辛矩陣
(重定向自辛矩阵)
在數學中,扭對稱矩阵是指一個的矩阵M(通常佈於實數或複數域上),使之滿足
- 。
其中表的轉置矩陣,而是一個固定的可逆斜對稱矩陣;這類矩陣在適當的變化後皆能表為
或
性質编辑
凡扭對稱矩阵皆可逆,其逆矩陣可表為
其中,反對稱矩陣 具有如下運算性質:
- ,
- ,
- ,
- 。
此外,扭對稱矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉,因此一個域 上的所有 階扭對稱矩阵構成一個群,記為 。事實上它是 的閉代數子群,其維度為 。當 時, 帶有自然的(複)李群結構。
由定義可知扭對稱矩阵的行列式等於 ;事實上,可以利用普法夫值的公式:
- 。
由於 、 ,遂導出 。
當 時,有 。換言之:二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。
扭對稱變換编辑
在線性代數的抽象框架裡,我們可以用偶數維向量空間 上的線性變換取代偶數階矩陣,並固定一個非退化反對稱雙線性形 以取代矩陣 (賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間),如此便得到與基底無關的定義:
- 定義。一個扭對稱向量空間 上的線性變換 若滿足
- 。
- 則稱 為扭對稱變換。
考慮 ,由於 ,故 ;另一方面, ,於是得到 。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。
固定 的一組基,藉此將 寫成矩陣 ,並將 表成斜對稱矩陣 ,便回到先前的定義:
- 。
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外部連結编辑
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