中線

任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中線都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

证明编辑

考虑三角形ABC。设D为${\displaystyle {\overline {AB}}}$ 的中点，E为${\displaystyle {\overline {BC}}}$ 的中点，F为${\displaystyle {\overline {AC}}}$ 的中点，O为重心。

根据定义，${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$ ，因此${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]}$ ，其中${\displaystyle [ABC]}$ 表示三角形ABC的面积。

我们有：

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

因此，${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$ 且${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$ 。

由于${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$ ，所以${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$ 。同理，也可以证明${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$ 。

在${\displaystyle \triangle }$ ABC中，連接角A的中線記為${\displaystyle m_{a}}$ ，連接角B的中線記為${\displaystyle m_{b}}$ ，連接角C的中線記為${\displaystyle m_{c}}$ ，它們長度的公式為：

${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$

${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}}}$

${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}$

證明编辑

在${\displaystyle \triangle }$ ABD中，${\displaystyle AD=m_{a}}$

${\displaystyle (m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)\cos \angle ABD}$ （餘弦定理）

以a,b,c表示${\displaystyle \cos \angle ABD}$

${\displaystyle i.e.\ \cos \angle ABD={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}$ & ${\displaystyle BD={\frac {a}{2}}}$

把以上兩等式代入原式，

${\displaystyle i.e.\ (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}-2(c)({\frac {a}{2}}){\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}$

${\displaystyle =(c)^{2}+({\frac {a^{2}}{4}})-({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})}$

${\displaystyle ={\frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}}$

${\displaystyle ={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}$

∴${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$

同理，可證得其他二式

Q.E.D.

• 中線定理
• 角平分線長公式