数列极限
序列的項“趨向於”何值
(重定向自收敛数列)
数列極限(英語:limit of a sequence)為某些数列才擁有的特殊值,當數列的下標越來越大的時候,數列的值也就越接近那個特殊值。
定義编辑
實數數列的極限编辑
從上面的定義可以證明,對實數數列 來說,若
則其極限 一定為实数 ,因為假設 的虛部 的話,則對極限定義取 的話,會存在 ,使得任意的 ,只要 有
這是矛盾的,所以根據反證法, ,即 。
基本性質编辑
唯一性编辑
定理 — 若數列 的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29
證明
設數列 有兩個不相等的極限值 ,則根據假設,對任意的 ,存在 ,使任意 ,只要 就有
這樣根據三角不等式,對任意的 , 只要自然數 就有則
這樣的話,假設 會得到
這樣是矛盾的,故根據反證法, ,也就是 ,故極限唯一。
有界性编辑
根據实质条件的意義,上面的定理等價於「如果一個實數數列無界,則這個實數數列一定發散。」[1]:30
注意有界數列不一定有極限,如數列 是一個有界數列,但沒有極限。
但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。
保序性编辑
證明
左至右:
取 ,則由前提假設,存在 使任何 只要 就有
从而
故
這樣取 ,左至右就得證。
右至左:
由前提假設,對任意的 ,存在 使任何 只要 就有
从而
故得證。
四則運算定理编辑
設 , ,則
- ;
- ;
- 若 ,則 .
審斂法编辑
其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。
柯西數列编辑
参考文献列表编辑
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5.
參看编辑
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