勾股数,又名商高數或毕氏数(Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)「」之中,的正整数解。而且,基于勾股定理的逆定理,任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。
如果是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即也是勾股数。若果三者互质(它们的最大公因数是 1),它们就称为素勾股数或本原勾股數組。
找出素勾股数编辑
例子编辑
以下是小于 100 的素勾股数:
| | |
---|
3 | 4 | 5 |
5 | 12 | 13 |
7 | 24 | 25 |
8 | 15 | 17 |
9 | 40 | 41 |
11 | 60 | 61 |
12 | 35 | 37 |
13 | 84 | 85 |
16 | 63 | 65 |
20 | 21 | 29 |
28 | 45 | 53 |
33 | 56 | 65 |
36 | 77 | 85 |
39 | 80 | 89 |
48 | 55 | 73 |
65 | 72 | 97 |
有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ,它在以下两组勾股数之中出现: 与 。
其中最先例子是5,它在以下兩組勾股數之中出現 及 。
在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的勾股数组是:
-
-
-
与
-
-
-
试考虑它的质因数分解
-
它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然,数学上存在比它大的素勾股数。
性質编辑
對於本原勾股數組 , ,我們有
- 兩兩互質
- 其中一個是3的倍數
- 其中一個是4的倍數
- 其中一個是5的倍數
對於第二、三、四條性質的證明:
利用完全平方數 若 都不是3的倍數,則 ,導致 矛盾,所以 一定有且只有一個數是3的倍數。
因為 是本原勾股數組,所以必有 一奇一偶。不妨設 為奇數, 為偶數,這時候對 兩邊同時 ,則會得到 ,故 ,所以 一定有且只有一個數是4的倍數。
利用完全平方數 若 都不是5的倍數,則 或 或 ,而 或 ,矛盾,所以 一定有且只有一個數是5的倍數。
證畢。
找尋勾股數的小技巧编辑
若需要一組最小數為奇數的勾股數,可任意選取一個 3 或以上的奇數,將該數自乘為平方數,除以 2,答案加減 0.5 可得到兩個新的數字,這兩個數字連同一開始選取的奇數,三者必定形成一組勾股數[1]。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能,例如 並非是以 27 為起首的唯一勾股數,因為存在另一個勾股數是 ,同樣也以 27 為首。
對於任何大於1的整數 , 、 與 ,三個數必為畢氏數[1],例如:代入 為2,則 為5, 為3, 為4, 為一組畢氏數。
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參見编辑
外部链接编辑