唯一分解整環
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在數學中,唯一分解整环(英語:Unique factorization domain,縮寫:UFD)是一個整環,其中元素都可以表示成有限個不可約元素(或素元)之積,並且表示法在允許重排與相伴(associative)之下唯一,相當於滿足算術基本定理的整環。
定義编辑
一個整環 被稱為唯一分解整环若且唯若 中的每個非零元素 皆可表示為一個可逆元素和若干個不可約元素(可以是0個)的乘積:
其中 是一個可逆元素, 是不可約元素, 是非負整數。並且如果存在 的另一種表示法此表法 ( 是可逆元素, 是不可約元素),則 ,且存在一個下標的重排 與可逆元素 使得 ( ),換句話說,存在 使得 和 相伴。
例子编辑
- 主理想整环,特別是歐幾里得整环。由此可知整數、高斯整數與艾森斯坦整數環都是唯一分解整环。
- 體也是唯一分解整环。
- 若 為唯一分解整环,則多項式環 亦然。由此可知任意有限個變元的多項式環 也是唯一分解整环,但是一般來說 並不是主理想整环,除非 是一個體。
- 複流形(例如 )上一點的局部環是唯一分解整环。
- 正則局部環皆為唯一分解整环。
以下給出幾個反例:
- 環 並非唯一分解環,因為
- 令 為任一交換環,則 非唯一分解整环;當 為域時,這在幾何上對應到一個奇點。
性質编辑
整數的一些概念可以推廣至唯一分解整环:
等價條件编辑
文獻编辑
- I. N. Herstein, Topics in Algebra (1975), Wiley. ISBN 0-471-01090-1
- H. Matsumura, Commutative algebra (1980), Benjamin-Cummings Pub Co. ISBN 0-8053-7026-9
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