邻域系
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定义编辑
的映射 ( 指 的幂集的幂集)。这样 将 的每个点 映射至 的子集族 。 称为 的邻域系(或称邻域系统, 的元素称为 的邻域),当且仅当对任意的 , 满足如下邻域公理:
- U1:若 ,则 。
- U2:若 ,则 。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
- U3:若 , ,则 。
- U4:若 ,则存在 ,使 且对所有 ,有 。
从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念:
- 从邻域定义开集: 的子集 是开集,当且仅当对任意 ,有 。( 是其中每个点的邻域)。
- 从邻域定义开核: 的子集 的开核 。
- 从邻域定义闭包: 的子集 的闭包 。
参照滤子的定义。给定点x,其邻域系 恰构成了一个滤子,称为邻域滤子。
邻域基编辑
点 的邻域基或局部基 ,就是邻域滤子 的滤子基。它是 的子集,满足:每个x的邻域 都存在 ,使 。
- ( ,使 , )
反之,给出邻域基 ,可以反推出相应的邻域滤子: 。[1]
例子编辑
- 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。
- 若拓扑空间X是不可分拓扑,则任何点 x 的邻域系是整个空间
- 。
- 这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说,只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。
- 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。
- 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。
参见编辑
註釋编辑
- ^ Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)
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