פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטלכיצד אוכל לעזור?    

המתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.


הנחות היסוד לציור בפרספקטיבה
הנחות היסוד לציור בפרספקטיבה

גאומטריה פרויקטיבית היא גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: כל שני ישרים במישור נפגשים בנקודה.

הגאומטריה הפרויקטיבית נולדה מתוך הצרכים המעשיים של אמני הציור. לעומת הציור הרוחני והסמלי של ימי הביניים, לקראת הרנסאנס עלתה קרנו של הציור המדויק – הדומה לנראה בעין. החייאת הכתבים הקלאסיים והאמונה שבבסיס הטבע עומדים עקרונות מתמטיים, הובילה את הציירים והמתמטיקאים בני התקופה לנסות ולמצוא שיטה סדורה לציור העולם התלת-ממדי על בד ציור דו-ממדי.

האמנים הראשונים בתחום זה שמשנתם ידועה לנו היו פיליפו ברונלסקי ולאונה בטיסטה אלברטי, שחיבר את הטקסט הראשון (הידוע כיום) בנושא, שכותרתו "על הציור" – De pictura. אנשי מפתח מאוחרים יותר בתחום זה הם פיירו דלה פרנצ'סקה, לאונרדו דה וינצ'י, אלברכט דירר ואחרים.

המתמטיקאי ז'ראר דזרג (Gérard Desargues) היה ממניחי היסודות התאורטיים לגאומטריה הפרויקטיבית, ועסק בה יחד עם בלז פסקל.


ג'ון פורבס נאש
ג'ון פורבס נאש

ג'ון פורבס נאש הבן (13 ביוני 1928 – 23 במאי 2015), מתמטיקאי אמריקאי המתמחה בתורת המשחקים וגאומטריה דיפרנציאלית.

בשנת 1994 קבל פרס נובל לכלכלה, עבור עבודתו החלוצית משנות ה-50 בתורת המשחקים. עם הישגיו האקדמיים הבולטים נמנים פתוח 'שיווי משקל נאש' ופתרון 'בעיית המיקוח של נאש', המהווים מושגי יסוד בפתרון בעיות 'משחקים שיתופיים' ו'משחקים אי-שיתופיים' בתורת המשחקים בתחומי הכלכלה, הביולוגיה ומדע המדינה. הקריירה האקדמית המזהירה של נאש עומדת בצל מחלת הסכיזופרניה, שבה לקה בסמוך לפריצתו כמתמטיקאי מחונן בשנות ה-50. בשל המחלה נפסקה הקריירה האקדמית של נאש למשך כ-30 שנה (1966-1996) ורק בשנות ה-90 שב לחקר המתמטיקה.

נאש נולד בבלופילד שבמערב וירג'יניה, בן לג'ון נאש האב, טכנאי אלקטרוניקה, ווירג'יניה מרטין, מורה לשפות. בשנים (1945-1948) למד לתואר ראשון ושני במכון הטכנולוגי קרנגי בפיטסבורג, פנסילבניה (כיום אוניברסיטת קרנגי מלון), והוכתר על ידי מוריו כגאון. ב-1950 קבל נאש תואר דוקטור מאוניברסיטת פרינסטון על חיבורו "משחקים אי-שיתופיים". בעבודה זו פיתח לראשונה את פתרונו הבסיסי למשחקים אי-שיתופיים שזכה מאוחר יותר לכינוי 'שיווי משקל נאש'. 40 שנה מאוחר יותר, ב-1994, זיכתה אותו עבודתו זו משנותיו הראשונות בפרינסטון בפרס נובל לכלכלה. על עבודה זו קיבל נאש ב-1978 גם את פרס ג'ון פון ניומן לתאוריה.

מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת־ממדי, שמחזירה וקטור. בתמונה מופיע כלל עזר למציאת כיוונה המוכר בשם "כלל יד ימין": אם האצבעות מתוות את הקשת הקצרה מהווקטור הראשון לווקטור השני, האגודל מצביע בכיוון תוצאת המכפלה.

דוגמה פופולרית בטופולוגיה: דפורמציה רציפה (הומוטופיה) בין ספל קפה וכעך שמדגימה כי שני הגופים הומיאומורפים, לשניהם טופולוגיה של טורוס. למעשה כדי ששני גופים יהיו הומיאומורפים אין צורך בדפורמציה רציפה, מספיק מיפוי והיפוך רציפים. המעבר בין הכעך לספל אינו אלא ארגון מחדש של היריעה מסביב לחור שבכעך בעזרת כיווץ ומתיחה מבלי לקרוע אותה או לחבר חלקים שלא היו מחוברים קודם.
פורטרט מצוייר בצבע של עומר ח'יאם בזקנתו
עומר ח'יאם

תרגומי שירתו של עומר ח'יאם, הפרסי בן המאה ה-10, היו רבי מכר בשלל שפות, במאה ה-19 וה-20. אולם עבור בני תקופתו, הוא היה מפורסם בהצלחתו בתחומי השכלה אחרים: שורה של חיבורים אלגבריים, שיטה גאומטרית לפתרון של משוואות ממעלה שלישית, חקר מרובע סאקרי, מחקרים באסטרונומיה, תכנון של לוח השנה של ג'לאלי ובקיאות בפילוסופיה, משפט והיסטוריה. אולם כתביו בנושאים אלו כמעט שלא השתמרו. ח'יאם חיבר שירים מרובעיםסוגה מקובלת בפרס של זמנו. אך תוכן שירתו עסק באהבה, למרות התנגדות הממסד הדתי. לכן ח'יאם הצפין את שיריו בטורים עמוסים בתוכן כתוב עשיר אחר.


מספרים הם הדרגה העליונה ביותר של הידע. הם הידע עצמו.

בכל מקום בו יש מספר - יש יופי.

פרוקולוס


הבינום של ניוטון. הנוסחה הייתה ידועה זמן רב לפני תקופתו של ניוטון, אולם ניוטון היה הראשון שפיתח הכללה שלה עבור לא שלם, כחלק מהפיתוח של החדו"א. הנוסחה המקורית שימושית באלגברה וההכללה שלה שימושית גם באנליזה. ראו גם: משולש פסקל ומקדמי הבינום.


מהו אורך הצלע של הריבוע המינימלי בו ניתן לחסום 5 ריבועים בעלי צלע באורך 1?

מהו אורך הצלע של הריבוע המינימלי בו ניתן לחסום 10 ריבועים בעלי צלע באורך 1?

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

אתר היום:Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (באנגלית)

אתר חובה לאוהבי מתמטיקה. זהו אתר עשיר ונפלא, מלא ברעיונות מעניינים מכל תחומי המתמטיקה, בעיות, הוכחות וחידות. דפים רבים כוללים תוכניות Java ו-JavaScript, ההופכות את הביקור באתר לחוויה אינטראקטיבית. באתר הפניות לאתרים מתמטיים נוספים ולספרות מתמטית פופולרית, ולכן הוא מהווה נקודת מוצא מצוינת למי שמחפש מתמטיקה באינטרנט. את האתר הקים אלכסנדר בוגומולני, שאת תואר הדוקטור במתמטיקה קיבל באוניברסיטה העברית בירושלים.

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

ספר היום:

Martin Gardner, Mathematical Puzzles and Diversions, Simon & Schuster, 1959

במשך כ-30 שנה פרסם מרטין גרדנר טור קבוע בירחון "סיינטיפיק אמריקן". רבים מהטורים קובצו לאחר פרסומם בספרים, והספר שלפנינו הוא הראשון בסדרה זו. בספר, שאופיו משתקף גם בבאים אחריו, 16 פרקים, ובהם שני מקבצים של חידות מתמטיות (כולל חידת לוח השחמט וחידת ארבע החיפושיות), ופרקים העוסקים בשעשועים מתמטיים: הקספלקסגון, ריבוע קסם, טבעת מביוס, נים ועוד.

משפטים מפורסמים
השערות מפורסמות

אי-שוויון ברנולי הוא אי-שוויון יסודי ושימושי באנליזה מתמטית, המאפשר להעריך את הביטוי . האי-שוויון קובע ש- לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . את האי-שוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.

מבט על משפטים והשערות נוספים
נושאים במתמטיקה
כמותאינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים
שינויאנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית
מבנהאלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים
מרחבאלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג
מתמטיקה בדידהחישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים
יסודות ושיטותלוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות
מתמטיקה יישומיתאופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית
עולם המתמטיקההוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט


גאומטריה היא ענף של המתמטיקה העוסק בצורות ובמבנים, ובהם הישויות: נקודות, קווים ישרים, עקומות, משטחים ופאונים.

על פי רוב עוסקים בגאומטריה בהוכחת טענות לגבי הישויות בעזרת משפטים, המתבססים על אקסיומות. דוגמה למשפטים גאומטריים מהווים משפטי חפיפה. דוגמאות לאקסיומות מופיעות בערך נקודה.

המבנים היסודיים של הגאומטריה (בדרך כלל, נקודה, קו ישר, מישור, ולעיתים גם הזווית והמרחק) מתוארים באמצעות האקסיומות שהם מקיימים. גישה כזו אינה מסתפקת בתיאור שיטות ואבחנות גאומטריות, אלא מתארת במפורש את הנחות היסוד (האקסיומות), וגוזרת מהן בדרך של הוכחה את המשפטים המתייחסים לאותם מבנים.

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה


🔥 Top keywords: עמוד ראשימיוחד:חיפושדניאל כהנמןמלחמת חרבות ברזלדג-חרבעין קנייאמגי טביבימיוחד:שינויים אחרוניםפייסבוקטעמי המקראהצבי (סדרה ישראלית)ישראלששון איפרם שאולוביאיר לפידאברהם גרוסמןעידן עמדידרגות צה"למרואן עיסאיוטיובקרני פרההפליליסטיותירושליםבנימין נתניהוערוץ 7אליעזר בן-יהודהמיוחד:רשימת המעקבמתקפת הפתע על ישראל (2023)גולסטארעומר אדםליונל מסיארצות הבריתציפי ברנדגשר פרנסיס סקוט קיאיאן זירינגמדינות ארצות הבריתפסחדגל ארצות הבריתג'סטין ביבררמדאןפרשת צוחולי אהבה (סדרת טלוויזיה)מלחמת יום הכיפוריםמשהבראול סטארסחטיבת גבעתייצחק פינדרוסעמוס טברסקימיקי קאופמןיוסי בניוןלימור לבנתיעל שלביהפסחאג'ון קירביאן טריזמןאורי גורדיןכראמל (סדרת טלוויזיה)גלי בהרב-מיארהמלחמת לבנון השנייהמגילת אסתרחצבתאלברט איינשטייןדוד בן-גוריוןג'ו ליברמןרכבת ישראלחמאססוזנה פפיאןשגיאת כתיביניב פולישוקארץ נהדרת - דמויות27 במרץיורו 2024גלילה רון־פדר-עמיתשרה יפתחוק הגיוסמלחמת העצמאותאלפבית יווניבנימין זאב הרצלבית הספירלהתל אביבעשרת הדיברותדיבידנדיחיא סנווארנועם לוגסיבעיית שלושת הגופיםיזהר שיריצ'רד סרהגלגל המזלותשיחת משתמש:אגסיבעיית שלושת הגופים (סדרת טלוויזיה)דן שניידראמנדה ביינסהטבח בפסטיבל נובהמוקדמות מונדיאל 2026איתן כבלחזבאללהנווה יםהחטופים הישראלים ברצועת עזה במלחמת חרבות ברזלמדינות לפי אוכלוסייה, שטח, צפיפות, תמ"ג ופיתוח אנושידשן