有界輸入有界輸出穩定性
(重定向自BIBO穩定性)
在信號處理及控制理論中,有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性,是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」(Bounded-Input Bounded-Output)的簡稱,若系統有BIBO穩定性,則針對每一個有界的輸入,系統的輸出也都會有界,不會發散到無限大。
對於信號若存在有限的定值使得信號的振幅不會超過,則此信號為有界的,也就是說
- 針對離散訊號,或
- 針對連續訊號
線性非時變系統時域分析下的條件编辑
連續系統的充份及必要條件编辑
針對連續時間的線性非時變(LTI)系統,BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分,也就是存在L1範數
離散系統的充份條件编辑
針對離散時間的線性非時變系統,BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分,也就是存在L1範數
充份條件的證明编辑
假設離散時間的線性非時變系統,其脈衝響應 和輸入 和輸出 之間會有以下的關係:
其中 為卷積則依卷積的定義:
令 為 的最大值
- (根據三角不等式)
若 是絕對可求和,則 且
因此若 是絕對可求和,且 有界,則因為 , 也會有界。
連續時間的情形也可以依類似的方式證明。
線性非時變系統頻域分析下的條件编辑
連續時間訊號编辑
對於一個有理的連續時間系統,穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統,其收斂區域為「最大極點」(實部為最大值的極點)實部垂直線往右的開集,定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標。因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面(不能在虛軸上)。
可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下:
其中 ,且 .
因此收斂區域必須包括虛軸。
離散時間訊號编辑
對於一個有理的離散時間系統,穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統,其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集,因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內(不能在單位圓上)。
可以用類似的方式推導穩定性準則:
其中 ,且
相關條目编辑
延伸閱讀编辑
- Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
- John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
- D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
- Proof of the necessary conditions for BIBO stability. (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577
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