes OX, 0ï,OZ. . . . ∎∙ ∙ ∙ n.13.130.Exempla aequilibrii. in quibusdam machinis, praeci-so attritu : aequilibrium punctorum materialium iuncto-rum filis determinatae quidem longitudinis sed mobili-bus circa data puncta.. . . . . . n.14.15.'16.De centro gravitatis. pag. 33.Varia de vi gravitatis, de corporum densitate.dequespecifica eorum gravitate: linea directionis. n. 17, 18, 19.Geuerales formulae determinantes centrum gravita-tis: inveniri potest ratione mechanica: peculiari metho-do determinatur in triangulo et pyramide triangulari. n. 20-Dä corporum collisione. pag. 37-Normalis collisio: 10. corporum non elasticorum: 2".corporum perfecte elasticorum : 3". corporum imperfe-cte elasticorum. . .-. . . . . n.21,22,...25.320Obliqua eorumdem corporum collisio. n . 26.De motu rectilineo utcumque vario. pag. 42Praemittantur nonnulla ex analysi infinitesimali, ejusque ad res geometricas applicatione. n. 27. 10.2 ... 300.Formulae spectantes ad motum rectilineum utcumquevarium : formulae quoad motum rectilineum uniformitervarium: vis acceleratrix : vis motrix. n. 28.Formulae pertinentes ad motum rectilineum utcumque varium applicantur ad materiale punctum sollicitatum vi acceleratrice, quae sit distantiae a dato centro proportionalis. n. 29.

De verticali gravium descensu atque ascensu . pag.65.Formulae, legesque huc spectantes: motus gravium inmachina Atwoodi. n . 30, 31 , 32 .Quid si gravium descensus vel ascensus fiat in medio resistente sub ea conditione, ut resistentia medii sit pro .portionalis quadrato velocitatis. n. 33.De gravium descensu per plana inclinala ; de attritu ;deque cochlea, et cuneo. pag. 71.Formulae determinantes descensum gravium per planainclinata: gravium descensus per plana inclinata comparatur cum verticali eorum descensu. n . 34, 35.320⋅∡ Obliqua eorumdem corporum collisio. . ∙⋅ n. 26.De motu rectilineo utcumque uario. pag. 42Praemittuntur nonnulla ex analysi infiuitesimali, e-iusque ad res geometricas applicatione. n. 27. 10. 2"....300.Formulae spectantes ad motum rectilineum utcumquevarium: formulae quoad mo'tum rectilineum uniformitervarium: vis acceleratrix: vis motrix. . . . . . n. 28.Formulae pertinentes ad motum rectilineum utcum-que varium applicantur ad materiale punctum sollicita-tnm vi acceleratrice. quae sit distantiae a dato centro pro-portionalis. ............n.ag.!De verticali gravium descensu atque ascensu. pag. 65.Formulae, legesque huc spectantes: motus gravium inmachina Atwoodi. . . . . . . . . n. 30,31,32-Quid si gravium descensus vel ascensus liat in me-dio resistente sub ea conditione, ut resistentia medii sit pro-portionalis quadrato velocitatis. . . . . . . n. 33-De gravium descensu per plana inclinata; de attritu; ⇥deque cochlea, et cuneo. ∙ pag. 71.Formulae determinantes descensum gravium per planainclinata: gravium descensus per plana inclinata compara-tur cum verticali eorum descensu. . . . n. 34, 35-321Gravium descensus per plura plana inclinata sibi conrigua . n. 36.non.Unde orialur attritus , caeteris paribus , est proportionalis pressioni : quomodo habeatur ratio attritus in motugravium per plana inclinata : grave in plano inclinato librandum potentia aliqua, sive habeatur ratio attritus , siven. 37. 10. 20 30Aequilibrii leges in cochlea, et cuneo. n. 37. 4º. 5º.Spectatur attritus in aequilibrio cochleae: itemque inaequilibrio corporis ad rotatilem motum circa fixum cylindrum sollicitati : in machinis praeter resistentiam ex attritu spectanda etiam est resistentia ex funibus n. 37.6º.70.8° .De motu gravium oblique projectorum . pag . 81 ,Aequatio ad curvam, quam describunt gravia obliqueprojecta; istiusmodi curva dicitur parabola. n. 38, 39.Amplitudo jactus: maxima jactus amplitudo habetur subangulo projectionis semirecto: sub quo angulo projiciendum sitgrave ut offendat in datum scopum : altitudo jactus : aliquid subjungitur de proprietatibus praefatae curvae. n. 40. 1º.2 ° .... 70Quid si gravia oblique projiciantur in medio resin. 41 .stente.De generalibus quibusdam proprietatibus motus curvilinei, orti a viribus quarum una determinat materialepunctum ad motum uniformem , altera ipsi materiali puncto est continue applicata ..pag. 85.Ubi in aliquo curvae puncto vis acceleratrix desinatagere, excurret mobile per tangentem în punclo illo : ubi321Gnavium descensus-per plura plana inclinata sibi con-ligua...............n.36.Unde oriatur attritus. caeteris paribus, est proportio-nalis pressioni: quomodo habeatur ratio attritus in motugravium per plana inclinata: grave in plano inclinato li-brandum potentia aliqua, sive habeatur ratio attritus, sivenon. . , . . . . . . . . . . n. 37.10.2030.Aequilibrii leges in cochlea, et cuneo. n. 37. 40. 50.Spectatur attritus in aequilibrio cochleae: itemque inaequilibrio corporis ad rotatilem motum circa fixum cy-lindrum sollicitati: in machinis praeter resistentiam ex et-tritu spectanda etiam est resistentia ex funibus n. 37.60.70.80.De motu gravium oblique projectorum: pag. 81,∙ Aequatio ad curvam, quam describunt gravia obliqueproiecta; istiusmodi curva dicitur parabola. . n. 38. 39.Amplitudo iactus: maxima jactus amplitudo habetur subangulo projectiouis semirecto: sub quo angulo proiiciendum sitgrave ut offendat in datum scopum : altitudo jactus: ali-quid subiungitur de proprietatibus praefatae curvae. n. 40. 10.20 .... 70.Quid si gravia oblique projiciantnr in medio resi-stente. ↖∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙∥∙∡∎∙De generalibus quibusdam praprietatibus motus curvili-'nei, orti a viribus quarum una determinat materialepunctum ad motum uniformem. altera ipsi materia-li puncto est continue applicata.. . . . pag. 85-Ubi in aliquo curvae puncto vis acceleratrix desinatagere, excurret mobile per tangentem in puncto illo: ubi322tempore finito angulus, quem efformat vis acceleratrix cumdirectione tangentis , fuerit semper acutus, acquiret mobile incrementum velocitatis finitum ; si semper obtusus,patietur decrementum finitum ; si semper rectus , velocitas manebit constans: quadratum velocitatis adaequat vimacceleratricem ductam in dimidium chordae, quae ex ejusdirectione abscinditur ab osculatore circulo. n . 42.... 45.Haec vera sunt de omnium virium genere; ponanturvires acceleratrices ad centrum datum directae : jacebit curva in plano transeunte per rectam projectionis et per centrum virium: radius vector describet areas circa virium centrum temporibus proportionales: viceversa si radius vector describit areas circa punctum aliquod temporibus proportionales, vis acceleratrix erit constanter directa ad punctum illud: velocitas, qua pollet mobile in eadem curva ,exsistit reciproce proportionalis perpendiculo ducto a centrovirium in tangentem: vis acceleratrix in quovis curvae pun:cto est directe ul radius vector, et reciproce ut factumex osculi radio in cnbum praefati perpendiculi : si ultrapunctum contactus sumitur arcus infinitesimus, a materialipuncto describendus subsequente tempusculo, radiusque vector pertingens ad hujus arcus extremitatem produciturdonec occurrat tangenti, vis acceleralrix in contactus puncto erit directe ut pars radii vectoris producti interceptaac tangente , et reciproce ut quadratum tempusculi .arcun. 46,49.Sive vires tendant ad centrum datum, sive non ; coordinatae puncti materialis in fine temporis e spectandae sunttanquam functiones ipsius t : formulae respicientes et velocitatem in quolibet curyae puncto, et binas componentes, alteram juxta tangentem , alteram juxta normalem , in quasresolvitur yis acceleratrix. n, 50. 10. 2º . 3º..322tempore linito angulus, quem etl'ormat- vis acceleratrix cumdirectione tangentis ,fuerit semper acutus, acquirat mo-bile incrementum velocitatis Gnitum; si semper obtusus,patietur decrementum (initum: si semper rectus, veloci-tas mauebit constans: quadratum velocitatis adaequat vim.acceleratricem ductam in dimidium chordae, quae ex eiusdirectione abscinditur ab osculatore circulo. n. 42.... 45.Haec vera sunt de omnium virium genere; ponanturvires acceleratrices ad centrum datum directae: iacebit cur-va in plano transeunte per rectam projectiouis et per cen-trum virium: radius vector describet areas circa virium cen-trum temporibus proportionales: viceversa si radius ve-ctor describit areas circa punctum aliquod temporibus pro-portionales, vis acceleratrix erit constanter directa ad pun-ctum illud: velocitas, qua pollet mobile in eadem curva.exsistit reciproce proportionalis perpendiculo ducto a centrovirium in tangentem: vis acceleratrix in quovis curvae pung-cto est directe ut radius vector, et reciproce ut factumex osculi radio iu cubum praefati perpendiculi: si ultrapunctum contactus sumitur arcusiufiuitesimus, a materialipuncto describendus subsequente tempusculo, radiosque ve-ctor pertingens-ad huius arcus extremitatem produciturdonec occurrat tangenti, vis acceleratrix in contactus pun-cto erit directe ut pars radii vectoris producti interceptaarcu ac tangente ,et reciproce ut quadratum tempuscu-li. ∙∙∙∙∙⋅∙∙∙ ∙ ∙∙ ..n.46,...49-Sive vires tendant ad centrum datum, sive non; coor-dinatae puncti materialis in fine temporis t spectandae sunttanquam functiones ipsius :: formulae respicientes et veloci-tatem in quolibet curvae puncto, et binas componentes, al-teram juxta tangentem, alteram juxta normalcm. in. qu".resolvitur vis acceleratrix. . . . . . n. 50.1'-2"- 30,323Resolata vi acceleratrice in ternas componentes axibus coordinatis parallelas, stabiliuntur formulae huc pertinentes: applicantur formulae ad duas quaestiones, quarum altera respicit gravia oblique projecta in vacuo, altera respicitgravia oblique projecta in medio resistente. n. 50. 4º. 5º . 6º.Quomodo vis acceleratrix directa ad centrum exprimatur generatim per coordinatas polares : quomodo, data viacceleratrice directa ad centrum , inveniri possit aequatiointer coordinatas polares ad lineam per quam movetur materiale punclum: exemplum desumptum a vi acceleratrice ,quae sit reciproce ut quadratum radii vectoris: sub hac lege poterit materiale punctum describere parabolam habentem suum focum in centro virium:quaenam velocitas projectionis ad id sit necessaria. n. 50. 7º. 8º... 15 °Motus curvilineus impeditus : vis centrifuga. n. 51 .De vi acceleratrice in motu circulari, existentecentro virium in centro circuli. pag . 109,Istiusmodi motus ' est uniformis: vis acceleratrix obtinetur dividendo quadratum velocitatis per curvae circularisradium: varia inde inferuntur et quoad projectionis velo citatem necessariam ad describendam cicularem curvam , etquoad vires acceleratrices in diversis peripheriis circularibus. n. 52 , 53.Vis centrifuga orta ex circulari telluris rotatione circa suum axem : qua ratione decrescat ab aequatore ad polos: qua ratione vis centrifuga imminuat gravitatem a polis ad aequatoren . n. 54.323Resoluta vi acceleratrice in ternas componentes axi-bus coordiuatis parallelas, stabiliuntur formulae huc per-tinentes: applicantur formulae ad duas quaestiones, quarum al-tera respicitgravia oblique projecta in vacuo, altera respicitgravia oblique proiecta in medio resistente. n. 50. 40. 50. 60.Quomodo vis acceleratrix directa ad centrum lexpri- matur generatim per coordinatas polares: quomodo, data viacceleratrice directa ad centrum.inveniri possit aequatiointer coordinatas polares ad lineam per quam movetur ma-teriale punctum: exemplum desumptum a vi acceleratrice,quae sit reciproce'ut quadratum radii vectoris: sub hac le-ge poterit materiale punctum describere parabolam haben-tem suum focum in centro virium: quaenam velocitas pro-fectionis ad id sit necessaria. '. . n. 50. 7". 80...150.Motus curvilineus impeditus: vis centrifuga. n. St.De vi acceleratrice in motu circulari, existentecentro m'rium' in centro circuli . pag. 109.Istiusmodi motus 'est uniformis: vis acceleratrix obti-netur dividendo quadratum velocitatis per curvae circularisradium: varia iude inferuntur et quoad proiectionis velo-citatem necessariam ad" describendam cicularem curvam, etquoad vires acceleratrices in diversis peripheriis circula-ribus-.............n.52,53..Vis centrifuga orta ex circulari telluris rotatione cir-ca suum axem: qua ratione decrescat ab aequatore ad po-los: qua ratione vis centrifuga imminuat gravitatem a po-lis ad aequatorem.. . .. . . . . ∙∙ ∙ n. 54-324De vi acceleratrice in motu elliptico, existentecentro virium in foco ellipsis pag. 111,Varia praemittuntur et circa rectas ita ductas ex punctoquovis, ut tangant datam sphaeram ; et circa plaua tangentiaducta per ejusmodi rectas ; et circa rectarum , arearumqueplanarum projectiones in plano quolibet ; sed praecipuecirca ellipsim. n. 55. 1º, 2º ...14 °. . .Quibus praemissis, demonstratur illud : existente centro virium in foco ellipseos , vis acceleratrix in motu elliptico est reciproce ut quadratum radii vectoris : quid induabus ellipsibus si quadrata temporum periodicorum sint ut cubi semiaxiun transversorum . n. 56.Paucis subjunctis de ellipsi , parabola , et hyperbola, demonstratur quod, agentibus viribus in ratione reciproca duplicata distantiarum a dato centro, praeter parabolam poterit quoque mobile describere vel ellipsimvel hyperbolam, existente focorum altero in centro virium:quaenam projectionis velocitas requiratur ad ellipsim describendam , quaenam ad hyperbolam. n, 67. 1.2.7 .Obiter de lege virium in motu elliptico, ubi eae tendant ad ellipseos centrum . n. 57 , 8 .De motu relativo punctorum materialium , tendentiumin se mutuo viribus acceleratricibus quae sint directe ut massae in quas tenditur, et reciproce ut quadrata respondentium distantiarum . pag. 125.Generales ad istiusmodi motum aequationes differentiales. n, 58,324- De ui acceleratrice in motu elliptica. existentecentro virium in foco ellipsis pag. 111.Varia praemittuntur et circa rectas ita ductas ex punctoquovis, ut tangant datam sphaeram; et circa plana tangentiaducta per ejusmodi rectas; et circa rectarum, arearumqueplanarum proiectiones in plano quolibet ; sed praecipuecirca ellipsim. . . . . . . . . n.55.10. 20 ...140.Quibus praemissis, demonstratur illud: existente cen-tro virium in foco ellipseos , vis acceleratrix in motu el-liptico est reciproce ut quadratum radii vectoris: quid induabus ellipsibus si quadrata temporum periodicorum sintut cubi semiaxium transversorum . . . . . . n- 56.Paucis subjunctis de ellipsi, parabola ,et hyperbo-la, demonstratur quod, agentibus viribus in ratione reci-proca duplicata distantiarum a dato centro, praeter para-bolam poterit quoque mobile describere vel ellipsim ,vel hyperbolam, existente focorum altero in centro virium:quaenam proiectiouis velocitas requiratur ad ellipsim de-scribendam, quaenam ad hyperbolam. . n. 57. ↿∘∙ ⋍∘∙∙∙ 70.Obiter de lege virium in motu elliptica, ubi eae ten- dant ad ellipseos centrum.. . . . . . n. 57. 8".De motu relativo punctorum "materialium,tendentiumin se mutuo viribus acceleratricibus quae sint di-recte ut massae in quas tenditur, et reciproce ut quabdrata respondentium distantiarum. pag. 125.Gener-ales ad istiusmodi motum aequationes dideren-tiüles- ∙∎∎ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ "a 58.325Spectantur duo tantum materialia puncta: vires perturbantes ex reliquis punctis. n. 59, ... 62.De pendulis ; deque gravium descensu perarcus cycloidales. pag . 134.Quid pendulum simplex ; quid compositum : viresgignentes motum penduli simplicis n . 63.Velocitates in puncto infimo acquistae a gravibus perinaequales ejusdem circuli arcus descendentibus sunt utipsorum arcuum chordae .. n. 64.Oscillationes penduli simplicis per arcus satis exiguos , ulcumque ceteroquin inaequales , sunt ad sensumisochronae seu aequidiuturnae : quid ex doctrina pendulisimplicis circa terrestrem gravitatem n. 65 , 66.Centrum oscillationis in pendulo composito : etiamoscillationes penduli compositi suņt isochronae, modo tamen existant satis exiguae .n. 67.Oscillationes penduli simplicis in medio resistente :primo in hypothesi resistentiae proportionalis simplici velocitati; deinde in hypothesi resistentiae proportionalis quadrato velocitatis .n. 68.n . 69 .Paucis praemissis de cycloide, demonstratur illud : exquocumque cycloidis puncto demittatur grave , eodem semper tempore perveniet ad punctum infimumDe attractione corporum in hypothesi attractionis agentisin ratione directa massarum , et in reciprocaduplicata distantiarum .Attractio corporum quorumcumque in materiale punclum situm sive extra corpus attrahens, sive intra. n . 70,71,72.pag . 151 .325Spectautur duo tantum materialia puncta: vires per-turbantes ex reliquis punctis. . . . . . n. 59....62.De pendulis; deque gravium descensu perarcus cycloidales. pag. 134.Quid pendulum simplex; quid compositum : viresgignentes motum penduli simplicis. . . . . n. 63.Velocitates in puncto intimo acquistae a gravibus perinaequales ejusdem circuli arcus descendentibus sunt utipsorum arcuum chordae. . . . . .- . . n. 64.Oscillationes penduli simplicis per arcus satis exi-guos, utcumque ceteroquin iuaequales ,sunt ad sensumisochrouae seu aequidiuturuae: quid ex doctrina pendulisimplicis circa terrestrem gravitatem . . . n. 65, 66.Centrum oscillationis in pendulo composito: etiamoscillationes penduli compositi sunt isochrouae, modo ta-men existant satis exiguae . . . . . . . . n. 67.Oscillationes penduli simplicis in medio resistente:primo in hypothesi resistentiae proportionalis simplici ve-locitati; deinde in hypothesi resistentiae proportionalis qua-drato velocitatis. . . .. . . . . . . n. 68.Paucis praemissis de cycloide, demonstratur illud : exquocumque cycloidis puncto demittatur grave , eodem sem-per tempore perveniet ad punctum infimum. . n.. 69.De attractione corporum in hypothesi attractionis agentisin ratione directa massarum, et in reciprocaduplicata distantiarum. pag. 151 .Attractio corporum quorumcumque in materiale pun-ctum situm sive extra corpus attrahens, sireintrafn. 70,71,72.326Expediuntur quae pertinent ad attractionem corporum sphaericorum in punctum materiale n. 73,74,75.Materiale punctum valde distans a corpore attrahente,utcumque se habeat forma corporis, ea proxime ratione tenditin ipsum corpus, qua tenderet si corporis partes in centrogravitatis compenetrarentur: ubi dimensiones corporum quorumcuinque se mutuo attrahentium sint admodum exiguaeprae distantiis , quibus ipsa corpora disjunguntur , eorumalterum tendet in alterum perinde ac si essent ambo insuis gravitatis centris compenetrata ; haec assertio quoadsphaerica corpora valet utcumque se habeat intercedensdistantia n. 76.De gravitatione universali. pag. 159.Ex mutua coelestium corporum gravitatione collatacum terrestrii gravitate inferimus illud : gravitas ita materiam afficit , ut singulae ejus particulae in alias omneset singulas gravitent in ratione directa massarum ad quastenditur , et reciproca duplicata distantiarum alterius abaltera n . 77 , ...82..Aliquid circa solarem et planeticas massas... n.83.10... 4.Media telluris densitas determinata ex penduli aberratione ; itemque experimentis institutis in librasiouis n. 83. 5. 6.°torQuomodo ex marini aestus phoenomeno deduci possit ratio inter lunarem ac terrestrem massam . n. 83.7 . °326Expediuntur quae pertinent ad attractionem corpo-rum sphaericorum iu punctum materiale. n. 73,74,75.Materiale punctum- valde distans a corpore attraheute,utcumque se habeat forma corporis, ea proxime ratione tenditin ipsum corpus, qua tenderet si corporis partes in centrogravitatis compenetrarentur: ubi dimensiones corporum quo-rumcumque se mutuo attrahentium sint admodum exiguaeprae distantiis, quibus ipsa corpora disiunguntur , eorumalterum tendet in alterum perinde ac si essent ambo insuis gravitatis centris compenetrata ; haec assertio quoadsphaerica corpora valet utcumque se habeat intercedensdistantia ...............n76De gravitatione universali. pag. 159.Ex mutua coelestium corporum gravitatione collatacum terrestrii gravitate.iuferimus illud: gravitas ita'ma-teriam allicit, ut singulae eius particulae in alias omneset singulas graviteut in ratione directa massarum ad quastenditur, et reciproca duplicata distantiarum alterius abaltera . . . . . . . . . ∎∙ ∙ ∙ n. 77,...82.Aliquid circa solarem et plaueticas massas...n.83.10...4.'Media telluris densitas determinata ex penduli aber-ratione : itemque experimentis institutis in libra tor-Sioni. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ n. 830 5-0 S..Quomodo ex marini aestus phoenomeuo deduci pos-sit ratio inter lunarem ac terrestrem massam. n. 83. 7!327Aliquid notatur de motu punctorum materialiumutcumque inter se connexorum pag. 169.Formulae spectantes et ad translativum punctorummotum juxta coordinatos axes, et ad rotatilem eorum motum circum axes ipsos n. 84.Moto punctorum systemate, perinde movebitur commune gravitatis centrum ac si , coeuntibus punctis inipsum centrum , applicarentur centro eaedem vires cumiisdem directionibus , quibus pancta sollicitantur. n. 84.1.6Principium de conservatione centri gravitatis : itemde conservatione arearum : necnon de conservatione virium vivarum n. 84. 2.0 ... 5 ..Relativus rigidi liberique systematis motus quoadgravitatis centrum n. 84. 6. ° 7.0Motus rigidi systematis circa axem fixum ; quibuscuinque caeteroquin viribus acceleratricibus sollicitetur systema : quid si vires acceleratrices consistant in sola gravitate ; huc spectat theoria penduli compositi : longitudopenduli simplicis , quod suas perficit oscillationes eodemtempore ac pendulum compositum : quid si nullae sintvires acceleratrices : inertiae momenta quoad axemprincipales systematis axes : principalia inertiae momenn. 85. 1.° 2.° ... 7.0.ta .De fluidorum corporum aequilibrio pag. 182.Ex perfecta mobilitate , qua ponuntur gaudere fluidorum corporum particulae , ostenditur principium deaequalitate pressionis , atque inde eruuntur conditionesrequisitae ad aequilibrium cujusvis massae fluidae. n. 86.327Aliquid notatur de motu punctorum materialiumutcumque inter se connexorum pag. 169.Formulae spectantes et ad translativum punctorummotum iuxta coordinatos axes, et ad rotatilem eorum mo-tum circum axes ipsos . . . . . . . . . n. 84.Moto punctorum, systemate, perinde movebitur com-mune gravitatis centrum ac si, coeuntibus punctis inipsum centrum, applicarentur centro eaedem vires cumiisdem directionibus , quibus puncta sollicitantur. n. 84.1.'Principium de conservatione centri gravitatis: itemde conservatione arearum : necnon de conservatione vi-rium vivarum . . . .'. ⋅∙ ∙ ∙ n. 84. Z."...SæBelativus rigidi liberique systematis motus quoadgravitatis centrum. . . . . . . . n.84. 6." 79Motus rigidi systematis circa axem fixum .: quibus-cumque caeteroquin viribus acceleratricibus sollicitetur sy-stema :quid si vires acceleratrices consistant in sola gra-vitate; huc spectat theoria penduli compositi: longitudopenduli simplicis, quod suas perficit oscillationes eodemtempore ac pendulum compositum .: quid si nullae sintvires acceleratrices : inertiae momenta quoad axem :principales systematis axes : principalia inertiae momen-ta.. . . . . . . . . . n.85.1.0 Z."... 7."De fluidorum corporum aequilibrio pag. 182.Ex perfecta 'mobilitate. qua ponuntur gaudere Hui-dorum corporum particulae ,, ostenditur principium deaequalitate pressionis , atque inde eruuntur conditionesrequisitae ad aequilibrium cujusvis massae Huidae. n. 86.328Quid notandum circa superficiem massae fluidae libratae n. 87, 1. ° 2.° ... 5 .Quid circa fluidum elasticitate pollens, ni 87. 6.0 7 .De gravium homogeneorumque liquidorumaequilibrio. pag. 187.Liquida constituta in aequilibrio intra vasa : pres.siones in areas sive horizontaliter , sive oblique demersas : centrum pressionis .n. 98. 1. ° . , . 4.0Solida liquidis immersa : aequilibrii positiones quoadsolidum liquido insidens n. 88.5 . , 89. 1.° 2. ° 3.°Utrum aequilibrium sit stabile , nec ne. n. 90..De gravium liquidorum aequilibrio in vasiscommunicantibus.pag. 195.Quid si vasis communicantibus idem contineatur liquidum : explicatio variorum effectuum ; antliae adspiranles , etc n. 91 , 92. 1.° 2.°Quid si diversa contineantur liquida.. n. 92. 3.0De gravium elasticorumque fluidorum aequilibrio necnon de altitudinibus dimetiendis ope barometri, et depondere ac densitate vaporum . pag. 199.Conditio aequilibrii expressa per aequationem differentialem : perficitur integratio in hypothesi temperieiconstantis n. 93.Inde eruitur formula inserviens ad altitudines di328Quid notandum circa superüciemi massae liuidae li-bratae. . . . . . . . . n. 87.1.02."...5.0Quid circa fluidum elasticitate pollens. n: 87. 6." 7."-De gravium homogeneorumque liquidarumaequilibrio. pag. 187.Liquida constituta in aequilibrio intra vasa: pres- ⋅tiones in areas sive horizontaliter , sive oblique demer-sas: centrum pressionis . . . . . n. 88. 1."..,.4."∙!'Solida liquidis immersa : aequilibrii positiones quoadsolidum liquido insidens . . n. 88.5.", 89. 1." 2.0 3."Utrum aequilibrium sit stabile, nec ne. . . n. 90.De gravium liquidarum aequilibrio in 'vasiscommunicantibus. pag. 195.Quid si vasis communicantibus idem continaptur li-quidum: explicatio variorum effectuum : antliae adspi-TODIBBQ etc ∙ ∙ ∙ ∙ ∙↼∙ ∙ a ∙ ".5 91. 92. 1.02.0Quid si diversa cbntiueantur liquida. . . n. 92. 3."De gravium elasticorumque fluidorum aequilibrio necnon de altitudinibus dimetiendis ope barometri, et depondere ac densitate. naporum. pag. 199.Conditio aequilibrii expressa per aequationem dif-ferentialem : perficitur integratio in hypothesi temperieiconstantis . . . ..'".. . ⋅ n. 93.Inde eruitur formula inservieus ad altitudines di-329metiendas ope barometri : varia observantur pro commodiori formulae usu n. 94. 1. ° 2.° ... 6.•Verticalis ascensus globi aereostatici : maxima globi elatio . n. 95.Maxima quantitas vaporis sese evolventis in vase undique clauso : vis elastica sicci aeris aucta ob evolutum vaporem : ratio inter densitatem aquei vaporis acdensitatem sicci aeris sub eadem temperie eademque pressione : ratio inter eorum densitates ac pondera sub eadem temperie et diversis pressionibus : densitas aeris vaporosi librantis datam pressionem sub temperie data. n. 96.1 . °2 .Usus aquei vaporis in movendis machinis. n . 99.6. •De aqua egrediente per angustum foramene vasis verticalibus sive cylindricis,sive prismaticis. pag. 206 .Nonnulla praemittuntur ex pluries iteratis experimentis .n . 97.Quaenam velocitas aquae egredientis: tempus impensum in descensu usque ad quamlibet altitudinem datam . n.98.Quantitas aquae dato tempore egredientis : tempusquo vas totum evacualur n. 99, 100,Ratio inter tempora , quibus deplentur duo vasa habentia et altitudines et orificia aequalia : quantitales aquarum successivis ' et aequalibus temporibus ex vasis orificio efluentium : divisio vasorum in partes successivis datitemporis unitatibus vacuandas n. 101 , 102.22' 329metiendus ope barometri : varia observantur pro commo-diori formulae usu . . . . . n. 94. 1..) ."... 6."Verticalis ascensus globi aereostatici : maxima glo-bi elatio. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ' ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙∎∎ ∙ n- 950-Maxima quantitas vaporis sese evolventis in vase uu-dique clauso : vis elastica sicci aeris aucta" ob evolu-tum vaporem : ratio inter densitatem aquei vaporis acdensitatem sicci aeris sub eadem temperie eademque pres-sione: ratio inter eorum densitates ac pondera sub ea-dem temperie' et diva-sis- pressionibus: densitas aeris va-porosi librantis datam pressionem sub temperie data. n. 961."2.0...5."Usus aquei vaporis in movendis machinis. n. 99. 6."De aqua egrediente per angustum foramene vasis «verticalibus sive cylindricis,sive prismaticis. pag. 206.Nonnulla praemittuntur ex pluries iteratis experimen-tis ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋅∙⋅ ∙ ∙ . ∙ ∙ ∙ ∙∎∎ ∙ ∙ ∙ "o 970Quaenam velocitas aquae egredientis: tempus impen-sum in descensu usque ad quamlibet altitudinem datam. n.98.,. Quantitas aquae dato tempore egredientis: tempusquo vas tatum evacuatur . . . . . . n. 99,100.Ratio inter tempora, quibus deplentur duo vasa ha-bentia et altitudines 'et oriiicia aequalia : quantitates aqua-rum successivis' et aequalibus temporibus ex vasis ori-iicio efluentium: divisio vasorum in partes successivis datitemporis unitatibus vacuandas . . . ∙∙ n. 101, 102.22330Contractio venae aqueae n. 103.Ubinam perficiatur acceleratio , per quam velocitasaquae descendentis admodum exigua mutatur in finalemsatisque grandem effluxus velocitatem . n . 104. 1.0Quomodo motus aquae defluentis in regularibus alveis traduci possit ad motum aquae prosilientis ex angustis vasorum orificiis n. 104. 2.• , ..5.Illud cum Auctoribus non paucis assumitur tanquamprincipium , quod nempe unumquodque liquidi in vasequolibet descendentis tenuissimum et horizontale stratum coalescat iisdem constanter particulis communi , eaque tantum verticali , velocitale donatis ; inde vero eruuntur , quae pertinent ad ipsius liquidi motum n . 105.Aliquid subjungiur circa generalem theoriammotus corporum fluidorum . pag. 216.Aequationes ad istiusmodi motum et quum massafluida homogenea vel heterogenea est incapax compressionis, et quum massa fluida pollet elasticitate. n. 106,107,108.De tubis capillaribus. pag. 225.sol Vires ex materia tubi , et ex materia liquidi ,licitantes datam ipsius liquidi particulam : attentis viribus istis , suprema liquidi superficies vel induet curvamconcavamque figuram , vel curvam convexamque , vel manebit, plana atque horizontalis, n. 109,1.9330Contractio venae aqueae . . . . -. . n. 103.Ubinam perficiatur acceleratio, per quam velocitasaquae descendentis admodum exigua mutatur in finalemsatisque grandem effluxus velocitatem. .-.n. 104. 1."Quomodo motus aquae defluentis in regularibus al-veis traduci possit ad motum aquae prosilientis ex au-gustis vasorum orificiis. . . . . n. 104. Z.". ..5."Illud cum Auctoribus non paucis assumitur tanquamprincipium, quod nempe unumquodque liquidi in vasequolibet descendentis tenuissimum et horizontale stra-tum coalescat iisdem constanter particulis communi , ea-que tantum verticali, velocitate donatis :inde vero eruun-tur, qnae pertinent ad ipsius liquidi motum. ∙⋅ n. 105-Aliquid subjungiur circa generalem theoriammotus corporum fluidorum. pag. 215-Aequationes ad istiusmodi motum et quum massafluida homogenea vel heterogenea est incapax compressio-nis, et quum massa fluida pollet elasticitate. n. 106,107,108.De tubis capillaribus. pag. 225.Vires ex materia tubi,et ex materia liquidi .sol-licitantes datam ipsius liquidi particulam: attentis viri-bus istis , suprema liquidi superficies vel induet curvamconcavamque figuram , vel curvam couvexamque , vel ma-nebit, plana atque horizontalis, ,. . . .. . n. 109.1."331Quam attractionem exerceat massa liquida , cujus suprema superficies est plana , in columellam liquidam perpendiculariter illi superficiei planae insistentem . n. 109.2 .Quam attractionem exerceat massa liquida , cujus su.prema superficies est vel concavo -sphaerica vel convexosphaerica , in columellam liquidam perpendiculariter insistentem plano tangenti , dactó vel per punctum infimumsuperficiei concavo-sphaericae vel per supremum superficiei convexo -sphaericae. n. 109. 3.° 4.0 ... 70Quid si massa liquida terminetur superficie concayavel convexa , quae non sit sphaerica. n. 109. 8.° ... 11.ºHis declaratis , explicamus ascensum descensumqueliquorum in lubis capillaribus n. 110,.Nonnalla subjunguntur , quorum ratio desumitur abactione capillari . n. 111. 1.° 2.° ... 5 ° , 112)ACUSTICAE PRINCIPIANotiones praeambulae.1pag . 245.Corpora, quae sonora dicuntur tunc sonum excitant quando ita agitantur , ut illorum partes tremulo acvibratorio satisque rapido concutiantur motu ; qui motuscommunicatus aeri ambienti , et late diffusus afficit organym auditus: vis acceleratrix in vibrante particula resonantis corporis.. n . 113. 10. 20.331Quam attractiduem exerceat massa liquida , cuius su-prema superficies est plana ,in columellam liquidam per-pendiculariter illi superficiei planae insistentem. n. 1092."Quam attractionem exerceat massa liquida , cuius su-prema- superficies est vel concavo-sphaerica vel convexo-sphaerica, in columellam liquidam peu-pendiculariter in-sistentem plano tangenti , dnctö vel per punctum infimumsuperficiei concavo-sphaericae vel per supremum superfi-ciei convexo-sphaericae. . . . n. 109. 3." 4.".. . 7."Quid si massa liquida terminetur superficie concavavel convexa, quae non sit sphaerica. n. 109. 8.". ..11."His declaratis , explicamus ascensum descensumqueliquorum iu .tubis capillaribus . . . . . . n. 110.Nonnulla subjunguntur ∙ quorum -ratio desumitur abactione capillari. . . . . n. 111. 1." 2.". . . 5",112AOUSTIGAEWPRINCIPIANotiones praeambulae. ∣pag. 245.Corpora, quae sonora dicuntur,tunc sonum exci-tant quando ita agitantur, ut illorum partes tremulo acvibratorio satisque rapido concutiuntur motu; qui motuscommunicatus aeri ambienti, et late diffusus afficit orga-num auditus: vis acceleratrix in vibrante particula resonan-tis corporis. . . . . . . '. . . . n. 113.1". 2".332Progignitur quoque sonus ab aere vehementer compresso , seseque statim restituente , n. 114..Soni reflexio; inde echo. n . 115 .Non solus aer est medium ideoneum transmissionisonorum. n. 116.De intensitate soni; deque ejus gravitate,et acutie .pag. 248.Sonus intensior ex eo gignitur quod in sonoro corpore plures ejusdem partes simul oscillant, et majus spatium singulis oscillationibus dato tempusculo percurrunt;atque ita in aere ex numero item et majori oscillationepartium aeris intensitas soni dependet ; remissior autemsonus ex opposito.n. 117.Nonnulla explicantur circa soni intensitatem. n . 118.ex Soni gravis et acuti discrimen repetendum estnumero vibrationum in partibus sonori corporis, ita utsonus gravior oriatur ex minus frequentibus vibrationibus sonori corporis, ex crebrioribus contra sonus acutus ; idemque de oscillationibus aeris in sono derivato. n. 119.Quid consonantia , et quid dissonantia: varii consonantiae gradus: theoria chordaram vibrantium in hypothesi vibrationum admodum exiguarum. n. 120. 1 ” 2 ”... 7 .Varia proponuntur explicanda circa chordas vibrantes . n. 121 .332Progignitur quoque sonus ab aere vdhemeuter compres-so, seseque statim restituente. . . . . . . n. 114.Soni reflexio; inde echo. . . . . . . n. 115.Non solus aer est medium ideoneum transmissioniSODOmm. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ". 116.De intensitate soni; deque eius gravitate,et acutie. pag. 248.Sonu's intensior ex eo gignitur quod in sonoro cor-pore plures eiusdem partes simul oscillaut, et maius spa-tium singulis oscillationibus dato tempusculo percurrunt:atque ita in aere ex numero item et maiori oscillationepartium aeris intensitas soni dependet; remissior autemsonus ex opposito. . . . . . . . . . ,n. 117.Nonnulla explicantur circa soni intensitatem.. .n. 118.Soni' gravis et acuti discrimen repetendum est exnumero vibratiouum in partibus sonori corporis, ita utsonus gravior oriatur ex minus frequentibus vibrationibus so-nori corporis, ex crebrioribus contra sonus acutus,- idem-que de oscillationibus aeris in sono derivato. . n. 119.Quid consonantia, et quid dissonantia: varii conso-nantiae gradus: theoria chordarum vibrantium in hypothe-si vibrationum admodum exiguarum. n- 120. 1" 2"... 7".Varia proponuntur explicanda circa chordas vibran-tes. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙Q ". 1210333Quomodo sonus trans obicem possit communicari ita,ut tonus proprius sonori corporis permaneat. n. 122.Unde asperitas aut lenitas soni proficiscatur. n. 123.Transversae et longitudinales chordarum vibrationes: nodi in chordis vibrantibus: lineae nodales in superficiebus corporum resonantium : vibrationes laminarum rigidarum .n. 124 .De directa soni propagatione per aerem . pag. 265.In iisdem circumstantiis sonus aequabili velocitatein toto decursu devehitur; omnesque soni sive intensi ,sive remissi, sive graves, sive acuti eadem velocitate diffunduntur: qua ratione intensitas soni minuatur in progressu . n. 125,Undae sonorae constitutio. n. 126,Soni et velocitas, et intensitas augetur a vento secundo, minuitur ab adverso . n . 127.Experimenta instituta ad soni velocitatem determinandam; quae tamen experimenta non satis conveniunt :hujus diversitatis rationes : quaenam utilitas ex determinatione velocitatis qua propagatur sonus. .n. 128Generalis de fluidorum motu theoria applicatur adsoni propagationem : soni velocitas eruta ex applicationetheoriae comparatur cum velocitate quam praebent experimenta .n. 129. 10. 2º. 3º.Crassities aerei strati, in quo particulae cientur una :si impulsio in obicem facta quadrato velocitatis sumitur-22"333Quqmodo sonus trans obicem possit communicari ita,ut tonus proprius sonori corporis permaneat.. n. 122.Unde asperitas aut leuitas soni proficiscatur. n. 123.Trausversae et longitudinales chordarum vibratio,-nes: nodi in chordis vibrantibns: lineae nodales in super-'-iiciebus corporum resonantium: vibrationes laminarum ri-gidarum...........;..n.124.De directa soni propagatione per aerem. pag. 265.In iisdem circumstantiis sonus aequabili velocitatein toto decursu devehitur; omnesque soni sive intensi ,sive remissi, sive graves, sive acuti eadem velocitate dif-fuuduntur: qua ratione intensitas soni minuatur in pro-gressu..............-n.125.Undae sonorae constitutio. . . . . . . n.126,Soni et velocitas, et intensitas augetur a vento se-eundi), mall!!! EI) adverw. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ n- 127.Experimenta instituta ad soni velocitatem determi-nandam; quae tamen experimenta non satis conveniunt:hujus diversitatis rationes: quaenam utilitas ex determi-natione velocitatis qua prOpagatur sonus. . . n. 128.Generalis de fluidorum motu theoria applicatur adsoni propagationem: soni velocitas eruta ex applicationetheoriae comparatur cum velocitate quam praebent ex-perimenta . . . . . . . . . . n.129.1o.2".3".Crassities aerei strati, in quo particulae cientur uua:si impulsio iu obicem facta quadrato velocitatis sumitur22'334proportionalis, rationem duplicatam distantiarum .sequetursoni debilitatio.n. 129. 4. 5 .Cur pluribus corporibus simul resonantibus , interoscillationes in aere excitatas non habeatur confusio , omnesque diversi soni inde orti ad aures distincte perveniant:huc spectat principium de superpositione exiguorum motuum. n. 129. 6.Propagatio soni in cubis cylindricis indefinitae longitudinis. n. 129.7 .JDe reflexa soni propagatione per aerem pag. 289.Cum in directa propagatione sonorus aer . offendit obicem aptum , reflectitur : varia ad echo spectantia explicantur. n. 130.Reflexio soni fit ad angulos incidentiae et reflexionisaequales; regrediturque sonus eadem velocitate qua incedebatantequam in obicem impingeret. n . 131 , 132, 1º. 2ºDe instrumentis pneumaticis. pag. 294.In instrumentis pneumaticis soni genesis repetenda nonest saltem praecipue ex oscillatione partium solidarum ipsius instrumenti : quo pacto sit explicanda : aer secundum fistulae longitudinem se habet instar chordae peragentis longitudinales vibrationes: etsi ex materia instrumentinon habetur varietas quoad soni qualitatem, aut valde uotabilem intensitatem ; varietas tamen habetur quoad meliorem334proportionalis, rationem duplicatam distantiarum .sequetursoni dehilitatio. . . . . . . . ∙ ∙ n.129.40.50.Cur pluribus corporibus simul resonantibns ,interoscillationes in aere excitatas non habeatur confusio,omues-que diversi soni inde orti ad aures distincte perveniant:huc spectat principium de superpositione exiguorum mo-tuum. ∙⋅∙ '.. . . . . . . . . . n.129.6".Propagatioi soni in. tubis cylindricis indefinitae lou-gitudinisa, ∙ ∙ ∙ . . . . . .. . . n.129.7".]De refleæa soni propagatione per aerem pag. 289.!. ∙ . .Cum indirecta prOpagatione sonorus aer .oii'eudit o-bicem aptum, reflectitur : varia ad echo spectantia ex-Plimnturo. ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ n. 1300. Reflexio soni iit ad angulos incidentiae et reflexionisaequales: regrediturque sonus eadem velocitate qua incedebatantequam in obicem impingeret. . . ."' 131, 132.1".2".'pul 'De instrumentis pneumaticis. pag. 294.In instrumentis pneumaticis soni genesis repetenda nonest saltem praecipue ex oscillatione partium solidarum i-psius instrumenti: quo pacto sit explicanda: aer secun-dum fistulae longitudinem se habet instar chordae peragen-tis lougitudinales vibrationes: etsi ex materia instrumentinon habetur varietas quoad soni qualitatem, aut valde uota-bilem intensitatem; varietas tamen habetur quoad meliorem335aliquam resonantiam : quid si intrumentum pneumaticum sitcompactum ex materia non resistente , quale v. g. esset instrumentum membranaceum .. . n. 133.Nonnulla proponuntur explicanda circa instrumentapneumatica. n . 134.Tremulus aeris motus in tubis cylindricis determinataelongitudinis :1º. Quum tubus est firmiter obseratus apud alterumorificium simulque apertus apud alterum n. 135, 136.2°. Quum tubus est patens in utraque extremitate: inde eruitur ratio investigandi velocitatem , qua propagatursonus in aliis fluidis elasticis diversis ab aere. n. 137.3 °. Quum tubus est utrinque obseratus. n. 138.De propagatione soni per liquida, et per solidacorpora . pag. 302.Formulae huc spectantes: parvula contractio aquae ethydrargiri ob auctam pressionem: usus istius contractionis indeterminanda velocitate soni per haec duo liquida. n . 139,140 .Analogia inter oscillationes aeris in tubo cylindrico apud ambas extremitates aperto et longitudinales oscillationesvirgae rigidae suppeditat peculiarem methodum investigandivelocitatem propagationis per solida corpora. n. 141 .De vocis humanae origine. pag. 305.Nonnulla ex anatomicis praemittuntur; quibus praemissis , stabilitur illud : vocis humanae organum etsi considerari maxime debeat tanquam instrumentum pneumaticum335aliquam resonantiam: quid si intrumentnm pneumaticum sitcompactum ex materia nou'reaistente, quale v.. g. esset in-strumentum membranaceum. .. .. .. .. .. .. . n. 133.Nonnulla proponuntur explicanda circa instrumentapneumatica. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...n. 134.Tremulus aeris motus'iu tubis cylindricis determinataelongitudinis :⇝↿∘∙ ⊄⊇⇂⋯⋯∙⋯∣⋯∘⋅⊖⊱⇂ firmiter ohseratus apud alternmorificium simulque apertus apud alterum . n. 135,136.20. Quum tuhus est patens in utraque extremitate: in-de eruitur ratio investigandi velocitatem, qua propagatursonus in aliis fluidis elasticis diversis ab aere. n. 137.(3". Quum tubus est utrinque ohseratus. . n. 138.i '⋅⋅ ↼De prapagau'one soni per liquida, ettper "solida ⊳∣ corpora. pag. 302..Fornrnlae huc spectantes: parvula contractio ailuae ethydrargiri ob auctam pressionem: ususistius contractionis indeterminanda velocitate soni per haec duo liquida.ia.139, 140.Analogia inter oscillationes aeris in tuho cylindrico a-pud ambas extremitates aperto et lougitudinales oscillationesvirgae rigidae suppeditat peculiarem methodum investigandivelocitatem propagatiouis per solida corpora. . n. 141.De 'vocis humanae origine. pag. 305.Nonuulla ex anatomicis praemittuntur; quibus praemis-sis, stahilitur illud: vocis humanae organum etsi conside-rari maxime debeat tanquam instrumentum pneumaticum∩336flexili et elastica materia ex parte compactum , non tamen itaest ut cum instrumentis fidicularibus aliquam non habeatanalogiam . n. 142.Quid, os atque ejus partes conferant ad formationemvocis.n. 143.Variae refellantur sententiae de humanae vocis origine; variaeque circa vocem humanam proponuntur quaestiones. n . 144 , 145 .

De auditus organo . pag. 310.Auris descriptio.n. 146.Quaenam ex auris partibus pro praecipuo atque immediato auditionis organo statuenda sit. n. 147.Cur quibusdam grata, aliis pene nihil, aut etiam mo lesta sit harmonia ,n. 148. 19.Cur daabus auribus unus idemque sonus audiatur n.148.2 °.1336 'Bexiliot'elgstica materia ex parte compactum, non tamen itaeat ut cum, instrumentis iidicularibus aliquam non habeatmalogihmoo-o-0 ∙⋅∙∙∙⋅∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙"0142.Quid, os atque eius partes conferant ad formationem'owa ∙∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙∙∙∙ ∙ ∙".1430Variae refelluntur sententiae de humanae vocis ori-gine, variaeque circa vocem humanam proponuntur quae-'none'- ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ "- 14401450De auditus organo. pag. 310.Auriadeacriptio. . . . . . . . . . n.146.Quaenam ex auris partibus pro praecipuo atque im-mediato auditionia organo statuenda- sit.. . . n. 147.Cur quibusdam grata, aliis pene nihil, aut etiam mo-lestasit harmonia. ∙ ∙ ∙. . . . . . n. 148. ∎∘∙Cur duabus auribus unus idemque sonus audiatur n.148.2'.ERRATA CORRIGEpag. lin .1. 4. saepae1. 5. decresit4. 28. istanti5. 13. rive7. 29. poductis8. 14. sin a14 29. AH'.BC15. 3. AFsaepedecrescitinstanti .siye .prodactissin a .AH'.BCBF'BF .Y.4. AF24, 7. Sy50. 6 et 7.S * S

17. ſsfla)dx Sfaxdx.52. 14.f (x )dx f '( x )d.x22256. 18.- ( tdx ,z + dz,u,...) -f(xtdx , z + de, u, ...).dull .Sfx )dx 22. ( x) dxeck58. 1.-C+0 .57. 4. del1Sfaydar62. 3. Wv'dz'11. dzi63. 8. sint va69. 12. quod... 17.v'du'dasintVC .quoadngt 2gt70. 7.- 7 . kalog(k2—12)..log(k ?-- ).1-1!ERBATA CORRIGEpag. lin.". 4. saepae saepe .1. 5. decresit decrescit4. 28. istanti instanti.5. 13. rive sive.7. 29. poductis productis .8. 14. aina sin at.14 29. AH'.BC AH'.BC'.15. 3. AF' BF' .⋅∙ ∙ ∙ 4. AF BF. 24, 7. :] z?.50. 6et 7. f:" f:"... 17. JfftæMx [f(xkiæ .52. 14. figit" f'(æ2)dæ* .56. 18.—(æ-]-dæ,z-l—dz,u,...) --f(a—-[-dx , z—l-dz, u, -.)- - 57. 4. d,,p. dup.... .22. 111-2635 f(ældæ.803 80358. 1.-:.-C —]—G .62. 3. 9) p↿↿∙∙∙ v'dz' til—tf.d:, dz'.63. 8. siun/C sint;/C .69. 12. quod ' quoad .⋅ n : 2 c...17. ∘−⋚∟ ∉−≓∙∙k: 70. 7. −∙∙ 2 2∣⊂≄∣∘⊰≼∣∁≖−⋁≖⋟ −−⋅⊋−⋅ lOg(k —P )--. ∙∙∽∙∙⋅ −∙− ↼∙ -∙−⊣ERRATA CORRIGEpag. lin .kdv Ka dy70. 12 .katus kype "71. 13 et 14. KC Kc72. 23. u = ułgosinc u = a + g9 sinc .75. 23. pressioni r.gMcosc' pressioni gMcosc' .87. 2. Denotet enim a Denotet enim x .IG " IG "27. = IC " : IC =2 2110. 9. R = Rcosa R = R , cosa111. 5. 1880 to 288q'to .da dala 146. 8 .idt148. 12. 69.º* 69. *149. 6. x = A'B' - B'r - A'B ' - A'M x=AB'-B'r=A'B'-A'M .x' ? cx151. 2 .ic(de)Centre Idei152. 78 et 20. r2153. 22. (69)154. 17.72.°*157. 8. SD161. 26. 16931100193. 23. u : M ' : fle ..205. 7. aequeus208. 14. aiar2( 70 ) .72.*GD .19631100 .Me : No :aqueus ,Q:.i3ERRATA CORRIGE∙∙∙ ∙∙∙∄≾≖∠≀⇂↗ *kæ-I—uz ⋅Kcuza-l—gg sinc .23. pressioni ngMcosc' pressioni gMcosc' .pag. lin70. 12:liti—v- kZ.-v271. 13 et 14. KC72. 23. uzu-l—gasinc '75.87. 2. Denotet enim a∙⋅≆↴ IG" ∙ IG". 27.:IC :::—2— . 10: -—2-— .110. 9- R::Rcosa: BzB, cos a .111. 5. 1889'—]—-p' ∙ 28897'—-q)' .' doc 146. 8. ; daz :(2? (22?148. 12. 6994! 6931:149. 6. a::A"B'-B'r-A"B'-A'M sz"B'-B'r:-A"B'-A'M ..... .. ⋅↕⋅≟≣∁ ⋅...-7...50 ac152. 78 et20. fi ∙∘−⋮⋅⋅∙ ra .rz 153. 22. (69) (70).154. 17. 7291: 724157. 8. SD .GD .161. 26. 16931100 - 19631100 .193.23. p.':p.':p.., php.205. 7. aequeus aqueus ,208.1.£. a:a' «:a' .Denotet enim æ .

  1. 9,78:30,183=0,324 m/pes
  2. Error in originale
  3. Figura deest ergo clare non est si aequatio est recte stripta