在数学 ，特别是向量分析 与微分拓扑 中，一个闭形式 α {\displaystyle \alpha } 微分 算子 d {\displaystyle d} 核 ，即 d α = 0 {\displaystyle d\alpha =0} 微分形式 ；而恰当形式 (恰当微分形式) α {\displaystyle \alpha } d {\displaystyle d} 像 ，即存在某个微分形式 β {\displaystyle \beta } α = d β {\displaystyle \alpha =d\beta } β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha }
因为 d 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0} 拓扑 信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 d {\displaystyle d} 零函数 。
当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的 。这便是说，如果 ζ {\displaystyle \zeta } η {\displaystyle \eta } β {\displaystyle \beta }
ζ − η = d β , {\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,} 则我们说 ζ {\displaystyle \zeta } η {\displaystyle \eta } 上同调于零 。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调 类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论 。
R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 物理 所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 d x ∧ d y {\displaystyle dx\wedge dy}
α = f ( x , y ) d x + g ( x , y ) d y , {\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,} 具有真正的意义，其外导数 d {\displaystyle d}
d α = ( g x − f y ) d x ∧ d y , {\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,} 这里下标表示偏导数 。从而 α {\displaystyle \alpha }
f y = g x . {\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .} 当 h ( x , y ) {\displaystyle h(x,y)}
d h = h x d x + h y d y . {\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .} “恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性 的一个推论，这可以直接推广到高维情形。
在 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 保守场 ），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析 的语言来说相当于有势场一定是无旋场。
庞加莱引理 编辑
庞加莱引理 断言：如果 X {\displaystyle X} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 可缩 开子集，对任何整数 p > 0 {\displaystyle p>0} X {\displaystyle X} p {\displaystyle p} α {\displaystyle \alpha } p ≤ n {\displaystyle p\leq n}
可缩意味着存在同伦映射 F t : X × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} c {\displaystyle c} X {\displaystyle X}
更确切地，我们将 X {\displaystyle X} X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} j 1 ( x ) = ( x , 1 ) {\displaystyle j_{1}(x)=(x,1)} j 0 ( x ) = ( x , 0 ) {\displaystyle j_{0}(x)=(x,0)} 拉回 映射 j 1 ∗ {\displaystyle j_{1}^{*}} j 0 ∗ {\displaystyle j_{0}^{*}}
K d + d K = j 1 ∗ − j 0 ∗ . {\displaystyle Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .} 令 Ω p ( x ) {\displaystyle \Omega ^{p}(x)} X {\displaystyle X} p {\displaystyle p} K : Ω p + 1 ( X × [ 0 , 1 ] ) → Ω p ( X ) {\displaystyle K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)}
a ( x , t ) d x p + 1 ↦ 0 , a ( x , t ) d t d x p ↦ ( ∫ 0 1 a ( x , t ) d t ) d x p , {\displaystyle a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},} 这里 d x p {\displaystyle dx^{p}} d t {\displaystyle dt} p {\displaystyle p} F {\displaystyle F} X {\displaystyle X} Q {\displaystyle Q}
F ∘ j 1 = i d , F ∘ j 0 = Q . {\displaystyle F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .} 在形式上：
j 1 ∗ ∘ F ∗ = i d , j 0 ∗ ∘ F ∗ = 0 . {\displaystyle j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .} 将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。
这个引理的一个推论是德拉姆上同调 是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理 。
不可缩空间不一定有平凡 的德拉姆上同调。例如，在 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} S 1 {\displaystyle S^{1}} d t {\displaystyle dt} 注意 ： t {\displaystyle t} S 1 {\displaystyle S^{1}} d t {\displaystyle dt} 良定 的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但 d t {\displaystyle dt} 2 π {\displaystyle 2\pi }
参考文献 编辑
Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7 
