力偶 (英語:couple )在經典力學 裏是一種只有合力矩 ,而不产生合力 的作用力系統[1] 。作用於剛體 时,力偶能夠改變其旋轉運動 ,同時保持其平移運動 不變。力偶不會給予剛體質心任何加速度。
力偶所產生的力矩稱為力偶矩 ,它与力矩 不同,改变力矩的参考点并不影响力偶矩的大小[2]
簡單力偶 编辑
最簡單的力偶是由兩個大小相同、方向相反、作用線相異的作用力組成,又稱為“簡單力偶”[1] 。與作用力同線的直線稱為這作用力的“作用線”。作用於物體,力偶會給與物體一種旋轉效應或力偶矩。採用国际单位制 ,力偶的單位是牛頓 ⋅ {\displaystyle \cdot } 公尺 。
假設施加於一物體的兩個作用線相異的作用力分別為 F {\displaystyle \mathbf {F} \,} 、 − F {\displaystyle -\mathbf {F} \,} ,則其力偶矩 τ {\displaystyle \tau \,} 的大小,以方程式表達為
τ = F d {\displaystyle \tau =Fd\,} ;其中, d {\displaystyle d\,} 是兩個作用力之間的垂直距離。
力偶矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,} 的方向垂直於包含這力偶的平面。
假設,兩個大小相等,方向相反的作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 與 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} , 分別施加於一個物體的位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 與 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} ,則合力等於零:
F 1 + F 2 = 0 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,} ,而所產生的力矩 M {\displaystyle \mathbf {M} \,} 以方程式表達為
M = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 = r 12 × F 1 {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{12}\times \mathbf {F} _{1}\,} ;其中, r 12 = r 1 − r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\,} 是兩個位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 與 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} 之間的相對位置 。
特別注意,由於 r 12 {\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,} 是相對位置,不隨參考點的改變而改變,從物體上任何參考點觀測的力偶矩 M {\displaystyle \mathbf {M} \,} 都相等。因此,力偶矩是個自由向量 ,作用於物體的任何一點,效果都一樣。
力偶矩與參考點無關 编辑
在計算作用力的力矩時,必須先選擇某參考點P,然後才能計算作用力對於參考點P的力矩。通常,若參考點P的位置改變,力矩也會改變。但是,力偶的力偶矩獨立於參考點P,對於任意參考點,力偶矩都相同。換句話說,力偶矩是一個自由向量。這理論稱為伐里農第二力矩定理 (Varignon's Second Moment Theorem )[3] 。
證明:
假設分別施加於位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 、 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} 的作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} ,共同形成一個力偶,則這兩個作用力的合力為
F 1 + F 2 = 0 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,} ,這兩個作用力對於原點O的力矩 M O {\displaystyle \mathbf {M} _{O}\,} 為
M O = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 {\displaystyle \mathbf {M} _{O}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,} 。設定參考點P的位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,} 。作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} 對於點P的力矩 M P {\displaystyle \mathbf {M} _{P}\,} 為
M P = ( r 1 − r ) × F 1 + ( r 2 − r ) × F 2 = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 − r × ( F 1 + F 2 ) = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 {\displaystyle \mathbf {M} _{P}=(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}-\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2})=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,} 。所以,力偶矩與參考點無關:
M P = M O {\displaystyle \mathbf {M} _{P}=\mathbf {M} _{O}\,} 。應用 编辑
在機械工程學 裏,力偶是個很有用的概念。以下列出幾個實例:
參考文獻 编辑
^ 1.0 1.1 Dynamics, Theory and Applications by T.R. Kane and D.A. Levinson, 1985, pp. 90-99: 自由下載 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )^ Physics for Engineering by Hendricks, Subramony, and Van Blerk, page 148^ Engineering Mechanics: Equilibrium , by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64