范数
(重定向自模长)
範數(英語:Norm),是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域,是一個函數,其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面,半範數(英語:seminorm)可以為非零的向量賦予零長度。
舉一個簡單的例子,一個二維度的歐幾里得空間就有歐氏範數。在這個向量空間的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。
定義编辑
假設V是域F上的向量空間;V的半範數是一個函數 ,满足:
,
範數是一個半範數加上額外性质:
- 4. ,当且仅当 是零向量(正定性)
例子编辑
绝对值范数编辑
绝对值范数為
是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。
绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。
欧几里德范数编辑
在n维欧几里德空间 上,向量 的最符合直觉的长度由以下公式给出
根据勾股定理,它给出了从原点到点 之间的(通常意义下的)距离。欧几里德范数是 上最常用的范数,但正如下面举出的, 上也可以定义其他的范数。然而,以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构,因此它们在某种意义上都是等价的。
在一个n维复数空间 中,最常见的范数是:
以上公式适用于任何内积空间,包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里,内积等价于点积,因此公式可以写成以下形式:
特别地, 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。
复数的欧几里得范数编辑
如果将复平面看作欧几里得平面 ,那么复数的欧几里得范数是其绝对值(又称为模)。这样,我们可把 视为欧几里得平面上的一个向量,由此,这个向量的欧几里得范数即为 (最初由欧拉提出)。
參見编辑
參考文獻编辑
- Bourbaki, Nicolas. Chapters 1–5. Topological vector spaces. Springer. 1987. ISBN 3-540-13627-4.
- Prugovečki, Eduard. Quantum mechanics in Hilbert space 2nd. Academic Press. 1981: 20. ISBN 0-12-566060-X.
- Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, Inc. 1995: 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9.
- Khaleelulla, S. M. Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Springer-Verlag. 1982: 3–5. ISBN 978-3-540-11565-6. Zbl 0482.46002.
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