在数学中,椭圆是平面上到两个相異固定点的距离之和为常数的点之轨迹。
根據該定義,可以用手繪橢圓:先準備一條線,將這條線的兩端各綁在固定的點上(這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點,且距離小於線長);取一支筆,用筆尖将線繃緊,這時候兩個點和筆就形成一個三角形(的兩邊);然後左右移動筆尖拉住線開始作圖,持續地使線繃緊,最後就可以完成一個橢圓圖形。
由於兩個固定點之間的距離也是一定的,所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀,然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。
概述编辑
离心率编辑
方程编辑
中心位于点 的主轴平行于 x 轴的椭圆由如下方程指定
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这个椭圆可以参数化表达为
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这里的 可以限制于区间 。
如果 且 (就是说,如果中心是原点(0,0)),则
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这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动(表现为具有周期性的简谐波)合成了闭合的椭圆形周期性运动(表现为轨迹是椭圆)。
椭圆方程 | | |
图像 | | |
范围 | | |
相對於中心的極坐標形式编辑
用极坐标可表达为
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这里的 是椭圆的离心率; 是 与 的夹角
相對於焦點的極坐標形式编辑
有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是
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这里的 是 与 的夹角
半正焦弦和极坐标编辑
椭圆的半正焦弦(通常指示为 ),是从椭圆的一个焦点到椭圆自身,沿着垂直主轴的直线测量的距离。它有关于 和 (椭圆的半轴),通过公式 或者如果使用离心率的话 。
在极坐标中,一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程
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椭圆可以被看作是圆的投影:在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆,假定 φ 不是 90°。
面积和周长编辑
椭圆所包围的面积是 ,这里的 ,和 ,是半长轴和半短轴。在圆的情况下 ,表达式简化为 。
椭圆的周长是 ,这里的函数 是第二类完全椭圆积分。
周长为: 或者
精确的无穷级数为:
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或:
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拉马努金给出一较为接近的式子:
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它还可以写为:
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还有一条近似很高的公式:
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标准方程的推导编辑
- 如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长,那么这个动点的轨迹叫做椭圆。
假设(注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便)动点为 ,两个定点为 和 ,则根据定义,动点 的轨迹方程满足(定义式):
- ,其中 为定长。
用两点的距离公式可得: , ,代入定义式中,得:
- ①
上式左方分子凑出平方差,并化简,得:
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分子大部分相消,分母移项即得
- ②
①、②式相加并平方,整理得
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当 时,并设 ,则上式可以进一步化简:
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因为 ,将上式两边同除以 ,可得:
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则该方程即动点 的轨迹方程,即椭圆的方程。这个形式也是椭圆的标准方程。
- 椭圆的图像如果在直角坐标系中表示,那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴,可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程:
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- 在方程中,所设的 称为长轴长, 称为短轴长,而所设的定点称为焦点,那么 称为焦距。在假设的过程中,假设了 ,如果不这样假设,会发现得不到椭圆。当 时,这个动点的轨迹是一个线段;当 时,根本得不到实际存在的轨迹,而这时,其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意,在假设中,还有一处: 。
- 通常认为圆是椭圆的一种特殊情况。
椭圆的旋转和平移编辑
漸開線及其導數编辑
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有了橢圓漸開線的導數,可以計算它的長度,其中 是第二類完全橢圓積分。
参见编辑
外部链接编辑