利普希茨連續
(重定向自利普希茨连续)
在數學中,特別是實分析,利普希茨連續(Lipschitz continuity)以德國數學家魯道夫·利普希茨命名,是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上,利普希茨連續函數限制了函數改變的速度,符合利普希茨條件的函數的斜率,必小於一個稱為利普希茨常數的實數(該常數依函數而定)。
在微分方程,利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續,稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。
定義编辑
對於在實數集的子集的函數 ,若存在常數 ,使得 ,則稱 符合利普希茨條件,對於 最小的常數 稱為 的利普希茨常數。
若 , 稱為收縮映射。
利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義:
給定兩個度量空間 , 。若對於函數 ,存在常數 使得
則說它符合利普希茨條件。
若存在 使得
則稱 為双李普希茨(bi-Lipschitz)的。
皮卡-林德洛夫定理编辑
若已知 有界, 符合利普希茨條件,則微分方程初值問題 剛好有一個解。
在應用上, 通常屬於一有界閉區間(如 )。於是 必有界,故 有唯一解。
例子编辑
- 符合利普希茨條件, 。
- 不符合利普希茨條件,當 。
- 定義在所有實數值的 符合利普希茨條件, 。
- 符合利普希茨條件, 。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
- 不符合利普希茨條件, 。不過,它符合赫爾德條件。
- 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界, 符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有 函數都是局部利普希茨的,因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。
性質编辑
參考编辑
- ^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis (页面存档备份,存于互联网档案馆), Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (第18頁以後)
- ^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
- ^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.
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