反證法
论证法
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反证法[1](英語:proof by contradiction)又称背理法,是一种论证方式,他首先假设某命题成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。
理據编辑
給出命題 和命題 (非 ),根據排中律,兩者之中起碼有一個是真(更強的說法為,除了真和假之外並無其他的情況),所以如果其中一個是假的,另一個就必然是真。給出命題 和命題 (非 ),根據無矛盾律,兩者同時為真的情況為假。給出命題 和 ,根據否定後件律,如果若 成立時出現 ,則 為假時 即為假。反證法在要證明 時,透過顯示出若 成立時出現矛盾( 和 ),即 為假,從而證明 為真。
例子编辑
是无理数的证明(古希腊人)编辑
证明:假设 是有理数,那么可以写成 的形式,其中 、 皆為正整數且 、 互质。那么有
可得 是偶数。而只有偶数的平方才是偶数,所以 也是偶数。因此可设 ,從而 ,代入上式,得: 。所以 也是偶數,故可得 也是偶数。这样 、 都是偶数,不互质,这与假设 、 互质矛盾,假设不成立。因此 为无理数。
其他可用反證法證明的例子编辑
數學上有許多的定理可用反證法來證明,以下是一小部分的例子:
引文编辑
- 英國數學家高德菲·哈羅德·哈代在他的文章《一個數學家的辯白》描述:「歐幾里得最喜歡用的反證法,是數學家最精良的武器。它比起棋手所用的任何戰術還要好:棋手可能需要犧牲一隻兵甚至更多,但數學家卻是犧牲整個棋局來獲得勝利。」
相關條目编辑
参考编辑
進一步閱讀编辑
- J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6
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